专题11.6与三角形有关的角大题专练（重难点培优40题）-【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题11.6与三角形有关的角大题专练（重难点培优40题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________一．解答题（共40小题）1．（2022秋•灵宝市期末）如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求：（1）∠ACD的度数；（2）∠AEC的度数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用三角形的外角的性质求解即可．（2）求出∠ECD，∠D，利用三角形的外角的性质求解即可．【解析】解：（1）∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∠B＝25°，∠BAC＝31°，∴∠ACD＝25°+31°＝56°．（2）∵AD⊥BD，∴∠D＝90°，∵∠ACD＝56°，CE平分∠ACD，∴∠ECD=12∠ACD＝∴∠AEC＝∠ECD+∠D＝28°+90°＝118°．【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2021秋•双台子区期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数．【答案】70°．【分析】根据垂直的定义得到∠AFC＝∠EFC，根据角平分线的定义得到∠ACF＝∠ECF，由三角形的内角和定理得出∠EAC＝∠CEA，再根据三角形的外角定理即可求解．【解析】解：∵AE⊥CD交CD于点F，∴∠AFC＝∠EFC＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACF＝∠ECF，∵∠AFC+∠EAC+∠ACF＝180°，∠EFC+∠CEA+∠ECF＝180°，∴∠EAC＝∠CEA，∵∠CEA＝∠B+∠BAE，∠B＝37°，∠BAE＝33°，∴∠CEA＝70°，∴∠EAC＝70°．【点评】此题考查了三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和是180°得出∠EAC＝∠CEA是解题的关键．3．（2021秋•天山区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O．（1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．（2）若∠C＝70°，求∠BOE的度数．（3）若∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β），则∠DAE＝12（β﹣α）．．（用含α、β【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC＝180°﹣60°﹣70°＝50°，再由AE是角平分线，求出∠EAC=12∠BAC＝25°，由AD是高，求出∠CAD＝90°﹣∠C＝20°，最后即可求出∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝（2）根据角平分线的性质，得∠OAB=12∠BAC，∠OBA=12∠ABC，所以∠BOE＝∠OAB+∠OBA=12（∠BAC+∠ABC）=12（180°﹣∠C）（3）根据三角形内角和定理求出∠BAC＝180°﹣α﹣β，再由AE是角平分线，求出∠EAC=12（180°﹣α﹣β），由AD是高，求出∠CAD＝90°﹣β，最后即可求出∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD=12（180°﹣α﹣β）﹣（90°﹣β）=1【解析】解：（1）∠ABC＝60°，∠C＝70°∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°，∵AE是角平分线，∴∠EAC=12∠BAC=12∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°；（2）∵AE，BF是角平分线，∴∠OAB=12∠BAC，∠OBA=1∴∠BOE＝∠OAB+∠OBA=12（∠BAC+∠ABC）=12（180°﹣∠C）=12×（3）∠ABC＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣α﹣β，∵AE是角平分线，∴∠EAC=12∠BAC=12（180°﹣∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣β，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD=12（180°﹣α﹣β）﹣（90°﹣β）=12（故答案为12（β﹣α【点评】本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4．（2021秋•驻马店期末）（1）如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，试确定∠A与∠D的数量关系．（2）如图（b），BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，试确定∠A与∠E的数量关系．（3）如图（c），BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，试确定∠A与∠F的数量关系．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据角平分线性质可得∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB），根据三角形内角和为180°可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠（2）根据角平分线性质可得∠ACE=12∠ACM，∠CBE=12∠ABC，根据三角形内角和为180°可得∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠CBE+∠BCE+∠（3）根据角平分线性质可得∠FBC=12∠PBC，∠FCB=12∠PCB，根据三角形内角和为180°可得∠ABC+∠ACB＝【解析】解：（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠DCB=12（180°﹣∠∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝90°+12∠（2）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，∴∠ACE=12∠ACM，∠CBE=1∵∠ACM＝∠A+∠ABC，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠CBE+∠BCE+∠E＝180°，∴12∠ABC+∠C+∠ACE+∠E＝180∴∠E=12∠（3）∵BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，∴∠FBC=12∠PBC，∠FCB=1∵∠PBC＝180°﹣∠ABC，∠PCB＝180°﹣∠ACB，∴∠F＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°-12（∠PBC+∠＝180°-12（180°﹣∠ABC+180°﹣∠=12（∠ABC+∠∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠F=12（180°﹣∠A）＝90°-1【点评】本题考查了角平分线的性质，考查了三角形内角和为180°的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角的和的性质．5．（2023春•大荔县期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是180°，“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．性质理解：（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，则∠AOB＝85°，则∠C+∠D＝95°．性质应用：（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大8°，求∠BED的度数．拓展提高：（3）如图3，BE、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A＝α，请尝试求出∠P的度数（用含α的式了表示∠P）．