2024届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试数学高一上期末考试试题含解析

2024届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试数学高一上期末考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知函数是定义在在上的奇函数，且当时，，则函数的零点个数为（）个A.2 B.3C.6 D.72．已知函数，，则函数的零点个数不可能是（）A.2个 B.3个C.4个 D.5个3．设P是△ABC所在平面内的一点，，则A. B.C. D.4．某同学用二分法求方程的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在之间，他用二分法操作了7次得到了方程的近似解，那么该近似解的精确度应该为A.0.1 B.0.01C.0.001 D.0.00015．要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；（2）从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况；应采用的抽样方法分别是（）A.（1）用简单随机抽样，（2）用分层随机抽样 B.（1）（2）都用简单随机抽样C.（1）用分层随机抽样，（2）用简单随机抽样 D.（1）（2）都用分层随机抽样6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C.( D.7．已知函数与的部分图象如图1（粗线为部分图象，细线为部分图象）所示，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（）A. B.C. D.8．一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0．4，则该组的频数是A.400 B.40C.4 D.6009．若函数，则（）A. B.C. D.10．已知幂函数在上单调递减，则m的值为（）A.0 B.1C.0或1 D.11．函数在区间上的最大值为A.1 B.4C.-1 D.不存在12．过点，直线的斜率等于1，则m的值为（）A.1 B.4C.1或3 D.1或4二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知，，试用a、b表示________.14．边长为3的正方形的四个顶点都在球上，与对角线的夹角为45°，则球的体积为______.15．设是第三象限的角，则的终边在第_________象限.16．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积为_____________三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知正方体，分别为和上的点，且，.（1）求证：；（2）求证：三条直线交于一点.18．已知，当时，求函数在上的最大值；对任意的，，都有成立，求实数a的取值范围19．设全集，已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B.（1）求；（2）若且,求实数a的取值范围.20．设函数（1）若是偶函数，求k的值（2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围；（3）设函数若在有零点，求实数的取值范围21．已知函数的图象过点与点.（1）求，的值；（2）若，且，满足条件的的值.22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，D为AC中点（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、D【解析】作出函数，和图象，可知当时，的零点个数为3个；再根据奇函数的对称性，可知当时，也有3个零点，再根据，由此可计算出函数的零点个数.【详解】在同一坐标系中作出函数，和图象，如下图所示：由图象可知，当时，的零点个数为3个；又因为函数和均是定义在在上的奇函数，所以是定义在在上的奇函数，根据奇函数的对称性，可知当时，的零点个数也为3个，又，所以也是零点；综上，函数的零点个数一共有7个.故选:D.2、B【解析】由可得或，然后画出的图象，结合图象可分析出答案.【详解】由可得或的图象如下：所以当时，，此时无零点，有2个零点，所以的零点个数为2；当时，，此时有2个零点，有2个零点，所以的零点个数为4；当时，，此时有4个零点，有2个零点，所以的零点个数为6；当时，，此时有3个零点，有2个零点，所以的零点个数为5；当且时，此时有2个零点，有2个零点，所以的零点个数为4；当时，，此时的零点个数为2；当时，，此时有2个零点，有3个零点，所以的零点个数为5；当时，，此时有2个零点，有4个零点，所以的零点个数为6；当时，，此时有2个零点，有2个零点，所以零点个数为4；当时，，此时有2个零点，无零点，所以的零点个数为2；综上：的零点个数可以为2、4、5、6，故选：B3、B【解析】由向量的加减法运算化简即可得解.【详解】,移项得【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，属于基础题.4、B【解析】令，则用计算器作出的对应值表：由表格数据知，用二分法操作次可将作为得到方程的近似解，，，近似解的精确度应该为0.01，故选B.5、C【解析】根据简单随机抽样、分层抽样的适用条件进行分析判断.【详解】因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区家庭收入差距明显，所以①用分层抽样；从10名体育特长生中抽取3人调查学习情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样.故选：C6、C【解析】根据奇偶性求分段函数的解析式，然后作出函数图象，根据单调性解不等式即可.