课时142空间向量的应用用空间向量研究距离夹角问题高二数学练习和分类专题教案

第一章空间向量与立体几何课时1.4.2空间向量的应用〔02〕用空间向量研究距离、夹角问题1.理解空间角、空间距离的概念。2.会用向量法求空间角。3.会用向量法求空间距离。根底过关练题组一用空间向量求空间的距离问题1.如下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=2,E,F分别是面A1B1C1D1,面BCC1B1的中心,那么E,F两点间的距离为()A.1B.52C.622.平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,那么点P(-2,1,4)到α的距离为()A.10B.3C.83D.3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD的中点,M是棱CC1上的点,且CC1=3CM,那么直线BM与B1N之间的距离为.

4.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0<λ<2),那么点G到平面D1EF的距离为.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=6,AB=4.(1)求证:M为PB的中点；(2)求点C到平面BDP的距离d.题组二用空间向量求空间角的问题6.设平面α与平面β的夹角为θ,假设平面α,β的法向量分别为n1,n2,那么cosθ=()A.n1·C.|n17.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1B1的中点,那么异面直线AM与B1C所成角的余弦值为()A.105B.1010C.38.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,那么平面A1ED与平面ABCD的夹角的余弦值为()A.12B.23C.39.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3)和(2,2,4),那么这个二面角的余弦值为.

10.点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,那么平面AEF与平面ABC所成角的正切值为.

11.如图,在长方体A1B1C1D1-ABCD中,AB=3,BC=1,AA1=2,E为A1D的中点.(1)求直线EC1与A1B所成角的余弦值；(2)假设F为BC的中点,求直线EC1与平面FA1D1所成角的正弦值.能力提升练题组一用空间向量求空间距离1.()在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2,A.55B.C.2D.52.()如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,那么点Q到平面PEF的距离()A.等于55aB.和EFC.等于23aD.和点Q3.(多项选择)()正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E、O分别是A1B1、A1C1的中点,P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23AA.点A到直线BE的距离是5B.点O到平面ABC1D1的距离为2C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为3D.点P到直线AB的距离为254.()如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在正方形BCC1B1内及其边界上运动,并且总保持B1P∥平面A1BD,那么动点P的轨迹的长度是.

5.()正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M、N、P分别在棱AB、BC、CC1上,且AM=1,BN=2,CP=3.过M、N、P三点的平面交AC1于点Q,那么A、Q两点间的距离为.

6.()如图,四边形ABCD为矩形,四边形ABEF为直角梯形,FA⊥AB,AD=AF=FE=1,AB=2,AD⊥BE.(1)求证:BE⊥DE；(2)求点F到平面CBE的距离.题组二用空间向量求空间角7.()正四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,那么直线AC与平面SBC所成角的正弦值为()A.36B.66C.38.()在直三棱柱A1B1C1-ABC中,∠BCA=90°,D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,那么BD1与AF1所成角的余弦值是()A.3010B.12C.309.()菱形ABCD中,∠ABC=60°,沿对角线AC折叠之后,使得平面BAC⊥平面DAC,那么二面角B-CD-A的余弦值为()A.2B.12C.3310.()如图1,四边形ABCD与四边形ADEF分别为正方形和等腰梯形,AD∥EF,AF=2,AD=4,EF=2,沿AD边将四边形ADEF折起,使得平面ADEF⊥平面ABCD,如图2,动点M在线段EF上,N,G分别是AB,BC的中点,设异面直线MN与AG所成的角为α,那么cosα的最大值为()A.3010B.105C.1011.(多项选择)()如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AD=4,AB=2,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD为等腰直角三角形,且∠PAD=π2,O为底面ABCD的中心,E为PD的中点,F在棱PA上,假设FAPA=λ,λ∈[0,1],那么以下说法正确的有(A.异面直线PO与AD所成角的余弦值为21B.异面直线PO与AD所成角的余弦值为2C.假设平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为55,那么λ=D.假设平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为55,那么λ=12.()如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=AA1=2BC=2,D为AA1上一点.假设二面角B1-DC-C1的大小为30°,那么AD的长为.

