北京外国语大学附属中学2024届高一上数学期末学业质量监测试题含解析

北京外国语大学附属中学2024届高一上数学期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．下列不等关系中正确的是（）A. B.C. D.2．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log3（1+x），则f（﹣2）=（）A.﹣3 B.﹣1C.1 D.33．函数的图象可能是（）A. B.C. D.4．已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.5．下列函数中，为偶函数的是（）A. B.C. D.6．对于直线的截距，下列说法正确的是A.在y轴上的截距是6 B.在x轴上的截距是6C.在x轴上的截距是3 D.在y轴上的截距是-37．已知函数是定义域为R的奇函数，且，当时，，则等于（）A.－2 B.2C. D.－8．已知集合，则A. B.C. D.9．已知直线⊥平面，直线平面，给出下列命题：①∥②⊥∥③∥⊥④⊥∥其中正确命题的序号是A.①③ B.②③④C.①②③ D.②④10．函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点A.（0，1） B.（1，1）C.（2，0） D.（2，2）二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．若幂函数的图象过点，则______.12．已知函数，关于方程有四个不同的实数解，则的取值范围为__________13．已知扇形的半径为4，圆心角为，则扇形的面积为___________.14．设函数f（x）=-x+2，则满足f（x-1）+f（2x）＞0的x的取值范围是______．15．在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则_________三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．对于等式，如果将视为自变量，视为常数，为关于（即）的函数，记为，那么，是幂函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是指数函数；如果将视为常数，视为自变量为关于（即）的函数，记为，那么，是对数函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．例如，如果为常数（为自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记为（1）试将表示成的函数；（2）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，请根据你学习到的函数知识直接写出该函数的性质，不必证明．并尝试在所给坐标系中画出函数的图象17．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调区间；（3）在给定的坐标系中作出函数的简图，并直接写出函数在区间上的取值范围.18．（1）化简：；（2）已知，求的值.19．已知以点为圆心的圆过点和，线段的垂直平分线交圆于点、，且,（1）求直线的方程；（2）求圆的方程（3）设点在圆上，试探究使的面积为8的点共有几个？证明你的结论20．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在一段国道上进行测试，汽车行驶速度低于80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示：为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，且，，（）（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并说明理由；（2）求出（1）中所选函数模型的函数解析式；（3）根据（2）中所得函数解析式，求解如下问题：现有一辆同型号电动汽车从地驶到地，前一段是200km的国道，后一段是60km的高速路（汽车行驶速度不低于80km/h），若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的关系满足，则如何行使才能使得总耗电量最少，最少为多少？21．已知角终边与单位圆交于点（1）求的值；（2）若，求的值.

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、C【解析】对于A，作差变形，借助对数函数单调性判断；对于C，利用均值不等式计算即可判断；对于B，D，根据不等式的性质及对数函数单调性判断作答.【详解】对于A，，而函数在单调递增，显然，则，A不正确；对于B，因为，所以，故，B不正确；对于C，显然，，，C正确；对于D，因为，所以，即，D不正确.故选：C2、B【解析】因为函数f（x）为奇函数，所以．选B3、C【解析】令,可判断出g(x)的图象就是将h(x)的图象向上平移一个单位，由图像的对称性即可得到答案.【详解】令则,即g(x)的图象就是将h(x)的图象向上平移一个单位即可.因为h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x),即函数h(x)为奇函数,图象关于原点对称,所以的图象关于(0,1)对称.故选：C4、A【解析】利用十字相乘法进行因式分解，然后利用换元法，作出的图象，利用数形结合判断根的个数即可.