2023年江苏省无锡市锡山区天一实验学校中考数学模拟试卷(含答案解析)

2023年江苏省无锡市锡山区天一实验学校中考数学模拟试卷

1.一5的相反数是（）

A.—5B.5C."D.

2.函数y=，钎石中自变量”的取值范围是（）

A.4>2B.a>2C.a<2D.a<2

3.下列运算正确的是（）

A.a3-a3=a9B.（—2a）2=—4a2C.（a2）4=a12D.a6-i-a2=a4

4.已知一组数据：23,22,24,23,23,这组数据的方差是（）

A.3B.2C.|D.|

5.若关于x的一元一次方程2k—x—4=0的解是x=-3,那么人的值是（）

A.\B.|C.6D.10

6.如图，将直尺与30。角的三角尺叠放在一起，若41=50。，一

贝吐2的大小是（）

A.40°

B.50°

C.70°

D.80°

7.如图，A8是。。的直径，弦CD1AB,垂足为点M.连接OC，DB.

那么图中阴影部分的弧长/

如果OC〃DB,图中阴影部分的面积是2兀,寸

是（）

A.—G7T

R2口

D.—^—71

C.y/~3n

D.

8.已知点P（a,m）,Q（b,n）都在反比例函数y=-：的图象上，且a<0<b,则下列结论一

定正确的是（）

A.m+n<0B.m+n>0C.m<nD.m>n

9.如图，直线y=x-2与y轴交于点C,与无轴交于点8,与反比例函数y=g的图象在第

一象限交于点A,连接。4若SMOB：SABOC=1：2，则k的值为（）

A.2B.3C.4D.6

10.如图，直角三角形8EF顶点尸在矩形A8CZ）的对角线4c上运动，连接力E.4EBF=Z.ACD,

AB=6,BC=8,则AE的最小值为（）

A旦BC»D必

225口，5J525

11.分解因式：x3-X=

12.使心有意义的x的取值范围为.

13.用一个半径为4的半圆形纸片制作一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面圆的半径是

14.写出一个顶点坐标是（1,2）且开口向下的抛物线的解析式.

15.某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2

倍.设第一次降价的百分率为x,由题意可列得方程：.

16.如图，为0。的直径，点C、。在0。上，若4cB4=70°,则

4。的度数是.

17.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0）,P是第一象限内任意一点，连接PO,PA,

若NPQ4=m°,/.PAO=n°,若点尸到x轴的距离为1,则?n+n的最小值为.

18.己知四边形ABC。是矩形，AB=2,BC=4,E为BC边上一动点且不与8、C重合,

连接AE,如图，过点E作EN14E交于点M

①若BE=1,那么CN的长；

②将AECN沿EN翻折，点C恰好落在边A力上，那么BE的长.

19.(1)计算：d+|，q-3|一《)T.

(2)化简：(a+登)+得.

20.(1)解方程：x(x—3)4-x=3；

(6—2%>0

(2)解不等式组：］x-l_2x-4.

21.如图，在△ABC中，AB=AC,点。，E分别在边AB,AC上，AD=AE.

(1)求证：

(2)BE与CO交于点凡求证：BF=CF.

22.一方有难，八方支援，医院需派2名医务人员驰援疫区，现需从王医生、张医生、李医

生中任意选派2名前往.

(1)“赵医生被选派”是事件，“王医生被选派”是事件.(填“不可能”或

“必然”或“随机”)

(2)试用画树状图或列表的方法表示这次选派所有可能的结果，并求出“王医生被选派”的概

率.

23.为了掌握防疫期间学生们的线上学习情况，返校后，特选取了一个水平相当的七年级班

级进行跟踪调研，将同学们的考试成绩进行处理分析，制成频数分布表如表(成绩得分均为整

数)：

组别成绩分组频数频率

147.5〜59.520.05

259.5〜71.540.10

371,5〜83.5a0.20

483.5〜95.5100.25

595.5〜107.5hC

6107.5〜12060.15

合计401.00

根据表中提供的信息解答下列问题：

(1)表格中Q=,b=,C=；

(2)补充完整频数分布直方图；

(3)若全市七年级共有120个班(平均每班40人)，用这份试卷检测，规定108分及以上为优秀,

预计全市优秀人数为;72分及以上为及格，及格的百分比为.