【答案】（1）95；（2）∠BED＝26°；（3）∠P=45【分析】（1）由对顶三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答案；（2）由对顶三角形的性质以及三角形内角和定理得到∠ADE+∠BED＝60°，再根据已知即可求解；（3）利用三角形内角和定理求得∠ABE+∠ACD=90°-12α，再利用角平分线的定义求得∠CEP=【解析】解：（1）由对顶三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，在△AOB中，∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝180°﹣85°＝95°，∴∠C+∠D＝95°．故答案为：95；（2）在△ABC中，∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°．∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠FBA+∴∠ADE+∠BED＝60°．又∵∠ADE﹣∠BED＝8°，∴∠ADE＝34°，∠BED＝26°；（3）45°理由：在△ABC中，∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α．∵BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABE=∠CBE=∴∠ABE+∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，∴∠CEP=12∵∠CEP+∠ACD＝∠CDP+∠P，∴∠P＝∠CEP+∠ACD+∠CDP=12（∠ABE+∠A）+∠ACD-12（∠ACD=12∠ABE+=12（∠ABE+∠=12×（90°＝45°-14即∠P=45【点评】本题考查的是三角形内角和定理，利用对顶三角形的性质解答是解此题的关键．6．（2022秋•凤翔县期末）综合与探究：【情境引入】（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+12∠【深入探究】（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是∠D＝90°-12∠A②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①∠D＝90°-12∠②∠D=12∠【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理证明即可；（2）①根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可；②根据三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可．【解析】（1）证明：∵BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=1∴∠1+∠2+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°-12（∠ABC+∠＝180°-12（180°﹣∠＝90°+12∠（2）解：①∠D＝90°-12∠∵BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∴∠DBC=12∠EBC=12（∠A+∠ACB），∠DCB=12∠FCB=∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°-12（∠EBC+∠＝180°-＝90°-12∠故答案为：∠D＝90°-12∠②∠D=12∠∵BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCE=1∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，∴∠D+12∠ABC=12（∠A∴∠D=12∠【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键．7．（2023春•德清县期末）如图，已知在同一平面内有线段AB和直线CD，且AB∥CD，点E是直线CD上的一个动点，连结AE，BE，过点B作BF⊥CD，垂足为F．（1）如图1，若AE⊥BE，请说明∠BAE+∠BEF＝90°的理由；（2）如图2，作∠BAE的角平分线与∠EBF的角平分线交于点P，设∠APB＝α，∠AEB＝β，请求出α和β之间的数关系；（3）如图3，当点E运动到点F的右边时，在（2）的条件下，α和β之间的数量关系是否会发生改变？请说明理由．【答案】（1）理由见解析；（2）2α﹣β＝90°；（3）不会发生改变，理由见解析．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠ABE＝∠BEF，根据垂线的定义得出∠AEB＝90°，在△ABE中根据三角形内角和定理得出∠BAE+∠ABE＝90°，从而问题得证；（2）根据两直线平行，同旁内角互补得出∠ABF+∠BFC＝180°，根据垂线的定义得出∠BFC＝90°，于是得出∠ABF＝90°，从而得出∠ABP＝90°﹣∠1，∠ABE＝90°﹣2∠1，在△ABP中根据三角形内角和定理得出∠2+∠APB+∠ABP＝180°，即2∠2﹣2∠1+2α＝180°①，在△ABE中根据三角形内角和定理得出∠BAE+∠AEB+∠ABE＝180°，即2∠2﹣2∠1+β＝90°②，①﹣②得出2α﹣β＝90°即可；（3）方法同（2）．【解析】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝180°﹣∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠BEF＝90°；（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠ABF+∠BFC＝180°，∵BF⊥CD，∴∠BFC＝90°，∴∠ABF＝90°，∵BP平分∠EBF，∴∠EBF＝2∠1，∴∠ABP＝90°﹣∠1，∠ABE＝90°﹣2∠1，∵AP平分∠BAE，∴∠BAE＝2∠2，在△ABP中，∠2+∠APB+∠ABP＝180°，即∠2+α+90°﹣∠1＝180°，∴∠2﹣∠1+α＝90°，∴2∠2﹣2∠1+2α＝180°①，在△ABE中，∠BAE+∠AEB+∠ABE＝180°，即2∠2+β+90°﹣2∠1＝180°，∴2∠2﹣2∠1+β＝90°②，①﹣②得，2α﹣β＝90°；（3）如图3，不会发生改变，理由：∵AB∥CD，∴∠ABF+∠BFC＝180°，∵BF⊥CD，∴∠BFC＝90°，∴∠ABF＝90°，∵BP平分∠EBF，∴∠EBF＝2∠FBP，∴∠ABP＝90°+∠FBP，∠ABE＝90°+2∠FBP，∵AP平分∠BAE，∴∠BAE＝2∠BAP，在△ABP中，∠BAP+∠APB+∠ABP＝180°，即∠BAP+α+90°+∠FBP＝180°，∴∠BAP+∠FBP+α＝90°，∴2∠BAP+2∠FBP+2α＝180°①，在△ABE中，∠BAE+∠AEB+∠ABE＝180°，即2∠BAP+β+90°+2∠FBP＝180°，∴2∠BAP+2∠FBP+β＝90°②，①﹣②得，2α﹣β＝90°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，平行线的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．8．（2023春•丹江口市期末）如图，△ABC中，∠ACE＞∠B，AD是角平分线，AE⊥AD交BC的延长线于点E．（1）若∠B＝40°，∠ACB＝100°，求∠E的度数；（2）①试求∠E，∠B，∠ACB之间的数量关系；②若∠E＝∠B，求∠ACB∠B【答案】（1）30°；（2）①∠ACB＝2∠E+∠B；②3．【分析】（1）由三角形的内角和可得∠BAC＝40°，再由角平分线的定义可得∠CAD＝20°，结合垂直可求得∠CAE＝70°，再由邻补角的定义可求得∠ACE＝80°，再次利用三角形的内角和即可求∠E的度数；（2）①结合（1）进行求解即可；②根据①进行求解即可．【解析】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝100°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝40°，∵AD是角平分线，∴∠CAD=12∠BAC＝∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝70°，∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝80°，∴∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠CAE＝30°；（2）①∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB，AD是角平分线，∴∠CAD=12∠BAC＝90°-12∠B∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD=12∠B+1∵∠ACE＝180°﹣∠ACB，∴∠E＝180°﹣∠CAE﹣∠ACE＝180°﹣（12∠B+12∠ACB）﹣（180°﹣∠ACB）=12∠∴∠E+12∠B=1∴∠ACB＝2∠E+∠B；②∵∠ACB＝2∠E+∠B，∠E＝∠B，∴∠ACB=2∠E+∠B＝3．