第十章 参数估计

统计学

statistics李欣先

Email:lixinxian2005@126.comtongjxxx@163.com12/13/20231山东轻院皮革教研室第十章参数估计§10.1

参数估计的一般问题

§10.2一个总体参数的区间估计§10.3两个总体参数的区间估计§10.4样本容量的确定12/13/20232山东轻院皮革教研室学习目标估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准一个总体参数的区间估计方法两个总体参数的区间估计方法样本容量的确定方法12/13/20233山东轻院皮革教研室参数估计在统计方法中的地位参数估计假设检验统计方法描述统计推断统计12/13/20234山东轻院皮革教研室统计推断的过程样本总体样本统计量例如：样本均值、比例、方差总体均值、比例、方差等12/13/20235山东轻院皮革教研室二战中的点估计—

德军有多少辆坦克？二战期间，盟军非常想知道德军总共制造了多少辆坦克。德国人在制造坦克时是墨守成规的，他们把坦克从1开始进行了连续编号。在战争过程中，盟军缴获了一些敌军坦克，并记录了它们的生产编号。那么怎样利用这些号码来估计坦克总数呢？在这个问题中，总体参数是未知的坦克总数N,而缴获坦克的编号则是样本。假设我们是盟军手下负责解决这个问题的统计人员。制造出来的坦克总数肯定大于等于记录的最大编号。为了找到它比最大编号大多少，我们先找到被缴获坦克编号的平均值，并认为这个值是全部编号的中点。因此样本均值乘以2就是总数的一个估计；当然要特别假设缴获的坦克代表了所有坦克的一个随机样本。这种估计N的公式的缺点是：不能保证均值的2倍一定大于记录中的最大编号。12/13/20236山东轻院皮革教研室二战中的点估计—

德军有多少辆坦克？N的另一个点估计公式是：用观测到的最大编号乘以因子1+1/n，其中n是被俘虏坦克个数。假如你俘虏了10辆坦克，其中最大编号是50，那么坦克总数的一个估计是（1+1/10)50=55。此处我们认为坦克的实际数略大于最大编号。从战后发现的德军记录来看，盟军的估计值非常接近所生产的坦克的真实值。记录仍然表明统计估计比通常通过其他情报方式作出估计要大大接近于真实数目。统计学家们做得比间谍们更漂亮！资料来源：GUDMUNDR.IVERSEN和MARYGERGRN著，吴喜之等译：《统计学—基本概念和方法》，高等教育出版社，施普林格出版社，2000。12/13/20237山东轻院皮革教研室§10.1参数估计的一般问题估计量与估计值点估计与区间估计评价估计量的标准12/13/20238山东轻院皮革教研室估计量与估计值12/13/20239山东轻院皮革教研室估计量(estimator)

：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等例如:样本均值就是总体均值

的一个估计量参数用

表示，估计量用表示估计值(estimatedvalue)

：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值

x

=80，则80就是

的估计值估计量与估计值

(estimator&estimatedvalue)12/13/202310山东轻院皮革教研室点估计与区间估计12/13/202311山东轻院皮革教研室参数估计的方法矩估计法最小二乘法最大似然法顺序统计量法估计方法点估计区间估计12/13/202312山东轻院皮革教研室点估计

(pointestimation)用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.

没有给出估计值接近总体参数程度的信息点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、极大似然法、最小二乘法等12/13/202313山东轻院皮革教研室12/13/202314山东轻院皮革教研室12/13/202315山东轻院皮革教研室12/13/202316山东轻院皮革教研室区间估计

(intervalestimation)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样极限误差（误差范围）而得到的根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%

样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限12/13/202317山东轻院皮革教研室区间估计的图示

X95%的样本

-1.96

x

+1.96

x99%的样本

-2.58

x

+2.58x90%的样本

-1.65

x

+1.65

x12/13/202318山东轻院皮革教研室将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平

表示为(1-

为是总体参数未在区间内的比例

常用的置信水平值有

99%,95%,90%相应的

为0.01，0.05，0.10置信水平

(confidencelevel)

12/13/202319山东轻院皮革教研室由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间

用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间

(confidenceinterval)12/13/202320山东轻院皮革教研室置信区间与置信水平均值的抽样分布(1-

)%区间包含了

%的区间未包含

1-aa/2a/212/13/202321山东轻院皮革教研室影响区间宽度的因素1. 总体数据的离散程度，用来测度样本容量，3. 置信水平(1-

)，影响

z的大小12/13/202322山东轻院皮革教研室评价估计量的标准12/13/202323山东轻院皮革教研室无偏性

(unbiasedness)无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数P(

)BA无偏有偏12/13/202324山东轻院皮革教研室有效性

(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效

AB

的抽样分布

的抽样分布P(

)12/13/202325山东轻院皮革教研室一致性

(consistency)一致性：随着样本容量的增大，估计量的

值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)12/13/202326山东轻院皮革教研室§10.2一个总体参数的区间估计总体均值的区间估计总体比例的区间估计总体方差的区间估计12/13/202327山东轻院皮革教研室一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差12/13/202328山东轻院皮革教研室总体均值的区间估计