某班数学成绩分布直力图

A频数/人

24.如图，在RtAABC中，44cB=90。，。为BC上一点，以O为圆心，。3为半径的交

AB于另一点。，E为AC上一点，且4E=DE.

(1)求证：是。。的切线；

(2)若。8=2,OC=1,tanA=之，求AE的长.

25.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A,C均落在格点上，点B

在网格线上.

(团)线段AC的长等于

(助以48为直径的半圆的圆心为0,在线段AB上有一点P,满足AP=AC.请用无刻度的直

尺，在如图所示的网格中，画出点P.

26.2022年开封市中招体育考试项目为：长跑、1分钟跳绳为必考项目；足球运球、篮球运

球(可任选一项)；双手正面掷实心球、立定跳远(可任选一项).我校为了备考练习，准备重新

购买新的足球和跳绳若干根，若购买12个足球和10根跳绳，共需1400元；若购买10个足

球和12根跳绳，共需1240元.

(1)求足球和跳绳的单价分别是多少元？

(2)学校决定购买足球和跳绳共60个，且跳绳的数量不多于足球数量的全请设计出最省钱的

购买方案，并说明理由.

27.如图，抛物线丫=/+加；+©与》轴分别交于4,8两点(点A在点8的左侧)，与y轴

交于点C,若4(—1,0)且0C=304

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图，点。是该抛物线的顶点，点P(m,n)是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、

BC、BP.

①若APBC是直角三角形，且，PBC=90。时，求P点坐标；

②当NPBA=2NCBD时，求P点坐标.

28.问题提出：已知矩形ABCC,点E为上的一点，EF1AB,交8。于点尸.将△EBF绕

点3顺时针旋转a(0。<a<90。)得到△E'BF',则4E'与0p有怎样的数量关系.

探究一：如图，已知正方形ABCD,点E为A8上的一点，EF14B,交BD于点F.

(1)如图1,直接写出器的值;

(2)将AEBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF,猜想。了与4E的数量关

系，并证明你的结论；

探究二：如图，已知矩形ABCD,点E为4B上的一点，EFLAB,交BD于点F.

如图3,若四边形ABCD为矩形，黑=《，将AEBF绕点8顺时针旋转a(0°<aW90。)得

至下的对应点分别为E'、F'点)，连接AE'、DF',则零的值是否随着a的变化而变

Dr

化.若变化，请说明变化情况；若不变，请求出需的值.

【一般规律】

如图3,若四边形A8CD为矩形，BC=mAB,其它条件都不变，将△EBF绕点8顺时针旋转

a(0。<a<90。)得到AE'BF',连接AE',DF',请直接写出4E'与。F'的数量关系.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.

根据相反数的定义直接求得结果.

【解答】

解：-5的相反数是5.

故选：B.

2.【答案】D

【解析】解：丫？-。？。，

:.a<2.

故选：D.

根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案.

本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关

键.

3.【答案】D

【解析】解：A、a3-a3=a6,故A不符合题意；

B、(-2a)2=4。2,故B不符合题意；

C、(a2)4=a8,故C不符合题意；

D、a6a2=a4,故。符合题意；

故选：D.

利用同底数募的除法的法则，同底数哥的乘法的法则，塞的乘方与积的乘方的法则对各项进行运

算即可.

本题主要考查同底数塞的除法，暴的乘方与积的乘方，同底数基的乘法，解答的关键是对相应的

运算法则的掌握.

4.【答案】D

【解析】解：••,这组数据的平均数为2x(23+22+24+23+23+23)=23,

这组数据的方差为2x[(22-23)2+3x(23—23)2+(22-23)2]=|.

故选：D.

先计算出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式列式计算即可.

本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义，并熟记方差的计算公式.

5.【答案】A

【解析】解：•••关于x的一元一次方程2k-x-4=0的解是％=-3,

**•2k+3—4=0,

解得：k=q

故选：A.

把％=—3代入方程得出2k+3—4=0,再求出女即可.

