2022年高考数学甲卷-文科数学试卷真题+参考答案+详细解析

2022年全国统一高考数学试卷（文科数学）（甲卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）设集合A={—2,-1,0,1,2},B={x|O„x<|）,则AB=（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居

民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题

的正确率如图：

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.（5分）若z=1+i,则|iz+321=（）

A.45/5B.40C.2y/5D.272

4.（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为

A.8B.12C.16D.20

5.（5分）将函数/（x）=sin（s+q）（0>0）的图像向左平移5个单位长度后得到曲线C,若C关于），轴对称，

则。的最小值是（）

A.-B.-C.-D.-

6432

6.（5分）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字

之积是4的倍数的概率为（）

8.(5分)当x=l时，函数=+2取得最大值—2,则广⑵=()

X

A.-1B.--C.-D.1

22

9.（5分）在长方体中，已知BQ与平面和平面A4.48所成的角均为30。，贝U（

）

A.AB=2AD

B.AB与平面ABC。所成的角为30。

C.AC=CB,

D.8Q与平面B8CC所成的角为45。

10.（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2万，侧面积分别为加和先,体积

分别为％和〃.若气=2,贝1」包=（）

S乙Y乙

A.6B.2夜C.710D.生叵

4

11.（5分）已知椭圆C：W+}T（a>6>0）的离心率为g，A，4分别为。的左、右顶点，8为C的上

顶点.若8A•%=-1，则C的方程为（）

222

C.—+^-=1D.—+y2=1

322-

12.（5分）已知9"'=10,«=10ra-ll,方=8"'-9,则（）

A.a>0>hB.a>h>0C.h>a>0D.h>0>a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）已知向量4=（肛3）,b=（y,m+\）.若a_Lb,则/〃=.

14.（5分）设点M在直线2x+y-1=0上，点（3,0）和（0,1）均在M上，则M的方程为.

22

15.（5分）记双曲线C:二-马=15>0,6>0）的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”

a~b

的e的一个值一.

AC

16.（5分）已知AABC中，点。在边3C上，ZA£）B=120°,AD=2,CD=2BD.当一匕取得最小值时,

AB

BD=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。

17.(12分)甲、乙两城之间的长途客车均由A和5两家公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行情况，

随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数未准点班次

数

A24020

B21030

(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

2

4“2n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b4-d)

pg.k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

18.（12分）记S,为数列伍”｝的前”项和.已知包+〃=2a“+l.

n

（1）证明：伍“｝是等差数列；

（2）若4,%,“9成等比数列，求5“的最小值.

19.（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示：底面MCD是边长

为8（单位：cm）的正方形，AEAB,AFBC,\GCD,A//Q4均为正三角形，且它们所在的平面都与平

面A8CE）垂直.

（1）证明：EF//平面AB8；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

20.(12分)已知函数f(x)=d一%,g(x)=x2+a,曲线y=/(x)在点(百J(xJ)处的切线也是曲线y=g(x)

的切线.

(1)若％=-1,求a；

(2)求〃的取值范围.

21.（12分）设抛物线（7:>2=2。彳（。>0）的焦点为尸，点£）（0,0）,过尸的直线交C•于M,N两点.当直

线垂直于x轴时，|M尸|=3.

（1）求C的方程；

（2）设直线M£>,与C的另一个交点分别为A,5,记直线MN,A3的倾斜角分别为a,p.当a-"

取得最大值时，求直线45的方程.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。［选

修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

2+t

22.(10分)在直角坐标系中，曲线G的参数方程为■6'V为参数)，曲线C?的参数方程为

2+5

X=-------

6'（S为参数）.

(1)写出G的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C,的极坐标方程为2cos6-sin6=0,求G

与G交点的直角坐标，及G与G交点的直角坐标.

［选修4-5：不等式选讲］(10分)

23.已知a,b,c均为正数，且/+匕2+402=3,证明：

(1)a+b+2q,3；

(2)若b=2c,则4+L.3.

2022年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）设集合A={-2,-1,0,1,2）,8={x|0,,x<|},则48=（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1）D.{1,2}

【解答】解：集合4={—2,—1,0,1,2},3={x|0,,x<9},则A8={0,1,2}.故选：A.

