辽宁省沈阳市浑南区重点学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题(含答案)

绝密★启用前2023-2024学年浑南区重点学校高二(上)第二次月考数学学科满分：150分考试时间：120分钟一．选择题（共8小题）1．当圆C：x2+y2+6y﹣3＝0的圆心到直线l：mx+y+m﹣1＝0的距离最大时，m＝（）A． B．4 C． D．﹣42．已知直线l1：kx﹣y+3k+5＝0恒过点A，已知B（2，8），动点P在直线l2：x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（）A． B． C． D．3．如图，把椭圆绕短轴旋转形成的几何体称为“扁椭球”，其中a称为扁椭球长半径，b称为扁椭球短半径，称为扁椭球的“扁率”．假设一扁椭球的短半径为，且一棱长为1的正方体内接于扁椭球（即正方体的8个顶点都在扁椭球球面上），则此扁椭球的扁率为（）A． B． C． D．4．已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点P（2，1）且斜率为﹣1的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（）A．6 B． C． D．5．设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M（4，0）的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝（）A． B． C． D．6．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于AB两点，P为AB的中点，4|F1P|＝|AB|，tan∠APF1＝，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．7．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．在翻折过程中，直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值最大为（）A． B． C． D．8．如图，F1，F2为双曲线的左右焦点，过F2的直线交双曲线于B，D两点，且，E为线段DF1的中点，若对于线段DF1上的任意点P，都有成立，则双曲线的离心率是（）A． B． C．2 D．二．多选题（共4小题）（多选）9．若直线L的一个方向向量，且L经过点（1，﹣2），则下列结论正确的是（）A．直线L的倾斜角为150° B．直线L在x轴上的截距为﹣2 C．直线L与直线垂直 D．直线L上不存在与原点距离等于0.1的点（多选）10．下列命题中正确的是（）A．双曲线x2﹣y2＝1与直线x+y﹣2＝0有且只有一个公共点 B．平面内满足||PA|﹣|PB||＝2a（a＞0）的动点P的轨迹为双曲线 C．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4 D．已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为（多选）11．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，定点M（a，4）和动点A，B都在抛物线C上，且△MOF（其中O为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（）A．抛物线的标准方程为y2＝8x B．设点R是线段AF的中点，则点R的轨迹方程为 C．若（点A在第一象限），则直线AB的倾斜角为 D．若弦AB的中点N的横坐标2，则|AB|弦长的最大值为7（多选）12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是C右支上一点，下列结论正确的有（）A．若C的离心率为，则过点M（2，3）且与C的渐近线相同的双曲线的方程是 B．若点，则|AP|+|PF2|的最小值为 C．过F1作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q到直线的距离的最大值为3a D．若直线PF2与其中一条渐近线平行，与另一条渐近线交于点M，且，则C的离心率为三．填空题（共4小题）13．已知双曲线，O为坐标原点，F1，F2为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得F2P的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是．14．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1，从坐标原点O向圆C作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若∠POQ＝，则|a﹣b+3|的取值范围是．15．已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则|PF|+|PA|的最大值为；的最小值为．16．如图抛物线Γ1的顶点为A，焦点为F，准线为l1，焦准距为4；抛物线Γ2的顶点为B，焦点也为F，准线为l2，焦准距为6．Γ1和Γ2交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是①|AB|＝5；②四边形MNST的面积为；③；④|CD|的取值范围为．