新课标初中数学四星级题库书稿11

十八、圆水平预测（完成时间90分钟）双基型*1.圆既是对称图形，又是对称图形。*2.圆的半径为R，它的内接正三角形的边长为。（2001年哈尔滨市中考试题）p.208**3.从圆外一点P向圆引切线PA和割线PBC，若割线在圆内部分和切线长相等，圆外部分为1cm，则切线长等于cm.(2002年太原市中考试题)**4.如图18-1，一个圆环的面积为9，大圆的弦AB切小圆于点C，则弦AB的长为（）。（2002年黑龙江省中考试题）**5.如图18-2，AB是⊙O的直径，BD=OB，∠CAB=300，请根据已知条件和所给图形，写出三个正确结论（除AO=OB=BD外）①；②；③。（2003年南通市中考试题）纵向型**6.如图18-3，AB是O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为（）。（2002年河北省中考试题）p.174（A）12cm（B）10cm（C）8cm（D）6cm***7.如图18-4，已知B(2,0)、C(8,0)和A(O,a)，若过A、B、C三点的圆的面积最小，则a=(a>0).(2002年淄博市中考试题)***8.一个滑轮起重装置如图18-5所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为（）。（假设绳索与滑轮之间没有滑动，取3.14，结果精确到1）（2001年杭州市中考试题）（A）1150（B）600（C）570（D）270***9.将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水平中（如图18-6），设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是。（2002年太原市中考试题）***10.当你进入博物馆的展览厅，你知道站在何处观赏最理想？如图18-7，设墙壁上的展品最高处点P距离地面a米，最低处点Q距离地面b米，观赏者的眼睛点E距离地面m米，当过P、Q、E三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角∠PEQ最大，站在此处观赏最理想。（1）设点E到墙壁的距离为x米，求a、b、m、x的关系式；（2）当a=2.5,b=2,m=1.6时。求①点E和墙壁距离x；②最大视角∠PEQ的度数（精确到1度）（2003年常州市中考试题）横向型***11.如图18-8，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为。（2002年全国初中数学联赛试题）***12.在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是.(2003年上海市中考试题)***13.在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角面料（如图18-9），现肛出其中的一种，测得∠C=900，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩矍，使扇形的边缘半径恰好都在ΔABC的边上且扇形的弧形与ΔABC其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写扇形半径）。（2002年黄冈市中考试题）***14.已知在内角不确定的ΔABC中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，平行移动EF，如果梯形EBCF有内切圆，当，sinB=；当时，sinB=(提示：)；当时，sinB=.(1)请你据以上所反映的规律，填空：当，sinB的值等于；（2）当（n是大于1的自然数），请用含n的代数式表示sinB=，并画出图形，写出已知、求证和证明过程。（2002年北京市朝阳区中考试题）****15.如图18-10，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，与ST交于点C。求证：。（2001年TI全国初中数学竞赛试题）参考答案十八、圆水平预测1.轴中心。提示：圆是轴对称中心，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆又是以圆心为对称中心对称图形2.R。提示：要会将正多边形的计算问题转化为解直角三角形问题，要熟练地掌握正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长和面积之间的关系3.。提示：要善于利用几何定理的代数表达式作为建立方程的依据，这也是数形结合思想在解题中的重要应用4.D。提示：连结OC、OA。利用圆环面积等于同心的大小两圆面积之差、勾股定理、垂径定理作答5.CD是⊙O的切线；CD2=DB·DA；∠ACB=90。；AB=2BC；BD=BC等(答案不唯一，只要写出其中3个即可)。提示：这是一道开放题，其答案可根据自己的理解来设计，提倡鼓励学生积极探索、创新，发展学生的数学能力6.D。提示：(1)有关弦长、弦心距长的问题，往往需要做垂直于弦的直径(或半径或弦心距)，利用垂径定理、勾股定理(半径、弦心距、半弦长组成直角三角形)来求解；若作半径，可构造等腰三角形，利用等腰三角形性质求解。(2)垂径定理是证明两线段相等，两弧相等，两线垂直的重要依据之一7.4。提示：圆面积最小，则半径最短，而垂线段最短。本题考查了①坐标的有关知识；②垂径定理；③直线与圆的位置关系；④勾股定理；⑤矩形的性质；⑥垂线段最短，根据题设和结论，得到EA⊥y轴是解答的关键，而它却不容易被注意，因而有一定的难度8.C提示：重物上升10cm，就是滑轮旋转10cm。本题涉及物理力学中的滑轮问题，结合弧长公式，可求轴心角度9.11cm≤h≤12cm提示：将这个立体图形问题转化成易于求解的平面图形问题解决10.(1)x2=(a-m)(b-m)提示：作OD⊥PR于点D(2)①0.6米②∠PEQ=230或220。提示：本题取材于生活实际，体现了数学知识的应用价值，使学生体会到数学与生活的关系，此题同时考查了学生使用计算器的能力11.(12+2л)r.提示：通过连结最外面的6个圆心转化为正六边形和6个圆心角为600的扇形问题来解决12.当两圆外切时，r的取值范围：1<r<8；当两圆内切时，r的取值范围：18<r<25.提示：以A、C为圆心的两圆相切，没有指明是内切还是外切，于是应以此为分类标准，分两种情况讨论13.有四解：提示：根据扇形设计的要求，运用分类讨论的数学思想，通过对其圆心位置的探究，可得到四种符合题意的扇形设计方案14.(2)。已知：在ABC中，AB=AC，EF//BC，⊙O内切于梯形EBCF，点D、N、G、M为切点，(n是大于1的自然数)，如图所示。证明：连结AO并延长与BC相交。∵⊙O内切于梯形EBCF，AB、AC是⊙O的切线，∴∠BAO=∠CAO，∵EF//BC,AB=AC,∴AE=AF.又M、N为切点，∴OM⊥EF，ON⊥BC，∴AO⊥EF于M，AO⊥BC于N。∵EF//BC，∴EM//BN.∴AEM～ABN,∴,设EM=k，则BN=nk。作EH//MN交BC于H，则HN=EM=k，∵D、N、M为切点，∴BD=BN=nk，ED=EM=k，在EHB中，∠EHB=∠MNB=900，BE=BD+DE=(n+1)k,BH=BN-HN=(n-1)k。由勾股定理，得EH=2·k,∴sinB==.提示：这是一道将阅读理解与探索猜想、补充图形、条件、结论等嫁接在一起的新型题，要求通过观察进行分析和比较，从特殊到一般去发现规律，并能概括地用数学符号表达出来15.提示：过点P作PH⊥ST，垂足为H，则H是ST的中点，由勾股定理，得PC2=PH2+CH2=PS2-SH2+CH2=PS2-(SH-CH)(SH+CH)=PS2-SC·CT，利用切割线定理和相交弦定理，有PC2=PS2-SC·CT=PA·PB-AC·CB=PA·PB-(PC-PA)(PB-PC)=2PA·PB-(PA+PB)PC+PC2，∴PC2=即。本题的解答要综合运用勾股定理、切割线定理和相交弦定理，以及乘法公式等，巧妙地对代数式进行恒等变形阶梯训练圆的基本性质双基训练*1.圆上各点到圆心的距离都等于；到圆心的距离等于半径的点都在。【1】*2.