2022中考数学第一轮复习第4章第17讲解直角三角形(共23张)

第四章图形的认识与三角形

第17讲解直角三角形考点梳理考点1锐角三角函数1.定义2.特殊角的三角函数值考点2解直角三角形在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边分别为a，b，c三边关系：①__a2＋b2＝c2__；两锐角关系：②__∠A＋∠B＝90°__边角之间的关系：sinA＝cosB＝③____；cosA＝sinB＝④____；tanA＝⑤____；tanB＝⑥____考点3解直角三角形的应用失分警示►部分同学可能由于记忆特殊角的三角函数值不准或混淆，计算过程中错误地代入其他三角函数值，从而导致结果错误而失分．仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫①__仰角__，视线在水平线下方的角叫②__俯角__．如图坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫③__坡度(坡比)__，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角，i＝tanα＝.如图方位角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角．如图，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)典型例题运用类型1锐角三角函数【例1】

[2018·遂宁期末]在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，那么sinA的值是(

)A.

B.

C.

D.BB

∵tanA＝＝，∴设BC＝x，AC＝3x，由勾股定理，得AB＝x，sinA＝＝.技法点拨►已知一个角的一种锐角三角形函数值，求另外的三角函数值时，一般通常设参数“x”，列出关于参数的方程求解．变式运用►1.△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值是()A类型2解直角三角形【例2】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，BC＝10，试求CD的长．【思路分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．解：过点B作BM⊥FD于点M.如图．在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，BC＝10，∴∠ABC＝30°，AC＝10.∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°，∴BM＝BC·sin30°＝10×=5，CM＝BC·cos30°＝15.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5.∴CD＝CM－MD＝15－5技法点拨►解答此类题目的关键是根据题意建立三角形，利用所学的三角函数的关系进行解答．变式运用►2.[2018·崂山区一模]已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝AD＝2，求BC的长．解：∵在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝AD＝2，∴AB＝6，CD＝2，∴BD＝4∴BC＝BD＋CD＝4+2.类型3

直角三角形的应用(利用仰角和俯角解决实际问题)【例3】如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB.【思路分析】设AG＝x，分别在Rt△AFG和Rt△ACG中，表示出CG和GF的长度，然后根据DE＝10m，列出方程即可解决问题．技法点拨►解决仰角和俯角的问题时，通常作水平方向(或竖直方向)的高线转化为直角三角形中的问题，通过解直角三角形解决．类型4

直角三角形的应用(利用坡度和坡角解决实际问题)【例4】为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)【思路分析】设BC＝x米，用x表示出AB的长，利用坡度的定义得到BD＝BE，进而列出x的方程，求出x的值即可．【自主解答】设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，AB＝.在Rt△EBD中，∵i＝DB∶EB＝1∶1，∴BD＝BE.∴CD＋BC＝AE＋AB，即2＋x＝4＋,解得x＝12，即BC＝12米．答：水坝原来的高度为12米．技法点拨►解答此类问题，如果给出的图形中有直角三角形，则解直角三角形即可；如果没有示意图(或有示意图，但是没有直角三角形)，则先画出示意图，构造出包含题意的直角三角形，解直角三角形求得答案．类型5

直角三角形的应用(利用方位角解决实际问题)【例5】如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？【思路分析】过点A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD，∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等边对等角得出AD＝BD＝12，根据含30°角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可．【自主解答】如图，过点A作AC⊥BD于点C，则AC的长是点A到BD的最短距离，技法点拨►应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．当两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠BAD＝60°－30°＝30°，∠ABD＝90°－60°＝30°，∴∠ABD＝∠BAD，∴BD＝AD＝12海里．∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，∴CD＝AD＝6海里．由勾股定理得AC＝≈10.392>8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．真题全练命题点1锐角三角函数猜押预测►1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是()A2.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是()D3.在△ABC中，若|sinA－|+()2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是()A．75°B．90°C．105°D．120°C得分要领►解答锐角三角函数问题时，可利用以下几种方法求解：(1)准确根据三角函数的概念求值；(2)运用参数法求三角函数值；(3)运用转化手段求三角函数值；(4)通过构造直角三角形求三角函数值．C4.[2018·滨州一模]在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝则sinA等于()命题点2解直角三角形及其应用1．如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°＝0.9272，sin46°＝0.7193，sin22°＝0.3746，sin44°＝0.6947)()A．22.48B．41.68C．43.16D．55.63BB如图，过点P作PA⊥MN于点A，MN＝30×2＝60(海里)．∵∠MNC＝90°，∠CNP＝46°，∴∠MNP＝∠MNC＋∠CNP＝136°.∵∠BMP＝68°，∴∠PMN＝90°－∠BMP＝22°.∴∠MPN＝180°－∠PMN－∠PNM＝22°.∴∠PMN＝∠MPN.∴MN＝PN＝60海里．∵∠CNP＝46°，∴∠PNA＝44°.∴PA＝PN·sin∠PNA＝60×0.6947≈41.68(海里)．2．如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是()A．20海里B．40海里C.海里D.海里DD由题意，知∠B＝30°，∠C＝30°，BC＝60×＝40(海里)，作AD⊥BC于点D，则DC＝DB＝20海里．在Rt△ADC中，AC＝3．如图1是一个直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图2，再将2沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图3，则折痕DE的长为()AA∵△ABC是直角三角形，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°－30°＝60°.∵沿折痕BD折叠点C落在斜边上的点C′处，∴∠BDC＝∠BDC′，∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝30°.∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，∴∠ADE＝∠A′DE，∴∠BDE＝∠BDC′＋∠A′DE＝×180°＝90°.在Rt△BCD中，BD＝BC÷cos30°＝4÷(cm)，在Rt△BDE中，DE＝BD·tan30°＝(cm)

4．如图，为测量某物体AB的高度