复变函数与积分变换课后习题答案

复变函数与积分变换〔修订版〕主编：马柏林〔复旦大学出版社〕——课后习题答案习题一1.用复数的代数形式a+ib表示以下复数.①解②解：③解：④解：2.求以下各复数的实部和虚部(z=x+iy)R);： ∵设z=x+iy那么∴, ．②解： 设z=x+iy∵∴, ．③解： ∵∴, ．④解： ∵∴, ．⑤解： ∵．∴当时，，； 当时，，．3.求以下复数的模和共轭复数①解：．②解：③解：．④解：4、证明：当且仅当时，z才是实数． 证明：假设，设， 那么有，从而有，即y=0∴z=x为实数． 假设z=x，x∈，那么．∴． 命题成立．5、设z,w∈C，证明： 证明∵∴．6、设z,w∈C，证明以下不等式．并给出最后一个等式的几何解释．证明：在上面第五题的证明已经证明了．下面证．∵．从而得证．∴几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将以下复数表示为指数形式或三角形式①解：其中．②解：其中．③解：④解：.∴⑤解：解：∵．∴8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i的三次根．解：∴．⑵-1的三次根解：∴⑶的平方根．解： ∴∴．9.设.证明：证明：∵∴，即．∴又∵n≥2．∴z≠1 从而11.设是圆周令,其中.求出在a切于圆周的关于的充分必要条件.解：如下图． 因为={z:=0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，那么CA⊥．过C作直线平行，那么有∠BCD=β，∠ACB=90° 故α-β=90° 所以在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出以下各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.解：(1)、argz=π．表示负实轴．(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=．(3)、1<|z+i|<2解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。〔4〕、Re(z)>Imz．解：表示直线y=x的右下半平面5、Imz>1，且|z|<2．解：表示圆盘内的一弓形域。习题二1.求映射下圆周的像.解：设那么因为,所以所以,所以即，表示椭圆.2.在映射下，以下z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设或.〔1〕；〔2〕;(3)x=a,y=b.(a,b为实数)解：设所以(1)记，那么映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即(2)记，那么映成了w平面上扇形域，即(3)记，那么将直线x=a映成了即是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了即是以原点为焦点，张口向右抛物线如下图.3.求以下极限.(1);解：令,那么.于是.(2);解：设z=x+yi，那么有显然当取不同的值时f(z)的极限不同所以极限不存在.〔3〕；解：=.〔4〕.解：因为所以.4.讨论以下函数的连续性：(1)解：因为,假设令y=kx,那么,因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.(2)解：因为,所以所以f(z)在整个z平面连续.5.以下函数在何处求导？并求其导数.(1)(n为正整数)；解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导..(2).解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在处不可导.从而f(z)除外可导.(3).解：f(z)除外处处可导，且.(4).解：因为.所以f(z)除z=0外处处可导，且.6.试判断以下函数的可导性与解析性.(1);解：在全平面上可微.所以要使得，,只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(2).解：在全平面上可微.只有当z=0时,即(0,0)处有,.所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(3);解：在全平面上可微.所以只有当时，才满足C-R方程.从而f(z)在处可导，在全平面不解析.(4).解：设，那么所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.7.证明区域D内满足以下条件之一的解析函数必为常数.(1);证明：因为，所以,.所以u,v为常数，于是f(z)为常数.(2)解析.证明：设在D内解析,那么而f(z)为解析函数，所以所以即从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数.(3)Ref(z)=常数.证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1,因为f(z)解析，C-R条件成立。