2

【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居

民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【解答】解：对于A,讲座前问卷答题的正确率从小到大为：

60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,

.•.讲座前问卷答题的正确率的中位数为：(70%+75%)/2=72.5%,故A错误；

对于8,讲座后问卷答题的正确率的平均数为：

%(80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%)=89.5%>85%,故B正确；

对于C,由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，

.•.讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；

对于。，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%-80%=20%,

讲座前正确率的极差为：95%-60%=35%,

讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故。错误.故选：B.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算

求解能力，是基础题.

3.(5分)若z=1+i,贝|iz+321=()

A.4A/5B.4应C.2石D.272

【解答】解：z=l+z,:.iz+3z=i+i2+3(.\-i)=i-\+3-3i=2-2i,则|iz+3H|=《22+(-2)2=2夜.故选：

D.

【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

4.(5分)如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为

【解答】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABC。-A4GA，

四棱柱的底面是直角梯形如图,

DiCi

Afi=4,4)=2,AAt=2,例_L平面ABC£),.,.该多面体的体积为：V=l(4+2)x2x2=12.故选：B.

【点评】本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

5.(5分)将函数/(x)=sin(0x+g)(0>0)的图像向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于)，轴对称，

则。的最小值是()

A.-B.-C.-D.-

6432

【解答】解：将函数/(x)=sin(5+()(0>O)的图像向左平移］个单位长度后得到曲线C,

则C对应函数为y=sin(5+等+与)，C的图象关于y轴对称，，等+(=无万+］,k^Z,

即0=2Z+1,k&Z,则令/=0,可得。的最小值是！，故选：C.

33

【点评】本题主要考查函数y=Asin(ox+e)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题.

6.(5分)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字

之积是4的倍数的概率为()

A.-B.-C.-D.-

5353

【解答】解：根据题意,从6张卡片中无放回随机抽取2张，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种取法,

其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6种情况，

则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率P=9=2；故选：C.

155

【点评】本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题.

7.(5分)函数y=(3、-3f)cosx在区间［-金乡的图像大致为()

［解答］解：/(x)=(3*-3-v)cosx,可知,f(-x)=(3-"-3r)cos(-x)=-(3*-3-t)cosx=-.f(x),

函数是奇函数，排除8D;当x=l时，,f(l)=(3-3T)cosl>0,排除C.故选：A.

【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题.

8.(5分)当x=l时，函数=+2取得最大值一2,则/'(2)=()

X

A.-1B.--C.-D.1

22

【解答】解:由题意/(1)=匕=一2,则/(x)=a/nx-2,则r(x)=@+4=竺¥,

XXXX

.当x=l时函数取得最值，可得％=1也是函数的一个极值点，⑴=。+2=0,即a=—2.

.•.广(幻=考2,易得函数在(o,i)上单调递增，在(1,转)上单调递减，

x-

故x=l处，函数取得极大值，也是最大值，则r⑵=-2*+2=」.故选：B.

222

【点评】本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题.

9.(5分)在长方体AB8-A4CQ中，已知BQ与平面A38和平面朋耳8所成的角均为30。，贝I(

)

A.AB=2AD

B.钻与平面ABC。所成的角为30。

C.AC=CB,

D.8Q与平面2耳GC所成的角为45。

【解答】解：如图所示，连接蝴，BD,不妨令M=l,

在长方体A38-A4GR中，AD_LififAA318,8瓦_1_面/38,

所以NBRB和NDB]A分别为BtD与平面ABCD和平面AA.B.B所成的角，即ZBtDB=ZDB,A=30°,

所以在RtABDB1中，BB]=AA]=\,BD=£,B、D=2,

在RtAADB1中，DB、=2,AD=1,AB,=y/3,所以AB=0,CB、=近,AC=6故选项A，C错误,

由图易知，他在平面被CQ上的射影在A片上，所以为45与平面ABC。所成的角，

在RtAABB]中，sinNB|AB=g"=3=3，故选项3错误，

'AB163

则B,D在平面BB©C上的射影为耳C,所以NDBC为用。与平面BB£C所成的角,

在7^△£)81C中，B\C=6=DC,所以NO4c=45。，所以选项O正确，故选：D.

【点评】本题考查了直线与平面所成角，属于中档题.

10.（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2/，侧面积分别为与和加，体积

分别为％和匕.若”=2,则*=()

s乙％

A.V5B.2&C.>/10D.独^

甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3,甲、乙两个圆锥的底面半

径分别为弓，弓，高分别为九，为，则2町=44，2万弓=2乃，解得/;=2,与=1，由勾股定理可得

y1g％

h}—\/5,h7-2^2,?.=Y-----=J16,故选：C.