经过A、B两点的圆的圆心在，这样的圆有个。【1】*3.与已知点A的距离为3厘米的点的集合是。【2】*4.两圆的面积之比为9:4，则此两圆的周长之比为（）。【2】（A）2:3（B）3:2（C）9:4（D）9:1*5.如图18-11，AB是直径，AO=2.5,AC=1，C⊥DAB，则CD等于（）。【2】（A）（B）（C）2（D）2.5*6.如图18-12，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，则图中⊙O的弦有（）。【2】（A）2条（B）3条（C）4条（D）5条*7.若⊙O中等于1200的劣孤所对的弦是12厘米，则⊙O的半径是厘米。【2】*8.圆的弦与直径成300角，并且分直径为8cm和2cm两部分，则弦心距等于cm。（1998年宿迁市中考试题）【2】*9.如图18-13，A、B、C、D、E、F、G、H是⊙O的八等分点，则∠HDE=。（2000年安徽省中考试题）【2】*10.如图18-14，已知圆心角∠BOC=1000，则圆周角∠BAC的度数是（）。（2002年青岛市中考试题）【2】（A）500（B）1000（C）1300（D）2000*11.如图18-15，A、B、C、D、E、F、是⊙O的六等分点，则ACB=（）。（2002年青岛市中考试题）【2】（A）600（B）300（C）450（D）200*12.如图18-16，AB是⊙O的直径，，∠A=250，则∠BOD=。（2001年吉林省中考试题）【2】**13.有个长、宽分别为4和3的矩形ABCD，现以点A为圆心，若B、C、D至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则⊙A半径r的范围是。【2】**14.若点A(a,-27)在以点B(-35,-27)为圆心、37为半径的圆上，则a=。【3】**15.若AB为⊙O的弦，OC为圆半径，且OC⊥AB，垂足为D，已知OC=13厘米，CD=8厘米，则AB=厘米。【3】**16.弓形的弦长6厘米，高为1厘米，则弓形所在圆的半径为厘米。【3】**17.如图18-17，ABCD是⊙O1的内接矩形，边AB平行y轴，且AB:BC=3:4,已知⊙O1的半径为5，圆心⊙O1的坐标是（10，10），矩形四个顶点A、B、C、D的坐标是A；B；C；D。【4】**18.如图18-18，在⊙O中的两弦AB⊥CD，垂足为P，若AB=CD=8，圆的半径为5，则OP的长为（）。【3】（A）3（B）（C）（D）**19.如图18-19，DE是⊙O的直径，弦AB⊥DE，垂足为C，若AB=6，CE=1，则CD=，OC=。（2002年常州市中考试题）【3】**20.已知⊙O的半径为5cm，两平行弦长分别是8cm,5cm，则两平行弦间的距离是cm。（1995年云南省中考试题）【3】**21.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，则AB和CD的距离为（）。（2000年青海省中考试题）【3】（A）2cm（B）14cm（C）2cm或14cm（D）10cm或20cm**22.如图18-20，如果AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下面结论中，错误的是（）。（2000年北京市西城区中考试题）【3】（A）CE=DE（B）（C）∠BAC=∠BAD（D）AC>AD**23.如图18-21，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，则等于（）。（2002年呼和浩特市中考试题）【3】（A）sin∠BPC（B）cos∠BPC（C）tg∠BPC（D）ctg∠BPC**24.如图18-22，点O是ΔABC的外心，已知∠ACB=1000，则劣孤所对的∠AOB=度。【3】**25.如图18-23，AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，∠ACD=600，∠ADC=500，则∠AEC=度。【3】**26.若一个梯形内接于圆，有如下四个结论：①它是等腰梯形；②它是直角梯形；③它的对角线互相垂直；④它的对角互补，请写出正确结论的序号。（2001年天津市中考试题）【2】**27.如图18-24，⊙O是等腰ABC的外接圆，AB=AC，D是的中点，已知∠EAD=1140，求∠CAD的度数。【3】**28.如图18-25，已知在ΔABC中，∠CAB=900，AB=3厘米，AC=4厘米，以点A为圆心、AC长为半径画孤交CB的延长线于点D，求CD的长。【4】**29.已知⊙O的直径为16厘米，点E是⊙O内任意一点。（1）作出过点E的最短的弦；（2）若OE=4厘米，则最短弦的长度是多少？【4】**30.如图18-26，在⊙O的直径MN上任取一点P，过点P作弦AC、BD，使∠APN=∠BPN，求证：PA=PB。【4】**31.如图18-27，⊙O1、⊙O2是两个等圆，点M是O1O2的中点，过点M的直线交⊙O1、⊙O2于点A、B、C、D，求证：AB=CD。【5】**32.如图18-28，在ΔABC中，∠C=900，BD是∠CBA的平分线，BE为ΔABD的外接圆的直径，求证：。【4】纵向应用**1.在半径为5cm的⊙O中，弦AB的长为8cm，则圆心O到AB的距离是cm。（2002年芜湖市中考试题）【2】**2.如图18-29，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（）。（2002年徐州市中考试题）【3】（A）3≤OM≤5（B）4≤OM≤5（C）3<OM<5（D）4<OM<5**3.若圆的弦长等于这圆的半径，则此弦所对的圆周角是。【3】**4.两圆的圆心都是O，半径分别是r1、r2（r1<r2），若r1<OP<r2，则有（）。【3】（A）点P在大圆外，小圆外（B）点P在大圆内，小圆外（C）点P在大圆外，小圆内（D）点P在大圆内，小圆内**5.如图18-30，AB是半径为10cm的⊙O中一弦，交半径为的同心圆于C、D两点，已知圆心O到AB的距离为2cm，则AC+DB=。【3】**6.已知等腰三角形ABC的底边BC的长为10cm，顶角为1200,则它的外接圆半径是cm。【4】**7.如图18-31，在两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=2CD，AB到圆心的距离OM=CD，那么大圆与小圆半径之比为。【3】**8.如果一条弦将圆周分成两段弧，它们的度数之比为3:1，那么此弦的弦心距的长度与此弦的长度之比是。【3】**9.在同圆或等圆中，如果，则AB和CD的关系是（）。【3】（A）AB>2CD（B）AB=2CD（C）AB≤2CD（D）AB=CD**10.在半径是6的圆内，100度的弧所对的弦长为（）。【3】（A）12sin500（B）6sin1000（C）6sin500（D）6sin1000**11.一条弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的3倍，则这条弦所对的圆周角为。【3】**12.圆内接梯形是梯形，圆内接平行四边形是形。【2】**13.若ABCD为⊙O内接四边形，∠BOD=1000，则∠BAD的度数是。【3】**14.如图18-32，AB是半圆O的直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，点E、F是垂足，若BF交半圆于点G，求证：（1）EC=FD；（2）。【6】**15.如图18-33，圆管内原有积水的水平面宽CD=10厘米，水深GF=1厘米，后水面上升1厘米（即EG=1厘米），问：此时水面宽AB为多少？【4】**16.如图18-34，设AB是⊙O的任意直径，取AO上一点C，若以点C为圆心、OC为半径的圆与⊙O相交于点D，DC的延长线与⊙O相交于点E，求证：。【4】**17.如图18-35，AB为O的直径，OC⊥AB，过点C任作弦CD、CE分别交AB于点F、G，求证：ΔCED∽ΔCFG。【5】**18.已知AB是⊙O的直径，OC垂直于AB的半径，过上一点P作弦PE，分别交OC和于点D、E，若PO=PD，求证：∠AOP=∠BOE。【6】**19.已知AB是⊙O的直径，P是OA上的一点，C是⊙O上一点，求证：PA<PC<PB.