故即u=C2从而f(z)为常数.(4)Imf(z)=常数.证明：与〔3〕类似，由v=C1得因为f(z)解析，由C-R方程得,即u=C2所以f(z)为常数.5.|f(z)|=常数.证明：因为|f(z)|=C，对C进行讨论.假设C=0，那么u=0,v=0,f(z)=0为常数.假设C0，那么f(z)0,但，即u2+v2=C2那么两边对x,y分别求偏导数，有利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，有所以所以即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.(6)argf(z)=常数.证明：argf(z)=常数，即,于是得C-R条件→解得，即u,v为常数，于是f(z)为常数.8.设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：因为f(z)解析，从而满足C-R条件.所以.9.试证以下函数在z平面上解析，并求其导数.(1)f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i证明：u(x,y)=x3-3xy2,v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上满足C-R方程，处处可导，处处解析..(2).证明：处处可微，且所以,所以f(z)处处可导，处处解析.10.设求证：(1)f(z)在z=0处连续． (2)f(z)在z=0处满足柯西—黎曼方程． (3)f′(0)不存在．证明.(1)∵而∵∴∴同理∴∴f(z)在z=0处连续．(2)考察极限当z沿虚轴趋向于零时，z=iy，有．当z沿实轴趋向于零时，z=x，有它们分别为∴∴满足C-R条件．(3)当z沿y=x趋向于零时，有∴不存在．即f(z)在z=0处不可导．11.设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，假设f(z)在区域D内解析，求证在区域D1内解析．证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D内解析．所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程，即．，得故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R条件从而在D1内解析13.计算以下各值(1)e2+i=e2∙ei=e2∙(cos1+isin1)(2)(3)(4)14.设z沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f(z)=z+ez的极限．解：令z=reiθ， 对于θ，z→∞时，r→∞． 故． 所以．15.计算以下各值．(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)16.试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性．解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz除负实轴及原点外处处连续．设z=x+iy，在复平面内可微．故g(z)=|z|在复平面上处处不可导．从而f(x)=|z|+lnz在复平面上处处不可导．f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续．17.计算以下各值．(1)(2)(3)18.计算以下各值(1)(2)(3)(4)(5)(6)19.求解以下方程(1)sinz=2．解：(2)解：即(3)解：即(4)解：．20.假设z=x+iy，求证(1)sinz=sinxchy+icosx∙shy证明：(2)cosz=cosx∙chy-isinx∙shy证明：(3)|sinz|2=sin2x+sh2y证明：(4)|cosz|2=cos2x+sh2y证明：21.证明当y→∞时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大．证明：∴ 而 当y→+∞时，e-y→0，ey→+∞有|sinz|→∞． 当y→-∞时，e-y→+∞，ey→0有|sinz|→∞．同理得所以当y→∞时有|cosz|→∞．习题三1.计算积分,其中C为从原点到点1+i的直线段.解设直线段的方程为,那么.故2.计算积分，其中积分路径C为(1)从点0到点1+i的直线段;(2)沿抛物线y=x2，从点0到点1+i的弧段.解(1)设.(2)设.3.计算积分，其中积分路径C为(1)从点-i到点i的直线段;(2)沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i到点i;(3)沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i到点i.解(1)设.(2)设.从到(3)设.从到6.计算积分,其中为.解∵在所围的区域内解析∴从而故7.