2023年高考数学第51讲 三角参数繁化简

第51讲三角参数繁化简，柳暗花明观胜景

一、知识聚焦

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，在解析几何对圆、椭圆、双曲线问题的探究

中，如果引进三角参数，可以把原来的多变量问题转化为单变量问题，从而简化解题过

程，出现柳暗花明的胜景.

圆、椭圆、双曲线的参数方程，实质也是三角换元法.

x=a+rcos6,(6为参数,0,$0<21).

(1)圆(x—a)?+(y_8)2=r2

y=b+rsinO

(2)椭圆三+==1(。>。>0)={x=acos(。为参数,0蒯6<2兀).

(x-h)2(v-k)2[x=h+acosO,

椭圆^~=+"J=l(a>"0)o《(6为参数,0,W6<2%).

ab"+

(3)双曲线j-==l(a〉0,b〉0)o《x=asec。，。为参数,0,$。<2万,。7々。7二).

a2b-[I22

双曲线(1"-C'3=l(a>0,b>0)=戈="+as,。*(。为参数,0髭。<2不,且

aby=k+/7tan6,

zi兀八3兀

0丰一、8丰——),

22

二、精讲与训练

［核心例题】1⑴若实数x,y满足V+丁一©-4y-1=0,求使x-y+m>G恒成立的实

数"？的取值范围.

(2)如图51-1所示，已知P是圆f+y2=1上任意一点，点P关于点42,0)的对称点为Q.

点P绕圆心。逆时针旋转］到达R点,问当点尸在圆上不同位置时，线段QR的长度的最大

值和最小值各是多少？一

图51-1

(3)如图51-2所示,已知圆0:/+丁=64,过圆内一点P(3,4)作两条相互垂直的射线与圆

0分别交于点Q,S,以PQ,PS为邻边作矩形PQRS，求矩形顶点R的轨迹.

图51-2

【解题策略】

第(1)、第(2)问,当动点在一个已知圆上或它的轨迹是圆时，若所要解决的问题与最值或范围

有关,则可考虑运用圆的参数方程，转化为三角函数问题求解.第(3)问，若用普通方程直接解,

多个动点坐标使解题过程比较复杂，若将普通方程转化为参数方程，将原问题转化为三角问

题,通过三角变换就能较为顺利地求出轨迹方程并判定其表示何种曲线.

解:(1)由于点(x,y)满足圆方程，故可以考虑运用圆的参数方程，

X2+y2-4x-4y-l=0可化为(X-2)2+(J-2)2=9.

实数7两足—+J-1=0,可设1(0W夕＜24)

[y=2+3sin。

于是x-y+机＞0等价于/?i＞3sine-3cos

而35击。一38$6=3五5布]。-5)当机＞3＞/^时,％-丁+机＞0恒成立.

即实数次的取值范围为(3五,+8).

(2)设点尸的坐标为(cossin6),0G[0,24)，由题意得点。的坐标为(4-cos。，一sin，)，

点R的坐标为(一sin仇cos6).

.1QR1=J(4一cos0+sin夕[+(—sin，一cos夕尸=J18+8(sin6-cose)=Jl8+80sin(6一j

o

当6=日时,|QR1n1ax=J18+8亚=4+0;

当/=彳时，|QR[u1n=J18-8我=4一0.

x=8cos。

⑶设圆的参数方程为\八(°4夕v2万).

y=8sin6

设Q(8cosa,8sina),S(8cos0,8sinp)，顶点R(x,y),

则PQ=(8cosa-3,8sina-4),PS=(8cos3,8sin/?-4).

由四边形PQRS为矩形，可知PQPS=U,

/.(8coscr-3)(8cosJ3-3)+(8sina-4)(8sin尸-4)=0,

64(sinasin/?+cosacos/?)-32(sina+sin尸)一24(cosa+cos/7)+25=0,①

又依的中点与QS的中点重合.

:有x+3=8cosa+8cosJ3=>cosa+cos，=一(x+3),②

y+4=8sina+8sin/?—>sina+sinQ=-(y+4),③

8

于是由(2>+(3次得cosacos/?+sinasin0=^^[(x+3)2+(y+4尸]-1,④

将②③④均代人①，得

g[(x+3)2+(y+4)2]—64—4(>+4)—3(x+3)+25=0,即/+/=103.

又当射线PQ，x轴时,4=±764-16=±748,乂=±J64-9=士屈.

即R(±A，土后)，此时|OR『=103,

「。_1无轴时,同样有|。?|2=103.

