协方差函数-功率谱密度-Read

第三章

随机信号的功率谱估量郑宝玉1引言作用：功率谱起着类似于频谱的作用应用：通信、噪声监测、信号检测与估量、模式识别、振动分析等领域依据：观测数据〔动身点〕根底：平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间存在傅立叶变换关系〔理论根底〕留意：随机信号不能直接进展傅立叶变换2内容随机信号的特征经典谱估量与现代谱估量参数模型法概述基于AR模型的谱估量法最大熵谱估量算法最小方差谱估量基于矩阵特征分解的谱估量高阶谱估量3内容自相关函数与功率谱相互关函数与互功率谱密度两个随机信号的统计关系随机信号的高阶特征4自相关函数与功率谱密度单个平稳随机信号自相关函数：自协方差函数：性质：5

自相关函数与功率谱密度(续)考虑一有限时间段取值随机过程的Fourier变换：功率谱分布的总体平均为：功率谱度：6

自相关函数与功率谱密度(续)

性质：7自相关函数与功率谱密度(续)

白噪声：功率〔或能量〕与频率无关，具有与白色光一样的能量分布性质有色噪声：功率谱不等于常数的噪声8相互关函数与互功率谱密度两个平稳随机信号和是联合平稳的

互相关数：一样局部相乘〔一样符号〕＋不同〔随机〕局部相乘〔平均意义上，相互抵消〕。相互关函数描述的是两个信号共同的局部〔特征)。9相互关函数与互功率谱密度(续)互协方差函数：性质：10相互关函数与互功率谱密度(续)相互关系数相互关系数越接近，两个信号越相像；反之，相互关系数越接近0，两个信号差异越大。互功率谱密度：互协方差函数的Fourier变换“零均值化”：均值不为0的信号减去其均值注：一些书将“零均值化”的相关函数的Fourier变换定义为功率谱。11两个随机信号的统计关系统计独立：统计不相关：正交：三者关系：统计独立一定统计不相关，反之一般不成立（高斯随机过程的统计不相关与统计独立是等价的）；若的均值均等于0，则不相关与正交等价；零均值的高斯信号，统计独立、不相关和正交三者等价。12两个随机信号的统计关系〔续〕相干信号〔Coherent)——拷贝信号相干积存：收集相干信号，以提高接收机信噪比13正交的物理意义两个向量正交任何一个向量到另一个向量的投影为零两个向量互不干扰14正交的两个典型应用1.在多址通信技术中的应用通信理论的根本结论：假设多个用户的信号可以做到正交，则这些用户可共享一个放射媒介。时分多址〔TDMA:time-divisionmultipleaccess):各个用户的信号波形在时域上无重叠正交（时域正交）用户1和用户2之间有一个爱护时隙共享：整个频带15正交的两个典型应用〔续〕

频分多址（FDMA:frequncy-divisionmultipleaccess):