【详解】由，得，解得或，作出的图象如图，则若，则或，设，由得，此时或，当时，，有两根，当时，，有一个根，则必须有，有个根，设，由得，若，由，得或，有一个根，有两个根，此时有个根，不满足题意；若，由，得，有一个根，不满足条件.若，由，得，有一个根，不满足条件；若，由，得或或，当，有一个根，当时，有个根，当时，有一个根，此时共有个根，满足题意.所以实数a的取值范围为.故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题第II卷（非选择题5、D【解析】利用函数的奇偶性的定义逐一判断即可.【详解】A，因为函数定义域为：，且，所以为奇函数，故错误；B，因为函数定义域为：R，，而，所以函数为非奇非偶函数，故错误；C，，因为函数定义域为：R，，而，所以函数为非奇非偶函数，故错误；D，因为函数定义域为：R，，所以函数为偶函数，故正确；故选：D.6、A【解析】令，得y轴上的截距，令得x轴上的截距7、B【解析】根据奇函数性质和条件，求得函数的周期为8，再化简即可.【详解】函数是定义域为R的奇函数，则有：又，则则有：可得：故，即的周期为则有：故选：B8、C【解析】分别解集合A、B中的不等式，再求两个集合的交集【详解】集合，集合，所以，选择C【点睛】进行集合的交、并、补运算前，要搞清楚每个集合里面的元素种类，以及具体的元素，再进行运算9、A【解析】利用线面、面面平行的性质和判断以及线面、面面垂直的性质和判断可得结果.【详解】②若，则与不一定平行，还可能为相交和异面；④若，则与不一定平行，还可能是相交.故选A.【点睛】本题是一道关于线线、线面、面面关系的题目，解答本题的关键是熟练掌握直线与平面和平面与平面的平行、垂直的性质定理和判断定理.10、D【解析】根据a0=1（a≠0）时恒成立，我们令函数y=ax﹣2+1解析式中的指数部分为0，即可得到函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点的坐标解：∵当X=2时y=ax﹣2+1=2恒成立故函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（2，2）故选D考点：指数函数的单调性与特殊点二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、【解析】设，将点代入函数的解析式，求出实数的值，即可求出的值.【详解】设，则，得，，因此，.故答案为.【点睛】本题考查幂函数值的计算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，考查运算求解能力，属于基础题.12、【解析】作出的图象如下：结合图像可知，，故令得：或，令得：，且等号取不到，故，故填.点睛：一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高.13、【解析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积【详解】根据扇形的弧长公式可得，根据扇形的面积公式可得故答案为：14、【解析】由函数的解析式可得，据此解不等式即可得答案【详解】解：根据题意，函数，则，若，即，解可得：，即的取值范围为；故答案为．【点睛】本题考查函数的单调性的应用，涉及不等式的解法，属于基础题．15、【解析】通过利用向量的三角形法则，以及向量共线，代入化简即可得出【详解】解：∵（）（），∴λ，∴故答案为【点睛】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1），（，）（2）答案见解析【解析】（1）结合对数运算的知识求得.（2）根据的解析式写出的性质，并画出图象.【小问1详解】依题意因为，，两边取以为底的对数得，所以将y表示为x的函数，则，（，），即，（，）；【小问2详解】函数性质：函数的定义域为，函数值域，函数是非奇非偶函数，函数的在上单调递减，在上单调递减函数的图象：17、（1）周期为；（2）递增区间是：，；递减区间是：[k+，k+]，；（3）简图如图所示，取值范围是.【解析】（1）利用正弦函数的周期公式即可计算得解；（2）利用正弦函数的单调性解不等式即可求解；（3）利用五点作图法即可画出函数在一个周期内的图象，根据正弦函数的性质即可求解取值范围【详解】（1）因为函数，所以周期；（2）由，，得，.函数的单调递增区间是：，.函数的单调递减区间是：[k+，k+]，；（3）函数即再简图如图所示.因为所以函数在区间上的取值范围是.18、（1）-1（2）-3【解析】（1）根号下是，开方后注意，而，从而所求值为.（2）利用诱导公式原式可以化简为，再分子分母同时除以，就可以得到一个关于的分式，代入其值就可以得到所求值为.解析：（1）.（2）.19、（1）；（2）或；（3）2【解析】（1）根据直线是线段的垂直平分线的方程，求出线段中点坐标和直线的斜率，即可解直线的方程；（2）作图，利用圆的几何性质即可；（3）用面积公式可以推出点Q到直线AB的距离，从而判断出Q的个数.【详解】由题意作图如下：（1）∵，的中点坐标为∴直线的方程为：即；（2）设圆心，则由在上得……①又直径为，∴∴……②①代入②消去得，解得或，当时，当时∴圆心或，∴圆的方程为：或；（3）∵∴当面积为8时，点到直线的距离为又圆心到直线的距离为，圆的半径，且∴圆上共有两个点，使的面积为8；故答案为：，或，2.20、（1），理由见解析（2）（3）当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为【解析】（1）由表格数据判断合适的函数关系，（2）代入数据列方程组求解，（3）分别表示在国道与高速路上的耗电量，由单调性求其取最小值时的速度.【小问1详解】若选，则当时，该函数无意义，不合题意若选，显然该函数是减函数