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．9．（2023春•定兴县期末）综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作发现：（1）如图1，若∠1＝42°，求∠2的度数；（2）小聪同学把图1中的直线a向上平移得到如图2，请你探究图2中的∠1与∠2的数量关系，并说明理由．（3）小颖同学将图2中的直线b向上平移得到图3，若∠2＝4∠1，求∠1的度数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意可求得∠ACP＝∠1+∠ACB＝132°，再由平行线的性质即可求得∠2的度数；（2）由题意可求得∠ACP＝∠1+∠ACB，由平行线的性质可得∠AGF＝∠ACP，再由三角形的外角性质即可求解；（3）由图可知∠1＝∠CMN，则由三角形的外角性质得∠ANM＝∠1+90°，利用平行线的性质得∠2＝∠ANM，从而可求解．【解析】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠1＝42°，∴∠ACP＝∠1+∠ACB＝132°，∵a∥b，∴∠2＝∠ACP＝132°；（2）∠2﹣∠1＝120°，理由如下：如图2，由题意得：∠ACP＝∠1+∠ACB＝∠1+90°，∵a∥b，∴∠AGF＝∠ACP＝∠1+90°，∵∠2是△AFG的外角，∴∠2＝∠BAC+∠AGF＝30°+∠1+90°，即∠2﹣∠1＝120°；（3）∵∠1＝∠CMN，∠ACB＝90°，∴∠ANM＝∠CMN+∠ACB＝∠1+90°，∵a∥b，∴∠2＝∠ANM＝∠1+90°，∵∠2＝4∠1，∴4∠1＝∠1+90°，解得：∠1＝30°．【点评】本题主要考查三角形的内角和，平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．10．（2023春•莆田月考）（1）已知：三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠ACB＝180；小明同学经过认真思弯，他过点C作CE∥AB，利用添加辅助线的方法成功解决了这个问题，你能说出小明是怎么解决这个问题的吗？写出论证过程．（2）利用以上结论或方法，解决如下问题：已知：六边形ABCDEF，满足∠A+∠B+∠C＝∠D+∠E+∠F，求证：AF∥CD．【答案】（1）能，证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠A＝∠1，∠B＝∠2，根据∠1+∠2+∠ACB＝180°利用等量代换得到∠A+∠B+∠ACB＝180°；（2）作直线GH交CD于点G，交AF于点H，再证明∠CGH+∠AHG＝180°，可得结论．【解析】（1）解：能．证明：∵CE∥AB，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2，∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；（2）证明：连接AC，∵多边形ABCDEF是六边形，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（6﹣2）×180°＝720°，∵∠A+∠B+∠C＝∠D+∠E+∠F，∴∠A+∠B+∠C=12×720∵由（1）知，三角形的内角和是180°，∴∠BAC+∠ACB+∠B＝180°，∴∠CAF+∠ACD＝360°﹣180°＝180°，∴AF∥CD．【点评】本题考查的是三角形内角和定理、平行线的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．11．（2023春•江都区期末）如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．（1）若∠B＝64°，∠C＝42°，则∠DAE＝11°；（2）∠B、∠C与∠DAE有何数量关系？证明你的结论；（3）点G是线段CE上任一点（不与C、E重合），作GH⊥CE，交AE的延长线于点H，点F在BA的延长线上．若∠FAC＝α，∠GHE＝β，求∠B、∠C（用含α、β代数式表示）．【答案】（1）11；（2）∠DAE=（3）∠B=β+12【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，在Rt△ADB中求出∠BAD的度数，即可求出∠DAE的度数；（2）根据三角形内角和定理用∠B、∠C表示出∠BAC，再根据角平分线的定义表示出∠BAE，在Rt△ADB中用∠B表示出∠BAD，即可求出∠DAE与∠B、∠C的关系；（3）根据三角形外角的性质得到∠FAC＝∠B+∠C，即∠B+∠C＝α①，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠GHE＝β，根据（2）中的结论得到∠B﹣∠C＝2β②，①与②组成方程组，求解即可．【解析】（1）解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∵∠B＝64°，∠C＝42°，∴∠BAC＝180°﹣64°﹣42°＝74°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=1∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝64°，∴∠BAD＝90°﹣64°＝26°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝37°﹣26°＝11°，故答案为：11；（2）∠DAE=证明：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=1∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD=90°（3）解：∵∠FAC是△ABC的一个外角，∴∠FAC＝∠B+∠C，∵∠FAC＝α，∴∠B+∠C＝α①，∵AD⊥BC，GH⊥CE，∴AD∥GH，∴∠DAE＝∠GHE，∵∠GHE＝β，∴∠DAE＝β，由（2）知∠DAE=∴12即∠B﹣∠C＝2β②，①、②组成方程组得∠B+解得∠B=β+【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定与性质，二元一次方程组的解法，角平分线的定义，垂线的定义等知识点．12．（2023春•榕城区期末）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B的度数是15°；（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．①如图，若AD是∠BAC的平分线，请判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠ABC＝24°，则∠EAC的度数是123°或114°．【答案】（1）15°；（2）①△ABD是“准互余三角形”，理由见解答；②33°或24°．【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是180°，∠C＞90°，∠A＝60°，只能是∠A+2∠B＝90°；（2）①由题意可得∠ADB＞90°，所以只要证明∠B与∠BAD满足2α+β＝90°，即可解答，②由题意可得∠AEB＞90°，所以分两种情况，∠B+2∠BAE＝90°，2∠B+∠BAE＝90°．【解析】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，∴∠A+2∠B＝90°，∴∠B＝15°，故答案为：15°；（2）①△ABD是“准互余三角形”，理由：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC＝2∠BAD，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∴2∠BAD+∠B＝90°，∴△ABD是“准互余三角形”，②∵△ABE是“准互余三角形”∴2∠EAB+∠ABC＝90°或∠EAB+2∠ABC＝90°，∵∠ABC＝24°，∴∠EAB＝42°或∠EAB＝33°，当∠EAB＝42°，∠ABC＝24°时，∠AEB＝114°，∴∠EAC＝90°﹣∠ABC﹣∠BAE＝24°当∠EAB＝33°，∠ABC＝24°时，∠AEB＝123°，∴∠EAC＝90°﹣∠ABC﹣∠BAE＝33°，∴∠EAC＝33°或24°．故答案为：33°或24°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．13．（2023春•曹县期末）如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）在图1中，当∠CDO＝50°时，求∠F的度数；（2）如图2，当C、D两点分别在射线OA、OB上移动时（不与点O重合），其他条件不变，∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，试求出∠F的度数．