自动控制理论第八章课件

第八章采样控制系统第一节采样过程及采样定理概述第二节保持器第四节Z变换第三节差分方程第五节脉冲传递函数第六节线性系统的稳定性分析

第八节采样系统的暂态响应与脉冲传递函数极点、零点分布关系第七节采样系统的稳态误差分析一、控制系统中的信号分类1、模拟信号

信号是时间的连续函数2、离散信号信号是时间上的离散序列3、数字信号信号是时间上、幅值上离散序列二、控制系统分类1、连续系统2、采样系统3、计算机控制系统

采样周期：是一个非常重要、特殊的参数，会影响系统的稳定性、稳态误差、信号恢复精度！三、连续系统与采样控制系统相同点：

1、采用反馈控制结构

2、都有被控对象、测量元件和控制器组成

3、控制系统的目的

4、系统分析的内容不同点：

信号的形式（采样器、保持器）采样控制系统的优点：高精度、高可靠、有效抑制干扰、良好的通用性第一节采样过程及采样定理概述一、采样过程采样过程：按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为时间上离散的脉冲序列的过程。理想脉冲信号发生器！！T—采样周期n—整数采样过程可以看成是脉冲调制过程采样过程的特点：1、采样过程相当于一个脉冲调制过程2、采样的输出信号可表示两个信号的乘积决定采样时间决定采样信号的幅值二、采样定理傅里叶级数展开（参见附录C）离散信号与连续信号频谱关系连续信号频谱离散信号频谱之一离散信号频谱之二频谱互不重叠的条件：采样定理（SHANON定理）：

为了使信号得到很好的复现，采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍，即第二节保持器信号的复现：把采样信号恢复为原来的连续信号称为信号的复现。实现方法：理想滤波器实际使用的方法：保持器保持器零阶保持器（恒值外推）一阶保持器（线性外推）一、零阶保持器零阶保持器的输入输出信号主要特点：1、输出信号是阶梯波，含有高次谐波。2、相位滞后。零阶保持器的单位脉冲响应零阶保持器的幅频特性注意：1、除了主频谱外，还有高频分量。2、零阶保持器将产生相角滞后。零阶保持器的近似实现取前两项取前三项取前三项时用无源网络实现形式

更高阶的近似，使无源网络变得非常复杂。一般不使用！！二、一阶保持器一阶保持器是一种按照线性规律外推的保持器。一阶保持器的单位脉冲响应一阶保持器与零阶保持器比较1、一阶保持器幅频特性的幅值较大，高频分量也大。2、一阶保持器相角滞后比零阶保持器大。3、一阶保持器的结构更复杂。一阶保持器实际很少使用！！第三节差分方程保持器为零阶保持器在该周期下，系统输出为本系统差分方程！！差分方程的定义

对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的输出值C(k)不仅与这一时刻的输入值r(k)有关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、r(k-2)…有关，还与过去的输出值c(k-1)、c(k-2)…有关。可以把这种关系描述如下：n—系统的阶次n—系统的第k个采样周期线性定常系统差分方程的一般形式差分方程的递推求解第四节Z变换一、Z变换的定义对其进行拉氏变换：此式称为采样函数的Z变换。F（z)是的Z变换二、Z变换的方法1、级数求和法例8-1求1*（t）的Z变换。例8-2求的F(Z)。2、部分分式法例8-3求解的Z变换。例8-4求3、留数计算法

设连续函数f(t)的拉普拉斯变换F(S)及全部极点已知,则可用留数计算法求Z变换当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为例8—5

求的Z变换解:例8—6

求的Z变换解:两阶重极点!!常用函数的Z变换三、Z变换的基本定理1、线性定理2、滞后定理3、初值定理4、终值定理5、超前定理6、复数偏移定理7、卷积和定理1、线性定理设：则：函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。2、滞后定理设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。

