直角三角形全等的判定八年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题直角三角形全等的判定姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021秋•无锡期末〕以下条件中，能判断两个直角三角形全等的是〔〕A．有两条边分别相等B．有一个锐角和一条边相等C．有一条斜边相等D．有一直角边和斜边上的高分别相等【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．【解析】A、两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；B、一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；C、有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；应选：D．2．〔2021秋•沭阳县期中〕如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是〔〕A．1B．2C．3D．4【分析】共有3对，分别为△ADC≌△AEB、△BOD≌△COE、Rt△ADO≌Rt△AEO；做题时要从条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找即可．【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∵在△ADC和△AEB中，∠ADC∴△ADC≌△AEB〔AAS〕；∴AD＝AE，∠C＝∠B，∵AB＝AC，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，∠B∴△BOD≌△COE〔AAS〕；∴OB＝OC，OD＝OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，OA=∴Rt△ADO≌Rt△AEO〔HL〕；∴共有3对全等直角三角形，应选：C．3．〔2021秋•东海县期中〕以下条件中，不能判定两个直角三角形全等的是〔〕A．一组锐角和斜边分别对应相等B．两个锐角分别对应相等C．两组直角边分别对应相等D．斜边和一组直角边分别对应相等【分析】由直角三角形全等判定依次判断可求解．【解析】A、假设一组锐角和斜边分别对应相等，可证这两个直角三角形全等，应选项A不符合题意；B、假设两个锐角分别对应相等，不能证明这两个直角三角形全等，应选项B符合题意；C、假设两组直角边分别对应相等，可证这两个直角三角形全等，应选项C不符合题意；D、假设斜边和一组直角边分别对应相等，可证这两个直角三角形全等，应选项D不符合题意；应选：B．4．〔2021秋•沛县期中〕以下各组条件中，不能使两个直角三角形全等的是〔〕A．一条直角边和它的对角分别相等B．斜边和一条直角边分别相等C．斜边和一锐角分别相等D．两个锐角分别相等【分析】依据全等三角形的判定定理进行判断即可．【解析】A、根据AAS或ASA都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；B、根据HL可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；C、根据AAS或ASA都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；D、判定两个直角三角形是否全等，必须有边的参与，故本选项符合题意；应选：D．5．〔2021秋•灌南县校级月考〕以下所给条件中，不能判断两个直角三角形全等的是〔〕A．一个锐角和这个锐角的对边对应相等B．一个锐角与斜边对应相等C．两锐角对应相等D．一锐角和一边对应相等【分析】直角三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，根据定理判断即可．【解析】A、∵∠C＝∠F，∠B＝∠E，AC＝DF，∴根据AAS能推出△ACB≌△DFE，故本选项错误；B、∵∠C＝∠F，∠B＝∠E，AB＝DE，∴根据AAS能推出△ACB≌△DFE，故本选项错误；C、根据∠C＝∠F，∠B＝∠E，∠A＝∠D不能推出△ACB≌△DFE，故本选项正确；D、∵∠C＝∠F，∠B＝∠E，AC＝DF〔或BC＝EF或AB＝DE〕，∴根据AAS〔或ASA或AAS〕能推出△ACB≌△DFE，故本选项错误；应选：C．6．〔2021秋•邳州市期中〕以下条件不可以判定两个直角三角形全等的是〔〕A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一条直角边和它所对的锐角对应相等D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．【解析】A、两条直角边对应相等，可利用全等三角形的判定定理SAS来判定两直角三角形全等，故本选项正确；B、两个锐角对应相等，再由两个直角三角形的两个直角相等，AAA没有边的参与，所以不能判定两个直角三角形全等；故本选项错误；C、一条直角边和它所对的锐角对应相等，可利用全等三角形的判定定理ASA来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；D、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等，可以利用全等三角形的判定定理ASA或AAS来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；应选：B．7．〔2021春•来宾期末〕如图，假设要用“HL〞证明Rt△ABC≌Rt△ABD，那么还需补充条件〔〕A．∠BAC＝∠BADB．AC＝AD或BC＝BDC．AC＝AD且BC＝BDD．以上都不正确【分析】根据“HL〞证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．【解析】从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．很据“HL〞定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC＝AD或BC＝BD，应选：B．8．〔2021秋•兴化市期中〕如图，要用“HL〞判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是〔〕A．AC＝A′C′，BC＝B′C′B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′C．AC＝A′C′，AB＝A′B′D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′【分析】根据直角三角形全等的判定方法HL即可直接得出答案．【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC＝A′C′，AB＝A′B′，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，应选：C．9．〔2021春•来宾期末〕如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是〔〕A．HLB．ASAC．SASD．AAS【分析】由于∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB．题中还隐含了公共边这个条件，由此就可以证明△BAD≌△BCD，全等容易看出．【解析】∵∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，DB＝DB，∴△BAD≌△BCD〔HL〕．应选：A．10．〔2021春•宝安区期中〕如图，∠C＝∠D＝90°，添加以下条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是〔〕A．0B．1C．2D．3【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论．【解析】①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD〔HL〕；②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD〔AAS〕；③当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD〔HL〕；应选：D．