​【答案】（1）45°；（2）∠F的大小不变化，∠F＝45°．【分析】（1）根据三角形外角的性质得∠ACD＝∠O+∠CDO，∠ECD＝∠F+∠CDF，根据角平分线定义得∠ECD=12∠ACD，∠CDF=12∠CDO，由已知可求∠ACD＝90°+50°＝140°，∠ECD=12∠ACD＝70°，可求∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝（2）根据三角形外角的性质得∠ACD＝∠O+∠CDO，∠ECD＝∠F+∠CDF，根据角平分线定义得∠ECD=12∠ACD，∠CDF=12∠CDO，可推出∠F＝∠ECD﹣∠CDF=12∠ACD-12∠CDO=12（∠O+∠CDO）-12【解析】解：（1）∵∠ACD是△COD的外角，∠ECD是△CDF的外角，∴∠ACD＝∠O+∠CDO，∠ECD＝∠F+∠CDF，∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD=12∠ACD，∠CDF=1∵∠CDO＝50°，∠AOB＝90°，∴∠ACD＝∠O+∠CDO＝90°+50°＝140°，∠ECD=12∠ACD＝∴∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝70°﹣25°＝45°；（2）∠F的大小不变化，∵∠ACD是△COD的外角，∠ECD是△CDF的外角，∴∠ACD＝∠O+∠CDO，∠ECD＝∠F+∠CDF，∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD=12∠ACD，∠CDF=1∴∠F＝∠ECD﹣∠CDF=12∠ACD-12∠CDO=12（∠O+∠CDO）-12即∠F恒等于45°．【点评】本题主要考查了三角形外角定义，角平分线定义，题目体现了由特殊到一般的数学思想．14．（2023春•无为市期末）如图，直线m∥n，Rt△ABC中∠ACB＝90°，Rt△ABC的边AC、AB与直线m相交于D、E两点，边BC、AB与直线n交于F、G两点．（1）将Rt△ABC如图1位置摆放，如果∠ADE＝46°，则∠CFG＝136°；（2）将Rt△ABC如图2位置摆放，H为AC上一点，∠HFG+∠CFG＝180°，请写出∠HFG与∠ADE之间的数量关系，并说明理由；（3）将Rt△ABC如图3位置摆放，若∠EDC＝140°，延长AC交直线n于点K，点P是射线EG上一动点，探究∠PDK，∠DPK与∠PKG的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）．【答案】（1）136°；（2）∠HFG+∠ADE＝90°，理由见解答过程；（3）∠PDK+∠DPK﹣∠PKG＝140°或∠DPK+∠PKG+∠PDK＝140°．【分析】（1）过点C作CH∥m，则CH∥m∥n，可得∠ACH＝∠ADE＝46°，∠HCF+∠CFG＝180°，再由∠ACB＝90°得∠HCF＝44°，据此可得∠CFG的度数；（2）过点C作CQ∥m，则CQ∥m∥n，可得∠ADE＝∠ACQ，∠CFG+∠QCF＝180°，进而得∠QCF＝∠HFG，再由∠ACB＝90°可得∠∠HFG与∠ADE之间的数量关系；（3）由于点P是射线EG上一个动点，因此有以下两种情况：①当点P在线段EG上时，过点P作PM∥m，则PM∥m∥n，进而得∠DPM＝140°﹣∠PDK，∠MPK＝∠PKG，由此可得出∠PDK，∠DPK与∠PKG的数量关系；②当点P在EG的延长线上时，过点P作PN∥m，则PN∥m∥n，进而得∠KPN＝∠PKG，∠PDE＝∠DPN，由此可得出∠PDE＝140°﹣∠PDK，∠DPN＝∠DPK+∠PKG，据此可得出∠PDK，∠DPK与∠PKG的数量关系；【解析】解：（1）过点C作CH∥m，如图：∵m∥n，∴CH∥m∥n，∴∠ACH＝∠ADE＝46°，∠HCF+∠CFG＝180°，∵∠ACB＝90°，∴∠HCF＝90°﹣∠ACH＝90°﹣46°＝44°，∴∠CFG＝180°﹣∠HCF＝180°﹣44°＝136°，故答案为：136°．（2）∠HFG+∠ADE＝90°，理由如下：过点C作CQ∥m，如图：∵m∥n，∴CQ∥m∥n，∴∠ADE＝∠ACQ，∠CFG+∠QCF＝180°，∵∠HFG+∠CFG＝180°，∴∠QCF＝∠HFG，∵∠ACB＝∠ACQ+∠QCF＝90°，∴∠HFG+∠ADE＝90°；（3）∠PDK+∠DPK﹣∠PKG＝140°或∠DPK+∠PKG+∠PDK＝140°．理由如下：∵点P是射线EG上一个动点，∴有以下两种情况：①当点P在线段EG上时，过点P作PM∥m，如图：∵m∥n，∠EDC＝140°，∴PM∥m∥n，∠DPM＝∠EDP＝∠EDC﹣∠PDK＝140°﹣∠PDK，∠MPK＝∠PKG，∴∠DPK＝∠DPM+∠MPK＝140°﹣∠PDK+∠PKG，∴∠PDK+∠DPK﹣∠PKG＝140°；②当点P在EG的延长线上时，过点P作PN∥m，连接PD，如图：∵m∥n，∠EDC＝140°，∴PN∥m∥n，∴∠KPN＝∠PKG，∠PDE＝∠DPN，∵∠PDE＝∠EDC﹣∠PDK＝140°﹣∠PDK，∠DPN＝∠DPK+∠KPN＝∠DPK+∠PKG，∴∠DPK+∠PKG＝140°﹣∠PDK，∴∠DPK+∠PKG+∠PDK＝140°．综上所述：∠PDK+∠DPK﹣∠PKG＝140°或∠DPK+∠PKG+∠PDK＝140°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质，理解两直线平行⇔同位角相等，两直线平行⇔内错角相等，两直线平行⇔同旁内角互补．15．（2023春•枣庄期末）在三角形三个内角中，如果满足其中一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角α称为“主特征角”，内角β称为“次特征角”．（1）已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，判断△ABC是否为“特征三角形”，并说明理由；（2）在△DEF中，∠D＝96°，若△DEF是“特征三角形”，且∠E是“次特征角”，求∠E的度数．【答案】（1）△ABC是“特征三角形”；（2）∠E＝48°或∠E＝28°．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据“特征三角形”的定义进行判断即可；（2）根据“特征三角形”，“主特征角”和“次特征角”的定义进行计算即可．【解析】解：（1）∵在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，由于∠C＝2∠B，∴△ABC是“特征三角形”；（2）在△DEF中，∠D＝96°，∴∠E+∠F＝180°﹣96°＝84°，由于△DEF是“特征三角形”，且∠E是“次特征角”，①当∠D＝2∠E时，即2∠E＝96°，∴∠E＝48°；②当∠F＝2∠E时，即2∠E+∠E＝84°，解得∠E＝28°；综上所述，∠E＝48°或∠E＝28°．【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和是180°，理解“特征三角形”，“主特征角”和“次特征角”的定义是解决问题的关键．16．（2022秋•潍坊期末）通过学习第5章《几何证明初步》知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路．例如：在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，如图2，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角．求证：∠A+∠B+∠C＝180°．证明：延长BC，过点C作CM∥BA．∴∠A＝∠1，∠B＝∠2．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．（1）小明的证明过程依据有哪些？（写两条即可）（2）请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程．【答案】（1）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角的定义．（2）见解答过程．【分析】（1）结合平行线的判定，平角的定义对过程进行分析即可；（2）过点A作直线l∥BC，利用平行线的性质，可得出∠3＝∠B，∠4＝∠C，结合平角等于180°，即可证出∠BAC+∠B+∠C＝180°．【解析】（1）解：依据是：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角的定义．（2）证明：如图所示，过点A作直线l∥BC，∴∠3＝∠B，∠4＝∠C．∵∠BAC+∠3+∠4＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．17．（2023春•镇平县期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系．