3、初值定理设函数f(t)的Z变换为F（z），并且

存在，则4、终值定理设函数f(t)的Z变换为F（z），并且（1-z-1）F(z)在以原点为圆心的单位圆上和圆外均无极点，则有经常用于分析计算机系统的稳态误差！！5、超前定理设函数f(t)的Z变换为则：若则：6、复数偏移定理设函数f(t)的Z变换为F（Z），则7、卷积和定理设：式中：为正整数，当n为负数时则有：式中：四、Z反变换Z反变换是已知Z变换表达式F（Z）

f(nT)的过程只能求出序列的表达式，而不能求出它的连续函数！！求解方法：长除法、部分分式法、留数法。1、长除法（幂级数法）要点：将F（Z）用长除法变化为降幂排列的展形式。

Z反变换为也即：例8—7

求的Z反变换解：1.部分分式法（因式分解法，查表法）步骤：①先将变换式写成，展开成部分分式，

③查Z变换表②两端乘以Z例8—8

求的Z反变换解：①②③3.留数法（反演积分法）函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数曲线C可以是包含F(z)zn-1全部极点的任意封闭曲线若Zi为一重极点若Zi为q重极点例8—9

求的Z反变换解：有两个一重极点例8—10

求的Z反变换解：有一个两重极点第五节脉冲传递函数一、基本概念脉冲传递函数的定义采样系统的离散输出信号根据脉冲响应来推导脉冲传递函数由卷积和定理，可得系统的脉冲传递函数即为系统单位脉冲响应g(t)经采样后离散信号的Z变换，即系统的响应速度越快，即其单位脉冲响应g(t)衰减越快，则相应的脉冲传递函数的展开式中包含的项数越少二、开环系统脉冲传递函数1、串联各环节之间有采样器的情况G2(s)G1(s)脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传递函数之积。2、串联各环节之间无采样器的情况G2(s)G1(s)没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数为这两个环节的传递函数相乘之积的Z变换。例8—11

设两个环节串联，分别求出中间有采样开关和无采样开关时系统的开环脉冲传递函数。解：两个环节中间有采样开关时两个环节中间无采样开关时三、采样系统的闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数误差脉冲传递函数对于单位反馈系统闭环脉冲传递函数误差脉冲传递函数闭环采样控制系统的特征方程当采样系统中有数字控制器时有干扰信号的采样系统闭环系统脉冲传递函数应注意在闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关，因为有、无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是不相同的。第六节线性系统的稳定性分析

一、采样控制系统稳定的条件（一）S平面和Z平面的映射关系设复变量则S平面Z平面（二）线性采样系统稳定的充要条件闭环脉冲传递函数闭环系统特征方程闭环系统稳定的充要条件二、劳斯稳定判据双线性变换法Z和W均为复变量讨论：（1）W平面的虚轴对应于Z平面单位圆（2）W平面的左半平面对应于Z平面单位圆内（3）W平面的左半平面对应于Z平面单位圆外W平面Z平面劳斯稳定性判据的应用例8—12设控制系统如下图所示其中采样周期为求能使系统稳定的K1取值范围解:系统开环脉冲传递函数系统闭环脉冲传递函数特征方程整理可得:列写劳斯表第七节采样系统的稳态误差分析系统开环脉冲传递函数误差脉冲传递函数根据Z变换的终值定理可得在输入作用下采样系统的稳态误差终值为:一、稳态误差终值的计算（1）输入信号为单位阶跃函数当采样系统为Ⅰ型系统时当采样系统为Ⅱ型系统时（2）输入信号为单位斜坡函数当采样系统为Ⅱ型系统时（3）输入信号为单位抛物线函数系统类型位置误差速度误差加速度误差0型1/(1+kp)∞∞Ⅰ型01/kv∞Ⅱ型001/ka二、稳态误差级数的计算法连续系统的稳态误差级数计算采样系统的稳态误差级数计算例8—13设控制系统如下图所示其中采样