【点评】本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题.

11.（5分）已知椭圆C尤：r2+V、2=l（a>b>0）_的离心率为1—，A,,人分别为。的左、右顶点，B为C的上

a~h~3

顶点.若网•即=-1,则C的方程为（）

B.

D.

【解答】解：由椭圆的离心率可设椭圆方程为二=1（加>0）,则4（-3丸0）,4（3九0）,3（0,2"舞），

9次8〃广

222

由平面向量数量积的运算法则可得：3A-BA2=(-3/n,-(3/?i,-2\/2m)=-9m+8/?7=-l,/.m=1,

则椭圆方程为三+f=1.故选：B.

98

【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中等题.

12.(5分)已知9"'=10,a=10'"-ll,匕=8"'—9,则()

A.a>O>hB.a>h>0C.h>a>0D.h>O>a

【解答】解：9"'=10,/.w=log910,1=log99<logglO<V729=1.Al<m<-,

I

构造函数/(犬)=/一尤-1。>1),f'(x)=mx'n-'-1,令/'(x)>0,解得：

a

由上述有1<加<3，可得0<x<l,故/(x)在(1,yo)单调递增，故〃10)>/(8),又因为

/(9)=9'叫|°-9-1=0,故“>0>b,故选：A.

【点评】本题主要考查构造函数比较大小，属于较难题目.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知向量力=(加,3),b=(1,??14-1).若a_Lb,则〃2=_--_.

-4-

【解答】解：向量力=(肛3),b=(1,/72+1).a上b,ab=m+3(n?+1)=0,则m=——，故答案为：一二.

44

【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属

于基础题.

14.(5分)设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在o/上，则一〃的方程为

(1)2+(y+l)2=5一

【解答】解：由点M在直线2x+y—1=0上，可设—

由于点(3,0)和(0,1)均在:M上，.•.圆的半径为痴-3>+(1-2”一0y=-0)2+(1—2a-,求得a=1,

可得半径为逐，圆心"(1,-1),故_〃的方程为(x-l)2+(y+l>=5,故答案为：(x-l)2+(y+l>=5.

【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题.

-)2

15.(5分)记双曲线C:]-当=1(°>0/>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”

ab

的e的一个值_2(ee(l,x/5]内的任意一个值都满足题意).

【解答】解：双曲线C:[—]=l(a>0/>0)的离心率为e,e=£,双曲线的渐近线方程为)，=±?x,

abaa

直线y=2x与C无公共点，可得及,,2,即1,4,即三且,,4,可得l<e,,石，

aaa

满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值可以为：2.

故答案为：2(ee(l,石]内的任意一个值都满足题意).

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题.

AT

16.(5分)已知AABC中，点。在边3c上，ZA£>B=120°,4)=2,CD=2BD.当一上取得最小值时,

AB

B£)=_V3-1_.

【解答】解：设B£)=x,CD=2x,

在三角形AC»中，b2=4X2+4-2-2X-2-COS60°,可得：b1=4x2-4x+4,

在三角形A即中，C2=X2+4-2-X-2-COS120°,可得：c2=x2+2x+4,

要使得最小，即？最小，耳=4'-以+4=4-----，其中》+1+_2_..26，此时写..4一26,

ABc2c-x-+2x+4x+1+.3x+lc~

x+1

当且仅当x+l=GH寸，即x=6-l时取等号，故答案为：x/3-l.

【点评】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。

17.(12分)甲、乙两城之间的长途客车均由A和8两家公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行情况，

随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数未准点班次

数

A24020

B21030

(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

付.K2_n(ad-bcf

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

pg.k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

【解答】解：(1)A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故A公司准点的概率为丁=上；

26013

8公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故8公司准点的概率为竺=2；

2408

(2)由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆，A公司共260辆，8公司共240辆,

-=500x(240x3。-210x20)2=3,2>2.7。6,

260x240x450x50

.•.有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.

【点评】本题考查概率计算以及独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题.

18.（12分）记为数列｛”"｝的前”项和.已知色+〃=24+1.

n

（1）证明：｛q｝是等差数列；

（2）若明,%,%成等比数列，求S”的最小值.

