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文档简介
第一章空间向量与立体几何课时1.4.2空间向量的应用〔02〕用空间向量研究距离、夹角问题1.理解空间角、空间距离的概念。2.会用向量法求空间角。3.会用向量法求空间距离。根底过关练题组一用空间向量求空间的距离问题1.如下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=2,E,F分别是面A1B1C1D1,面BCC1B1的中心,那么E,F两点间的距离为()A.1B.52C.622.平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,那么点P(-2,1,4)到α的距离为()A.10B.3C.83D.3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD的中点,M是棱CC1上的点,且CC1=3CM,那么直线BM与B1N之间的距离为.
4.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0<λ<2),那么点G到平面D1EF的距离为.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=6,AB=4.(1)求证:M为PB的中点;(2)求点C到平面BDP的距离d.题组二用空间向量求空间角的问题6.设平面α与平面β的夹角为θ,假设平面α,β的法向量分别为n1,n2,那么cosθ=()A.n1·C.|n17.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1B1的中点,那么异面直线AM与B1C所成角的余弦值为()A.105B.1010C.38.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,那么平面A1ED与平面ABCD的夹角的余弦值为()A.12B.23C.39.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3)和(2,2,4),那么这个二面角的余弦值为.
10.点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,那么平面AEF与平面ABC所成角的正切值为.
11.如图,在长方体A1B1C1D1-ABCD中,AB=3,BC=1,AA1=2,E为A1D的中点.(1)求直线EC1与A1B所成角的余弦值;(2)假设F为BC的中点,求直线EC1与平面FA1D1所成角的正弦值.能力提升练题组一用空间向量求空间距离1.()在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2,A.55B.C.2D.52.()如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,那么点Q到平面PEF的距离()A.等于55aB.和EFC.等于23aD.和点Q3.(多项选择)()正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E、O分别是A1B1、A1C1的中点,P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23AA.点A到直线BE的距离是5B.点O到平面ABC1D1的距离为2C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为3D.点P到直线AB的距离为254.()如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在正方形BCC1B1内及其边界上运动,并且总保持B1P∥平面A1BD,那么动点P的轨迹的长度是.
5.()正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M、N、P分别在棱AB、BC、CC1上,且AM=1,BN=2,CP=3.过M、N、P三点的平面交AC1于点Q,那么A、Q两点间的距离为.
6.()如图,四边形ABCD为矩形,四边形ABEF为直角梯形,FA⊥AB,AD=AF=FE=1,AB=2,AD⊥BE.(1)求证:BE⊥DE;(2)求点F到平面CBE的距离.题组二用空间向量求空间角7.()正四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,那么直线AC与平面SBC所成角的正弦值为()A.36B.66C.38.()在直三棱柱A1B1C1-ABC中,∠BCA=90°,D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,那么BD1与AF1所成角的余弦值是()A.3010B.12C.309.()菱形ABCD中,∠ABC=60°,沿对角线AC折叠之后,使得平面BAC⊥平面DAC,那么二面角B-CD-A的余弦值为()A.2B.12C.3310.()如图1,四边形ABCD与四边形ADEF分别为正方形和等腰梯形,AD∥EF,AF=2,AD=4,EF=2,沿AD边将四边形ADEF折起,使得平面ADEF⊥平面ABCD,如图2,动点M在线段EF上,N,G分别是AB,BC的中点,设异面直线MN与AG所成的角为α,那么cosα的最大值为()A.3010B.105C.1011.(多项选择)()如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AD=4,AB=2,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD为等腰直角三角形,且∠PAD=π2,O为底面ABCD的中心,E为PD的中点,F在棱PA上,假设FAPA=λ,λ∈[0,1],那么以下说法正确的有(A.异面直线PO与AD所成角的余弦值为21B.异面直线PO与AD所成角的余弦值为2C.假设平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为55,那么λ=D.假设平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为55,那么λ=12.()如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=AA1=2BC=2,D为AA1上一点.假设二面角B1-DC-C1的大小为30°,那么AD的长为.