四．解答题（共6小题）17．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4）、B（﹣2，﹣1）、C（2，3）．（1）求边BC的中垂线所在的直线方程和平行四边形ABCD的顶点D的坐标；（2）求△BCD的面积．18．某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东45°方向米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：（1）在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？（2）求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度．19．已知圆C与圆（x+4）2+（y﹣3）2＝2关于直线8x﹣6y+25＝0对称．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）直线y＝kx+m与圆C交于A，B两点，O为坐标原点．设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，当k1k2＝3时，求k的取值范围．20．如图，平面五边形ABCDE中，△ADE是边长为2的等边三角形，CD∥AE，CD＝AE，，将△ADE沿AD翻折，使点E翻折到点P．（Ⅰ）证明：PC⊥BC；（Ⅱ）若PC＝3，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．21．已知抛物线H：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，O为坐标原点，cos∠OFM＝﹣．（1）求抛物线H的方程；（2）若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线x＝﹣1上的动点．①求证：∠ACB≤．②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由．22．已知椭圆C：的右顶点为，过左焦点F的直线x＝ty﹣1（t≠0）交椭圆于M，N两点，交y轴于P点，，，记△OMN，△OMF2，△ONF2（F2为C的右焦点）的面积分别为S1，S2，S3．（1）证明：λ+μ为定值；（2）若S1＝mS2+μS3，﹣4≤λ≤﹣2，求m的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．当圆C：x2+y2+6y﹣3＝0的圆心到直线l：mx+y+m﹣1＝0的距离最大时，m＝（）A． B．4 C． D．﹣4【分析】求出直线所过定点A（﹣1，1），根据CA与直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，kAC•kl＝﹣1，求解即可．【解答】解：因为圆C：x2+y2+6y﹣3＝0的圆心为C（0，﹣3），半径，又直线l：mx+y+m﹣1＝0，化为l：m（x+1）+y﹣1＝0，则直线l过定点A（﹣1，1），故当CA与直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，此时有kAC•kl＝﹣1⇒﹣4•（﹣m）＝﹣1，解得．故选：C．2．已知直线l1：kx﹣y+3k+5＝0恒过点A，已知B（2，8），动点P在直线l2：x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（）A． B． C． D．【分析】根据直线的点斜式方程判断直线所过的定点，再结合点关于线对称的性质进行求解即可．【解答】解：由kx﹣y+3k+5＝0化简得y﹣5＝k（x+3），所以A（﹣3，5），如下图所示：由图形可知，点A、B在直线x﹣y+1＝0的同侧，且直线x﹣y+1＝0的斜率为1，设点B关于直线x﹣y+1＝0的对称点为点B′（a，b），则，解得a＝7，b＝3，即点B′（7，3），由对称性可知．故选：D．3．如图，把椭圆绕短轴旋转形成的几何体称为“扁椭球”，其中a称为扁椭球长半径，b称为扁椭球短半径，称为扁椭球的“扁率”．假设一扁椭球的短半径为，且一棱长为1的正方体内接于扁椭球（即正方体的8个顶点都在扁椭球球面上），则此扁椭球的扁率为（）A． B． C． D．【分析】根据正方体与“扁椭球”的对称性，可得正方体的对角面的顶点在椭圆上，又易知正方体的对角面的矩形的长为，宽为1，从而都可得P（，）在椭圆上，从而建立方程即可求解．【解答】解：由题意可知正方体的对角面的顶点在椭圆上，如图所示，又易知正方体的对角面的矩形的长为，宽为1，∴在直角坐标系中，可得矩形的一个顶点P为（，），又P在椭圆椭圆上，且b＝，∴，∴a＝1，∴扁椭球的“扁率”e＝＝．故选：B．4．已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点P（2，1）且斜率为﹣1的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（）A．6 B． C． D．【分析】利用椭圆的方程和性质及直线与椭圆位置关系即可解决．【解答】解：由过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，可得椭圆过点，代入方程得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式作差得：，因为P恰好是AB的中点，所以x1+x2＝4，y1+y2＝2，又因为直线AB斜率为﹣1，所以，将它们代入上式得a2＝2b2，则联立方程解得．