【5】**20.如图18-36，四边形ABCD内接于⊙O，CB、DA的延长线交于点E，若EB=AD，AE=12，BC=30，求EB的长。【6】**21.如图18-37，⊙O是等边ΔABC的外接圆，点P为上任一点，在CP延长线上取一点Q，使CQ=AP，求证：BQP是等边三角形。【6】**22.在ΔABC中，∠BAC=900，又四边形BCDE是正方形，它的中心为点O，连结OA，求证：OA平分∠BAC。【6】**23.四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，点M是BC的中点，求证：OM=。【7】***24.如图18-38，ΔABC内接于O，D为上一点，OD⊥BC，若∠ABC=240，∠ACB=780，则∠ADO=。（2002年河南省初中数学竞赛试题）【4】***25.如图18-39，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，则EF的长是。（2002年南京市中考试题）【3】***26.如图18-40，ABC内接于圆，D是劣弧上一点，E是BC延长线上一点，AE交⊙O于点F，为使ΔADB∽ΔACE，应补充的一个条件是或。（2001年大连市中考试题）【3】***27.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图18-41，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长？”依题意，CD长为（）。（2002年北京市西城区中考试题）【3】（A）寸（B）13寸（C）25寸（D）26寸***28.如图18-42，已知AB和CD分别是半圆O的直径和弦，AD和BC相交于点E，若∠AEC=a,则SΔCDE:SΔABE等于（）。（2002年济南市中考试题）【3】（A）sin2a（B）cos2a（C）tg2***29.如图18-43，P(x,y)是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有（）。（2002年南昌市中考试题）【3】（A）4个（B）8个（C）12个（D）16个***30.如图18-44，若，那么图中相等的圆周角共有（）。【3】（A）5对（B）6对（C）7对（D）8对***31.如图18-45，梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB=6，CD=2，则梯形ABCD的面积是。【3】***32.如图18-46，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，直线CM、DN分别切半圆于点C、D，且分别和直线AB相交于点M和N。（1）求证：MO=NO；（2）设∠M=300，求证：MN=4CD。（2002年上海市中考试题）【6】***33.如图18-47，有一破残的轮片，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径。（2002年山西省中考试题）【6】***34.如图18-48，BC是半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E。（1）求证：BE·BF=BD·BC；（2）试比较线段BD与AE的大小，并说明理由。（2002年陕西省中考试题）【8】***35.如图18-49，AM是O的直径，过O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交O于点C，弦CD交AM于点E。（1）若CD⊥AB，求证：EN=NM；（2）如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF·ED；（3）如果弦CD、AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么（2）的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（2002年重庆市中考试题）【12】***36.如图18-50，在⊙O的内接等边三角形ABC中，经过点A的弦与BC和分别相交于点D和P，连结PB、PC。（1）写出图中所有的相似三角形；（2）求证：PA2=BC2+PB·PC。（2002年鄂州市中考试题）【10】***37.如图18-51①，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P′，使得OP·OP′=r2，这种把点P变为点P的变换叫做反演变换，点P与点P叫做互为反演点。（1）如图18-51②，⊙O内外各一点A和B，它们的反演点分别为A′和B′。求证：∠A′=∠B；（2）如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形。①选择：如果不经过点O的直径L与⊙O相交，那么它关于⊙O的反演图形是（）。（A）一个圆（B）一条直线（C）一条线段（D）两条射线②填空：如果直线L与⊙O相切，那么它关于⊙O的反演图形是，该图形与圆O的位置关系是。（2001年南京市中考试题）【6】***38.如图18-52，以ΔABC的BC边为直径的半圆交AB于点D，交AC于点E，边E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF:FC=5:1,AB=8,AE=2,求EC的长。（2002年河南省中考试题）【8】***39.如图18-53，AB是O的直径，C是O上一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB于点D（AD<DB），点E是DB上任意一点（点D、B除外），直线CE交⊙O于点F，连结AF与直线CD交于点G。（1）求证：AC2=AG·AF；（2）当点E是AD（点A除外）上任意一点外，上述结论仍成立？（2002年辽宁省中考试题）【10】***40.如图18-54，⊙O的两条割线AB、AC分别交⊙O于D、B、E、C，弦DF∥AC交BC于点G。（1）求证：AC·FG=BC·CG；（2）若CF=AE，求证：ΔABC为等腰三角形。（2001年河南省中考试题）【10】***41.如图18-55，点I是ΔABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交ΔABC外接圆于点E。（1）求证：IE=BE；（2）若IE=4，AE=8，求DE的长。（2001年陕西省中考试题）【8】***42.如图18-56，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足。（1）求证：∠ADE=∠B；（2）过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD·DA=FO·DE。（2002年宁波市中考试题）【10】***43.如图18-57，已知⊙O与⊙O1相交于点A、B，点P是⊙O上的一点，引割线PAC、PBD，交⊙O1于点C、D，连结CD。作PE⊥CD，求证：PE必过⊙O的圆心O。【9】***44.⊙O的直径BE与弦AC互相垂直，垂足为点F，延长AB到点D，使BD=AB，已知BE=20厘米，AB=11厘米，求CD的长。【8】***45.圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P，求证：（1）PB·AC=PC·BD；（2）点P到AD的距离与点P到BC的距离之比等于AD:BC。【10】***46.四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线相交于点E，BA、CD的延长线相交于点F，∠E、∠F的平分线交AB、CD、BC、AD于点G、M、H、N，连结GH、HM、MN、NG。求证：四边形GHMN是菱形。【10】横向拓展***1.在锐角ΔABC中，AC=1，AB=c，∠A=600，ΔABC的外接圆半径R≤1,则（）。（1991年全国初中数学联赛试题）【3】（A）<c<2（B）0<c≤（C）c>2（D）c=2***2.在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于，则这个多边形的边数必为（）。