双曲线及其标准方程 省赛获奖

2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程南靖一中王明毅

悲伤的双曲线

如果我是反比例函数，你就是那坐标轴如果我是双曲线，你就是那渐近线虽然我们有缘，能够生在同一个平面然而我们又无缘，漫漫长路无交点为何看不见?难道正如书上说的，无限接近不能达到为何看不见，明月也有阴晴圆缺此事古难全，但愿千里共婵娟生活中的双曲线法拉利主题公园巴西利亚大教堂麦克唐奈天文馆1.记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程.（重点）2.会用待定系数法确定双曲线的方程.（难点）探究点1双曲线的定义问题1：椭圆的定义？

平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？即“平面内与两个定点F1，F2的距离之差等于非零常数的点的轨迹”是什么？①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|②如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a，由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（非零常数）.

上面两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支.看图分析动点M满足的条件：=2a.即|MF1|-|MF2|=-2a.图图①两个定点F1，F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——双曲线的焦距.oF2F1M

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.双曲线定义||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<2c)注意1.定义中为什么要强调差的绝对值？【举一反三】若不加绝对值，则曲线为双曲线的一支.2.定义中的常数2a可否为0，2a=2c,2a>2c？不能.若为0，曲线就是F1F2的垂直平分线了；若为2a=2c,曲线应为以F1,F2为端点的两条射线；若为2a>2c,这样的曲线不存在.明确了双曲线的定义，你能根据定义求出其方程吗？探究点2双曲线的标准方程1.建系.

如图建立直角坐标系xOy，使x轴经过两焦点F1，F2，y轴为线段F1F2的垂直平分线.F2F1MxOy

设M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c>0),则F1(-c,0),F2(c,0)，又设点M与F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.2.设点.3.列式由定义可知，双曲线就是集合：P={M

|||MF1|-|MF2||

=2a},

4.化简此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程由双曲线的定义知，2c>2a>0,即c>a,故c2-a2>0,令c2-a2=b2,其中b>0,代入上式，得：

上面方程是双曲线的方程,我们把它叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.想一想：焦点在y轴上的双曲线的标准方程应该是什么？我们应该如何求解？

定义

方程

焦点a,b,c的关系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2||MF1|－|MF2||=2a,0<2a<|F1F2||MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|

椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）【总结提升】【解析】因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5,所以因此，双曲线的标准方程为定位定量【变式练习】【解析】例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析:首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差,可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值.这样，爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上.【解析】如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.xyoPBA设爆炸点P的坐标为(x,y)，则即2a=680，a=340.又所以2c=800,c=400,因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为【变式练习】1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?【解析】

爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?【解析】再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.例2:如果方程表示双曲线，(1)求m的取值范围.(2)证明（1）中的双曲线有共同的焦点1．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为(

)A．双曲线和一直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线A··4.若双曲线kx2-y2=1的一个焦点的坐标是(2,0)，则k=__________