计算积分,其中积分路径为〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解：〔1〕在所围的区域内，只有一个奇点.〔2〕在所围的区域内包含三个奇点.故〔3〕在所围的区域内包含一个奇点,故〔4〕在所围的区域内包含两个奇点,故10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算以下积分.(1)(2)(3)(4)(5)(6)解(1)(2)(3)(4)(5)(6)11.计算积分,其中为(1)(2)(3)解(1)(2)(3)16.求以下积分的值,其中积分路径C均为|z|=1.(1)(2)(3)解(1)(2)(3)17.计算积分,其中积分路径为(1)中心位于点,半径为的正向圆周(2)中心位于点,半径为的正向圆周解：(1)内包含了奇点∴(2)内包含了奇点,∴19.验证以下函数为调和函数.解(1)设,∴从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.(2)设,∴从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.20.证明:函数,都是调和函数,但不是解析函数证明:∴,从而是调和函数.∴,从而是调和函数.但∵∴不满足C-R方程,从而不是解析函数.22.由以下各调和函数,求解析函数(1)(2)解(1)因为所以令y=0,上式变为从而(2)用线积分法，取〔x0,y0〕为(1,0)，有由，得C=0,其中各不相同，闭路C不通过,证明积分等于位于C内的p(z)的零点的个数.证明:不妨设闭路C内的零点的个数为k,其零点分别为24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式):设f(z)在闭路C及其外部区域D内解析，且，那么其中G为C所围内部区域.证明：在D内任取一点Z，并取充分大的R，作圆CR:，将C与Z包含在内那么f(z)在以C及为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有因为在上解析，且所以，当Z在C外部时，有即设Z在C内，那么f(z)=0，即故有：习题四复级数与都发散,那么级数和发散.这个命题是否成立?为什么?答.不一定．反例:发散但收敛发散收敛.2.以下复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1)(2)(3)(4)(5)解(1)因为发散,所以发散(2)发散又因为所以发散(3)发散,又因为收敛,所以不绝对收敛.(4)因为所以级数不绝对收敛.又因为当n=2k时,级数化为收敛当n=2k+1时,级数化为也收敛所以原级数条件收敛(5)其中发散,收敛所以原级数发散.3.证明:假设,且和收敛,那么级数绝对收敛.证明:设因为和收敛所以收敛又因为,所以且当n充分大时,所以收敛而收敛，收敛所以收敛，从而级数绝对收敛.的敛散性解因为局部和，所以，，不存在.当而时〔即〕，cosnθ和sinnθ都没有极限,所以也不收敛．.故当和时,收敛.能否在z=0处收敛而在z=3处发散.解：设，那么当时，级数收敛，时发散.假设在z=0处收敛,那么假设在z=3处发散,那么显然矛盾,所以幂级数不能在z=0处收敛而在z=3处发散6.以下说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2)每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答:(1)不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.(2)不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.的收敛半径为R,求的收敛半径。解：因为所以8.证明：假设幂级数的系数满足，那么(1)当时,(2)当时,(3)当时,证明：考虑正项级数由于，假设，由正项级数的根值判别法知，当，即，收敛。当，即，不能趋于零,.当时,,级数收敛且.假设,对当充分大时,必有9.求以下级数的收敛半径，并写出收敛圆周。(1)(2)(3)(4)解:(１)收敛圆周(2)所以收敛圆周(3)记由比值法,有要级数收敛,那么级数绝对收敛,收敛半径为所以收敛圆周(4)记所以时绝对收敛,收敛半径收敛圆周10.求以下级数的和函数.(1)(2)解:(1)故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：所以于是有：(2)令：故R=∞,由逐项求导性质由此得到即有微分方程故有：，A,B待定。所以收敛，而发散，证明的收敛半径为1证明：因为级数收敛设假设的收敛半径为1那么现用反证法证明假设那么，有，即收敛，与条件矛盾。假设那么，从而在单位圆上等于，是收敛的，这与收敛半径的概念矛盾。综上述可知，必有，所以在点处发散，证明级数对于所有满足点都发散.证明：不妨设当时，在处收敛那么对，绝对收敛，那么在点处收敛所以矛盾,从而在处发散.在点处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收敛半径.解:因为奇点为所以又于是，有展开式在点处展开为泰勒级数,(到项)解：为的奇点，所以收敛半径又于是，在处的泰勒级数为15.