（1992年全国初中数学联赛试题）【3】***3.如果边长顺次为25、39、52和60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（）。（1995年全国初中数学联赛试题）【3】（A）62（B）63（C）64（D）65***4.如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形有（）个。（1996年全国初中数学联赛试题）【3】***5.已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB=12，CD=6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP=8，∠APD=600，则R等于（）。（2000年全国初中数学联赛试题）【3】（A）10（B）2（C）12（D）14***6.如图18-58，A、B、C、D四点在同一圆周上，且BC=CD=4，AE=6，线段BE和DE的长都是正整数，则BD的长等于。（1988年全国初中数学联赛试题）【4】***7.如图18-59，在锐角三角形ABC中，∠A=300，以BC边为直径作圆，与AB、AC分别交于点D、E，连结DE，把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC，设它们的面积分别为S1、S2，则S1:S2=。（1993年全国初中数学联赛试题）【4】***8.以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2=AC·BC，则∠CAB=。（1995年全国初中数学联赛试题）【4】***9.如图18-60，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点C、D，以OD为直径作⊙A交CD于点F，FA的延长线交⊙A与点E，交x轴于点B。（1）设F(a,b)，求以a、b为根的一元二次方程；（2）求BE的长。（2002年包头市中考试题）【10】***10.如图18-61，已知在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，垂足为D，⊙O过A、D两点，分别交AB、AC、BD于点E、F、G（G在D的左侧）。（1）求证：EG=AF；（2）若AB=+1。⊙O的半径为，求tg∠ADE的值。（2002年山东省中考试题）【10】***11.阅读材料，解答问题。命题：如图18-62，在锐角ΔABC中，BC=a,CA=b,AB=c,ΔABC的外接圆半径为R，则=2R。证明：连结CO并延长交⊙O于点D，连结DB，则∠D=∠A。∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC=900，在直角ΔDBC中，∵sinD=,∴sinA=,即，同理，，∴。请你阅读上面所给的命题及证明后，完成下面的（1）、（2）两小题：（1）前面的阅读材料中略去了“2R”和“”的证明过程，请你把“=2R”的证明过程补写出来；（2）直接用前面阅读材料中命题的结论解题，如图18-62，在锐角ΔABC中，BC=，CA=，∠A=600，求ΔABC的外接圆半径R及∠C。（2002年深圳市中考试题）【10】***12.如图18-63，在ΔABC中，AB=4，BC=3，∠B=900，点D在AB上运动，但不与A、B重合，过B、C、D三点的圆交AC于E，连结DE。（1）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（2）当AD的长是关于x的方程2x2+(4m+1)x+2m=0的一个整数根时，求m的值。（2002年甘肃省中考试题）【10】***13.如图18-64，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P。（1）已知CD=8cm，∠B=300，求⊙O的半径；（2）如果弦AE交CD于点F，求证：AC2=AF·AE。（2002年广安市中考试题）【8】***14.如图18-65，在直径为AB的半圆内，画出一个三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，其他两边分别为6和8，现要建造一个内接于ΔABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，设计方案要使AC=8，BC=6。（1）求ΔABC中AB边上的高h；（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB边上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内妆于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树。（1999年云南省中考试题）【12】***15.如图18-66所示，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心海里的圆形区域（包括边界）都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里。（1）若这艘轮船自A处按原速度继续向东航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间，若不会，请说明理由；（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北300方向，相距60海里的D港驶去，为使台风到来之前，到达D港，问：船速至少应提高多少（提高的船速取整数，≈3.6）？（1998年河北省中考试题）【12】***16.已知AB是⊙O中一条长为4的弦，P是⊙O上一动点，cos∠APB=.问：是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形？若不存在，试说明理由；若存在，求出这个三角形的面积。【10】****17.如图18-67，ΔABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，点E、F分别在AB、AC的延长线上，EF交⊙O于点M、N，交AD于点H，H是OD的中点，，EH-HF=2，设∠ACB=a,tga=,EH和HF是方程x2-(k+2)x+4k=0的两个实数根。（1）求EH和HF的长；（2）求BC的长。（2002年北京市朝阳区中考试题）【10】****18.如图18-68，ΔABC内接于⊙O，BC=4，SΔABC=6，B为锐角，且关于x的方程x2-4xcosB+1=0有两个相等的实数根，D是劣孤上任一点（点D不与点A、C重合），DE平分∠ADC，交O于点E，交AC于点F。（1）求∠B的度数；（2）求CE的长；（3）求证：DA、DC的长是方程y2-DE·y+DE·DF=0的两个实数根。（2002年哈尔滨市中考试题）【12】****19.已知抛物线y=x2-mx-2m交x轴于A(x1,0)、B(x2,0)，交y轴于C点，且x1<0<x2,(A0+OB)2=12CO+1.(1)求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。（2002年武汉市中考试题）【12】****20.如图18-69，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2),与y轴的正半轴交于点C，已知该抛物线顶点横坐标为1，A、B两点间的距离为4，ΔABC的面积是6。（1）求这条抛物线的解析式；（2）求ΔABC外接圆的圆心M的坐标；（3）在抛物线上是否存在一点P，使ΔPBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BM分成的面积比为1:2两部分？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。（2002年襄樊市中考试题）【12】****21.如图18-70，在半径为r的半圆O中，半径OA⊥直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。