题组三用空间向量解决探索性问题13.()如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=22,BC=42,PA=4.(1)求证:AB⊥PC；(2)在线段PD上是否存在一点M(不与P,D重合),使得平面MAC与平面ACD夹角的大小为45°？假设存在,求BM与平面MAC所成角的正弦值；假设不存在,请说明理由.14.()如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M为棱PC上的动点,且PMPC=λ(λ∈[0,1]).(1)求证:△PBC为直角三角形；(2)试确定λ的值,使得平面PAD与平面ADM夹角的余弦值为25答案全解全析根底过关练1.C以点A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,那么点E(1,1,2),F2,1,22,所以|EF|=(2-1)2+(12.D由得PA=(1,2,-4),故点P到平面α的距离为|PA·n||n|3.答案6解析设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,那么B(1,1,0),B1(1,1,1),M0,1,13,N12,0,0,∴BB1=(0,0,1),BM=设直线BM与B1N的公垂线方向上的向量n=(x,y,z),由n·BM=0,n·B1得-令x=2,那么z=6,y=-7,∴n=(2,-7,6).设直线BM与B1N之间的距离为d,那么d=|BB1·n4.答案2解析由题意得A1B1∥EF,A1B1⊄平面D1EF,EF⊂平面D1EF,所以A1B1∥平面D1EF,那么点G到平面D1EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,那么D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),A1(2,0,2),所以D1E=(2,0,-1),D1设平面D1EF的法向量为n=(x,y,z),那么2令x=1,那么y=0,z=2,所以平面D1EF的一个法向量n=(1,0,2).点A1到平面D1EF的距离为A1E·n|n|=-1×25=2解题反思当直线l与一个平面α平行时,这条直线上任意一点到该平面的距离都相等,此题利用A1B1∥平面D1EF,将点G到平面D1EF的距离转化为点A1到平面D1EF的距离,在计算过程中摆脱了对参数λ的依赖,简化了解题过程.5.解析(1)证明:如图,设AC∩BD=O,∵四边形ABCD为正方形,∴O为BD的中点.连接OM.∵PD∥平面MAC,PD⊂平面PBD,平面PBD∩平面MAC=OM,∴PD∥OM,∴BOBD=BMBP,即M为PB(2)取AD的中点G,∵PA=PD,∴PG⊥AD,∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PG⊥平面ABCD,连接OG,那么PG⊥OG,由G是AD的中点,O是AC的中点,可得OG∥DC,那么OG⊥AD.以G为坐标原点,GD、GO、GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由PA=PD=6,AB=4,得D(2,0,0),P(0,0,2),C(2,4,0),B(-2,4,0),M-1,2,22,那么DP=(-2,0,2),设平面BDP的法向量为m=(x,y,z),那么由m·DP=0,m·DB=0,得-2x又CM=-3,-2,22,那么点C到平面BDP的距离d=6.B由两个平面的夹角概念知,cosθ=n1·n2|7.A以D为坐标原点,建立如下图的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,那么A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),∴B1∴|B1C|=∵M为A1B1的中点,∴M1,1∴AM=0,1∴|AM|=52∴异面直线AM与B1C所成角的余弦值为|cos<AM,B1C>|=AM·B18.B以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如下图的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,那么A1(0,0,1),E1,0,1∴A1D=(0,1,-1),A1设平面A1ED的法向量为n1=(x,y,z),那么有A1D·n1=0,A1E·易得平面ABCD的一个法向量n2=AA1=(0,0,1),∴|cos<n1,n2>|=23即平面A1ED与平面ABCD的夹角的余弦值为239.答案±15解析由(0,-1,3)·(2,2,4)1+9×4+4+16=-2+121010.答案2解析如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,设DA=1,由条件得D(0,0,0),A(1,0,0),E1,1,13,F0,1,23,D1(0,0,1),那么AE=0,1,13,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),平面AEF与平面ABC所成角为θ,由n·AE令y=1,那么z=-3,x=-1,所以n=(-1,1,-3),易得平面ABC的一个法向量m=D1那么cosθ=|cos<n,m>|=311又θ∈[0,π],所以sinθ=2211,所以tanθ=211.