新疆伊犁可克达拉市镇江高级中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

可中20232024学年高二第一学期第一次月考数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答題卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小題选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择題的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答題区城内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.第I卷（选择题共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分；每小题只有一项符合题目要求）1.在平行六面体中，与向量相等的向量共有（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】由图形及相等空间向量定义可得答案.【详解】由图，与向量大小相等，方向相同的向量有共3个.故选：C2.化简所得的结果是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果.【详解】根据向量减法原则，，而，故.故选：C.3.给出下列四个命题，其中正确的有（1）若空间向量，满足，则；（2）空间任意两个单位向量必相等；（3）对于非零向量，由，则；（4）在向量的数量积运算中．A.0个 B.1个 C.2个 D.4个【答案】A【解析】【分析】根据向量相等的定义，单位向量的定义，以及向量的模的定义，逐个选项进行判断即可.【详解】对于（1），取，，此时，，但是，故（1）为假命题；对于（2），取单位向量和，此时，故（2）为假命题；对于（3），若空间向量取，，取为零向量，此时，满足，但，故（3）为假命题；对于（4），取，，，则，，所以，故（4）为假命题.故选：A.4.在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量加减法，和空间向量基本定理直接求解即可.【详解】.故选：C【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及向量共线定理，空间向量基本定理，属于基础题.5.过，两点的直线的一个方向向量为则A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】解法一：根据AB坐标求得向量，根据与直线的方向向量共线即可求得结果.解法二：根据直线的方向向量求得直线的斜率，结合两点的斜率公式即可求得结果.【详解】解法一：由直线上的两点，，得，又直线的一个方向向量为，因此，∴，解得，故选：C.解法二：由直线的方向向量为得，直线的斜率为，所以，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查直线的斜率与直线的方向向量，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题.6.如下图，设直线的斜率分别为，则用“＜”号将它们的斜率连接起来后，得到的结果为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先区分斜率的正负，判定倾斜角是锐角还是钝角，然后根据在倾斜角都是锐角时倾斜角越大斜率越大，在倾斜角都是钝角时倾斜角越大，斜率越大，得出结论.【详解】直线l1、l2的斜率都是正值，倾斜角都是锐角，在倾斜角都是锐角时倾斜角越大斜率越大，故k2>k1>0；直线l3、l4的斜率都是负值，倾斜角都是钝角，在倾斜角都是钝角时倾斜角越大，斜率越大，故k3<k4<0,故故选：D.7.已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么（）A.13 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的模的计算方法计算即可.【详解】解：故选：B.8.“”是“直线互相平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：直线与互相平行的充要条件为，即或，因此“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件，选A.考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共32分；每小题只有一项符合题目要求）9.已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A.若，则斜率B.若斜率，则C.若倾斜角，则D.若，则倾斜角【答案】BCD【解析】【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．【详解】A选项，，可能直线与的倾斜角都是，斜率不存在，所以A选项错误.B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确.C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确.D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确.故选：BCD10.在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（）A.直线的一个方向向量为B.直线的一个方向向量为C.平面的一个法向量为D.平面的一个法向量为【答案】AC【解析】【分析】求出即可判断正误，求出平面的法向量判断的正误，求出平面的法向量判断的正误.【详解】由题意，,,,,,∵，∴向量为直线的一个方向向量，故正确,不正确；设平面的法向量为，则,由，得，令得，则正确;设平面的法向量为，则，由，得，令得，则不正确.故选：.11.设点是所在平面内一点，则下列说法正确是（）A.若，则点M在直线BC上B.若＝＋，则点M是三角形的重心C.若，则点M在边BC的中线上D.