（1）求证：S四边形AEOF=r2；（2）设AE=x,SΔOEF=y,写出y与x之间的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；（3）当SΔOEF=SΔABC时，求点E、F分别在AB、AC上的位置及E、F两点间的距离。（2002年四川省中考试题）【12】****22.如图18-71，在以O为圆心的图中，弦CD垂直于直径AB，垂足为H，弦BE与半径OC相交于点F，且OF=FC，弦DE与弦AC相交于点G。（1）求证：AG=GC；（2）若AG=，AH:AB=1:3，求ΔCDG的面积与ΔBOF的面积。（2000年“鲁中杯”竞赛试题）****23.如图18-72①，当AD是ΔABC的高，AE是ΔABC的外接圆的直径时，一定有结论：AB·AC=AE·AD成立，现将18-72①作如下变动，请按要求进行讨论：（1）如果D是ΔΔABC的边BC上的任一点，AE是ABC的外接圆的一条弦，且∠BAE=∠CAD（如图18-72③），那么，结论：AB·AC=AE·AD还成立吗？试简要说明理由；（2）如果D是ΔABC的边BC延长线上的点（如图18-72③），AE是ΔABC的外接圆的一条弦，那么，再加一个什么条件，就可以使结论AB·AC=AE·AD成立？把满足条件的弦AE在图18-72上表示出来，并简要说明理由。（2000年“新世纪杯”竞赛试题）【12】****24.如图18-73，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，E为DC边上一点，若AE∥BC，AE=EC=7，AB=6。（1）求AD的长；（2）求BE的长。（2001年绍兴部分市县竞赛试题）【12】****25.如图18-74，BC为O的直径，A为上的点（不与B、C重合），过点A作ADBC，D为垂足，设BD=a,DC=b.(1)证明：；（2）如果A是动点，移动点A，能否有；如果有，请找出这时点A的位置；如果没有，请说明理由。（2002年，广西省竞赛试题）【12】参考答案阶梯变形圆的基本性质双基训练1.半径圆上2.线段AB的垂直平分线上无数3.以点A为圆心、3厘米长为半径的圆4.B5.C6.B7.128.3/29.450。10.A11.A12.50013.3<r<514.2或-7215.2416.517.(6，,13)(6,7)(14,7)(14,13)18.B19.9420.21.C22.D23.b24.16025.8026.①、④27.38028.32/5厘米29.(1)略(2)8厘米。提示：连OE，过点E作AB⊥OE，垂足为点E，AB即是最短的弦30.略31.提示：作O1F⊥AB，O2G⊥CD32.略纵向应用1.32.A3.30。或150。4.B5.46.7.：8.1：29.C10.A11.45。或135。12.等腰矩形13.50。或130。14.提示：作OK⊥EF，连结OG15.8厘米16.提示：证∠BDE=3∠ABD17.略18.提示：设∠AOP=α，得∠POD=∠PDO=90。-α,∠E=∠P=2α,又∠COE=∠PDO-∠E=90。-α-2α=90。-3α，故∠BOE=90。-∠COE-3α，即∠AOP=1/3∠BOE19.提示：连OC、BC，因AP=OA-OP=OC-OP<PC，PB=OP+OB=OC+OP>PC，故AP<PC<PB20.621.提示：证PBQ中PB=BQ，∠BPQ=60。22.提示：证A、E、C、F四点在同一圆上23.的示：延长BO交圆O于点E，连EC24.27。25.426.∠DAB=∠CAE∠ABD=∠E(或或)27.D28.B29.C30.D31.4()32.提示：(1)连结OC、OD，证OCMODN(2)证OCD是等边三角形33.略34.提示：(1)连结FC，证BDE～BFC(2)连结AC、AB，证AE=BE35.(1)提示：连结BM，证RtCENRtBMN(2)提示：连结BD、BE、AC，证BED～FEB(3)结论成立36.(1)ABD～CPD～APB，ACD～APB，得PA·AD=AB237.(1)略(2)①A②圆内切38.39.(1)提示：证ACG～ACF(2)结论成立40.提示：连结CF、DE41.(1)略(2)242.提示：(1)连结OD，证EF⊥OD(2)证FDO～DEA43.提示：连结AB44.12.1厘米45.提示：(1)证BPD～CPD；(2)证PBC～PDA46.提示：证EHN及FGM是等腰三角形，GM与HN互相垂直平分横向拓展1.A2.C3.D4.C5.B6.77.38.75。或15。9.(1)(2)4/310.(1)提示：证(2)。提示：连结AG，利用勾股定理求解。11.(1)提示：连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC；连结BO并延长并⊙O于点F，连结FA(2)R=1，∠C=75。12.(1)y=(2)-1/2,-1,-3/213.(1)8/3cm(2)略14.(1)4.8(2)x=2.4时，S四边形OEFN最大(3)当S四边形DEFN最大，x=2.4时，F为BC中点，故大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案，由圆的对称性知满足题设条件的另外设计方案是将最大面积的水池建在使AC＝6，BC＝8，且C点在半圆周上的ABC中15.（1）最初遇到台风的时间为1小时（2）台风中心抵达D港的时间为小时，∵轮船从A处用小时到D港的速度为60÷≈25.5，∴为使台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6海里/时16.存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形。此时为417.（1）EH＝8，HF＝6（2）18.（1）60。（2）2（3）提示：证明EDA≌CDA19.（1）y=(2)存在这样的P点，使∠APB为锐角，设P点的横坐标为x0,x0的范围是0<x0<320.（1）y=-x2+2x+3(2)M(1,1)(3)抛物线上存在符合题意的点P的坐标为（1/2,15/4）或(-1/4,39/16)21.（1）略（2）y=（3）当AE＝r时，AF＝r，EF＝r,当AE＝r，AF＝r，EF＝r22.（1）略（2）SCDG＝2，SBOF＝23.（1）结论仍然成立（2）只要再加上∠BAE＝∠DAC，即可使结论AB·AC＝AE·AD成立24.（1）6（2）1125.（1）略（2）移动点A到达点O垂直于BC的直线与的交点处，则上述推理同样成立直线与圆的位置关系双基训练*1.判断题：【3】（1）若E、F是直线L上两点，且点E、F与⊙O的圆心O的距离大于半径，则L与⊙O相离（）。（2）和圆的一条半径垂直的直线必是圆的切线。（）（3）过一点总可以作已知圆的切线。（）（4）圆的外切梯形一定是等腰梯形。（）*2.在直角ΔABO中，∠AOB=900，OC⊥AB，垂足为点C，已知OA=，OB=2，那么以点O为圆心、4为半径的圆与AB这条直线的位置关系是。【2】*3.若直线L与⊙O的公共点的个数不少于1个，则直线L与⊙O的位置关系是。【2】*4.点I是ΔABC的内心，若∠A=700，∠B=500，则∠AIB=，∠BIC=º，∠CIA=。【3】*5.如图18-75，直线MN与圆O相切于点C，AB是直径，∠CAB=400，则∠MCA=。【2】*6.如图18-76，在⊙O中，AC是弦，AD是切线，CB⊥AD，垂足为B，CB与圆相交于点E，如果AE平分∠BAC，则∠ACB=.【2】*7.如图18-77，PAB、PCD是⊙O的割线；（1）若PA=6cm，AB=6cm,PC=4cm,则CD=cm；（2）若PB=8cm,AB=5cm,CD=10cm,则PC=cm；（3）若PB=12cm,AB=8cm,PC:CD=3:5,则PD=cm.【3】*8.如图18-78，BC是⊙O的直径，PA、PB与⊙O相切于点A、B，PC交⊙O于点，若PA=6cm,PD=4cm,则PB=cm,PC=cm,CD=cm,BC=cm.【4】*9.从圆外一点作过圆心的割线长为12cm，图的半径为4.5cm，则由此点引圆的切线，其切线长为。【2】*10.