(正态总体、已知，或非正态总体、大样本)12/13/202329山东轻院皮革教研室总体均值的区间估计

(大样本)1. 假定条件总体服从正态分布,且方差(

２)

已知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n

≥30)使用正态分布统计量Ｚ总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为12/13/202330山东轻院皮革教研室总体均值的区间估计

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%。25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.312/13/202331山东轻院皮革教研室总体均值的区间估计

(例题分析)解：已知Ｘ~N(

，102)，n=25,1-=95%，z

/2=1.96。根据样本数据计算得：

总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44克~109.28克。12/13/202332山东轻院皮革教研室总体均值的区间估计

(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间。36个投保人年龄的数据23353927364436424643313342534554472434283936444039493834485034394548453212/13/202333山东轻院皮革教研室总体均值的区间估计

(例题分析)解：已知n=36,1-=90%，z

/2=1.645。根据样本数据计算得：，

总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁。12/13/202334山东轻院皮革教研室总体均值的区间估计

(正态总体、

２未知、小样本)12/13/202335山东轻院皮革教研室总体均值的区间估计

(小样本)1. 假定条件总体服从正态分布,且方差(

２)

未知小样本

(n<30)使用t

分布统计量总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为12/13/202336山东轻院皮革教研室t分布

分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布Xt

分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)Z12/13/202337山东轻院皮革教研室总体均值的区间估计

(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间。16灯泡使用寿命的数据151015201480150014501480151015201480149015301510146014601470147012/13/202338山东轻院皮革教研室总体均值的区间估计

(例题分析)解：已知Ｘ~N(

，2)，n=16,1-=95%，t

/2=2.131。根据样本数据计算得：，

总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时。12/13/202339山东轻院皮革教研室总体比例的区间估计12/13/202340山东轻院皮革教研室总体比例的区间估计1. 假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量Ｚ3.总体比例

在1-

置信水平下的置信区间为12/13/202341山东轻院皮革教研室总体比例的区间估计

(例题分析)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间。解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%

。12/13/202342山东轻院皮革教研室总体方差的区间估计12/13/202343山东轻院皮革教研室总体方差的区间估计1. 估计一个总体的方差或标准差2. 假设总体服从正态分布总体方差

2

的点估计量为S2,且4.总体方差在1-

置信水平下的置信区间为12/13/202344山东轻院皮革教研室总体方差的区间估计

(图示)

2

21-

2

总体方差1-

的置信区间自由度为n-1的

212/13/202345山东轻院皮革教研室总体方差的区间估计

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表7所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.312/13/202346山东轻院皮革教研室总体方差的区间估计

(例题分析)解:已知n＝25，1-

＝95%,根据样本数据计算得s2=93.21

2置信度为95%的置信区间为

该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7.54克~13.43克。12/13/202347山东轻院皮革教研室§10.3两个总体参数的区间估计两个总体均值之差的区间估计两个总体比例的之差区间估计两个总体方差比的区间估计12/13/202348山东轻院皮革教研室两个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值之差比例之差方差比12/13/202349山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的区间估计

(独立大样本)12/13/202350山东轻院皮革教研室两个样本均值之差的抽样分布

m1s1总体1s2

m2总体2抽取简单随机样样本容量n1计算X1抽取简单随机样样本容量n2计算X2计算每一对样本的X1-X2所有可能样本的X1-X2m1-m2抽样分布12/13/202351山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的估计

(大样本)1. 假定条件两个总体都服从正态分布，

1２、2２已知若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n1

30和n2

30)两个样本是独立的随机样本使用正态分布统计量Z12/13/202352山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的估计

(大样本)1.

