河南省南阳六校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

）2023—2024学年（上）南阳六校高二年级期中考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l过点和，则直线l在y轴上的截距为（）A.－1 B.0 C.2 D.42.已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，P为C上一点，且，Q是线段的中点，O为坐标原点，则（）A.2 B.4 C.6 D.83.已知双曲线C：的渐近线方程为，且C过点，则C的方程为（）A. B. C. D.4.已知直线l：，圆C：，若过l上一点A向圆C引切线，则切线长的最小值为（）A.1 B. C. D.5.已知直线l过点，且在x轴上的截距为y轴上截距的3倍，则直线l的方程为（）A. B.C.或 D.或6.已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，且，则C的方程为（）A. B. C. D.7.已知，直线l：，椭圆C：的离心率，过C的右焦点且与x轴垂直的直线与l交于点P，若（k表示斜率，O为坐标原点），则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线l与C的左支交于A，B两点，，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.经过点，且倾斜角为的直线方程为B.方程表示过点且斜率为k的直线C.直线必过定点D.方程为的直线与x轴的交点到原点的距离为a10.已知圆：，圆：，且与交于P，Q两点，则下列结论正确的是（）A.圆与圆关于直线PQ对称B.线段PQ所在直线的方程为C.圆与圆的公切线方程为或D.若A，B分别是与上的动点，则的最大值为1111.已知点A是椭圆C：上一点，B是圆P：上一点，则（）A.椭圆C的离心率为 B.圆P的圆心坐标为C.圆P上所有的点都在椭圆C的内部 D.的最小值为12.已知抛物线C：过点，C的焦点为F，.直线l与抛物线C交于A，B两点（均不与坐标原点O重合），且，则下列结论正确的是（）A. B.C.A，B两点的纵坐标之积为－64 D.直线l恒过点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知抛物线上的点P到准线的距离为4，则点P的横坐标为______.14.已知直线：与：平行，且两条直线均不与坐标轴平行，则与之间的距离为______.15.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点，点P在x轴上，，且为线段的中点，则C的离心率为______.16.已知圆：，圆：，过圆上的一点P作圆的一条切线，切点为A，且，则实数m的取值范围是______.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知直线l：.（Ⅰ）若l不经过第三象限，求a的取值范围；（Ⅱ）求坐标原点O到直线l距离的最小值，并求此时直线l的方程.18.（12分）已知直线过椭圆C：的一个顶点和一个焦点.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若过点的直线l与C交于，两点，且，求直线l的方程.19.（12分）在平面直角坐标系xOy中，点，，，圆M为的外接圆.（Ⅰ）求圆M的标准方程；（Ⅱ）过点作直线l，被圆M截得的弦长为，求直线l的方程.20.（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，关于x轴对称且过点.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l与C交于，两点，，且，求直线l的方程.21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，E为C上一点，的面积最大值为2.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）在直线上任取一点，直线l：与直线OP交于点Q，与椭圆C交于A，B两点，若对任意，恒成立，求m的值.22.（12分）已知双曲线C：的右焦点为，离心率.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l过点且与C的右支交于M，N两点，记C的左、右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：为定值.2023—2024学年（上）南阳六校高二年级期中考试数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.答案C命题意图本题考查直线的方程与性质.解析直线l的斜率为，∴直线l的方程为，即，故直线l在y轴上的截距为2.2.答案A命题意图本题考查椭圆的方程与性质.解析∵，而，∴，又Q是的中点，O是的中点，∴OQ为的中位线，∴.3.答案B命题意图本题考查双曲线的基本性质.解析∵双曲线C的渐近线方程为，∴可设C的方程为，把点的坐标代入得，故C的方程为.4.答案D命题意图本题考查直线与圆的位置关系.