若，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的【答案】ABD【解析】【分析】对选项A，根据题意得到，从而得到三点共线，即可判断A正确，对选项B，设为的中点，根据条件得到，即可判断B正确，对选项C，根据题意得到在的平分线上，即可判断C错误，对选项D，设，根据题意得到三点共线，即可判断D正确.【详解】对选项A，，所以，即.所以，又因为为公共点，所以三点共线，即点在直线上，故A正确.对选项B，设为的中点，所以，所以点是的重心，故B正确.对选项C，因为，则在的平分线上，不一定在的中线上，故C错误.对选项D，因为，且，所以，且，设，则，且，即三点共线.又因为，所以为的中点，如图所示：所以，故D正确.故选：ABD12.如图所示，在棱长为2的正方形中，点，分别是，的中点，则（）A.B.与平面所成角的正弦值为C.二面角的余弦值为D.平面截正方体所得的截面周长为【答案】BD【解析】【分析】利用坐标法，对A，由向量数量积与垂直的关系即可判断；对B，由向量法求线面角；对C，由向量法求面面角；对D，分析得，则平面AEF截正方体所得的截面为四边形，即可根据几何关系求周长，【详解】以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，对A，，，故与不垂直，A错；对B，，设平面AEF的法向量为，则，令，则有，设与平面AEF所成角为，则，B对；对C，平面EFC的一个法向量为，则，∴二面角的余弦值为，C错；对D，由，，可得，平面AEF截正方体所得的截面为四边形，则有，故平面AEF截正方体所得的截面周长为，D对.故选：BD.三、填空题13.设异面直线的方向向量分别为，则异面直线所成角的大小为________．【答案】##60°【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算求解异面直线所成角的余弦值，即可得所成角大小.【详解】因为异面直线的方向向量分别为，所以，又所以．所以异面直线所成角的大小为．故答案：.14.在正方体中，点O是的中点，且，则的值为________.【答案】【解析】【分析】在正文体中易得，再结合，利用待定系数法求解.【详解】在正方体中得，又因为所以所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了空间向量的表示，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.15.已知空间三点，则点到直线的距离为_____________．【答案】【解析】【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】易知，则，，故点到直线的距离为．故答案为：.16.如图，在120°的二面角中，且，垂足分别为A，B，已知，则线段的长为__________．【答案】12【解析】【分析】利用，两边平方计算，可得线段的长．【详解】因为，所以．又因为二面角的平面角为120°，所以．所以，所以．故答案为：12【点睛】本题考查空间距离的计算，考查向量知识的运用，属于中档题．四、解答题17.如图所示，在平行六面体中，设，，，分别是，，的中点，试用表示以下各向量：（1）；（2）；（3）【答案】（1）．（2）．（3）．【解析】【分析】（1）（2）（3）利用空间向量的加减法分别求解即可.【小问1详解】因为是的中点，，，，所以，【小问2详解】因为为的中点，，，，所以，【小问3详解】因为为的中点，，，，所以，，所以.18.如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，在上，在上，且．（1）求向量，的坐标；（2）求与所成角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求解即可；（2）利用空间向量异面直线夹角的求法即可得解.【小问1详解】由题意可得，，故．【小问2详解】由（1）可知，所以．．所以．故与所成角的余弦值为．19.已知的三个顶点分别为、、．求：（1）边所在直线的方程；（2）边上的高所在直线的方程；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先用斜率公式求出的斜率，再利用直线方程的点斜式，即可求解；（2）利用两直线垂直得到，即可得到高所在直线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.【小问1详解】、，故，边AC所在直线的方程为：，即为：，【小问2详解】，故，AC边上的高所在直线的斜率为，又，故为：，即20.已知点、．（1）当时，直线MN的倾斜角为何值？（2）当m取何值时，直线MN的倾斜角为锐角、直角、钝角？【答案】（1）0（2）当或时，直线的倾斜角为锐角；当时，直线的倾斜角为直角；当时，直线的倾斜角为钝角【解析】【分析】⑴利用斜率的公式求斜率；⑵利用，倾斜角为锐角时斜率大于零，直角时斜率不存在，钝角时斜率小于零，列式求解.【小问1详解】当m=1时，，，∴，倾斜角为0.【小问2详解】当2m+3=m2，即m=5时，倾斜角为直角；当时，①，当倾斜角为锐角时，①>0，解得或，当倾斜角为钝角时，①<0，解得，综上所述，当或时，直线MN的倾斜角为锐角；当m=5时，直线MN的倾斜角为直角；当时，直线MN的倾斜角为钝角.21.如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC的中点．（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）30°【解析】【分析】（1）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用空间向量证明即可，（2）求出平面的法向量，利用空间向量求解即可.【小问1详解】如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．则，，，，，，．所以，因为平面,所以平面的一个法向量为，因为，所以，因为平面，所以平面【小问2详解】，，．设平面的一个法向量为则，令，则，，所以设与平面所成角，则．因为，所以与平面所成角为30°．22.如图，在三棱锥中，，为中点．（1）求证：平面（2）在线段上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点位置；若不存在，