综上所述，矩形顶点R的轨迹为一个圆心在原点,半径为J而的圆，轨迹方程为

x2+y2=103.

变式训练

1在平面直角坐标系xOy中，以点A(2,0),曲线y=上动点B,第一象限内的点。，构

成等腰Rt_A8C,且ZA=90°,则|OC|的最大值是.

变式训练

2已知矩形ABCD的顶点C的坐标是(4,4),点A在曲线f+J?=9(X..O,y>0)上移动，

分别与x轴,y轴平行，求矩形面积的最小值，并求出面积取得最小值时

点A的坐标.

【核心例题】2(1)已知A(a,0),3(0,0)为椭圆=l(a>〃>0)的右顶点与上顶点,

P为椭圆上一点，直线Q4与y轴相交于点M，直线PB与X轴相交于点N.求

(2)已知A,B是椭圆;+r=1上的两点,且满足SAOB=手,。为AB的中点，射线OD交

椭圆于点P,OP=MD，求正实数;I的值.

【解题策略】

第(1)问，利用椭圆的参数方程设出点P坐标，再利用向量的三点共线知识并结合三角

式的运算求解；第(2)问，利用椭圆的参数方程设点，结合三角形面积的坐标公式

5=｝西)，2-々Ml转化为三角函数问题，通过三角恒等变形轻松得解.真可谓：三角参数繁

化简，柳暗花明现胜景。

【解】⑴设A(a,0),8(0,份,P(acos0,hsin，),M(0,in),N(〃,0),

则AP=(6r(cos0-l),Z?sin0),AM=(一.

bsin0

由A,P,M三点共线得a/x(cos，—1)+aZ?sine=0,即m=------

1-COS0

。|sin。+cos。-11

BM|=

1-cos01一cos。

又BP=(acos&仇sin9fBN=(〃,—8)，

由B,P,N三点共线得Z?n(sin8—1)+abcos6=0,即〃=

acosOo|sinO+cosJ-l|

.1AN|=------------ci

1—sin。l-sin/9

f…।Z?|sinJ+cos夕一116f|sin^+cos0-l|八.

BM||AN|=---------------------Lx-----------------------=lab.

l-cos01-sin。

⑵设A(>/2cosa,sina、,cos0,sin/),

由SAOB=gki%一%2丁11得SAOS=等Isin(a—7?)1=乎，/.|sin(a-/7)|=

D孝(cosa+cos/),g(sina+sin/7),0尸=4。。.

(正2

/.P—2(cosa+cos/?),―(sina+sin/3)

代入x2+2_]得a2(cosa+cos£尸+A2(sina+sin/?)2

T+>-4+4~

A2[2+2cos(a-/?)]=4(/1>0),

hi

由|sin(a-/?)|=—Wcos(a-/?)=±—.

若cos(a-/)=」，贝ij%2=3,即4=2;若cos(a-/?)=-』,则分=4,即;1=2.

23V32

,2

综上,4=2,或2=-j=.

变式训练

x221

1.椭圆二+2=1上有两点P,Q,O为原点，连接OPQQ,kOPkOQ=一一.

1644

⑴证明：|02|2+|。。|2等于定值.

(2)求线段P。中点M的轨迹方程.

变式训练

2已知耳，尸2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点，且NF|Pg=；7T，则椭圆和

双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）.

4石2百

A.------B.------C.3D.2

33

【核心例题】3（1）在双曲线V—2y2=2上，求一点尸，使它到直线x+y=0的距离最短，

并求出这个最短距离.

⑵设尸为等轴双曲线/一V=1上的点，耳，死为两个焦点证明:忻周gpRw『

【解题策略】

第（1）问，对所给双曲线进行三角换元，即动点P为三角形式，将点到直线距离所得等式

转化为一元二次方程，并用判别式法求d的最小值及相应点P的坐标；第（2）问，利用双曲

线的参数方程F=sec®,（。为参数，0«。＜2加且夕工工，。二至），并对等式左、右两

[y=tan®22

边所得三角式化简可证。

2

⑴解:设双曲线，-＞2=]上一点p的坐标为（及secatane）（O”。＜2万且

亡上也.Iv2sectanIV2+sin

则它到直线x+y=0的距图为d=------7=-----------=£=----------,

V2V2|cos^|

从而d1-2+2夜sin?；sin9，整理得0+26/2^sin20+2后sin夕+2（1-d?）=0,

■.•sin6是实数,,A=（2夜了—80-屋）（1+2屋）Q，解得cl当.

也时，sin。=2夜旦二。餐或主.

当4=

22x1l+2x；2