各个用户信号的波形在频域上无重叠

频域正交用户1和用户2之间有一个保护频隙(频带)共享：整个时区16正交的两个典型应用〔续〕码分多址〔CDMA:code-divisionmultipleaccess):各个用户信号的波形在时域和频域都有重叠，但信号之间正交扩频码之间正交共享：整个时区和频带直接序列CDMA跳频CDMA：在相同时区，各个用户的信号在频域不重叠正交17正交的两个典型应用〔续〕2.离散Karhunen-Loeve〔K-L〕变换目的：希望削减W的系数个数，又能够重构原信号X18正交的两个典型应用〔续〕19正交的两个典型应用〔续〕最优化：约束条件：拉格郎日乘子法：Lagrangge乘子和基向量必须分别选取为自相关矩阵的特征值和特征向量20正交的两个典型应用〔续〕离散K-L变换若只有K个大特征值，其余M-K个特征值可忽略，则此时，均方误差可到达最小。21正交的两个典型应用〔续〕结论：用逼近，可使逼近（信号重构）的均方误差最小化，离散K-L变换是原信号的最优逼近。22正交的两个典型应用〔续〕利用离散K-L变换进展信号编码及其解码待放射信号：求样本自相关矩阵特征值分解，确定大特征值个数K，并存储K个特征向量信号编码实际发射：即可23正交的两个典型应用〔续〕24相关的应用CDMA接收机接收信号：25相干的应用无线通信中的多径信号为典型的相干信号加权系数选择：多径信号26相干的应用〔续〕RAKE接收：将全部具有较大能量的信号收集起来，并相加。这是一个典型的相干积存，可供给信干噪比〔由于总的能量增加〕。27随机信号的高阶特征功率谱估量，Wiener滤波器都是以信号的相关函数为工具。模型的多重性：考虑功率谱结论：由零极点模型(ARMA模型)产生的不同平稳随机过程(ARMA过程)的功率谱具有一样的外形。这一特性称为相关函数的多重性或模型的多重性。相关函数的局限性28随机信号的高阶特征〔续〕两个具有零均值和一样方差的高斯白色噪声和指数分布白色噪声明显是不同的随机过程，但它们的功率谱一样。用这样两个白色噪声鼓励同一个零极点模型，产生的两个平稳随机过程明显是不同的随机过程，但它们的功率谱一样。两个灰度图一样的图像有可能是不同的图像。结论：以上事实说明，要准确地刻画随机信号，仅使用相关函数(二阶统计量)是不够的，还必需使用更高阶的统计量。三阶和更高阶的统计量合称高阶统计量。-相关函数：刻画信号的粗糙像-高阶统计量：刻画信号的细节29内容随机信号的特征经典谱估量与现代谱估量参数模型法概述基于AR模型的谱估量法最大熵谱估量算法最小方差谱估量基于矩阵特征分解的谱估量高阶谱估量30经典谱估量与现代谱估量经典谱估量现代谱估量31经典谱估量根本思想：以傅立叶变换为根底，附以平均、加窗、平滑等预处理或后处理优缺点优点：简洁易行、计算效率高缺点：区分率低、旁瓣效应，数据时缺点更突出适用范围：长数据主要方法：B－T法、周期图法相互关系－二者存在联系，均承受加窗来改善特性－FFT的消失使二者获得新生，并引入细化FFT－都存在致命缺点：区分率低32现代谱估量算法根底以随机过程或信号的的参数模型为根底,故称为参数模型法或参数法历史沿革－从非工程领域(照试验数据和观测数据的处理、统计学)的时间序列分析(早已有之)到工程领域的现代谱估量－现代谱估量始于60年月，经受了从线性猜测滤波最大熵谱估量(Burg,1967)自回归谱估量方法(1968)Pisarenko谐波分解多信号分类算法(MUSIC,1981)HOS方法33内容随机信号的特征经典谱估量与现代谱估量参数模型法概述基于AR模型的谱估量法最大熵谱估量算法最小方差谱估量基于矩阵特征分解的谱估量高阶谱估量34参数模型法概述根本概念信号模型35根本概念参数模型法的根底信号的参数模型(即信号模型),而信号模型又以描述信号的离散随机过程的统计特性为根底。离散随机过程的统计描述概率描述统计平均描述－均值－均方差或方差－(自)相关函数与(自)协方差函数－功率谱密度〔简称功率谱〕函数

36信号模型根本考虑思路假设所争论的过程x(n)是由u(n)鼓励一个线性系统H(z)所产生的输出；如图1。由的x(n)或其自相关函数rx(n)来估量H(z)的参数；由H(z)的参数来估量x(n)的功率谱。好处：对一个争论对象建模是现代工程常用的方法使所争论的对象有一个简洁的数学表达式通过对模型的争论，使我们对争论对象有更深入的了解约束

H(z)是稳定因果移不变系统，单位脉冲响应是确定性的

x(n)可为平稳随机序列,亦可为确定性时间序列,取决于u(n)37信号模型

AR模型(自回归模型，Autogressive，全极点模型)

MA模型(滑动平均模型,Moving-Average,全零点模型)ARMA模型(自回归滑动平均模型)根本模型38信号模型模型与系统

信号模型不同于FIR系统和IIR系统，主要不同如下：信号模型鼓励源为(白)噪声,其输出为(平稳)随机序列信号模型具有两重性:本身是系统,描述的是信号。因此，对信号模型来说，-既要争论模型的系统特性(主要不是争论模型的系统特性)-又要争论信号的统计特性(主要争论模型描述的统计特性)平稳性与稳定性：系统稳定性与信号平稳性等价。相互关系AR模型与MA模型、ARMA模型的关系自相关函数、功率谱、信号模型〔时间序列信号模型〕信号模型与马尔可夫序列39内容随机信号的特征经典谱估量与现代谱估量参数模型法概述基于AR模型的谱估量法最大熵谱估量算法最小方差谱估量基于矩阵特征分解的谱估量高阶谱估量40基于AR模型的谱估量法AR模型法猜测滤波法等价关系41

AR模型法根本公式基于AR模型的谱估量由下式计算：故要求知道：模型的阶数p和p个参数以及鼓励源方差根本思路把这些参数与或估量的自相关函数联系起来，构成著名的Yule-Walker方程，迭代求解该方程得到新的参数42AR模型法

推导推导方法-通过对Sxx(z)求z反变换来获得Y-Wa方程-直接依据模型的差分方程导出具体推导考虑其差分方程为从而43AR模型法具体推导〔续〕考虑上式其次项的计算。设AR模型的脉冲响应为h(n),在方差为白噪声作用下产生输出x(n)，故有

于是有这就是著名的Y-W方程。44AR模型法具体推导〔续〕为求AR模型参数，应先由(2)式其次式选择m>0的p个方程求出p个模型参数，然后代入第易个方程求出。设自相关函数的头p+1个值为{r(0),r(1),…,r(p),则(2)式可表示为45猜测滤波法根本结果x(n)的线性猜测值为猜测误差为猜测误差功率为上式与(2)的其次式联立同样可得类似于(3)式的方程。46等价关系此时刚好对应