本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记一元一次方程的解的定义是解此题的关

键.

6.【答案】C

【解析】解：如图:

由题意得，43=60°,

zl=50°,

・•・Z4=180°-60°-50°=70°,

,:AB“CD,

・・・z2=Z4=70°,

故选：C.

根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论.

本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：连接。。，BC.

vCD1AB,OC=OD,

/.DM=CM,乙COBjBOD,

vOC//BD,

(COB=乙OBD,

:.乙BOD=Z-OBD,

OD=DB,

・•.△BOD是等边三角形，

:.乙BOD=60°,

vOC//DB.

••S^OBD=S&CBD，

・•・图中阴影部分的面积="叫H=

360

AOC=2/3或—2/3（舍去），

故选：B.

连接OD,BC,根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM=CM,乙COB=乙BOD,推出△BOD是

等边三角形，得到NBOC=60。，根据扇形的面积公式即可求得圆的半径，然后根据弧长公式求得

即可.

本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，弧长的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关

线段的长度是解答本题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：、=一2的k=—2<0,图象位于二四象限，

JX

va<0,

・•・P(a,m)在第二象限，

••・m>0；

vb>0,

・・・Q(瓦几)在第四象限,

・•・n<0.

n<0<m,

即?n>n,

故。正确；

故选：D.

根据反比例函数的性质，可得答案.

本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k<0时，图象位于二四象限是解题关键.

9【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，三

角形的面积，待定系数法求反比例函数解析式，求出A点坐标是解题的关键.先由直线y=x-2

与y轴交于点C,与x轴交于点B,求出C(0,-2),B(2,0),那么=goB-OC=gx2x2=2,

根据SA.OB：S^BOC=1：2，得出="SABOC=1,求出y%=1,再把y=1代入y=x—2,

解得X的值，得到A点坐标，然后将A点坐标代入y=g,即可求出后的值.

【解答】

解：•.,直线y=%-2与y轴交于点C,与尤轴交于点8,

・・・C(0,-2),B(2,0),

S&BOC=2。8,。。=2^2X2=2>

•••S-08：S^BOC=1：2,

S〉AOB—2sAROC=1,

2X2x=1，

»=1,

把y=1代入y=%—2,

得1=%-2,解得x=3,

・•・4(3,1).

•・,反比例函数y=：的图象过点A,

fc=3x1=3.

故选8.

10.【答案】D

【解析】解：过点8作于点儿连接EH,如图所

示：

・・・乙BEF=乙BHF=90°,

・•・E、B、F、〃四点共圆，

:.Z-EHB=乙EFB,

•・・Z.AHE+乙EHB=90°,Z.EBF+乙EFB=90°,

・•・^AHE=乙EBF,

vZ-EBF=乙ACD,

・・・/LAHE=Z.ACD=定值，

，点E在射线班上运动，

当4E1EH时，AE的值最小,

••・四边形ABC。是矩形，

•••AB=CD=6,BC=AD=8,ND=90°,

•••AC=VCD2+AD2=762+82=10.

AD4

・・・sin/-AHE=sin^ACD=黑=白

AC5

11

•5A4CB=\AB-CB=\AC-BH,

11

即/6x8='xl0xBH,

在RMAHB中，由勾股定理得：AH=7AB2-BH2=J62-(y)2=y)

•••4E的最小值=AH-sinZTlHE=yX1

故选：D.

过点B作BH，力。于点“，连接EH,由NBEF=NBHF=90。，推出E、B、F、，四点共圆，再

证乙4/7E=乙4。0=定值，推出点E在射线"E上运动，当4E1EH时，AE的值最小，然后求出

AH与sin乙4HE,即可解决问题.

本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、四点共圆、圆周

角定理、轨迹、三角形面积以及最小值问题等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，利用

垂线段最短解决最值问题是解题的关键.

11.【答案】x(x+l)(x-1)

【解析】

【分析】

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键.

先提公因式X,分解成工(/-1),而/-1可利用平方差公式再分解.

【解答】

解：X3-X,

=%(%2—1),

=x(x+1)(%—1).

故答案为：x(x+1)(%-1).