从不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线，交⊙O于点B、C，且AB·AC=64，OA=10，则⊙O的半径等于。【3】**11.如图18-79，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA=，PB=1，那么∠APC等于（）。（2002年北京市西城区中考试题）【2】（A）150（B）300（C）450（D）600**12.如图18-80，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为300，过C点的切线PC与AB延长线交于点P，PC=5，则⊙O的直径为（）。（2002年安徽省中考试题）【2】（A）（B）（C）10（D）5**13.如图18-81，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，在下列结论中，错误的是（）。（2002年南昌市中考试题）【2】（A）∠1=∠2（B）PA=PB（C）AB⊥OP（D）PA2=PC·PO**14.已知圆的半径为6.5cm，如果一条直线和圆心的距离为6.5cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）。（2002年武汉市中考试题）【2】（A）相交（B）相切（C）相离（D）相交或相离**15.如图18-82，一正方形同时外切和内接于两个同心圆，当小圆的半径为r时，大圆的半径应为（）。（2001年杭州市中考试题）【2】（A）r（B）1.5r（C）r（D）2r**16.如图18-83，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PC是⊙O的切线，C为切点，PC=，PA=4，则⊙O的半径等于（）。（2002年温州市中考试题）【2】（A）1（B）2（C）（D）**17.如图18-84，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊥O的半径为，则BF的长为（）。（2002年镇江市中考试题）【2】（A）（B）（C）（D）**18.如图18-85，四边形ABCD内接于以BC为直径的半圆O，且AB=AD，DA、CB的延长线相交于点P，PB=BO，DC=18，则AD=。（2002年芜湖市中考试题）【3】**19.如图18-86，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以AB为直径的⊙O与DC相切于点E，则DC=。（2002年云南省中考试题）【2】**20.圆内相交的两条弦中，一条弦被交点分成的两条线段的长分别为1cm和6cm，另一条弦被交点分成的两条线段的长分别为2cm和xcm，则x=.(2002年南通市中考试题)【2】**21.在ΔABC中，AD是底边BC上的高，且等于BC的一半，求证：以中位线EF为直径作半圆，必与BC相切。【6】**22.如图18-87，在RtΔAOB中，∠AOB=900，AO=BO，点D在AB上，且BD=BO，又点M是AB的中点，以点O为圆心、OM为半径作O，交OA于点E。求证：AB和DE都是⊙O的切线。p.180【6】**23.如图18-88，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，过C点的切线与过A、B两点的切线分别交于E、F两点，AF、BE相交于P点，求证：CP∥AE。【6】**24.⊙O是RtΔABC的内切圆，∠C=900，三边分别为a、b、c，求（1）内切圆半径r；（2）外接圆半径R；（3）若三边分别为6、8、10，则r、R各等于多少？【8】**25.半圆O的直径AB=2，C是半圆上的一点，且=1:2，过点B、C的切线交于点P，PA交⊙O于点E，求PE的长。【6】**26.如图18-89，已知ΔABC是⊙O内接三角形，BM、CN是圆的切线，AD∥CN，AE∥BM，求证：AD2=BE·CD。【6】**27.如图18-90，在⊙O中，弦AB和直径CD相交于点P，M是DC延长线上的一点，MN是⊙O的切线，N是切点，若AP=8，PB=6，PD=4，MC=8，求⊙O的半径r及CP、MN的长。【9】**28.如图18-91，⊙O分别与ΔABC的AB、AC边分别切于点M、N，交BC边于点E、F，且BE=EF、FC。求证：B=C。【6】**29.如图18-92，已知⊙O的两条直径AB与CD垂直，OE=OF，BE的延长线交DF于点G，求证：FO·FB=FG·FD。【6】纵向应用**1.两个以点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，如果AB的长为24，大圆的半径OA为13，那么小圆的半径为。（2002年上海市中考试题）【2】**2.如图18-93，AB是⊙O的直径，DE切⊙O于点C，欲使AE⊥DE，须添加的一个条件是（不另外添加线和点）。（2002年大连市中考试题）【3】**3.如图18-94，以ΔABC的边AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，要使得DE⊥AC，则ΔABC的边必须满足的条件是。（2002年武汉市中考试题）【2】**4.如图18-95，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于M点，若OA=a,PM=a,那么ΔPMB的周长是。（2002年河南省中考试题）【3】**5.如图18-96，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB=600，AC=2，那么CD的长为。（2002年四川省中考试题）【3】**6.三角形的内心是以各边与内切圆的切点为顶点的三角形的（）。【3】（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心**7.ΔABC内接于⊙O，过A点作圆的切线，交BC的延长线于P点，∠APB的平分线与AB、AC分别相交于点E、F，则（）等式成立。【4】（A）AE·AF=BE·CF（B）AE·CF=AF·BE（C）AE·BE=AF·CF（D）AE·AB=AF·AC**8.如图18-97，已知ΔABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE，（1）求证：ΔABC是等腰三角形；（2）设AB=10cm,BC=8cm,点P是射线AE上的点，若以A、P、C为顶点的三角形与ΔABC相似，问：这样的点有几个？并求AP的长。（2002年南昌市中考试题）【10】**9.如图18-98，AB是⊙O的直径，直线EF与⊙O相切于点C，AE⊥EF，垂足为E，BF⊥EF，垂足为F，连结AC。（1）求证：AC平分∠BAE；（2）求证：AB=AE+BF。（2002年云南省中考试题）【8】**10.如图18-99，点I是ΔABC的内心，过点I且垂直于AI的直线交AB、AC于点D、E，求证：∠BID=∠C。**11.在RtΔABC中，∠C=900，内切圆I切AB于点D，求证：SΔABC=AD·BD。【6】**12.如图18-100，已知半径为r的⊙O1与半径为R的半圆内切于点E，又⊙O1切半圆的直径AB于点C，CD⊥AB于点C，且交于点D，求证：CD2=2Rr.【6】**13.如图18-101，ΔABC的内切圆把BC边上的中线AD三等分，AN=MN=MD，且与AB、BC、CA分别相切于点G、E、F，若AG=2，求DE，并求出BC:AC的值。【7】***14.如图18-102，已知以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON、NP。下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP；③DP·PC为定值；④PA为∠NPD的平分线，其中一定成立的是（）。（2002年武汉市中考试题）【4】（A）①、②、③（B）②、③、④（C）①、③、④（D）①、④***15.如图18-103，等腰梯形ABCD外切于⊙O，AD∥BC，∠B=300，中位线EF=12，则⊙O的半径长为（）。【3】（A）2（B）3（C）4（D）5***16.