解析(1)以A1为原点,A1B1,A1D1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,可得E0,12,1,C1(3,1,0),B(3,0,2),A1(0,0,0),那么EC1=3设直线EC1与A1B的夹角为α,那么cosα=|cos<EC1,=|EC1(2)易得F3,12,2,A1D1=(0,1,0),A1F=3,令x=-2,得z=3,所以平面FA1D1的一个法向量为n=(-2,0,3),设直线EC1与平面FA1D1所成的角为θ,那么sinθ=|cos<n,EC1>|=|n能力提升练1.B以底面中心O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图.那么O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2),设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,将A,B,P3点的坐标代入计算得A=0,B=-D,C=-12D,所以方程可化为-Dy-12Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以d=|2×2.A取B1C1的中点G,连接PG,CG,DP,那么PG∥CD,所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,B错.又A1B1∥平面PGCD,所以点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离,与点Q的位置无关,D错.如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,那么C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),Pa2,0,a,∴DC=(0,a,0),DA1=(a,0,a),设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,那么由n·DP令z=1,那么x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量.设点Q到平面PEF的距离为d,那么d=DA1·n|n|=-2a+3.BC如图,建立空间直角坐标系,那么A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E12,0,1,所以BA=(-1,0,0),BE=设∠ABE=θ,那么cosθ=|BA·BE||BA||BE|故A到直线BE的距离d1=|BA|sinθ=1×255=255,易知C1O=12平面ABC1D1的一个法向量DA1=(0,-1,1),那么点O到平面ABC1D1的距离d2=|DA1·C1OA1B=(1,0,-1),A1设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),那么n·A令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).所以点D1到平面A1BD的距离d3=|A1D1·因为易证得平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33,故C对因为AP=34AB+12AD+23AA1,所以AP=34,12,23,又AB=(1,0,0),那么AP·AB|AB解题反思线面距、面面距实质上都是点面距,求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行.4.答案2解析如图,建立空间直角坐标系Dxyz.那么D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),设动点P(x,1,z),∴DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0),设平面A1BD的法向量为n=(a,b,c),那么n·DA1=0,n·DB=0,∴b=c=-a,取n=(1,-1,-1).∵B1P∥平面A1BD,∴n·B1P=0,于是(x-1)-(z-1)=0,即x=z,连接B∴点P在正方形BCC1B1的对角线B1C上,∴动点P的轨迹的长度即对角线B1C的长,为2.5.答案23解析如图,建立空间直角坐标系,那么A(0,0,0),C1(4,4,4),M(1,0,0),N(4,2,0),P(4,4,3),∴MN=(3,2,0),NP=(0,2,3),AC1=(4,4,4),∵过M、N、P三点的平面交AC1于点Q,∴点Q在线段AC1上,点Q在平面MNP内,∴可设AQ=λAC1=(4λ,4λ,4λ),0≤λ≤1,MQ=xMN+y又MQ=AQ-AM=(4λ-1,4λ,4λ),∴4λ-1=3∴AQ=(2,2,2),|AQ|=23,即A、Q两点间的距离为23.6.