用间接法将以下函数展开为泰勒级数，并指出其收敛性.(1)分别在和处(2)在处(3)在处(4)在处(5)在处解〔1〕(2)(3)(4)(5)因为从沿负实轴不解析所以,收敛半径为R=1内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时，展开式的系数都是实数？答：因为当取实数值时，与的泰勒级数展开式是完全一致的，而在内，的展开式系数都是实数。所以在内，的幂级数展开式的系数是实数.的以为中心的各个圆环域内的罗朗级数.解:函数有奇点与,有三个以为中心的圆环域,其罗朗级数.分别为：内将展开成罗朗级数.解:令那么而在内展开式为所以,代入可得20.有人做以下运算,并根据运算做出如下结果因为,所以有结果你认为正确吗?为什么?答:不正确,因为要求而要求所以,在不同区域内21.证明:用z的幂表示的罗朗级数展开式中的系数为证明:因为和是的奇点，所以在内，的罗朗级数为其中其中C为内任一条绕原点的简单曲线.22.是函数的孤立奇点吗?为什么?解:因为的奇点有所以在的任意去心邻域，总包括奇点，当时，z=0。从而不是的孤立奇点.23.用级数展开法指出函数在处零点的级.解：故z=0为f(z)的15级零点24.判断是否为以下函数的孤立奇点，并确定奇点的类型：⑴；⑵解:是的孤立奇点因为所以是的本性奇点.(2)因为所以是的可去奇点.25.以下函数有些什么奇点？如果是极点，指出其点：⑴⑵⑶解:(1)所以是奇点,是二级极点.解:(2)是奇点,是一级极点,0是二级极点.解:(3)是的二级零点而是的一级零点,是的一级零点所以是的二级极点,是的一级极点.26.判定以下各函数的什么奇点？⑴⑵⑶解:(1)当时,所以,是的可去奇点.(2)因为所以,是的本性奇点.(3)当时,所以,是的可去奇点.27.函数在处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式：.我们得到“又是的本性奇点〞，这两个结果哪一个是正确的？为什么?内得到的在内的罗朗展开式为，求积分的值(1)(2)解：〔1〕先将展开为罗朗级数，得而=3在内，,故(2)在内处处解析，罗朗展开式为而=3在内，,故习题五1.求以下函数的留数．(1)在z=0处．解：在0<|z|<+∞的罗朗展开式为∴(2)在z=1处．解：在0<|<+∞的罗朗展开式为∴．2.利用各种方法计算f(z)在有限孤立奇点处的留数．(1)解：的有限孤立奇点处有z=0，z=-2．其中z=0为二级极点z=-2为一级极点．∴3.利用罗朗展开式求函数在∞处的留数．解：∴从而5.计算以下积分．(1)，n为正整数，c为|z|=n取正向．解：．为在c内tanπz有(k=0,±1,±2…±(n-1))一级极点由于∴(2)c:|z|=2取正向．解：因为在c内有z=1，z=-i两个奇点．所以6.计算以下积分．(1)因被积函数为θ的偶函数，所以令那么有设那么被积函数在|z|=1内只有一个简单极点但所以又因为∴(2)，|a|>1．解：令令z=eiθ．，那么得(3)，a>0，b>0．解：令，被积函数R(z)在上半平面有一级极点z=ia和ib．故〔4〕.，a>0．解：令，那么z=±ai分别为R(z)的二级极点故(5)，β>0，b>0．解：而考知，那么R(z)在上半平面有z=bi一个二级极点．从而(6)，a>0解：令，在上半平面有z=ai一个一级极点7.计算以下积分(1)解：令，那么R(z)在实轴上有孤立奇点z=0，作以原点为圆心、r为半径的上半圆周cr，使CR,[-R,-r],Cr,[r,R]构成封闭曲线，此时闭曲线内只有一个奇点i,于是：而．故：．(2)，其中T为直线Rez=c,c>0,0<a<1解：在直线z=c+iy(-∞<y<+∞)上，令，，收敛，所以积分是存在的，并且其中AB为复平面从c-iR到c+iR的线段．考虑函数f(z)沿长方形-R≤x≤c，-R≤y≤R周界的积分．＜如以下图＞因为f(z)在其内仅有一个二级极点z=0，而且所以由留数定理．而．习题六1.求映射下，以下曲线的像.(1)(，为实数)解：,所以将映成直线.(2)(k为实数)解：故将映成直线.2.以下区域在指定的映射下映成什么？〔1〕；解：所以.故将映成.(2)Re(z)>0.0<Im(z)<1,.解：设z=x+iy,x>0,0<y<1.Re(w)>0.Im(w)>0.假设w=u+iv,那么因为0<y<1,那么故将Re(z)>0,0<Im(zRe(w)>0,Im(w)>0,(以〔,0〕为圆心、为半径的圆)3.求w=z2在z=i处的伸缩率和旋转角，问w=z2将经过点z=i且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w平面上哪一个方向？并作图.解：因为=2z,所以(i)=2i,||=2,旋转角arg=.于是,经过点i且平行实轴正向的向量映成w平面上过点-1，且方向垂直向上的向量.如下图.→4.一个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？映射w=z2在z平面上每一点都具有这个性质吗？答：一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w=z2在z=0处导数为零，所以在z=0处不具备这个性质.5.