题组三用空间向量解决探索性问题13.()如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=22,BC=42,PA=4.(1)求证:AB⊥PC;(2)在线段PD上是否存在一点M(不与P,D重合),使得平面MAC与平面ACD夹角的大小为45°?假设存在,求BM与平面MAC所成角的正弦值;假设不存在,请说明理由.14.()如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M为棱PC上的动点,且PMPC=λ(λ∈[0,1]).(1)求证:△PBC为直角三角形;(2)试确定λ的值,使得平面PAD与平面ADM夹角的余弦值为25答案全解全析根底过关练1.C以点A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,那么点E(1,1,2),F2,1,22,所以|EF|=(2-1)2+(12.D由得PA=(1,2,-4),故点P到平面α的距离为|PA·n||n|3.答案6解析设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,那么B(1,1,0),B1(1,1,1),M0,1,13,N12,0,0,∴BB1=(0,0,1),BM=设直线BM与B1N的公垂线方向上的向量n=(x,y,z),由n·BM=0,n·B1得-令x=2,那么z=6,y=-7,∴n=(2,-7,6).设直线BM与B1N之间的距离为d,那么d=|BB1·n4.答案2解析由题意得A1B1∥EF,A1B1⊄平面D1EF,EF⊂平面D1EF,所以A1B1∥平面D1EF,那么点G到平面D1EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,那么D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),A1(2,0,2),所以D1E=(2,0,-1),D1设平面D1EF的法向量为n=(x,y,z),那么2令x=1,那么y=0,z=2,所以平面D1EF的一个法向量n=(1,0,2).点A1到平面D1EF的距离为A1E·n|n|=-1×25=2解题反思当直线l与一个平面α平行时,这条直线上任意一点到该平面的距离都相等,此题利用A1B1∥平面D1EF,将点G到平面D1EF的距离转化为点A1到平面D1EF的距离,在计算过程中摆脱了对参数λ的依赖,简化了解题过程.5.解析(1)证明:如图,设AC∩BD=O,∵四边形ABCD为正方形,∴O为BD的中点.连接OM.∵PD∥平面MAC,PD⊂平面PBD,平面PBD∩平面MAC=OM,∴PD∥OM,∴BOBD=BMBP,即M为PB(2)取AD的中点G,∵PA=PD,∴PG⊥AD,∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PG⊥平面ABCD,连接OG,那么PG⊥OG,由G是AD的中点,O是AC的中点,可得OG∥DC,那么OG⊥AD.以G为坐标原点,GD、GO、GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由PA=PD=6,AB=4,得D(2,0,0),P(0,0,2),C(2,4,0),B(-2,4,0),M-1,2,22,那么DP=(-2,0,2),设平面BDP的法向量为m=(x,y,z),那么由m·DP=0,m·DB=0,得-2x又CM=-3,-2,22,那么点C到平面BDP的距离d=6.B由两个平面的夹角概念知,cosθ=n1·n2|7.A以D为坐标原点,建立如下图的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,那么A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),∴B1∴|B1C|=∵M为A1B1的中点,∴M1,1∴AM=0,1∴|AM|=52∴异面直线AM与B1C所成角的余弦值为|cos<AM,B1C>|=AM·B18.B以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如下图的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,那么A1(0,0,1),E1,0,1∴A1D=(0,1,-1),A1设平面A1ED的法向量为n1=(x,y,z),那么有A1D·n1=0,A1E·易得平面ABCD的一个法向量n2=AA1=(0,0,1),∴|cos<n1,n2>|=23即平面A1ED与平面ABCD的夹角的余弦值为239.答案±15解析由(0,-1,3)·(2,2,4)1+9×4+4+16=-2+121010.答案2解析如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,设DA=1,由条件得D(0,0,0),A(1,0,0),E1,1,13,F0,1,23,D1(0,0,1),那么AE=0,1,13,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),平面AEF与平面ABC所成角为θ,由n·AE令y=1,那么z=-3,x=-1,所以n=(-1,1,-3),易得平面ABC的一个法向量m=D1那么cosθ=|cos<n,m>|=311又θ∈[0,π],所以sinθ=2211,所以tanθ=211.解析(1)以A1为原点,A1B1,A1D1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,可得E0,12,1,C1(3,1,0),B(3,0,2),A1(0,0,0),那么EC1=3设直线EC1与A1B的夹角为α,那么cosα=|cos<EC1,=|EC1(2)易得F3,12,2,A1D1=(0,1,0),A1F=3,令x=-2,得z=3,所以平面FA1D1的一个法向量为n=(-2,0,3),设直线EC1与平面FA1D1所成的角为θ,那么sinθ=|cos<n,EC1>|=|n能力提升练1.B以底面中心O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图.那么O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2),设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,将A,B,P3点的坐标代入计算得A=0,B=-D,C=-12D,所以方程可化为-Dy-12Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以d=|2×2.A取B1C1的中点G,连接PG,CG,DP,那么PG∥CD,所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,B错.又A1B1∥平面PGCD,所以点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离,与点Q的位置无关,D错.如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,那么C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),Pa2,0,a,∴DC=(0,a,0),DA1=(a,0,a),设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,那么由n·DP令z=1,那么x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量.