【解答】解：（1）证明：由已知有：2s“+/=2加?"+〃①，

2

把"换成〃+1,25„+1+（n+1）=2（"+l）a“+]+〃+l—②，

②-①可得：21=2（〃+1）%-2%-2”，整理得：%=4+1,由等差数列定义有他”｝为等差数列；

（2）由已知有％2=设等差数列°“的首项为x,由（1）有其公差为1,

故（x+6f=（x+3）（x+8）,解得x=—12,故q=-12,所以=-12+（〃-l）xl=”-13,

故可得：a,<a2<a3<<a]2<（.）,=0,al4>0,

213

故S“在”=12或者”=13时取最小值，S12=Sl3=—^-=-78,故S“的最小值为-78.

【点评】本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前"项和的最小值，属于中档题.

19.（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示：底面A8co是边长

为8（单位：a“）的正方形，AEAB,AFBC,AGCD,〃”均为正三角形，且它们所在的平面都与平

面438垂直.

（1）证明：EF//平面ABC7）；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

【解答】（I）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，作EE_L4?于点£,做EF'LBC于点尸'，

由于底面为正方形，MBE,MCF均为等边三角形,故等边三角形的高相等，即上£=

由面面垂直的性质可知EE',尸尸均与底面垂直，则EEHFF',四边形户为平行四边形，则EFHEF',

由于砂不在平面A8CD内，EF'在平面A88内，由线面平行的判断定理可得£尸//平面A8CD.

（2）解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，其中长方体的高e=EE，=4G，

长方体的体积K=8x8x46=256也cm，,—三棱锥的体积V=gx（gx4x4）x4百=cM,

2'j

则包装盒的容积为V=匕-4匕=256y/3-4x昆虫■=—gel.

33

【点评】本题主要考查线面平行的判定，空间几何体体积的计算等知识，属于中等题.

20.(12分)已知函数,f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(药,/(玉))处的切线也是曲线y=g(x)

的切线.

(1)若%=-1,求a;

(2)求〃的取值范围.

【解答】解：(1)由题意可得:(x)=3——1,则切线的斜率4=((-1)=2,且/(-I)：0,故切线方程为

y=2(x+1),即2x-y+2=0,由g'(x)=2x=2可得x=1,则切点坐标为(1,1+a),由于切点在直线

2x-y+2=0上，故2-(l+a)+2=0,解得。=3.

(2)由题意可得八x)=3d-l,

当x<-亭时，/'(x)>0，/(x)单调递增，

当一[■〈xv夸时，f'(x)<0,/(x)单调递减,

当x>当时，f'(x)>0,f(x)单调递增，

观察可得，

当。=-1时，函数/(X)和函数g(x)在点(1,1)处有公共点，函数存在公切线，

当4<-1时，函数/(X)和函数g(X)不存在公切线，

当时，函数/(X)和函数g(X)存在公切线，

则实数〃的取值范围是[-1,+00).

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的图象，数形结合的数学思想等

知识，属于中等题.

21.(12分)设抛物线。:丫2=20田5>0)的焦点为尸，点£>5,0),过尸的直线交C于M,N两点.当直

线垂直于x轴时，|MF|=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线Affi),MX与C的另一个交点分别为A,8,记直线MN,AB的倾斜角分别为a,7?.当a-£

取得最大值时，求直线他的方程.

【解答】解：(1)由题意可知，当x=p时，y1=2p2,得加=应/，，可知IM£)|=应。，|/T)|=g

则在RtAMFD中，得(5了十(起°)2=9,解得「=2.则C的方程为丁;人；

(2)设,N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),由(1)可知F(l,0),0(2,0),则

tana=^=A^=_4^=^—,又N、D、3三点共线，则&加=⑥0，即三二9=止於，

王一元2yi)'1+%工2-2x4-2

-4r

---=---，得y2y4=-8,即％=—~~;同理由M、D、A三点共线，得力=—~,

2?__2"_2%X

44

则tan/=丛二匹=」一=.丫仍.

刍一七%+乂-2(凶+%)

由题意可知，直线MN的斜率不为0,设〜：x=my+l，由卜=4X，得丁-4冲-4=0,

[x=my+1

..r.t.l41—A1

y+%=4m,y,y7=-4,则tana=——=—,tanp=-------=——，

4/Hm-2x462m

j___1_

则tang1)Jana-ta"=

1+tanatan/71+X.l2w+l

2mmm

当机>0时，tan(a一夕)=——„—,■=—；当〃2Vo时，tan(a一6)无最大值，

2m+—2A2m~

m7m

.•.当且仅当2机=工，即加=立时，等号成立，tan（a—0取最大值，

m2

4

此时AB的直线方程为y-%=---------（x-x,）,即4x-（y