在ΔABC中，∠C=900，内切圆I与AB、BC、CA分别切于点D、E、F，若⊙I的半径为r,BE=n,试用r和n表示ΔABC的面积得。【6】***17.已知ΔABC三边长为6、8、10，则它的内心、外心间的距离为；若三边长为5、5、8，则内心、外心间的距离为；内心、重心间的距离为，外心与重心间的距离为。【8】***18.如图18-104，已知P是⊙O直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E。（1）求证：PA·PB=PO·PE；（2）若DE⊥CF，∠P=150，⊙O的半径为2，求弦CF的长。（2002年北京市东城区中考试题）【10】***19.如图18-105，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣孤AC上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。（1）当PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？（2）当点D在劣孤的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？（2002年济南市中考试题）【10】***20.如图18-106，已知矩形ABCD，以点A为圆心、AD为半径的圆交AC、AB于点M、E，CE的延长线交⊙A于点F，CM=2，AB=4。（1）求⊙A的半径；（2）求CE的长和ΔAFC的面积。（2002年吉林省中考试题）【10】***21.已知AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C。（1）当点P在AB延长线上，位置如图18-107①所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；（2）当点P在AB延长线上的位置如图18-107②和18-107③时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线（不写作法，保留作图痕迹），设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明。（2002年北京市西城区中考试题）【10】***22.如图18-108，在ΔABC中，∠BAC=900。∠ABC=600，AB=2，AD是BC边上的高，过点C、D的⊙O交AC于点E，连结BE交⊙O于点F。（1）求BF·BE的值；（2）设AE=x，用含x的代数式表示ΔBDF的面积S；（3）如果ΔBDF的面积是，求AE。（2002提芜湖市中考试题）【12】***23.如图18-109，在ΔABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,以AB为直径作⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F。（1）求证：DF是⊙O的切；（2）求四边形ABDE的面积。（2002年黄石市中考试题）【10】***24.如图18-110①，AD是RtΔABC的斜边BC上的高，AB=AC，⊙O过A、D两点并分别并AB、AC于点E、F，连结EF交AD于点G，分别连结ED、DF。（1）填空：直接写出图中至少三对相似而不全等的三角形，它们是；（2）填空：直接写出图中所有的全等三角形，它们是，并且写出线段AE、AF、AB间的关系式；（3）如图18-110②，当圆心O的位置移到ΔABC的外面，⊙O分别与BA、AC的延长线交于点E′、F′时，分别连结E′F′、E′D、DF′，线段AE′、AF′、AB间有什么关系？请证明你的结论。（2002年广西省中考试题）【10】***25.已知以RtΔABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E，（1）如图18-111，求证：EB=EC=ED；（2）试问：在线段DC上是否存在点F，满足BC2=4DF·DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由。（2002年天津市中考试题）【10】***26.如图18-112，D是BC延长线上一点，DE切ΔABC的外接圆于点E，DE∥AC，AE、BC的延长线交于点G，BE交AC于点F。求证：（1）BF平分∠ABC；（2）AE2=AB·CD；（3）AE·EG=AB·DG。（2002年青岛市中考试题）【10】***27.如图18-113，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E。求证：∠ADE=∠B；（2）过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD·DA=FO·DE。（2002年南通市中考试题）【10】***28.如图18-114，PA切⊙O于点A，割线PD交⊙O于点C、D，∠P=450，弦AB⊥PD，垂足为E，且BE=2CE，DE=6，CF⊥PD，交DA的延长线于点F，求tg∠CFE的值。（2002年重庆市中考试题）【10】***29.如图18-115，正三角形ABC的边长为6厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着路线ABBCCA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动。（1）若r=厘米，求⊙O首次与BC相切时，AO的长；（2）在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下，r的取值范围及相应的切点个数；（3）设⊙O在整个移动过程中，在ΔABC内部，⊙O未经过的部分的面积为S，在S>0时，求S关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围。（2002年江西省中考试题）【12】***30.如图18-116，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上的一点，CD切⊙O于点D，∠BCD的平分线交BD于点E，又CA=1，CD是⊙O半径的倍，求DE和EB的长。【7】***31.如图18-117，ΔABC是⊙O的内接三角形，AD是CA的平分线，AD的延长线交⊙O于点M，过点M作PQ∥BC，分别交AB、AC的延长线于点P、Q。求证：（1）PQ是⊙O的切线；（2）。【10】***32.如图18-118，C是⊙O直径AB上一点，D在⊙O上，DC⊥AB，DF切⊙O于点D，CE⊥DF于点E。求证：AB·CE=AC·BC+DC2。【8】***33.在RtΔABC中，∠A=900，以AB为直径作半圆交BC于点D，过点D作半圆的切线并AC于点E。求证：（1）AE=CE；（2）CD·CB=4DE2。【8】***34.ΔABC的内切圆切AC于点E，且AE=2厘米，EC=5厘米，已知∠B=（∠A+∠C），求（1）AB与BC的长；（2）内切圆的面积。【8】***35.如图18-119，ΔABC的内切圆O切各边于点D、E、F，MN切⊙O于点P，且MN∥BC，AB=15，BC=14，AC=13，求（1）AMN的周长；（2）MN的长。【8】***36.如图18-120，ΔABC内接于⊙O，DE∥BC，点D在AB上，点E在AC上，且DE的延长线交过点A的切线于点P。求证：PA2=PD·PE。【7】***37.如科18-121，在RtΔABC中，∠C=900，⊙O过点C，且切AB的中点于点D，交AC于点E，F为上任意一点，求证：∠CFD=2∠DFE。【8】***38.如图18-122，C为线段AB的中点，BCDE是以BC为一边的正方形，以点B为圆心、BD为半径的圆与AB及其延长线相交于点H及K。求证：（1）HC·CK=AC2；（2）AH·AK=2AC2p.184【8】***39.如图18-123，⊙O中弦AB垂直平分半径OM，P为优孤上一点，C为AP延长线上一点，且PC=PB，BC交O于点D。求证：ΔOPD是等边三角形。【9】横向拓展***1.如图18-124，已知直线y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上可以移动的点，且点P在点A的左侧，PM⊥x轴，交直线y=-x+6于点M，有一个动圆O′，它与x轴、直线PM和直线y=-x+6都相切，且在x轴的上方，当⊙O′与y轴也相切时，点P的坐标是。