1２、2２已知时，两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为

1２、2２未知时，两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为12/13/202353山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的估计

(例题分析)【例】某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立地抽取两个随机样本，有关数据如下表。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间。

两个样本的有关数据

中学1中学2n1=46n1=33S1=5.8S2=7.212/13/202354山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的估计

(例题分析)解:

两个总体均值之差在1-

置信水平下的置信区间为

两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为5.03分~10.97分。12/13/202355山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的区间估计

(独立小样本)12/13/202356山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的估计

(小样本:

12=

22

)1. 假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：1２=2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)总体方差的合并估计量估计量

X1-X2的抽样标准差12/13/202357山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的估计

(小样本:

12=

22

)两个样本均值之差的标准化两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为12/13/202358山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的估计

(例题分析)【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12个工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分钟）下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.52112/13/202359山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的估计

(例题分析)解:

根据样本数据计算得合并估计量为：两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.14分钟~7.26分钟。12/13/202360山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的估计

(小样本:

12

22

)1. 假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知且不相等：1２

2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)使用统计量12/13/202361山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的估计

(小样本:

12

22

)

两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为12/13/202362山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的估计

(例题分析)【例】沿用前例。假定第一种方法随机安排12个工人，第二种方法随机安排8个工人，即n1=12，n2=8，所得的有关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.22112/13/202363山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的估计

(例题分析)解:

根据样本数据计算得自由度为：两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.192分钟~9.058分钟。12/13/202364山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的区间估计

(匹配样本)12/13/202365山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的估计

(匹配大样本)假定条件两个匹配的大样本(n1

30和n2

30)两个总体均值之差

d=

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为对应差值的均值对应差值的标准差12/13/202366山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的估计

(匹配小样本)假定条件两个匹配的小样本(n1<30和n2<30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布

两个总体均值之差

d=

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为12/13/202367山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的估计

(例题分析)【例】由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测试，结果如下表。试建立两种试卷分数之差

d=

1-

2

95%的置信区间。

10名学生两套试卷的得分学生编号试卷A试卷B差值d17871726344193726111489845691741754951-2768551387660169857781055391612/13/202368山东轻院皮革教研室两个总体均值之差的估计

(例题分析)解:

根据样本数据计算得两种试卷所产生的分数之差的置信区间为6.33分~15.67分。12/13/202369山东轻院皮革教研室两个总体比例之差区间的估计12/13/202370山东轻院皮革教研室1. 假定条件两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似两个样本是独立的2. 两个总体比例之差

1-

2在1-置信水平下的置信区间为两个总体比例之差的区间估计12/13/202371山东轻院皮革教研室两个总体比例之差的估计

(例题分析)【例】在某个电视节目的收视率调查中，农村随机调查了400人，有32%的人收看了该节目；城市随机调查了500人，有45%的人收看了该节目。试以90%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间。1212/13/202372山东轻院皮革教研室两个总体比例之差的估计

(例题分析)解:

已知

n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，

1-=95%，z/2=1.96

1-

2置信度为95%的置信区间为城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%~19.32%。12/13/202373山东轻院皮革教研室两个总体方差比的区间估计12/13/202374山东轻院皮革教研室两个总体方差比的区间估计1. 比较两个总体的方差比2.用两个样本的方差比来判断如果S12/S22接近于1,说明两个总体方差很接近如果S12/S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异3.总体方差比在1-

置信水平下的置信区间为12/13/202375山东轻院皮革教研室两个总体方差比的区间估计

(图示)FF1-

F

总体方差比1-

的置信区间方差比置信区间示意图12/13/202376山东轻院皮革教研室两个总体方差比的区间估计

(例题分析)【例】为了研究男女学生在生活费支出(元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果：男学生：女学生：试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间。12/13/202377山东轻院皮革教研室两个总体方差比的区间估计

(例题分析)解:根据自由度

n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得F/2(24,24)=1.98，F1-/2(24,24)=1/1.98=0.505

12/22置信度为90%的置信区间为男女学生生活费支出方差比的置信区间为0.47~1.84

。12/13/202378山东轻院皮革教研室§10.4样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定估计两个总体均值之差时样本容量的确定估计两个总体比例之差时样本容量的确定12/13/202379山东轻院皮革教研室12/13/202380山东轻院皮革教研室估计总体均值时样本容量n为样本容量n与总体方差

2、允许误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与边际误差成反比与可靠性系数成正比估计总体均值时样本容量的确定其中：12/13/202381山东轻院皮革教研室估计总体均值时样本容量的确定

(例题分析)【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？12/13/202382山东轻院皮革教研室估计总体均值时样本容量的确定

(例题分析)解:

已知

=2000，E=400,1-=95%，z/2=1.96

即应抽取97人作为样本。12/13/202383山东轻院皮革教研室估计总体比例时样本容量的确定12/13/202384山东轻院皮革教研室1.根据比例区间估计公式可得样本容量n为估计总体比例时样本容量的确定

E的取值一般小于0.1

未知时，可取最大值0.5其中：12/13/202385山东轻院皮革教研室估计总体比例时样本容量的确定

(例题分析)【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求允许误差为