所以椭圆C上一点M到F的距离的最大值为．故选：D．5．设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M（4，0）的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝（）A． B． C． D．【分析】利用三角形面积公式，可把△BCF与△ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助|BF|＝4求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得答案．【解答】解：∵抛物线方程为y2＝8x，∴焦点F的坐标为（2，0），准线方程为x＝﹣2，如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则|BF|＝x2+2＝3，∴x2＝1，把x2＝1代入抛物线y2＝8x，得，y2＝﹣2，∴直线AB过点M（4，0）与（1，﹣2），方程为2x﹣3y﹣8＝0，代入抛物线方程，解得，x1＝16，∴|AE|＝16+2＝18，∵在△AEC中，BN∥AE，∴＝＝＝＝．故选：C．6．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于AB两点，P为AB的中点，4|F1P|＝|AB|，tan∠APF1＝，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【分析】设|AB|＝2m，则|AP|＝|PB|＝m，由已知可得cos∠APF1＝，由余弦定理可求得|F1P|＝m，进而可得|AF1|2+|AP|2＝|PF1|2，可得|F1F2|＝，可求椭圆的离心率．【解答】解：设|AB|＝2m，则|AP|＝|PB|＝m，∵tan∠APF1＝，可得cos∠APF1＝，在△AF1P中，|AF1|2＝|PF1|2+|AP|2﹣2|PF1|•|AP|cos∠APF1，∵4|F1P|＝|AB|，∴|F1P|＝m，∴|AF1|2＝m2+m2﹣2×m•m•＝m2，∴|AF1|＝m，∴|AF1|2+|AP|2＝|PF1|2，∴AF1⊥AB，∴|F1B|＝＝＝m，∴|AF1|+|AB|+|F1B|＝m+2m+m＝6m＝4a，∴m＝a，|AF1|＝m＝a，|AF2|＝2a﹣a＝a，∴|F1F2|＝＝＝a，∴2c＝a，∴e＝＝．故选：B．7．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．在翻折过程中，直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值最大为（）A． B． C． D．【分析】取DE，DC的中点O，F，点A的轨迹是以AF为直径的圆，以OA，OE为x，y轴，过O与平面AOE垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法可求线面角的最大值．【解答】解：分别取DE，DC的中点O，F，点A的轨迹是以AF为直径的圆，以OA，OE为x，y轴，过O与平面AOE垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C（﹣2，1，0），平面ABCD的其中一个法向量为＝（0，0，1），由A1O＝1，设A1（cosα，0，sinα），α∈[0，2π），则＝（cosα+2，﹣1，sinα），记直线A1C与平面ABCD所成角为θ，则sinθ＝＝＝，令t＝cosα+∈[，]，sinθ＝≤＝，所以直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值最大为．故选：B．8．如图，F1，F2为双曲线的左右焦点，过F2的直线交双曲线于B，D两点，且，E为线段DF1的中点，若对于线段DF1上的任意点P，都有成立，则双曲线的离心率是（）A． B． C．2 D．【分析】画出图形，取F1B中点Q，连接DQ，PQ，EQ，推出恒成立，设|BF2|＝m，由得：|BD|＝2m，结合双曲线定义以及勾股定理，推出离心率即可．【解答】解：取F1B中点Q，连接DQ，PQ，EQ，∵＝＝＝，＝＝＝，∵对于线段DF1上的任意点P，都有成立，∴，则，∴恒成立，∴EQ⊥DF1，又EQ∥BD，∴BD⊥DF1，设|BF2|＝m，由得：|BD|＝2m，根据双曲线定义可知：|DF1|＝|DF2|﹣2a＝3m﹣2a，|BF1|＝|BF2|+2a＝m+2a，∵，即4m2+（3m﹣2a）2＝（m+2a）2，∴，∴|DF1|＝2a，|DF2|＝4a，又，∴20a2＝4c2，∴，则离心率e＝．故选：D．二．多选题（共4小题）（多选）9．若直线L的一个方向向量，且L经过点（1，﹣2），则下列结论正确的是（）A．直线L的倾斜角为150° B．直线L在x轴上的截距为﹣2 C．直线L与直线垂直 D．直线L上不存在与原点距离等于0.1的点【分析】根据题意先将直线的方程求出来；对于A，由直线斜率与倾斜角的关系即可判断；对于B，在直线方程中令y＝0，求出x的值即可判断；对于C，判断两直线斜率之积是否为﹣1即可；对于D，算出原点到直线L的距离即可判断．【解答】解：因为直线L的一个方向向量为，所以直线L的斜率为，又L经过点（1，﹣2），所以直线L的方程为：，整理得．