解析∵四边形ABCD为矩形,∴AD⊥AB,又AD⊥BE,AB∩BE=B,∴AD⊥平面ABEF,又AD⊂平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面ABEF.∵FA⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,∴FA⊥平面ABCD.∴FA⊥AD.(1)证明:如图,建立空间直角坐标系,那么B(0,2,0),C(1,2,0),D(1,0,0),E(0,1,1),F(0,0,1),∴BE=(0,-1,1),DE=(-1,1,1),∴BE·DE=0×(-1)+(-1)×1+1×1=0,∴BE⊥DE,∴BE⊥DE.(2)由(1)得BC=(1,0,0),BE=(0,-1,1),FE=(0,1,0),设n=(x,y,z)是平面CBE的法向量,那么由n·BC令y=1,得z=1,∴n=(0,1,1)是平面CBE的一个法向量.设点F到平面CBE的距离为d,那么d=FE·n|n|∴点F到平面CBE的距离为227.C连接BD,AC,交于点O,连接OS,那么SO⊥平面ABCD,OA⊥OB,建立如下图的空间直角坐标系,那么A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),所以SB=(0,2,-2),SC=(-2,0,-2),设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),那么由n⊥SB,n⊥SC,得2y-2z=0,-2又AC=(-22,0,0),设直线AC与平面SBC所成角为θ,那么sinθ=|cos<AC,n>|=AC·n|AC||应选C.8.A如图,设BC=CA=CC1=1,那么A(1,0,1),B(0,1,1),D112,12∴BD1=AF1=∴|cos<BD1,A=3414应选A.9.D设菱形ABCD的边长为1,取AC的中点O,连接BO、DO,因为∠ABC=60°,所以BO⊥AC,又平面BAC⊥平面DAC,平面BAC∩平面DAC=AC,所以BO⊥平面ACD,如图建系,那么O(0,0,0),C12,0,0,B0,0,3所以OB=0,0,32,BC=12,0,-3设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),那么BC·n令z=1,得x=3,y=1,那么n=(3,1,1),易知平面CDA的一个法向量为OB=0,0,32,所以|cos<OB,n>|=323210.A如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,由题意可得A(0,0,0),G(4,2,0),N(2,0,0),∴AG=(4,2,0),∵AD∥EF,动点M在线段EF上,∴可设M(0,y,1),y∈[1,3].∴NM=(-2,y,1),∴cosα=|cos<AG,NM>|=|AG·NM||令t=4-y,那么t∈[1,3],y=4-t,∴cosα=t5×5+(4-t)2=5当t=3时,cosα取最大值,(cosα)max=3010.应选11.BC∵∠PAD=π2∴PA⊥AD,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,∴PA⊥平面ABCD,∵底面ABCD为矩形,∴AB,AD,AP两两垂直.以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如下图,那么A(0,0,0),B(2,0,0),O(1,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4),∴PO=(1,2,-4),AD=(0,4,0),∴|cos<PO,AD>|=|=812+∴异面直线PO与AD所成角的余弦值为22121,故A错,B由题易得E(0,2,2),AB⊥平面PAD,取平面PAD的一个法向量m=(1,0,0).∵FAPA=λ,λ∈∴FA=4λ,∴F(0,0,4λ),设平面OEF的法向量为n=(x,y,z),易知OE=(-1,0,2),FO=(1,2,-4λ),那么OE·n令x=2,得n=(2,2λ-1,1),∵平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为55∴|cos<m,n>|=1-55而|cos<m,n>|=|m·n∴24+(2λ-1)2+1=故C对,D错.应选BC.12.答案2解析如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Cxyz,那么C(0,0,0),B1(0,1,2),B(0,1,0),∴CB1=(0,1,2),CB=(0,1,0).设AD=a(0≤a≤2),那么点D的坐标为(2,0,a),设平面B1CD的法向量为m=(x,y,z),那么m·CB1=0,m·CD=0⇒y+2z=0,2x+az=0,令z=-1,得m=a2,2,-1.又平面C1DC的一个法向量为CB=(0,1,0),记为n,那么由13.解析(1)证明:∵AD∥BC,AD⊥CD,AD=CD=22,BC=42,∴AB=AC=4,∴AB⊥AC.∵P