（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：∠B（单位：度）1030302020∠C（单位：度）7070606080∠EAD（单位：度）30a152030上表中a＝20，于是得到∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系为∠EAD=12（∠C﹣∠B（2）小明继续探究，如图2，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图3，过EA的延长线上一点F作FD⊥BC交CB的延长线于点D，当∠ABC＝85°，∠C＝23°时，∠F度数为31°．【答案】（1）20，理由见解答过程；∠EAD=12（∠C﹣∠（2）∠EPD=12（∠C﹣∠（3）31．【分析】（1）先求出∠BAC＝80°，根据角平分线的定义得∠BAE＝∠CAE＝40°，然后根据AD⊥BC，∠C＝70°得∠CAD＝20°，据此可求出∠EDC的度数，进而可得a的值；由AD⊥BC得∠CAD＝90°﹣∠C，再由角平分线的定义得∠CAE=12∠BAC＝90°-12（∠B+∠C），然后∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD可得出∠B、∠（2）过点A作AF⊥BC于F，由（1）可知∠EAF=12（∠C﹣∠B），再根据PD⊥BC，AF⊥BC得PD∥AF，然后由平行线的性质得∠EPD＝∠EAF，据此可得∠B、∠C、∠（3）过点B作BG⊥BC交EF于点G可得FD∥BG，进而得∠F＝∠AGB，根据∠ABC＝85°，∠C＝23°求出∠BAC＝72°，再由角平分线的定义得∠BAE＝36°，然后再求出∠ABG＝5°，进而由三角形外角定理得∠AGB＝∠BAE﹣∠ABG＝31°，据此即可得出∠F的度数．【解析】解：（1）a＝20，理由如下：∵∠B＝30°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣70°＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE=12∠BAC＝∵AD⊥BC，∠C＝70°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∴∠EDC＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣20°＝20°；即：a＝20．∠B、∠C、∠EAD之间的关系是：∠EAD=12（∠C﹣∠理由如下：∵AD⊥BC，∴∠CAD＝90°﹣∠C，∵∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C），AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=12[180°﹣（∠B+∠C）]＝90°-12∵∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD，∴∠EAD＝90°-12（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C=12（∠故答案为：20，∠EAD=12（∠C﹣∠（2）∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系是：∠EPD=12（∠C﹣∠理由如下：过点A作AF⊥BC于F，如图：由（1）可知：∠EAF=12（∠C﹣∠∵PD⊥BC，AF⊥BC，∴∠EPD＝∠EAF=12（∠C﹣∠（3）过点B作BG⊥BC交EF于点G，如图：∵FD⊥BC，∴FD∥BG，∴∠F＝∠AGB，∵∠ABC＝85°，∠C＝23°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣85°﹣23°＝72°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC＝∵GB⊥BC，∴∠ABG＝90°﹣∠ABC＝90°﹣85°＝5°，∵∠BAE＝∠AGB+∠ABG，∴∠AGB＝∠BAE﹣∠ABG＝36°﹣5°＝31°，∴∠F＝∠AGB＝31°．故答案为：31．【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，垂直的定义，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解答此题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角定理，理解垂直于同一条直线的两条直线平行；难点是正确的作出辅助线构造平行线．18．（2023春•太平区期末）如图1，已知等腰△ABC中，∠A＝∠C＝30°，动点D在AB的平行线l上，联结AD．（1）如图2，若∠B＝∠ADC，说明AD∥BC的理由；（2）如图3，当∠CDA＝∠DAB时，△ACD是什么三角形？为什么？（3）过点A作l的垂线，垂足为H，若∠ADH＝60°，求∠DAC的度数．【答案】（1）见解析；（2）△ACD是直角三角形，理由见解析；（3）∠DAC＝90°或30°．【分析】（1）由平行线的性质得∠B+∠BCD＝180°，再等量代换得∠ADC+∠BCD＝180°，进而根据平行线的判定得结论；（2）由平行线的性质得∠CDA+∠DAB＝180°，再由∠CDA＝∠DAB得∠CDA＝90°，进而判断三角形的形状；（3）分两种情况：①当点D在点H的左边时，根据三角形的内角和定理求得结果；②当点D在点H的右边时，根据三角形的外角性质求得结果．【解析】（1）证明：∵CD∥AB，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC；（2）解：△ACD是直角三角形．理由：∵CD∥AB，∴∠CDA+∠DAB＝180°，∵∠CDA＝∠DAB，∴∠CDA＝90°，∴△ACD是直角三角形；（3）解：当点D在点H的左边时，如图，∵CD∥AB，∠BAC＝30°，∴，∠ACH＝∠A＝30°，∵∠ADH＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°；当点D在点H右边时，如图，∵∠ADH＝60°，∠ACH＝30°，∴∠DAC＝∠ADH﹣∠ACH＝30°．综上，∠DAC＝90°或30°．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，分类讨论的思想方法，灵活应用这些知识解题是关键．19．（2023春•青秀区校级期末）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的3倍，则这样的三角形称之为“美好三角形”．如：三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“美好三角形”．如图，∠AOB＝40°，点C在边OA上，过点C作EC⊥OA交OB于点E，以C为端点作射线CD，交线段OE于点F（点F不与O，E重合）．【概念理解】（1）∠CEO的度数为50°，△OCE不是（填“是”或“不是”）“美好三角形”．【应用拓展】（2）若∠CFE＝75°，试说明：△OCF是“美好三角形”．【答案】（1）50°，不是；（2）理由见解析．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠CEO的度数，再根据“美好三角形”的定义判断△OCE是否是“美好三角形”即可；（2）求出△OCF的每个内角的度数，根据“美好三角形”的定义判断即可．【解析】解：（1）∵EC⊥OA，∴∠ECO＝90°，∵∠AOB＝40°，∴∠CEO＝90°﹣∠AOB＝90°﹣40°＝50°，在△OCE中，∠ECO＝90°，∠COE＝40°，∠CEO＝50°，不符合“美好三角形”的定义，∴△OCE不是“美好三角形”，故答案为：50°，不是；（2）∵∠CFE＝75°，∴∠CFO＝180°﹣∠CFE＝180°﹣75°＝105°，∵∠AOB＝40°，∴∠OCF＝180°﹣∠AOB﹣∠CFO＝180°﹣40°﹣105°＝35°，∴∠CFO＝3∠OCF，∴△OCF是“美好三角形”．【点评】本题考查三角形内角和定理，“美好三角形”的定义，理解“美好三角形”的定义是解题的关键．20．（2023春•栾城区校级期末）在△ABC中，点D在线段AC上，DE∥BC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．（1）如图1，点F在线段BE上．①直接写出∠EDF与∠BGF的数量关系；②求证：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）当点F在线段AE上时，请在备用图中补全图形，并直接写出∠EDF与∠BGF的数量关系．【答案】（1）①∠EDF+∠BGF＝90°；②见解析；（2）图见解析，当点G在线段CB上时，∠BGF﹣∠EDF＝90°；当点G在线段CB的延长线上时，∠EDF+∠BGF＝90°．【分析】（1）①结论：∠EDF+∠BGF＝90°．如图1中，过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质求解即可．②过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质求解即可．（2）作出图形，利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可．