2023学年完整公开课版数学归纳法

2.3数学归纳法问题1:大球中有5个小球，如何证明它们都是

绿色的？

问题2:完全归纳法

不完全归纳法问题3：某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。……

：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法归纳法通过观看视频，大家一起讨论一下:一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？(条件是什么）多米诺骨牌有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？如何解决不完全归纳法存在的问题呢？

⑴第一块骨牌倒下；⑵任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下☞两个条件的作用：条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系

对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题，我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题

成立;【归纳奠基】（2）假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立.

这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法【归纳递推】框图表示例1.用数学归纳法证明1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n＝1时，左边所得项是

；当n＝2时，左边所得项是

；1+2+31+2+3+4+5A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3C[解析]

∵1＋12＋14＋…＋127－1＝1－èçæø÷ö1271－12＝2－126＝27－126＝12764

而1＋12＋14＋…＋128－1>12764，故应选B.

[答案]

BD5：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？解:设n＝k时成立，即这就是说，n＝k+1时也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1则当n=k+1时2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1

所以等式对任何n∈N*都成立事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3左边≠右边，等式不成立该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早证明：①当n=1时，左边＝右边＝②假设n=k时，等式成立，那么n=k+1时等式成立这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立即第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求6：下面是某同学用数学归纳法证明等式成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（n∈N＊）nn2112121212132-=＋＋＋＋L

证明:(1)当n=1时左＝1，右＝12＝1∴n=1时，等式成立(2)假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k

1)=k2

那么，当n=k+1时左＝1+3+5+…+(2k

1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时命题成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立递推基础递推依据用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n

1)=n2

证明（1）当n=1时，等式左边等式右边所以等式成立.

（2）假设n=k（k∈N+）时等式成立，那么当n=k+1时，即n=k+1时等式成立.由（1）（2）可知，对任意n∈N+等式均成立例2用数学归纳法证明：

例题解析2．使用数学归纳法证明不等式的难点在第二个步骤上,这时除了一定要用到归纳假设外,还要较多的运用不等式证明的方法,对所要证明的不等式加以变形,寻求其与归纳假设的联系是问题的突破口.注意:在用数学归纳法证题时注意以下三句话“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.”【典例3】是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明:

归纳、猜想、证明(2)假设当n=k时结论正确,即:则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论:【归纳奠基】（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确

（2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确

（3）由（1）、（2）得出结论【归纳递推】找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。布置课后作业,巩固延伸铺垫(1)课本第64页练习第1,2题；第67页习题2.1第2题．(2)(辨析与思考)1.用数学归纳法证明1+2+22+23+…+2n－１=2n－1

(n∈N*)时,其中第二步采用下面的证法：

设n＝k时等式成立,即1+2+22+23+…+2k－1=2k－1,则当n＝k＋1时,,即n＝k＋1时等式也成立．

2.求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)证明：①n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立。

②假设当n=k((k∈N）时有：

(k+1)(k+2)…(k+k)=2k•1•3•…•(2n-1),

当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•