对于A，由于直线L的斜率为，所以其倾斜角为120°，故A选项不正确；对于B，在直线方程中令y＝0，解得，所以L在x轴上的截距等于，故B选项不正确；对于C，将直线方程变形得，所以其斜率为，又直线L的斜率为，所以，所以直线L与直线垂直，故C选项正确；对于D，由于原点到直线的距离为，这表明了原点到直线L上的任意一点的距离至少是，因为，因此L上不存在与原点距离等于0.1的点，故D选项正确．故选：CD．（多选）10．下列命题中正确的是（）A．双曲线x2﹣y2＝1与直线x+y﹣2＝0有且只有一个公共点 B．平面内满足||PA|﹣|PB||＝2a（a＞0）的动点P的轨迹为双曲线 C．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4 D．已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为【分析】联立求出双曲线x2﹣y2＝1与直线x+y﹣2＝0只有一个交点，可判断A；举出反例可判断B；根据焦点在y轴上，得到不等式组，求出t＞4，可判断C；由双曲线焦距和渐近线方程，得到b＝1，，得到双曲线方程，可判断D．【解答】解：对于A，解方程组得唯一解，所以双曲线x2﹣y2＝1与直线x+y﹣2＝0有且只有一个公共点，所以A对；对于B，当|AB|＝2a时，满足||PA|﹣|PB||＝2a的动点P的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以B错；对于C，若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则4﹣t＜0且t﹣1＞0，解得t＞4，所以C对；对于D，设双曲线标准方程为，由2c＝4，则c＝2，渐近线方程为，即，由c2＝a2+b2，解得b＝1，，∴双曲线的标准方程为，所以D错．故选：AC．（多选）11．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，定点M（a，4）和动点A，B都在抛物线C上，且△MOF（其中O为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（）A．抛物线的标准方程为y2＝8x B．设点R是线段AF的中点，则点R的轨迹方程为 C．若（点A在第一象限），则直线AB的倾斜角为 D．若弦AB的中点N的横坐标2，则|AB|弦长的最大值为7【分析】根据三角形MOF的面积求得p，从而求得抛物线的标准方程，利用相关点代入法、焦半径、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．【解答】解：对于A．由S△MOF＝×p×4＝p＝3，可得抛物线的标准方程为y2＝6x，故A错误；对于B．抛物线的焦点为，，，则，yA＝2yR，代入y2＝6x，得，整理得，所以点R的轨迹方程为，故B正确；对于C．由于，所以A，F，B三点共线，设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π），|AF|＝xA+，xA＝|AF|﹣，|AF|cosθ+＝xA＝|AF|﹣，解得|AF|＝，同理可得|BF|＝，依题意，即，，所以θ为锐角，所以，故C正确；对于D．设直线AB的方程为x＝my+t，由，消去x并化简得y2﹣6my﹣6t＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1+x2＝4＝m（y1+y2）+2t，则2t＝4﹣6m2，，所以当时，|AB|max＝7，2t＝4﹣6m2＝4﹣1＝3，解得t＝，满足Δ＝36m2+24t＞0．故D正确．故选：BCD．（多选）12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是C右支上一点，下列结论正确的有（）A．若C的离心率为，则过点M（2，3）且与C的渐近线相同的双曲线的方程是 B．若点，则|AP|+|PF2|的最小值为 C．过F1作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q到直线的距离的最大值为3a D．若直线PF2与其中一条渐近线平行，与另一条渐近线交于点M，且，则C的离心率为【分析】利用共渐近线的双曲线方程可判断A；利用|AP|+|PF|＝|AP|+|PF|﹣2a≥|AF1|﹣2a可判断B；利用已知可得Q是以O为圆心，a为半径的圆上一点．可求点Q到直线的距离的最大值判断C；根据对称性，不妨设直线PF2的方程为，联立方程组可求得M的坐标，进而求得P的坐标，利用P在双曲线上，可求双曲线的离心率．【解答】解：对于选项A，因为C的离心率为，所以，则．因为双曲线与C的渐近线相同，所以设双曲线的方程为，将M（2，3）代入得，解得λ＝﹣2，则双曲线的方程为，故A不正确．对于选项B，因为P是C右支上一点，所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，则|AP|+|PF|＝|AP|+|PF|﹣2a≥|AF1|﹣2a＝，故B正确．对于选项C，如图，延长F1Q并与PF2相交于点B，连接OQ．由题可知，Q为BF1的中点，则，|BF2|＝|PB|﹣|PF2|＝|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以|OQ|＝a，则Q是以O为圆心，a为半径的圆上一点．点O到直线的距离，所以点Q到直线的距离的最大值为2a，故C不正确；对于选项D．根据对称性，不妨设直线PF2的方程为，联立方程组，得M（，），由，得P（，），代入C的方程得＝1，则C的离心率．故D正确．故选：BD．三．填空题（共4小题）13．