万有引力模型

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作业〔10%〕+笔记〔10%〕+考卷〔论文80%〕序言一教学目的1.通过讲解什么是数学模型,为什么学习数学模型等内容,使学生了解数学模型是用数学方法解决实际问题时的数学形式,它是实际问题和数学间的桥梁.2.使学生了解到在科学技术高度进展的今日,数学在解决实际问题中的功能不断提高,甚至是不行缺少的.3.在重大问题的决策中,对方案及可行性分析中,数学模型是特别重要的.4.让学生进一步把握数学的学科特点.5.了解数学的理论体系.6.了解数学之进展概况.7.培育学生运用数学工具解决实际问题的力量.8.培育学生的科研论文写作力量.二本课性质作为数学系毕业生,大局部从事初等数学教学的争论,而在大学学习阶段主要学习高等数学(这与初等数学相距甚远),这是为什么?实质:对数学有一个本质的理解(有利于数学的争论)-----居高临下.数学的一个重要方面:数学在实际中的应用.数学与其它学科一样,都是为人类生产斗争和社会实践效劳的.数学在与实践的关系中,不仅有理论上的价值与作用,而且对深入了解其它学科是有根底性的作用.数学的作用就是解决实际问题.有的就是直接解决实际问题.科学争论是由试验阶段进入理性阶段(以推理为主的),此时,数学的作用就更大了.例:卫星轨道确实定.(历史上海王星的觉察以及哈雷慧星的轨道计算都是由数学系算出来的)现在自然科学方面的论文(物理,化学,自动掌握,…)没有数学论证,价值就不大.定义:数学模型(MathematicalModel)是对客观世界中的某一特定对象,为了某个特定目的,作出一些必要的简化和假设,运用适宜的数学工具,得到的一个数学构造.(可以是公式,图表,图象等)解决实际问题的数学公式:三角形中的正弦公式:余弦公式:

公式,方程,曲线,图表…等为了解决实际问题,找出事物本身的机理,建立数学模型(简称建模).解出数学模型,找到规律.模型一.万有引力模型万有引力定律的觉察是人类走向科学的一项重大觉察.其作用之大是无法比较的.它为当今的天文学和航天科学奠定了根底.在这个模型中,包括两个局部:㈠.Newton是怎样通过数学方法得到这肯定律的;㈡.在比Newton更一般的状况下,用向量分析法推导定律.Newton推导万有引力的根底.①Kepler三定律.②Newton其次定律.Newton对“月球绕地球按圆形轨道运行”进展争论,第一次提出：“月球按圆形轨道运行是地球对月球的引力所致”.Newton通过计算圆运动的向心加速度,又依据Newton其次定律得到引力公式.为验证引力公式的正确性,他比较了通过引力所得的加速度与圆运动的向心加速度,计算结果二者是一样的.把这个无法通过试验证明的规律从理论上给出了证明.