【解析】解：（1）①结论：∠EDF+∠BGF＝90°．理由：如图1中，过点F作FH∥BC交AC于点H．∵DE∥BC，∴DE∥FH，∴∠EDF＝∠1，∵FH∥BC，∴∠BGF＝∠2．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∴∠EDF+∠BGF＝90°．②证明：过点F作FH∥BC交AC于点H．如图2，∴∠ABC＝∠AFH，∴∠ABC＝∠1+∠3，∴∠3＝∠ABC﹣∠1，∵∠EDF＝∠1，∴∠3＝∠ABC﹣∠EDF，∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°，∴∠BFG+∠3＝90°，∴∠3＝90°﹣∠BFG，∴90°﹣∠BFG＝∠ABC﹣∠EDF，∴∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）解：结论：∠BGF﹣∠EDF＝90°．理由：设DE交FG于J．如图3，∵DE∥BC，∴∠BGF＝∠FJE，∵∠FJE＝∠DFJ+∠EDF，∠DEJ＝90°，∴∠BGF﹣∠EDF＝90°．当点G在CB的延长线上时，同法可证∠EDF+∠BGF＝90°，如图4，【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．21．（2023春•邗江区期中）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．​（1）如图1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝130°°（2）如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC的数量关系．（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度数．【答案】（1）130°；（2）∠Q+∠BPC＝180°；（3）∠A＝36°．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°-12∠A，求出∠E=12∠A，由∠Q＝4∠E，得出2∠A＝90°【解析】解：（1）∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣8°＝100°，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴∠PBC=12∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°故答案为：130°；（2）∵外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，∴∠QBC=12∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°-12（∠MBC+∠NCB）＝180°-12（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）=12（∠ABC+∠ACB）=12（∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°-12（180°﹣∠A）＝∴∠Q+∠BPC＝180°；（3）如图，延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E=12∠∵∠Q＝4∠E，∴∠Q＝2∠A，∵∠Q＝90°-12∠∴2∠A＝90°-12∠∴∠A＝36°．【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．22．（2023春•洪洞县期末）在△ABC中，AD⊥BC于点D．特例研究：（1）如图1，若∠BAC的平分线AE能交BC于点E，∠B＝35°，∠EAD＝5°，求∠C的度数；操作发现：如图2，点M，N分别在线段AB，AC，将△ABC折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为DM和DN，点G，F都在射线DA上；（2）若∠B+∠C＝60°，试猜想∠AMF与∠ANG之间的数量关系，并说明理由；（3）将△DFM绕点D逆时针旋转，旋转角记为α（0°＜α＜360°）．记旋转中的△DMF为△DM1F1，在旋转过程中，点M，F的对应点分别为M1，F1，直线M1F1，与直线BC交于点Q，与直线AB交于点P．若∠B＝35°，∠PQB＝90°，请直接写出旋转角α的度数．【答案】（1）25°；（2）结论：∠AMF+∠ANG＝60°，理由见解析；（3）旋转角的度数为35°或215°．【分析】（1）利用三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解决问题；（2）结论：∠AMF+∠ANG＝60°．由翻折可知∠B＝∠AFM，∠C＝∠G，由∠B+∠C＝60°得出∠BAC＝120°，再根据三角形外角的性质可得出∠BAC＝∠AMF+∠ANG+∠B+∠C，从而得出结论；（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．又∵∠B＝35°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝55°．∵∠EAD＝5°，∴∠BAE＝55°+5°＝60°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝60°，∴∠C＝180°﹣90°﹣60°﹣5°＝25°．（2）结论：∠AMF+∠ANG＝60°．理由：由折叠可知：∠B＝∠AFM，∠C＝∠G，∵∠B+∠C＝60°，∴∠BAC＝120°，∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠AMF+∠AFM+∠ANG+∠G，∴∠BAC＝∠AMF+∠ANG+∠B+∠C，即120°＝∠AMF+∠ANG+60°，∴∠AMF+∠ANG＝60°．（3）旋转角的度数为35°或215°．①当0°＜α≤90°时，∵∠PQB＝90°，∴∠F1QD＝180°﹣90°＝90°，∵将△ABC折叠，点B落在点F处，折痕为DM，将△DMF绕点D逆时针旋转一个角度α，∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，∴∠F1DQ＝180°﹣∠F1QD﹣∠DF1M1＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∴∠FDF1＝∠ADB﹣∠F1DQ＝90°﹣55°＝35°，∴α＝35°；②当90°＜α≤360°时，∵∠PQB＝90°，∴∠F1QD＝180°﹣90°＝90°，∵将△ABC折叠，点B落在点F处，折痕为DM，将△DMF绕点D逆时针旋转一个角度α，∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，∴∠F1DQ＝180°﹣∠F1QD﹣∠DF1M1＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∴∠FDF1＝∠ADC+∠F1DQ＝90°+55°＝145°，∴α＝360°﹣145°＝215°；∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，∴∠PQB＝∠BPQ﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，∵∠PQB＝∠DF1M1+∠F1DB，∴∠F1DB＝∠PQB﹣∠DF1M1＝55°﹣35°＝20°，∴∠FDF1＝∠ADB﹣∠F1DB＝90°﹣20°＝70°，∴α＝70°．综上所述，旋转角a的度数为35°或215°．【点评】本题考查三角形综合题，旋转变换，翻折变换，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．23．（2023春•东方校级期末）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．​（1）如图1，如果∠A＝70°，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BPC的度数；（2）如图1，如果∠A＝α，用含α的代数式表示∠BPC；（3）探索：如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试写出∠Q、∠A之间的数量关系；（4）拓展：如图3，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．【答案】（1）125°；（2）∠BPC=90°（3）∠Q=90°（4）45°或60°或120°或135°．【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出∠PBC和∠BCP，再利用三角形内角和定理进行计算；（2）根据已知条件和角平分线的性质，把∠PBC和∠BCP用∠ABC和∠ACB表示出来，再利用∠A表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可；（3）根据已知条件和角平分线的性质，求出∠CBQ和∠BCQ，再利用三角形内角和定理进行计算；（4）根据已知条件求出∠EBQ的度数，然后由（3）求出的∠Q，利用三角形内角和求出∠E，再分4种情况讨论，求出∠A的度数．