广东省河源市连平县连平中学2023年高一上数学期末学业质量监测试题含解析

广东省河源市连平县连平中学2023年高一上数学期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是A. B.C. D.2．已知集合A={1,2,3}，集合B={x|x2=x}，则A∪B=（）A.{1} B.{1,2}C.{0,1,2,3} D.{－1,0,1,2,3}3．在下列给出的函数中，以为周期且在区间内是减函数的是（）A. B.C. D.4．的值是A. B.C. D.5．若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A. B.C. D.6．四边形中，，且，则四边形是（）A.平行四边形 B.菱形C.矩形 D.正方形7．已知函数，则（）A.0 B.1C.2 D.108．已知函数，则A.0 B.1C. D.29．天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足（），其中星等为的星的亮度为（，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则的近似值为（当较小时，）（）A1.23 B.1.26C.1.51 D.1.5710．已知指数函数（，且），且，则的取值范围（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在空间直角坐标系中，设，，且中点为，是坐标原点，则__________12．若命题“是假命题”，则实数的取值范围是___________.13．某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是时，则该圆锥体的体积是_______14．已知函数恰有2个零点，则实数m的取值范围是___________.15．_____.16．已知，若，则实数的取值范围为__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）求不等式解集.18．已知函数fx=-x2（1）求不等式cx（2）当gx=fx-mx在19．已知函数（1）若是偶函数，求a值；（2）若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围20．已知函数（1）证明：函数在区间上单调递增；（2）已知，试比较三个数a，b，c的大小，并说明理由21．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=CD=1，BC=2，PD=（Ⅰ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅱ）求直线AB与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P-AB-C的正切值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】设出函数的解析式，根据幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象【详解】设幂函数的解析式为y=xa，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴2=4a，解得a=∴，其定义域为[0，+∞），且是增函数，当0＜x＜1时，其图象在直线y=x的上方．对照选项故选C【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求解及幂函数图象及其与指数的关系，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法2、C【解析】求出集合B={0，1}，然后根据并集的定义求出A∪B【详解】解：∵集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x|x2＝x}＝{0，1}，∴A∪B＝{0，1，2，3}故选C【点睛】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题3、B【解析】的最小正周期为，故A错；的最小正周期为，当时，，所以在上为减函数，故B对；的最小正周期为，当时，，所以在上为增函数，故C错；的最小正周期为，，所以在不单调.综上，选B.4、B【解析】由余弦函数的二倍角公式把等价转化为，再由诱导公式进一步简化为，由此能求出结果详解】，故选B【点睛】本题考查余弦函数的二倍角公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意诱导公式的灵活运用，属于基础题.5、C【解析】由题可列出，可求出【详解】的定义域是，在中，，解得，故的定义域为.故选：C.6、C【解析】由于，故四边形是平行四边形，根据向量加法和减法的几何意义可知，该平行四边形的对角线相等，故为矩形.7、B【解析】根据分段函数的解析式直接计算即可.【详解】.故选：B.8、B【解析】,选B.9、B【解析】根据题意列出方程，结合对数式与指数式的互化以及对数运算性质即可求解.【详解】设“心宿二”的星等为，“天津四”的星等为，“心宿二”和“天津四”的亮度分别为，，，，，所以，所以，所以，所以与最接近的是1.26，故选：B.10、A【解析】根据指数函数的单调性可解决此题【详解】解：由指数函数（，且），且根据指数函数单调性可知所以，故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】，故12、####【解析】等价于，解即得解.【详解】解：因为命题“是假命题”，所以，所以.故答案为：13、【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，，，，所以圆锥的高为，体积为.考点：圆锥的侧面展开图与体积.14、【解析】讨论上的零点情况，结合题设确定上的零点个数，根据二次函数性质求m的范围.【详解】当时，恒有，此时无零点，则，∴要使上有2个零点，只需即可，故有2个零点有；当时，存在，此时有1个零点，则，∴要使上有1个零点，只需即可，故有2个零点有；综上，要使有2个零点，m的取值范围是.故答案为：.15、【解析】利用诱导公式变形，再由两角和的余弦求解【详解】解：，故答案为【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查两角和的余弦，是基础题16、【解析】求出a的范围，利用指数函数的性质转化不等式为对数不等式，求解即可【详解】由loga0得0＜a＜1．由得a﹣1，∴≤﹣1=，解得0<x≤，故答案为【点睛】本题考查指数函数的单调性的应用，对数不等式的解法，考查计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据奇函数的知识求得函数在上的解析式.（2）结合函数的单调性、奇偶性求得不等式的解集.小问1详解】当时，，.所以函数在上的解析式为.【小问2详解】当时，为增函数，所以在上为增函数.由得，所以，所以，所以不等式的解集为.18、（1）x∈（2）m≥1【解析】（1）由不等式fx>0的解集为x1<x<2可得x2-bx-c=0的两根是1,2，根据根系数的关系可求b=3和c=-2，代入不等式cx2【详解】（1）由fx>0的解集为x1<x<2，则-x2+bx+c>0的解集为x1<x<2则1+2=b1×2=-c由cx则解集为x∈（2）由gx=-x则3-m2解出m≥1【点睛】本题考查了三个二次的关系，（1）二次函数的图像与x轴交点的横坐标，二次不等解集的端点值，一元二次方程的根是同一个量的不同表现形式；（2）二次函数、二次不等式，二次方程常称作“三个二次”，其中的某类的问题常可以转化为另两类问题加以解决，所以三者的关系密切而重要．其中二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像使它们贯穿一体，使得数形结合思想在此类问题的解决中十分有效19、（1）0（2）【解析】（1）由偶函数的定义得出a的值；（2）由分离参数得，利用换元法得出的最小值，即可得出a的取值范围【小问1详解】因为是偶函数，所以，即，故【小问2详解】由题意知在上恒成立，则，又因为，所以，则．令，则，可得，又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即a的取值范围是20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据函数单调性的定义即可证明；（2）先比较三个数的大小，再利用函数的单调性即可比较a，b，c的大小.【小问1详解】证明：函数，任取，且，则，因为，且，所以，，所以，即，所以函数在区间上单调递增；【小问2详解】解：由（1）可知函数在区间上单调递增，因为，，，所以，所以，即.21、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）30°；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）证明，则，又PD⊥PB即可证明平面（Ⅱ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，DF与平面所成的角等于AB与平面所成的角，为直线DF和平面所成的角，在中，求解即可（Ⅲ）说明是二面角的平面角，在直角梯形ABCD内可求得，而，在中，求解即可【详解】（Ⅰ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，PB与BC相交于点B，所以，PD⊥平面PBC.（Ⅱ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=CF=1又AD⊥DC，故BC⊥DC，ABCD为直角梯形，所以，DF=.

在Rt△DPF中，PD=，DF=，sin∠DFP==所以，直线AB与平面PBC所成角为30°.（Ⅲ）设E是CD