求将区域0<x<1变为本身的整体线性质变换的一般形式.6.试求所有使点不动的分式线性变换.解：设所求分式线性变换为(ad-bc0)由.得因为,即,由代入上式，得.因此令，得其中a为复数.反之也成立，故所求分式线性映射为，a为复数.7.假设分式线性映射，将圆周|z|=1映射成直线那么其余数应满足什么条件？解：假设将圆周|z|=1映成直线，那么映成.而落在单位圆周|z|=1,所以,|c|=|d|.故系数应满足ad-bc0,且|c|=|d|.8.试确定映射，作用下，以下集合的像.(1);(2)|z|=2;(3)Im(z)>0.解：(1)Re(z)=0是虚轴，即z=iy代入得.写成参数方程为，,.消去y得，像曲线方程为单位圆,即u2+v2=1.(2)|z|=2.是一圆围，令.代入得化为参数方程.消去(3)当Im(z)>0时，即,令w=u+iv得.即v>0,故Im(z)>0的像为Im(w)>0.9.求出一个将右半平面Re(z)>0映射成单位圆|w|<1的分式线性变换.解：设映射将右半平面z0映射成w=0，那么z0关于轴对称点的像为，所以所求分式线性变换形式为其中k为常数.又因为,而虚轴上的点z对应|w|=1,不妨设z=0，那么故.10.映射将映射成,实数的几何意义显什么？解：因为从而所以故表示在单位圆内处的旋转角.11.求将上半平面Im(z)>0,映射成|w|<1单位圆的分式线性变换w=f(z)，并满足条件(1)f(i)=0,=0;(2)f(1)=1,f(i)=.解：将上半平面Im(z)>0,映为单位圆|w|<1的一般分式线性映射为w=k(Im()>0).(1)由f(i)=0得=i，又由arg,即,，得，所以.(2)由f(1)=1,得k=；由f(i)=,得k=联立解得.12.求将|z|<1映射成|w|<1的分式线性变换w=f(z)，并满足条件：(1)f()=0,f(-1)=1.(2)f()=0,,(3)f(a)=a,.解：将单位圆|z|<1映成单位圆|w|<1的分式线性映射，为,||<1.(1)由f()=0，知.又由f(-1)=1，知.故.(2)由f()=0，知，又，于是.(3)先求，使z=a，,且|z|<1映成||<1.那么可知再求w=g()，使=0w=a,,且||<1映成|w|<1.先求其反函数,它使|w|<1映为||<1,w=a映为=0，且,那么.因此，所求w由等式给出..13.求将顶点在0，1，i的三角形式的内部映射为顶点依次为0，2，1+i的三角形的内部的分式线性映射.解：直接用交比不变性公式即可求得∶=∶.=..14.求出将圆环域2<|z|<5映射为圆环域4<|w|<10且使f(5)=-4的分式线性映射.解：因为z=5,-5,-2,2映为w=-4,4,10,-10,由交比不变性，有∶=∶故w=f(z)应为∶=∶即=.讨论求得映射是否符合要求，由于w=f(z)将|z|=2映为|w|=10，且将z=5映为w=-4.所以|z|>2映为|ww=f(z)将|z|=5映为|w|=4，将z=2映为w=-10，所以将|z|<5映为|w|>4，由此确认，此函数符合要求.将z平面上的曲线映射到w平面上的什么曲线？解：略.16.映射w=ez将以下区域映为什么图形.(1)直线网Re(z)=C1,Im(z)=C2;(2)带形区域;(3)半带形区域.解：〔1〕令z=x+iy,Re(z)=C1,z=C1+iy,Im(z)=C2,那么z=x+iC2故将直线Re(z)映成圆周；直线Im(z)=C2映为射线.〔2〕令z=x+iy，,那么故将带形区域映为的张角为的角形区域.〔3〕令z=x+iy，x>0，0<y<,.那么故将半带形区域Re(z)>0,0<Im(z)<,映为|w|>1,().17.求将单位圆的外部|z|>1保形映射为全平面除去线段-1<Re(w)<1,Im(w)=0的映射.解：先用映射将|z|>1映为|w1|<1,再用分式线性映射.将|w1|<1映为上半平面Im(w2)>0,然后用幂函数映为有割痕为正实轴的全平面，最后用分式线性映射将区域映为有割痕[-1,1]的全平面.故.18.求出将割去负实轴,Im(z)=0的带形区域映射为半带形区域,Re(w)>0的映射.解：用将区域映为有割痕(0,1)的右半平面Re(w1)>0；再用将半平面映为有割痕(-,-1]的单位圆外域；又用将区域映为去上半单位圆内部的上半平面；再用将区域映为半带形0<Im(w4)<,Re(w4)>0；最后用映为所求区域，故.19.求将Im(z)<1去掉单位圆|z|<1保形映射为上半平面Im(w)>0的映射.解：略.20.映射将半带形区域0<Re(z)<,Im(z)>0保形映射为平面上的什么区域.解：因为可以分解为w1=iz，，由于在所给区域单叶解析，所以〔1〕w1=iz将半带域旋转，映为0<Im(w1)<,Re(w1)<0.〔2〕将区域映为单位圆的上半圆内部|w2|<1,Im(w2)>0.〔3〕将区域映为下半平面Im(w)<0.MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h习题七1.证明：如果f(t)满足傅里叶变换的条件，当f(t)为奇函数时，那么有其中当f(t)为偶函数时，那么有其中证明：因为其中为f(t)的傅里叶变换当f(t)为奇函数时，为奇函数，从而为偶函数，从而故有为奇数。=所以，当f(t)为奇函数时，有同理，当f(t)为偶函数