【解析】解：（1）∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠PBC=12∠ABC＝25°，∠BCP=12∠∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝125°；（2））∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠BCP=1∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝180°-＝180°-=180°=90°（3）∵BQ，CQ分别是∠CBM，∠BCN的角平分线，∴∠CBQ=12∠CBM，∠BCQ=∵∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∴∠CBQ=12∠A+12∠ACB，∠BCQ=∵∠CBQ+∠BCQ+∠Q＝180°，∴12∠A+12∠A+∠A+∴∠Q=90°（3）∵BP是∠ABC的角平分线，BQ是∠CBM的角平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠CBQ∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠PBC+∠CBQ=1∴∠QBE＝∠PBC+∠CBQ＝90°，由（3）知∠Q=90°∴∠E+∠Q＝90°，∴∠E=1∵在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，∠QBE＝90°，∴∠Q，∠E都是锐角，∴分四种情况讨论：①∠Q＝3∠E，∴90°2∠A＝90°，∴∠A＝45°；②∠QBE＝3∠E，∴3×∴∠A＝60°；③∠BQE＝3∠Q，∴3(90°270﹣1.5∠A＝90°，∴∠A＝120°，④∠E＝3∠Q，12解之得：∠A＝135°，综上可知：∠A的度数为45°或60°或120°或135°．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握内角和定理和外角性质，能够识别图形，找出角与角的关系．24．（2023春•商水县期末）【基本模型】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，试说明∠P=12∠【变式应用】（2）如图2，∠MON＝90°，A，B分别是射线ON，OM上的两个动点，∠ABO与∠BAN的平分线的交点为P，则点A，B的运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【拓展应用】（3）如图3，∠MON＝90°，作∠MON的平分线OD，A是射线OD上的一定点，B是直线OM上的任意一点（不与点O重合），连接AB，设∠ABO的平分线与∠BAO的邻补角的平分线的交点为P，请直接写出∠P的度数．【答案】（1）说明见解析；（2）∠P的大小不变，仍为45°，理由见解析；（3）22.5°或67.5°．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出∠P和∠A，再根据角平分线的定义∠ACD＝2∠1，∠ABC＝2∠2，最后由∠A＝∠ACD﹣∠ABC进行等量代换即可；（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出∠P和∠O，再根据角平分线的定义∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，最后由∠O＝∠NAB﹣∠ABO进行等量代换即可；（3）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出∠P和∠AOB，再根据角平分线的定义∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，最后由∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO进行等量代换即可；【解析】解：（1）如图1所示：∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∴∠ACP=12∠ACD，∠2=∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠ACP=1∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠2+∠P+∠ACB+∠ACP＝180°，∴12∠ABC+∠180°∴∠P=（2）∠P的大小不变，理由如下：如图2所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠O＝∠NAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，CA平分∠NAB，∴∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴∠P=（3）∠P＝22.5°或67.5°，分两种情况：①如图3所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，CA平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴∠P=②如图4所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，AC平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴∠P=【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是能够正确的识别图形，找出角与角之间的相互关系．25．（2023春•金华期末）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是180°”，进行了一系列探究，过程如下：【论证】如图1，延长BA至D，过点A作AE∥BC，就可以说明∠BAC+∠B+∠C＝180°成立，即：三角形的内角和为180°，请完成上述说理过程．【应用】如图2，在△ABC中，∠BAC的平分线与∠ACB的角平分线交于点P，过点A作AE∥BC，M在射线AE上，且∠ACM＝∠AMC，MC的延长线与AP的延长线交于点D．①求∠DCP的度数；②设∠B＝α，请用α的代数式表示∠D．【拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，过点A作EF∥BC，直线MN与EF相交于A点右侧的点P，∠APN＝75°．△ABC绕点A以每秒12°的速度顺时针方向旋转，同时MN绕点P以每秒5°的速度顺时针方向旋转，与EF重合时MN再绕着点P以原速度逆时针方向旋转，当△ABC旋转一周时，运动全部停止，设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得MN与△ABC的一边平行？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【答案】论证：见解析；应用：①∠DCP＝90°；②∠α＝2∠D；拓展：t的值为15秒或43517【分析】论证：利用平行线的性质以及平角的性质即可证明；应用：①利用平行线的性质以及角平分线的定义求得∠MAC＝2∠2，再推出∠2+∠ACM＝90°，再利用平角的性质即可求解；②在△ABC中，∠ABC+2∠2+2∠3＝180°，由三角形的外角性质推出∠4＝∠2+∠3，结合①的结论得到∠2+∠3＝90°，据此计算即可求解．拓展：当△ABC旋转一周时，运动全部停止，求得总时间为30秒，MN与EF重合时间为15秒，分在前15秒内和后15秒内，两种情况讨论，根据MN与BC平行的次数，求解即可．【解析】论证：证明：延长BA至D，过点A作AE∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠CAE＝∠C，∵∠BAC+∠CAE+∠DAE＝180°，∴∠BAC+∠C+∠B＝180°，即三角形的内角和为180°．应用：解：①如图，∵AE∥BC，∴∠MAC＝∠ACB，∵CP是∠ACB的角平分线，∴∠2=∴∠MAC＝2∠2，又2∠2+∠ACM+∠1＝180°，∠ACM＝∠1，∴2∠2+2∠ACM＝180°，∴∠2+∠ACM＝90°，∴∠PCD＝180°﹣（∠2+∠ACM）＝180°﹣90°＝90°；②∵AP是∠BAC的角平分线，∴∠3=在△ABC中，∠B+2∠2+2∠3＝180°，∵∠4＝∠2+∠3，∠PCD＝90°，∴∠4＝90°﹣∠D，即∠2+∠3＝90°﹣∠D，∴∠B+2∠2+2∠3＝∠B+2（90°﹣∠D）＝180°，∴∠B+180°﹣2∠D＝180°，∴∠B＝2∠D，∵∠B＝α，∴∠α＝2∠D，拓展：∵当△ABC旋转一周运动停止，∴总时间t＝360÷12＝30（秒），∵MN与EF重合时MN再以原速返回，∴重合时间为t1＝75÷5＝15秒，此时∠EPN＝0°，延长CB交EF于点Q，∵在前15秒内，∠EQC由180°逐渐减少，∠EPN由75°逐渐减少至0°，又∵当t＝15秒时，△ABC旋转至15×12°＝180°，此时EF∥BC，而∠EPN由75°逐渐减少至0°，在前15秒内，MN与BC仅一次平行，即MN与EF重合时，些时t＝15（秒）．