（2002年济南市中考试题）【3】***2.如图18-125，已知边长为2的等边三角形ABC内接于⊙O，点D在上运动，但与A、C两点不重合，连结AD并延长交BC的延长线于点P。（1）求⊙O的半径；（2）设AD为x，AP为y，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）D点运动过程中是否存在这样的位置，使得ΔBDP成为以DB、DP为腰的等腰三角形？若存在，请你求出此时AD的值；若不存在，请说明理由。（2002年云南省中考试题）【10】***3.在如图18-126①中，AD∥BC，AB=DC，以HF为直径的⊙O与AB、BC、CD、DA相切，切点分别是E、F、G、H。其中H为AD的中点，F为BC的中点，连结HG、GF。（1）若HG和GF的长是关于x的方程x2-6x+k=0的两上实数根。求O的直径HF（用含k的代数式表示），并求出k的取值范围；（2）如图18-126②，连结EG、DF，EG与HF交与点M，与DF交于点N，求的值。（2002年深圳市中考试题）【10】***4.如图18-127，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE·PO。（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若OE:EA=1:2,PA=6.求⊙O的半径；（3）求sin∠PCA的值。【10】***5.如图18-128，已知直线y=与x轴、y轴分别交于A、B两点。⊙M经过原点O及A、B两点。（1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程；（2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO，写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式；（3）若延长BC到点E，使DE=2，连结EA，试判断直线EA与⊙M的位置关系，并说明理由。（2002年河南省中考试题）【12】***6.如图18-129，已知⊙O的半径为r，CE切⊙O于点C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥AB于点D，如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程x2-3(r-2)x+r2-4=0的两个实数根，求（1）AC、BC的长；（2）CD的长。（2002年无锡市中考试题）【10】***7.已知抛物线y=ax2+bx与x轴的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点，（1）证明：ΔOAB为等边三角形；（2）若ΔOAB的内切圆半径为1，求出抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点P，使ΔPOB是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（2002年山西省中考试题）【10】***8.如图18-130，P为x轴正半轴上一点，半圆P交x轴于A、B两点，交y轴于C点，弦AE分别交OC、CB于点D、F。已知。（1）求证：AD=CD；（2）若DF=，tg∠ECB=,求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（3）设M为x轴负半轴上一点，OM=AE，是否存在过点M的直线，使该直线与（2）中所得的抛物线的两个交点到y轴距离相等？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在，请说明理由。（2002年大连市中考试题）【10】***9.如图18-131，在矩形ABCD中，AD=8，DC=6，在对角线AC上取一点O，以OC为半径的圆切AD于点E，交BC于点F，交CD于点G。（1）求⊙O的半径R；（2）设∠BFE=α，∠GED=β，请写出α、β、900三者之间的关系式（只需写出一个），并证明你的结论。（2001年吉林省中考试题）【10】***10.如图18-132，已知矩形ABCD在平面直角坐标系中，顶点A、B、D的坐标分别为A（0，0）、B（m,0）、D（0,4），其中m≠0。（1）写出顶点C的坐标和矩形ABCD的中心P点的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若一次函数y=kx-1的图象L把矩形ABCD分成面积相等的两部分，求此一次函数的解析式（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的前提下，L又与半径为1的⊙M相切，且点M（0，1），求此时矩形ABCD的中心P点的坐标。（2002年福州市中考试题）【12】***11.如图18-133，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连OD，且∠AOD=∠APC。（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若DC:CB=1:2,且AB=9，求⊙O半径及sinA的值。（2002年黄冈市中考试题）【10】***12.如图18-134，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过点E作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB延长线于C点。（1）求证：CD与⊙O相切于点E；（2）若CE·DE=，AD=3，求⊙O的直径及∠AED的正切值。（2002年北京市海淀区中考试题）【10】***13.如图18-135，已知PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，PD⊥AB于点D，PD、AO的延长线相交于点E，连结CE并延长CE交⊙O于点F，连结AF。（1）求证：ΔPBD∽ΔPEC；（2）AB=12，tg∠EAF=,求⊙O半径的长。（2002年北京市崇文区中考试题）【10】***14.如图18-136，在ΔABC中，∠BAC=900，AC=3，AB=4，O是BC上的一点，以O为圆心、OC为半径作圆交AC边于点D，过D作⊙O的切线交AB边于点E，连结BD，设OC=x，ΔBED的面积为y，求y与x之间的函数关系式。（2002年广东省中考试题）【10】***15.如图18-137，ΔABC内接于⊙O，AB=BC，AO⊥BC于点D。（1）求证：ΔABC是等边三角形；（2）若AB=1，P是劣弧上的一个动点（点P与B、C不重合），PA交BC于点E，设AE=x,EP=y,求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）前提下，令∠PAC=α,∠APC=β,当y取何值时，sin2α+sin2β=1。（2002年青岛市中考试题）【10】****16.如图18-138，B、C是线段AD的两个三等分点，P是以BC为直径的圆周上的任意一点（B、C点除外），则tgAPB·tgCPD=.(2000年赣州市竞赛试题)【4】****17.如图18-139，AD是直角三角形ABC斜边BC上的高，AB=AC，过点A、D的圆与AB、AC分别交于E、F，弦EF与AD交于点G，写出图中所有与GDE相似的三角形：。（2000年新世纪杯竞赛试题）【4】****18.如图18-140，在RtABC中，A=900，以BC边上的点O为圆心作圆，分别与AB、AC相切于E、F两点，设AB=a,AC=b,则⊙O的半径等于。（2001年“创新杯”竞赛题）【4】****19.如图18-141，在以点O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上一点，过A作小圆的割线AXY，若AX·AY=3，则此图中圆环的面积为（）。（2001年全国初中数学联赛试题）【4】（A）3（B）