Newton得到的万有引力定律是在特殊状况下得到的,对于一般状况,即椭圆轨道上的定律是否成立,还不能确定,Newton曾试图争论一般状况,但未成功.今日数学进展了,数学工具也增加了.用向量分析的方法,证明在椭圆轨道上运行的形体,受焦点上星体的引力,也是定律所表述的.要求学生了解Newton在知道万有引力过程中的想法,从Newton第肯定律(惯性定律:任何物体保持静止,匀速直线运动)动身,首先他考虑到:月球按圆形轨道运行,必有其动力学缘由,也就是必有看不见的外力在作用它.从这一坚决信念动身推得了定律.其次,当时通过试验方法是不能证明定律成立的.Newton通过他的其次定律(加速度定律),由引力产生的向心加速度与圆运动向心加速度相等的方法,证明定律的正确性.太阳系中各行星按椭圆轨道绕太阳运行,太阳在椭圆的一个焦点上,用向量分析法都能证出太阳对行星的引力符合万有引力定律.太水金地火木土天海冥九大行星示意图万有引力模型.Newton:1684年在《自然哲学》发表的.定律:宇宙中任何物体之间,都存在相互作用的吸引力.这种引力的大小与它们的质量乘积成正比,与二者距离的平方成反比,作用力方向沿两个物体联线方向.定律适用范围:大至宇宙,小至地球上任意两物体.(一)定律的来源探讨:不是通过试验得到的,而是通过数学推导得到的.此公式是Newton于1666年得到的,以后很多科学家都想通过试验证明它,都未成功.1740年.布格,Buger.1712年.马斯科林.Maskilin.1854年.艾里.Anlli.1880年.蒙登哈尔.Mengdenhar.他们的作法:把一个小山作为,在山的四周用线垂下一个小球,考察小球的偏摆,然后确定引力系数,都未成功.直到1798年(离Newton觉察定律130多年后),卡文迪斯(Cavendish)用很简单的试验确定了引力关系和定律的正确性,并确定了引力系数此后此数字相继得到修正.1892年.庞廷.Pantin.1895年.博斯.Boss.1930年.海尔.Hale.上面一些科学家的工作,都说明Newton制造万有引力定律时,不是通过试验得到的.(二)Newton制造万有引力定律,是从地心引力开头的,是从地球对月球的引力开头的.此前已有的力学,天体力学学问:苹果熟了往地上落.月球按圆形轨道绕地球运行.这些现象都有其动力学缘由.按牛顿的惯性定律:苹果应在原位置上始终不落,月球应按直线匀速运动.以上两种现象,违反了惯性定律,其中必有其动力学缘由.其中必有一种力作用着.这种力不是以明显的形式表现出.是以看不见的形式作用在苹果和月球上的(以场的形式作用着).这是地球产生的引力.当时Newton还想到,苹果被引力拉到地面上了,而月球没被拉下来,只影响了它的运行状态,由直线变成曲线.其缘由是距离越大,引力就越小;距离越小,引力就越大.从地球对月球的引力着手争论.月球沿圆形轨道围绕地球以匀速运行,地球在圆的中心.设地球引力为,则有.为月球质量,为向心加速度.圆运动向心加速度.地球心与月球心距离为.圆运动的速度为.设月球运行周期为,即经过的时间,月球运转一个周期,其走过的距离为.由Kepler第三定律知为椭圆的长半轴.(三)引力公式的验证得到的引力公式是否符合实际,对它的正确性要进展验证.方式:由圆运动推出的向心加速度由引力公式推出的向心加速度看二者是否相等?Newton在地球对月球的引力中,验证了他的公式.但是他认为必需在更大的范围内验证,以保证他的正确性.他着手争论太阳对于行星的引力来验证公式.由于行星轨道都是椭圆(长短轴相差较大),他用圆代替椭圆,把太阳放在焦点上.由于无法应用Kepler三定律,结果失败.今日,我们应用向量分析法很简洁证出.今日我们在太阳系中,推出太阳和各行星的引力(把地球对月球的引力推广到太阳系中成为万有引力).(五)万有引力定律的意义对于人类了解自然和指导人们实践,意义如何?有的人会认为:对于计算地球上两物体间的引力似乎意义不大,确实如此.但对于天体的争论,意义就特别大了.1.在太阳系中应用万有引力定律.经过计算,觉察了新的行星----海王星.海王星的觉察:1781年Herschel通过天文观测觉察了天王星(体积是地球的100倍),天文学家观看这颗行星的运行轨道时,觉察它不是椭圆.某些地方觉察特别.对此现象的解释:一些人认为在太阳系的边界上,万有引力定律可能不成立,才消失此状态.但也有些天文学家从万有引力定律动身来分析这种现象,认为产生这种现象的缘由是天王星轨道四周存在一颗现在还看不见的星体,是它对天王星摄动的结果法国天文学家Leverrier就持有这种观点,依据万有引力定律争论天王星的特别.通过计算确定了那颗看不见的行星的位置,质量及其运行轨道.(承受微分方程的数值解法)Leverrier把自己的计算结果和算法告知了柏林天文台.不长时间后,在1846.9.23,通过天文学家的搜寻,就在Leverrier指定的空域上找到了这颗行星,其质量和运行轨道和Leverrier所得的结论完全一样.此行星称为海王星,居太阳第八颗行星.(水金