同理，后15秒，∠EQC由0°逐渐增至180°，∠EPN由0°逐渐增至75°，MN与BC仅可能一次平行，有∠EQC＝12t2＝180﹣5t2，解得t2t=15+180综上，t的值为15秒或43517【点评】本题属于三角形综合题，考查的是三角形内角和定理，掌握平行线的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．26．（2023春•云浮期末）如图1，在直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝30°，现将△ABC绕点A顺时针旋转α角度得到△ADE．（1）若α＝28°时，则∠DAC＝62°；若0°＜α＜90°时，α与∠CAE的关系是α＝∠CAE；（2）∠DAC与∠BAE有怎样的关系？请说明理由；（3）在旋转过程中，若0°＜α＜180°时，△ADE与△ABC这两个三角形是否存在一组边互相平行？若存在，请求出α的所有可能取值．【答案】（1）62；α＝∠CAE；（2）∠DAC+∠BAE＝180°，见解析；（3）存在，60°或30°或120°或150°．【分析】（1）直接利用角的和差关系可得答案，再根据旋转的性质可得α＝∠CAE；（2）证明∠DAC＝∠EAP，结合∠EAP+∠BAE＝180°，可得∠DAC+∠BAE＝180°（3）分情况讨论：①如图，当AE∥BC时，②如图，当DE∥AB时，③如图，当AD∥BC时，④如图，当AC∥DE时，再利用数形结合的方法解答即可．【解析】解：（1）∵∠BAD＝α＝28°，∠BAC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣28°＝62°；当0°＜α＜90°，由旋转的性质可得：α＝∠CAE；（2）∠DAC与∠BAE的关系是：∠DAC+∠BAE＝180°，理由如下：∵∠CAE+∠DAC＝90°，∠CAE+∠EAP＝90°，∴∠DAC＝∠EAP，∵∠EAP+∠BAE＝180°，∴∠DAC+∠BAE＝180°；（3）“△ADE与△ABC这两个三角形存在一组边互相平行”∵∠C＝30°，∴∠E＝30°，∠ABC＝∠D＝90°﹣30°＝60°，①如图，当AE∥BC时，∴∠EAC＝∠C＝30°，∴α＝∠EAC＝30°；②如图，当DE∥AB时，∴α＝∠D＝60°，③如图，当AD∥BC时，∴∠CAD＝∠C＝30°，∴α＝90°+30°＝120°．④如图，当AC∥DE时，∴∠CAD＝∠D＝60°，∴α＝90°+∠CAD＝150°；综上：△ADE与△ABC这两个三角形的一组边互相平行时，α为60°或30°或120°或150°．【点评】本题考查的是旋转的性质，平行线的性质，邻补角的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键．27．（2023春•荣成市期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝100°，∠3＝90°；（2）图2中，当被b反射出的光线n与光线m平行时，不论∠1如何变化，∠2与∠1总具有一定的数量关系，请猜想∠2和∠1的数量关系，并说明理由；（3）图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角∠3的度数；（4）如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，求出此时∠O的度数？（友情提示：三角形内角和等于180°）​【答案】（1）100°，90°；（2）∠2＝2∠1；（3）90°；（4）45°．【分析】利用题目所给的平面镜反射光线的规律，再结合三角形的内角和定理以及两直线平行，同旁内角互补可解决问题．【解析】解：（1）由题知，∠1＝∠4，则∠6＝180°﹣2∠1＝80°．又m∥n，所以∠6+∠2＝180°，则∠2＝100°．又∠5＝∠7，则∠5=12（180°﹣100°）＝由三角形的内角和可知，∠3＝180°﹣（∠4+∠5）＝90°．故答案为：100°，90°．（2）∠2＝2∠1．由题知，因为m∥n，所以∠6+∠2＝180°．又∠6＝180°﹣2∠1，则180°﹣2∠1+∠2＝180°，即∠2＝2∠1．故∠2和∠1的数量关系为：∠2＝2∠1．（3）由题知，因为m∥n，所以∠6+∠2＝180°．又∠6＝180°﹣2∠4，∠2＝180°﹣2∠5，所以180°﹣2∠4+180°﹣2∠5＝180°，即∠4+∠5＝90°．由三角形的内角和得，∠3＝180°﹣90°＝90°．故∠3的度数为90°．（4）由题知，∠1＝90°-12∠3，∠2＝90°-1又∠3+∠4＝90°，所以∠1+∠2＝180°-12（∠3+∠4）＝所以∠O＝180°﹣135°＝45°．故∠O的度数为45°．【点评】本题考查三角形的内角和平行线的性质，熟练的运动题中所给的“平面镜反射光线规律”是解题的关键．28．（2023春•乐山期末）（1）如图1，△ABC中，延长AB到M，BP平分∠MBC，延长AC到N，CP平分∠NCB，PB交PC于点P，若∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠BPC＝θ，求证：α=α+β（2）如图2，△ABC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长AB到M，PB平分∠MBC，PF平分∠EFC，BP交PF于点P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，求证：θ=α+β（3）如图3，△ABC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长EF到G，PB平分∠ABC，PF平分∠AFG，BP交PF于点P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，探究并直接写出α，β，θ之间的等量关系．【答案】（1）（2）证明见解析；（3）θ+α+β【分析】（1）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出∠CBP+∠BCP，∠A，再次利用三角形的内角和定理进行解答；（2）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出∠CBP，∠CFP，∠BOP，再次利用三角形的内角和定理进行解答；（3）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出∠OFP，∠CBO，∠POF，再次利用三角形的内角和定理进行解答；【解析】（1）证明：∵BP平分∠MBC，CP平分∠BCN，∴∠CBP=12∠MBC=12(∠A+β)=12∴∠CBP+∵∠A+α+β＝180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵∠CBP+∠BCP+∠P＝180°，∴∠A+180°∴θ=α+β（2）证明：如图所示：∵BP平分∠MBC，FP平分∠EFC，∴∠CBP=12∠MBC∠CFP=12∠EFC∵∠OFC+∠FOC+∠ACB＝180°，∠BOP＝∠FOC，∴∠BOP＝180°﹣β﹣∠OFC＝180°﹣β-1∵∠CBP+∠P+∠BOP＝180°，∴12∴θ=α+β（3）解：如图所示：∵BP平分∠ABC，PF平分∠AFG，∴∠OFP=12∠AFG∠CBO=1∵∠POF＝∠CBO+∠ACB=90°∵∠POF+∠OFP+∠P＝180°，∴90°∴θ+α+β【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是能够正确的识别图形，找出角与角之间的数量关系．29．（2022秋•太平区校级期末）【基本模型】：如图1，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点O，请你写出∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由．【变式应用】：如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线．（1）若∠POM＝80°，在点A、B运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（2）若AP∥DE，BM∥CE，直接写出∠POM度数．【答案】（1）∠BOC＝90°-12∠A，理由见解析；（2）①∠DEC的度数不变，为65°，理由见解析；②∠POM＝【分析】（1）由三角形的外角性质求得∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，得到∠MBC+∠BCN＝∠A+180°，然后利用BO、CO分别平分∠MBC、∠NCB得到∠OBC+∠OCB=12（180°+∠A），然后得到∠BO