设点Q到平面PEF的距离为d,那么d=DA1·n|n|=-2a+3.BC如图,建立空间直角坐标系,那么A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E12,0,1,所以BA=(-1,0,0),BE=设∠ABE=θ,那么cosθ=|BA·BE||BA||BE|故A到直线BE的距离d1=|BA|sinθ=1×255=255,易知C1O=12平面ABC1D1的一个法向量DA1=(0,-1,1),那么点O到平面ABC1D1的距离d2=|DA1·C1OA1B=(1,0,-1),A1设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),那么n·A令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).所以点D1到平面A1BD的距离d3=|A1D1·因为易证得平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33,故C对因为AP=34AB+12AD+23AA1,所以AP=34,12,23,又AB=(1,0,0),那么AP·AB|AB解题反思线面距、面面距实质上都是点面距,求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行.4.答案2解析如图,建立空间直角坐标系Dxyz.那么D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),设动点P(x,1,z),∴DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0),设平面A1BD的法向量为n=(a,b,c),那么n·DA1=0,n·DB=0,∴b=c=-a,取n=(1,-1,-1).∵B1P∥平面A1BD,∴n·B1P=0,于是(x-1)-(z-1)=0,即x=z,连接B∴点P在正方形BCC1B1的对角线B1C上,∴动点P的轨迹的长度即对角线B1C的长,为2.5.答案23解析如图,建立空间直角坐标系,那么A(0,0,0),C1(4,4,4),M(1,0,0),N(4,2,0),P(4,4,3),∴MN=(3,2,0),NP=(0,2,3),AC1=(4,4,4),∵过M、N、P三点的平面交AC1于点Q,∴点Q在线段AC1上,点Q在平面MNP内,∴可设AQ=λAC1=(4λ,4λ,4λ),0≤λ≤1,MQ=xMN+y又MQ=AQ-AM=(4λ-1,4λ,4λ),∴4λ-1=3∴AQ=(2,2,2),|AQ|=23,即A、Q两点间的距离为23.6.解析∵四边形ABCD为矩形,∴AD⊥AB,又AD⊥BE,AB∩BE=B,∴AD⊥平面ABEF,又AD⊂平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面ABEF.∵FA⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,∴FA⊥平面ABCD.∴FA⊥AD.(1)证明:如图,建立空间直角坐标系,那么B(0,2,0),C(1,2,0),D(1,0,0),E(0,1,1),F(0,0,1),∴BE=(0,-1,1),DE=(-1,1,1),∴BE·DE=0×(-1)+(-1)×1+1×1=0,∴BE⊥DE,∴BE⊥DE.(2)由(1)得BC=(1,0,0),BE=(0,-1,1),FE=(0,1,0),设n=(x,y,z)是平面CBE的法向量,那么由n·BC令y=1,得z=1,∴n=(0,1,1)是平面CBE的一个法向量.设点F到平面CBE的距离为d,那么d=FE·n|n|∴点F到平面CBE的距离为227.C连接BD,AC,交于点O,连接OS,那么SO⊥平面ABCD,OA⊥OB,建立如下图的空间直角坐标系,那么A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),所以SB=(0,2,-2),SC=(-2,0,-2),设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),那么由n⊥SB,n⊥SC,得2y-2z=0,-2又AC=(-22,0,0),设直线AC与平面SBC所成角为θ,那么sinθ=|cos<AC,n>|=AC·n|AC||应选C.8.A如图,设BC=CA=CC1=1,那么A(1,0,1),B(0,1,1),D112,12∴BD1=AF1=∴|cos<BD1,A=3414应选A.9.D设菱形ABCD的边长为1,取AC的中点O,连接BO、DO,因为∠ABC=60°,所以BO⊥AC,又平面BAC⊥平面DAC,平面BAC∩平面DAC=AC,所以BO⊥平面ACD,如图建系,那么O(0,0,0),C12,0,0,B0,0,3所以OB=0,0,32,BC=12,0,-3设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),那么BC·n令z=1,得x=3,y=1,那么n=(3,1,1),易知平面CDA的一个法向量为OB=0,0,32,所以|cos<OB,n>|=323210.A如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,由题意可得A(0,0,0),G(4,2,0),N(2,0,0),∴AG=(4,2,0),∵AD∥EF,动点M在线段EF上,∴可设M(0,y,1),y∈[1,3].∴NM=(-2,y,1),∴cosα=|cos<AG,NM>|=|AG·NM||令t=4-y,那么t∈[1,3],y=4-t,∴cosα=t5×5+(4-t)2=5当t=3时,cosα取最大值,(cosα)max=3010.应选11.BC∵∠PAD=π2∴PA⊥AD,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,∴PA⊥平面ABCD,∵底面ABCD为矩形,∴AB,AD,AP两两垂直.以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如下图,那么A(0,0,0),B(2,0,0),O(1,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4),∴PO=(1,2,-4),AD=(0,4,0),∴|cos<PO,AD>|=|=812+∴异面直线PO与AD所成角的余弦值为22121,故A错,B由题易得E(0,2,2),AB⊥平面PAD,取平面PAD的一个法向量m=(1,0,0).∵FAPA=λ,λ∈∴FA=4λ,∴F(0,0,4λ),设平面OEF的法向量为n=(x,y,z),易知OE=(-1,0,2),FO=(1,2,-4λ),那么OE·n令x=2,得n=(2,2λ-1,1),∵平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为55∴|cos<m,n>|=1-55而|cos<m,n>|=|m·n∴24+(2λ-1)2+1=故C对,D错.应选BC.12.答案2解析如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Cxyz,那么C(0,0,0),B1(0,1,2),B(0,1,0),∴CB1=(0,1,2),CB=(0,1,0).设AD=a(0≤a≤2),那么点D的坐标为(2,0,a),设平面B1CD的法向量为m=(x,y,z),那么m·CB1=0,m·CD=0⇒y+2z=0,2x+az=0,令z=-1,得m=a2,2,-1.又平面C1DC的一个法向量为CB=(0,1,0),记为n,那么由13.解析(1)证明:∵AD∥BC,AD⊥CD,AD=CD=22,BC=42,∴AB=AC=4,∴AB⊥AC.∵P
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