12.【答案】%>2

【解析】解：有意义，

Vx-2

解得X>2.

故答案为：x>2.

先根据二次根式及分式有意义的条件列出x的不等式组，求出x的取值范围即可.

本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键.

13.【答案】2

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r,依题意，得

2nr=4兀,

解得r=2.

故答案为：2.

设圆锥的底面圆半径为，，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解.

本题考查了圆锥的计算.圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1.圆锥的母线长为扇

形的半径，2.圆锥的底面圆周长为扇形的弧长.

14.【答案】y=-(x-I)2+2(答案不唯一)

【解析】解：•••抛物线开口向下，顶点坐标为(1,2),

a<0,

设函数解析式为y=a(x-I)2+2,

只要a<0取值即可；

故答案为：y=-(％-1)2+2(答案不唯一).

由题意可以设函数解析式为y=a(x-I)2+2,只要a<0即可.

本题考查二次函数解析式的求法；熟练掌握二次函数解析式的顶点式，同时利用待定系数法求函

数解析式是解题的关键.

15.【答案】50(1-x)(l-2x)=36

【解析】解：设第一次降价的百分率为x,则第二次降价的百分率为2x,

依题意,得:50(1-x)(l-2%)=36.

故答案为:50(1-x)(l-2x)=36.

设第一次降价的百分率为x,则第二次降价的百分率为2x,根据该药品的原价及经过两次降价后

的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

16.【答案】20。

【解析】解：•••”为。。的直径，

•••4ACB=90°,

•••/.CBA=70°,

・•・乙4=20°,

・•・Z.D=Z,A=20°.

故答案为20。.

根据圆周角定理得到N4CB=90。，乙4,然后利用互余计算出乙4,从而得到ND的度数.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

17.【答案】90

【解析】解：如图，在平面直角坐标系中作出以OA为直径的

设直线y=1与OM相切于点P,则MP垂直于直线y=l,

根据三角形内角和定理可知，要使得m+n取得最小值，则需NOPA取得最大值.

•••点P到x轴的距离为1,而PM为半径，

PM=1,

•••点A的坐标为（2,0）,

OM=1,

N0P4为以04为直径的圆的一个圆周角，

/.OPA=90°.

在直线y=1上任取一点不同于点尸的一点P,连接OP',交（DM于点。，连接AQ,

则々1Q。=90。>^AP'O,

^OPA>Z.AP'0,

••・/0P4的最大值为90。，

m+n的最小值为90.

故答案为：90.

由题意可作出以OA为直径的OM,根据已知条件及圆的相关知识可得答案.

本题考查了坐标与图形的相关性质，明确圆的相关性质、三角形的内角和及外角性质等知识点是

解题的关键.

18•【答案】①|；

②2或|.

【解析】解：①7BE=1,

CE=BC-BE=4-1=3,

•••四边形ABC。是矩形，

:.Z-B=Z-C=90°,

・・・Z.BAE+乙BEA=90°,

•・,EF1AE,

・・・Z.AEF=90°,

・・・Z-BEA+Z-FEC=90°,

:.乙BAE=(FEC,

・•・△ABEs&ECN,

:.——AB=——BE,

CECN

:.—2=—1,

3CN

解得：CN=|；

故答案为:

则四边形A3EF是矩形，

:・AB=EF=2,AF=BE,

由折叠的性质得：CE=CE,CN=CN,JLECN=zC=90°,

・•・4NC'D+4EC'F=90°,

•:乙C'ND+乙NC'D=90°,

:.(ECF=乙C'ND,

•・・Z.D=乙EFC',

:.AEC'FSAC'ND,

.CD_DN_CN

‘评=Q=FF

.CD_DN_CN

‘评=记=而'

ABBE

***~CE=~CN9

.CN_BE

CEAB

.C'D_DN_BE

工而=记=而'

:.C'D=BE,

设BE=x,则C'D=4F=%,C'F=4-2%,CF=4-x,

:、DNxCN2222x，

4-2%24-x2

•••DN=x(2-x),CN=

•••CN+DN=x(2-x)+力=CD=2,

解得：x=2或x=I，

:.BE=2或BE=j.