解析直线l上的点A到圆心C的距离最小时，切线长最小，，∴切线长的最小值为.5.答案C命题意图本题考查直线的方程与性质.解析分两种情况：①当l过原点时，由直线经过点，可得直线方程为，即；②当l不过原点时，设l的方程为，将点的坐标代入得，解得，此时l的方程为，即.6.答案C命题意图本题考查直线与抛物线的位置关系.解析设，，把l与C的方程联立，得，消去y并整理，得，可得.观察可知l经过C的焦点，∴，∴，∴C的方程为.7.答案D命题意图本题考查直线与椭圆的位置关系.解析设椭圆的半焦距为.由题意设点，则，即，∴，又，，即，整理得，而，∴.8.答案A命题意图本题考查双曲线的性质.解析∵，∴可设，，而，，∴，.∵，∴，即，解得，又，即，∴，双曲线C的离心率为.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.答案BC命题意图本题考查直线的方程与性质.解析对于A，倾斜角为时不成立，故A错误；对于B，根据直线方程的点斜式的定义可知B正确；对于C，化简得直线，过定点，故C正确；对于D，直线与x轴的交点为，到原点的距离为，故D错误.10.答案AD命题意图本题考查圆与圆的位置关系.解析对于A，两圆的半径均为3，则PQ为线段的垂直平分线，故圆与圆关于直线PQ对称，A正确；对于B，因为圆与圆相交，所以两个方程相减可得直线PQ的方程为，B错误；对于C，因为圆与圆相交，所以有两条公切线，又两圆的半径相等，所以公切线与平行，即公切线的斜率，设公切线方程为，即，所以，解得，所以与的公切线方程为或，C错误；对于D，的最大值为，D正确.11.答案BCD命题意图本题考查圆与椭圆的方程及位置关系.解析对于A，椭圆C的方程可化为，∴半焦距，∴离心率，故A错误；对于B，圆P的方程可化为，∴圆心为，故B正确；对于C，圆P上的点显然在椭圆C内，由，可得，而，∴椭圆C与圆P无公共点，∴.圆P在椭圆C内部，故C正确；对于D，设，则，∴时，取得最小值，∴的最小值为，故D正确.12.答案ACD命题意图本题考查抛物线与直线的位置关系.解析∵，∴，∴，C的方程为，故A正确；将点的坐标代入C的方程得，故，故B错误；设，，∵，∴，∴，∴，故C正确；设l：，l的方程与联立可得，∴，∴，∴直线l恒过点，故D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.答案3命题意图本题考查抛物线的性质.解析设点P的横坐标为，由抛物线上的点P到准线的距离为4，可得，解得.14.答案命题意图本题考查直线与直线的平行.解析∵与平行，∴，即，解得（舍去）或.当时，直线：，：，此时两平行直线之间的距离为.15.答案命题意图本题考查椭圆的性质.解析设椭圆的半焦距为，，∵，，∴，.又，∴，∴，故，又为线段的中点，∴，即，∴.16.答案命题意图本题考查圆与圆的位置关系.解析∵，，，∴，∴点P在以为圆心，4为半径的圆上，可设其轨迹方程为C：.由于点P在圆C，上，∴圆C，相切或相交，∴，又，解得，∴.实数m的取值范围是.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.命题意图本题考查直线的性质，点到直线的距离.解析（Ⅰ）直线l的方程可化为，要使直线l不经过第三象限，则必须有，……（2分）解得，故a的取值范围是.……（4分）（Ⅱ）设原点O到直线l的距离为d，则，……（7分）当且仅当，即时，等号成立，……（8分）此时直线l的方程为或.……（10分）18.命题意图本题考查椭圆的方程，椭圆与直线的位置关系.解析（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为.∵直线过点和，……（2分）∴，，∴，……（4分）故C的方程为.……（5分）（Ⅱ）由题可设直线l的方程为，由，可得，……（6分）∴，，……（7分）又，∴，……（9分）整理可得，解得（负值舍去），∴，……（11分）故直线l的方程为或.……（12分）19.命题意图本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系.解析（Ⅰ）设圆M的方程为，……（1分）因为圆M为的外接圆，所以，解得，所以圆M的方程为，……（4分）故圆M的标准方程为.……（5分）（Ⅱ）因为过点作直线l，被圆M截得的弦长为，所以可得圆心到直线l的距离为.……（7分）当l的斜率不存在时，方程为，满足题意；……（8分）当l的斜率存在时，设方程为，即，由，解得，……（10分）所以直线l的方程为，即.……（11分）综上所述，所求直线l的方程为或.……（12分）20.命题意图本题考查抛物线的方程，抛物线与直线的位置关系.解析（Ⅰ）由题意可设C：，……（1分）将点的坐标代入，可得，∴，……（3分）故C的方程为.……（4分）（Ⅱ）设线段AB的中点为，则，，即.当时，l：，此时，不成立；……（6分）当时，，，∴直线l：，即，①……（7分）①与C的方程联立，消去x，整理得，∴，，……（8分）而，……（10分）解得（舍去）或，∴，故直线l的方程为或.……（12分）21.命题意图本题考查椭圆的方程，椭圆与直线的位置关系.解析（Ⅰ）由题意知的面积最大值为，解得，……（2分）又椭圆的左、右焦点分别为，，∴半焦距，……（3分）∴，……（4分）故C的方程为.……（5分）（Ⅱ）当时，恒成立.当时，由题意知直线OP的方程为，联立，得，即Q点的横坐标为.……（7分）联立，消