已知双曲线，O为坐标原点，F1，F2为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得F2P的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是．【分析】根据，且双曲线上的点到焦点的最小距离为c﹣a，得到，进而求得离心率的范围．【解答】解：因为O，M分别为F1F2，PF2的中点，所以．又双曲线上的点到焦点的最小距离为c﹣a，所以，解得，因此双曲线的离心率e的取值范围是．故答案为：．14．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1，从坐标原点O向圆C作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若∠POQ＝，则|a﹣b+3|的取值范围是[3﹣2，3+2]．【分析】由题意可得|OC|＝2|CQ|＝2，可得C的轨迹方程，进而可得a＝2cosθ，b＝2sinθ，代入可求|a﹣b+3|的取值范围．【解答】解：由圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1，知圆心C（a，b），半径为r＝1，由∠POQ＝，可得∠COP＝，所以|OC|＝2|CQ|＝2，所以圆心C的轨迹方程为x2+y2＝4，所以a＝2cosθ，b＝2sinθ，所以|a﹣b+3|＝|2cosθ﹣2sinθ+3|＝|2（θ+）+3|，所以|a﹣b+3|的取值范围是[3﹣2，3+2]．故答案为：[3﹣2，3+2]．15．已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则|PF|+|PA|的最大值为8；的最小值为．【分析】由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝6，利用三角形三边大小关系可得：|PF1|+|PA|＝8﹣|PF2|+|PA|≤8+|AF2|即可得出．利用椭圆的第二定义，转化求解最小值即可．【解答】解：如图所示：由椭圆C：可得a＝3，F（﹣2，0），右焦点F2（2，0）．在椭圆内部，∵|PF|+|PF2|＝2a＝6，∴|PF|+|PA|＝6﹣|PF2|+|PA|≤6+|AF2|＝8+＝2+6＝8．∴当且仅当三点P，F2，A共线时，|PF|+|PA|取得最大值为8．椭圆的离心率为：e＝，过P作PN垂直椭圆的左准线于N，左准线方程为x＝﹣．|PF|＝；＝≥，的最小值为＝＝．故答案为：8；．16．如图抛物线Γ1的顶点为A，焦点为F，准线为l1，焦准距为4；抛物线Γ2的顶点为B，焦点也为F，准线为l2，焦准距为6．Γ1和Γ2交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是①②③④①|AB|＝5；②四边形MNST的面积为；③；④|CD|的取值范围为．【分析】根据抛物线的定义可得|AB|＝5判断①，以A为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线Γ1的方程为y2＝8x，可得，进而判断②，利用抛物线的定义结合条件可得可判断③，利用抛物线的性质结合焦点弦的性质可判断④．【解答】解：设直线AB与直线l1，l2分别交于G、H，由题可知|GA|＝|AF|＝2，|FB|＝|BH|＝3，所以|GH|＝|MN|＝10，|AB|＝5，故①正确；如图以A为原点建立平面直角坐标系，则F（2，0），l1：x＝﹣2，所以抛物线Γ1的方程为y2＝8x，连接PF，由抛物线的定义可知|PF|＝|MP|，|PF|＝|NP|，又|MN|＝10，所以xP＝3，代入y2＝8x，可得，所以，又|MN|＝10，故四边形MNST的面积为，故②正确；连接QF，因为|QF|＝|QT|＝|QS|，所以∠QFT＝∠QTF，∠QFS＝∠QSF，所以，故，故③正确；根据抛物线的对称性不妨设点D在封闭曲线APBQ的上部分，设C，D在直线l1，l2上的射影分别为C1，D1，当点D在抛物线BP，点C在抛物线AQ上时，|CD|＝|CC1|+|DD1|，当C，D与A，B重合时，|CD|最小，最小值为|CD|＝5，当D与P重合，点C在抛物线AQ上时，因为，直线，与抛物线Γ1的方程为y2＝8x联立，可得3x2﹣13x+12＝0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则，，所以；当点D在抛物线PA，点C在抛物线AQ上时，设CD：x＝ty+2，与抛物线Γ1的方程为y2＝8x联立，可得y2﹣8ty﹣16＝0，设C（x3，y3），D（x4，y4），则y3+y4＝8t，，当t＝0，即CD⊥AB时取等号，故此时；当点D在抛物线PA，点C在抛物线QB上时，根据抛物线的对称性可知，；综上，，故④正确．故答案为：①②③④．四．解答题（共6小题）17．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4）、B（﹣2，﹣1）、C（2，3）．（1）求边BC的中垂线所在的直线方程和平行四边形ABCD的顶点D的坐标；（2）求△BCD的面积．【分析】（1）直接利用中点坐标公式和点斜式求出结果；（2）利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】解：（1）如图，设BC边中点为E，∵B（﹣2，﹣1）、C（2，3），∴边BC的中垂线所在的直线的斜率为﹣1，由直线的点斜式方程得边BC的中垂线所在的直线为y﹣1＝﹣1（x﹣0），即x+y﹣1＝0．