故答案为：2或|.

①求出CE=BC-BE=3,证明△ABEs^ECN,得出空=警，即可得出结果；

②过点E作EF_LAD于凡则四边形48EF是矩形，得出4B=EF=2,AF=BE,由折叠的性质

得出CE=C'E,CN=C'N,4EC'N=NC=90。，证明△EC'Fs^NC'。，得出窄=%=镖，则

黑=箓=能由等=嚣,得出等=能贝展=黑=能得出C，。=BE,设8E=x,贝出D=

EFFCCECECNCEABEFFCAB

AF=x,CF=4-2x,CE=4-x,则萼=：,兽="求出DN=x(2-x),CN=^^1,

4-2x24-x2、J2

由CN+DN=CO=2,即可得出结果；

本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、三角形面积的计算等知

识，综合性强、涉及面广，难度大，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

19.【答案】解：(1)原式=2C+3—q—3

=>n.

原式=a(a+2)；l-4aa+2

a+2a-1

。2+2d+1—4a

Q—1

砂—2a+1

a—1

(a—1)2

a—1

=a—1.

【解析】(1)根据二次根式的性质、绝对值的性质以及负整数指数塞的意义即可求出答案.

(2)根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案.

本题考查二次根式的性质、负整数指数基的意义、绝对值的性质、分式的加减运算法则以及乘除

运算法则，本题属于基础题型.

20.【答案】解：(1)x(%一3)+x=3,

x(x—3)+(x—3)=0,

(x-3)(x+1)=0,

•••%-3=0或x+1=0,

**,X]=3,%2=~~1»

6—2%>0①

(2){x-i2x-4z-s>

f⑷

解不等式①，x<3,

解不等式②，x>-l,

•••不等式组的解集是—1<xW3.

【解析】(1)利用因式分解法求解即可；

(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集.

本题主要考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，熟练掌握各自的方法和步骤是解题的关

键.

21.【答案】证明：(1)在aABE和△4CD中，

AB=AC,

乙BAE=/.CAD,

.AE=AD,

.-.^ABE^^ACD^SAS^

(2)由(1)得：△ABE丝△4CO,

•••乙ABE=Z.ACD.

vAB=AC,

•1■/.ABC=Z-ACB,

•••Z.ABC-Z.ABE=Z.ACB-Z.ACD,

即“BF=乙BCF,

•••BF=CF.

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰

三角形的判定与性质，证明△ABEd4CD是解题的关键.

⑴由"S/1S"证明△2BEg△4CD即可；

(2)由全等三角形的性质得乙4BE="CD,再由等腰三角形的性质得UBC=41CB,然后证出

ACBF=ABCF,即可得出结论.

22.【答案】不可能随机

【解析】解：(1)“赵医生被选派”是不可能事件，“王医生被选派”是随机事件,

故答案为：不可能，随机；

(2)把王医生、张医生、李医生分别记为：A、B、C,

画树状图如图：

共有6个等可能的结果，“王医生被选派”的结果有4个，

”王医生被选派”的概率为:=，.

05

(1)由随机事件和不可能事件的定义即可得出答案；

(2)画树状图，共有6个等可能的结果，“王医生被选派”的结果有4个，再由概率公式求解即可.

此题考查了用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合

于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还

是不放回试验.掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键.

23.【答案】8100.25720人85%

【解析】解：(l)a=40x0.2=8,6=40-(2+4+8+10+6)=10,c=10+40=0.25,

故答案为：8、10、0.25；

(2)补全直方图如下:

某班数学成绩分布宜力图

(3)预计全市优秀人数为120X40X0.15=720(

人)，

及格的百分比为0.2+0.25+0.25+0.15=

0.85=85%,

故答案为：720人，85%.

(1)根据频率=频数+总数及频数之和等于总人数

求解即可；

(2)根据(1)中所求结果即可补全图形；

(3)总人数乘以样本中优秀对应的频率即可得出其人数，将72分及以上分组的频率相加即可得出

其所占百分比.

本题主要考查频数分布直方图及频率分布表的知识，难度不大，解答本题的关键是掌握频率=频数

+总数.