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021秋•鼓楼区校级月考〕如图，在ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BF＝AC，CD＝DF，证明图中两个直角三角形全等的依据是定理HL．【分析】根据HL可证明Rt△ACD≌Rt△BFD．【解答】∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，在Rt△ACD和Rt△BFD中，AC=∴Rt△ACD≌Rt△BFD〔HL〕．故答案为：HL．12．〔2021秋•新吴区期中〕在△ABC中，AD⊥BC于D，要用“HL“证明Rt△ADB≌Rt△ADC，那么需添加的条件是AB＝AC．【分析】利用HL定理可直接得到答案．【解析】添加条件：AB＝AC，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中AD=∴Rt△ABD≌Rt△ACD〔HL〕，故答案为：AB＝AC．13．〔2021秋•青龙县期末〕如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，假设根据“HL〞判定，还需要加条件AB＝AC．【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等〔可以简写成“斜边、直角边〞或“HL〞〕可得需要添加条件AB＝AC．【解析】还需添加条件AB＝AC，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=∴Rt△ABD≌Rt△ACD〔HL〕，故答案为：AB＝AC．14．〔2021秋•秦淮区期末〕结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等〞的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DFAB＝DE∴Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】根据条件可知，少一组斜边，所以可添加为：AB＝DE．【解析】∵∠C＝∠F＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=∴Rt△ABC≌Rt△DEF〔HL〕，故答案为：AB＝DE．15．〔2021•黑龙江〕如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件AB＝ED〔BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF〕，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解析】添加的条件是：AB＝ED，理由是：∵在Rt△ABC和Rt△EDF中∠B∴Rt△ABC≌Rt△EDF〔ASA〕，故答案为：AB＝ED．16．〔2021春•太原期末〕两个锐角分别相等的直角三角形不一定全等．〔填“一定〞或“不一定〞或“一定不〞〕【分析】根据直角三角形全等的判定定理判断即可．【解析】当还有一条边对应相等时，两直角三角形全等；当三角形的边不相等时，两直角三角形不全等；即两个锐角分别相等的直角三角形不一定全等，故答案为：不一定．17．〔2021秋•高邮市月考〕以下说法正确的有3个．〔1〕两条边对应相等的两个直角三角形全等．〔2〕有一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等．〔3〕一条直角边和一个锐角对应相等的两直角三角形全等．〔4〕面积相等的两个直角三角形全等．【分析】利用全等三角形的判定方法逐个判断即可．【解析】〔1〕当这两条边都是直角边时，结合直角相等，那么可用SAS可判定两个三角形全等，当这两条边一条是斜边一条是直角边时，可用HL判定这两个直角三角形全等，故〔1〕正确；〔2〕有一锐角和斜边对应相等时，结合直角，可用AAS来判定这两个直角三角形全等，故〔2〕正确；〔3〕当一条直角边和一个锐角对应相等时，结合直角，可用AAS或ASA来证明这两个直角三角形全等，故〔3〕正确；〔4〕当两个三角形面积相等时，这两个直角三角形不一定会等，故〔4〕不正确；综上可知正确的有3个，故答案为：3．18．〔2021春•罗湖区期中〕以下语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，那么这两个直角三角形必全等．其中正确的有2个．【分析】根据直角三角形的性质以及全等三角形的判定定理HL、SSS、SAS、ASA、AAS等作出判定即可．【解析】①直角三角形两直角对应相等，有一边对应相等的两个直角三角形只具备一边与一角对应相等，所以有一边对应相等的两个直角三角形不一定全等；②直角三角形是特殊的三角形，所以一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③如果一个直角三角形的两直角边与另一个直角三角形的一条直角边与斜边分别相等，那么这两个直角三角形不全等，所以有两边相等的两直角三角形不一定全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，根据HL可得这两个直角三角形必全等．所以正确的结论是②④．故答案为2．三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021春•岱岳区期末〕如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．【分析】先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因为∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根据平角定义可得∠ACB＝90°．【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，AC=∴Rt△ACE≌Rt△CBF〔HL〕，∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．20．〔2021春•合浦县期中〕如下图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．【分析】在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB＝CB，AE＝CF，利用HL可证Rt△ABE≌Rt△CBF．【解答】证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE=∴Rt△ABE≌Rt△CBF〔HL〕．21．〔2021春•迎泽区校级月考〕如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．【分析】连接BD，由直角三角形全等的“HL“判定定理证得Rt△ABD≌Rt△CBD，根据全等三角形的性质得到AD＝CD，再由直角三角形全等的“HL“判定定理即可证得Rt△ADE≌Rt△CDF．【解析】连接BD，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△ABD和Rt△CBD中，AB=∴Rt△ABD≌Rt△CBD〔HL〕，∴AD＝CD，∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，∴∠E＝∠F＝90°，在Rt△ADE和Rt△CDF中，AE=∴Rt△ADE≌Rt△CDF〔HL〕．22．〔2021秋•扶沟县期中〕如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？【分析】此题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．【解析】根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=∴Rt△ABC≌Rt△QPA〔HL〕，即AP＝BC＝10；②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．综上所述，当点P运动到线段AC中点时，△ABC与△QPA全等．23．〔2