设AC边中点为M，则M点坐标为，设点D的坐标为（x，y），由已知得M为线段BD的中点，故：，解得，∴D（3，8）．（2）由B（﹣2，﹣1）、C（2，3）得，直线BC的方程为：x﹣y+1＝0，∴D到直线BC的距离，∴．18．某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东45°方向米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：（1）在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？（2）求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度．【分析】（1）先结合题意建立直角坐标系，写出A，B的坐标，进而可求直线AB的方程，然后结合点到直线的距离公式即可判断；（2）对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，然后结合点到直线的距离公式可求直线方程，进而可求D，E的坐标，可求．【解答】解：（1）设O为原点，正东方向为x轴，建立平面直角坐标系，O（0，0），因为，∠AOx＝45°，则A（10，10），依题意得，游客所在位置为B（﹣4，0），则直线AB的方程为5x﹣7y+20＝0，所以圆心O到直线AB的距离，所以直线AB与圆O相离，所以游客在该摄像头的监控范围内，（2）由图知，过A的直线与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住，所以设直线l过点A且和圆切，（1）若直线l垂直于x轴，则直线l不会和圆相切；（2）若直线l不垂直于x轴，设l：y﹣10＝k（x﹣10），整理得l：kx﹣y+10﹣10k＝0，所以圆心O到直线l的距离为，解得或，所以或，即3x﹣4y+10＝0或4x﹣3y﹣10＝0，观景直道所在直线方程为y＝﹣5，设两条直线与y＝﹣5的交点为D，E，由，解得x＝﹣10，y＝﹣5，由，解得，所以，答：观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米．19．已知圆C与圆（x+4）2+（y﹣3）2＝2关于直线8x﹣6y+25＝0对称．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）直线y＝kx+m与圆C交于A，B两点，O为坐标原点．设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，当k1k2＝3时，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，b），则，然后求解即可；（Ⅱ）设直线AB的方程为y＝kx+b，联立直线与圆的分析，消y整理可得：（1+k2）x2+2kbx+b2﹣2＝0，即b2＜2k2+2，①，设A（x1，y1），B（x2，y2），结合韦达定理，k1⋅k2＝3，然后结合直线的斜率公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）圆C与圆（x+4）2+（y﹣3）2＝2关于直线8x﹣6y+25＝0对称．设圆C的圆心坐标为（a，b），则，解得，即圆C的方程为x2+y2＝2；（Ⅱ）设直线AB的方程为y＝kx+b，联立，消y整理可得：（1+k2）x2+2kbx+b2﹣2＝0，由题意有Δ＝4k2b2﹣4（1+k2）（b2﹣2）＞0，即b2＜2k2+2，①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，又k1⋅k2＝3，则＝3，即y1y2＝3x1x2，即（kx1+b）（kx2+b）＝3x1x2，即（k2﹣3）x1x2+kb（x1+x2）+b2＝0，即b2＝3﹣k2，②又b2≥0，即k2﹣3≤0，即，将②代入①可得：2k2+2＞3﹣k2，即或k，综上可得：k的取值范围为．20．如图，平面五边形ABCDE中，△ADE是边长为2的等边三角形，CD∥AE，CD＝AE，，将△ADE沿AD翻折，使点E翻折到点P．（Ⅰ）证明：PC⊥BC；（Ⅱ）若PC＝3，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）在平面图形中取AD中点O，则有OP⊥AD，OC⊥AD，再应用线面垂直的判定、性质能证明PC⊥BC；（Ⅱ）由（Ⅰ）得OP⊥AD，OC⊥AD，则二面角P﹣AD﹣B的平面角为∠POC，在△POC中利用余弦定理即可；在平面POC内作OM⊥OC，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：在平面图形中取AD中点O，连接OC，OE，∵△ADE是边长为2的等边三角形，∴OE⊥AD，OD＝1，故翻折后有OP⊥AD，又∵CD∥AE，∴∠CDO＝∠DAE＝，∵CD＝AE＝2，∴OC⊥AD，且PO∩OC＝O，∴AD⊥平面POC，∵，∴AD∥BC，∴BC⊥平面POC，∵PC⊂平面POC，∴PC⊥BC；（Ⅱ）由（Ⅰ）得OP⊥AD，OC⊥AD，∴二面角P﹣AD﹣B的平面角为∠POC，在△POC中，OC＝OP＝，PC＝3，由余弦定理得cos∠POC＝﹣，∴，二面角P﹣AD﹣B的大小是，在平面POC内作OM⊥OC，交PC于M，∵AD⊥平面POC，∴以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）得四边形OABC为矩形，∵∠POC＝，OP＝，∴A（1，0，0），D（