24.【答案】⑴证明:连接

V/.ACB=90°,

Z.A+Z.B=90°,

vAE-DE,

•••Z.A=/.EDA,

••Z.B+/.EDA=90°,

又OB=OD,

乙B=Z.ODB,

乙ODB+/.EDA=90",

NODE=90",

•••OD1DE,

DE是。。的切线；

(2)解：连接OE,

:，BC=3,

tan'=前=展

AC—6,

设==则CE=6—%,

vZ-OCE=WED=90°,

OC2+CE2=OE2,OD2+DE2=OE2,

I2+（6—%）2=22+x2,

・•.x=A

4

11

••・4E=3.

4

【解析】（1）连接OD,由直角三角形的性质及等腰三角形的性质证得NODE=90。，则可得出结论；

（2）连接OE,求出4c=6,设4E=DE=x,则CE=6-x,由勾股定理求出x的值，则可得出

答案.

本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握

切线的判定是解此题的关键.

25.【答案】＜5

【解析】解：（Ul）AC=V124-22=V5.

故答案为：A/-5；

（回）如图，①取BC与网格线的交点。，

②连接OD延长。。交。。于点E,

③连接AE交BC于点G,

④连接BE,延长AC交BE的延长线于尸，

⑤连接FG延长FG交AB于点P,点P即为所求.

（团）利用勾股定理求解即可；

（团）①取BC与网格线的交点。，②连接。。延长。力交。。于点E,③连接AE交BC于点G,④

连接延长AC交BE的延长线于F,⑤连接FG延长尸G交AB于点P,点尸即为所求.

本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，

解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

26.【答案】解：(1)设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，

由题意得:优掰㈱

解得:[y：200-

答：足球和跳绳的单价分别为100元、20元；

(2)设购买足球机个，则跳绳有(60-m)个，设总利润为W,

则W=100m+20(60-m)

=80m+1200,

•­•60—m<|m,

解得m245,

勿随m的增大而增大，

.,.当m=45时，W取得最小值，

即购买足球45个，跳绳15个时，最省钱.

【解析】(1)设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组解可；

(2)设购买足球团个,则跳绳有(60-m)个,设总利润为W,知W=100m+20(60-m)=80m+

1200,结合60-mWgm得mN15,依据卬随机的增大而增大求解即可.

此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数、一元一次不等式的应用等知识，根据题意

得出正确的等量关系是解题关键.

27.【答案】解：(1)由点A的坐标知，。4=1,

而OC=3AO=3,

则CO=3,即点C(0,—3),

则抛物线的表达式为：y=/+bx-3,

将点A的坐标代入上式得：0=1-8-3,

解得：b=-2,

故抛物线的表达式为：y=/—2万一3；

(2)①令y=--2x-3=0,解得：x=-l或3,即点B(3,0),

故OB=0C=3,则4aBe=45°=NOCB,

•••乙PBC=90。，则BP和x轴负半轴的夹角为45。,

故直线P8的表达式为：y=-(x-3),

联立y=x2-2x—3和y=-(%-3)并解得：x=-2,

则点P(—2,5)；

②由抛物线的表达式知，点。(1,一4),

贝儿£)=/1，且CQ和y轴负半轴的夹角为45°,

而NOCB=45°,故CD_LBC,延长。C到M使CM=CD,连接BM,则ABM。为等腰三角形,

贝此CBD=乙CBM,

则4MB。=2乙CBD=4PBA,

过点。作DH1BM于点H,

则SABDM=NMD义BC=gxMBxDH,

由点C、D、8的坐标得：MD=2CD=BC=3<7.BD==BM，

BIJ2V2x3c=<^0xHD,

则=蒜，

12

则sin/HBD嚼=得=3

贝Ijtan/HBD=[=tan/PBA,

故直线3P的表达式为：y=—I(%—3),

(x=-l

4

联立y=/—2x—3和上式并解得：\57

{y=i6

即点月的坐标为：T，粉.

【解析】(i)用待定系数法即可求解；

(2)①证明BP和无轴负半轴的夹角为45。，得到直线PB的表达式为：y=—(x—3),进而求解；

②证明ABMD