【详解】因为当时，，且函数是定义在上的奇函数，所以时，，所以，作出函数图象：所以函数是上的单调递增，又因为不等式，所以，即，故选：C.7、B【解析】结合函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确选项.【详解】由图1可知为偶函数，为奇函数，A选项，，所以是偶函数，不符合图2.A错.C选项，，所以是偶函数，不符合图2.C错.D选项，，所以的定义域不包括，不符合图2.D错.B选项，，所以是奇函数，符合图2，所以B符合.故选：B8、A【解析】频数为考点：频率频数的关系9、C【解析】应用换元法求函数解析式即可.【详解】令，则，所以，即.故选：C10、A【解析】根据幂函数得的定义，求得或，结合幂函数的性质，即可求解.【详解】由题意，幂函数，可得，解得或，当时，可得，可得在上单调递减，符合题意；当时，可得，可得在上无单调性，不符合题意，综上可得，实数的值为.故选：A.11、C【解析】根据题干知，可画出函数图像，是开口向下的以y轴为对称轴的二次函数，在上单调递减，故最大值在1处取得得到-1.故答案为C12、A【解析】解方程即得解.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】根据对数式指数式互化公式，结合对数换底公式、对数的运算性质进行求解即可.【详解】因为，所以，因此有：，故答案为：14、【解析】根据给定条件结合球的截面小圆性质求出球O的半径，再利用球的体积公式计算作答.【详解】因边长为3的正方形的四个顶点都在球上，则正方形的外接圆是球O的截面小圆，其半径为，令正方形的外接圆圆心为，由球面的截面小圆性质知是直角三角形，且有，而与对角线的夹角为45°，即是等腰直角三角形，球O半径，所以球体积为.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及求球的表面积、体积问题，利用球的截面小圆性质是解决问题的关键.15、二或四【解析】根据是第三象限角，得到，，再得到，，然后讨论的奇偶可得答案.【详解】因为是第三象限角，所以，，所以，，当为偶数时，为第二象限角，当为奇数时，为第四象限角.故答案为：二或四.16、【解析】正方体的对角线等于球的直径．求得正方体的对角线，则球的表面积为考点：球的表面积点评：若长方体的长、宽和高分别为ａ、ｂ、ｃ，则球的直径等于长方体的对角线三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）详见解析；（2）详见解析【解析】（1）连结和，由条件可证得和，从而得到∥.（2）结合题意可得直线和必相交，根据线面关系再证明该交点直线上即可得到结论【详解】证明：(1)如图，连结和，在正方体中，，∵，∴，又，，∴又在正方体中，，,∴，又，∴同理可得，又，∴∴∥.（2）由题意可得（或者和不平行），又由(1)知∥，所以直线和必相交，不妨设，则，又，所以，同理因为，所以，所以、、三条直线交于一点【点睛】（1）证明两直线平行时，可根据三种平行间的转化关系进行证明，也可利用线面垂直的性质进行证明，解题时要注意合理选择方法进行求解（2）证明三线共点的方法是：先证明其中的两条直线相交，再证明该交点在第三条直线上．解题时要依据空间中的线面关系及三个公理，并结合图形进行求解18、（1）3；（2）.【解析】（1）由，得出函数的解析式，根据函数图象，得函数的单调性，即可得到函数在上的最大值；（2）对任意的，都有成立，等价于对任意的，成立，再对进行讨论，即可求出实数的取值范围.试题解析：（1）当时，，结合图像可知，函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，，所以函数在上的最大值为3.（2），由题意得：成立.①时，，函数在上是增函数，所以，，从而，解得，故.②因为，由，得：，解得：或（舍去）当时，，此时，，从而成立，故当时，，此时，，从而成立，故，综上所述：.点睛：（1）对于形如，对任意的，恒成立的问题，可转化为恒成立的问题，然后根据函数的单调性将函数不等式转化为一般不等式处理；（2）解决不等式的恒成立问题时，要转化成函数的最值问题求解，解题时可选用分离参数的方法，若参数无法分离，则可利用方程根的分布的方法解决，解题时注意区间端点值能否取等号19、（1）{1}；（2）【解析】（1）求出函数的定义域为集合，函数的值域为集合，即可求得答案；（2）根据集合的包含关系，列出相应的不等式，求得答案.【详解】（1）由题意知,,则，∴（2）若则；若则，综上，.20、（1），（2），（3）【解析】（1）由偶函数的定义可得，，列方程可求出的值；（2）由，可得，分离出，换元后利用二次函数的性质求解即可；（3）结合已知条件，代入可求，然后结合在有零点，利用换元法，结二次函数的性质求解.【详解】解：（1）因为是偶函数，所以，即，，解得；（2）由，可得，则，即存在，使成立，令，则，因为，所以，令，则对称轴为直线，所以在单调递增，所以时，取得最大值，即，所以，即实数m的取值范围为；（3），则，所以，设，当时，函数为增函数，则，若在上有零点，即在上有解，即，，因为函数在为增函数，所以，所以取值范围为.【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，考查二次函数性质的应用，解题的关键是将转化为，然后利用换元法结合二次函数的性质求解即可，考查数学转化思想，属于中档题21、（1），；（2）.【解析】(1)由给定条件列出关于，的方程组，解之即得；(2)由(1)的结论列出指数方程，借助换元法即可作答.【详解】（1）由题意可得，解得，，（2）由（1）可得，而，且，于是有，设，，从而得，解得，即，解得，所以满足条件的.22、（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）连接交于点，连接，可得为中位线，，结合线面平行的判定定理，得平面；（2）由底面，得,正三角形中，中线，结合线面垂直的判定定理，得平面，最后由面面垂直的判定定理，证出平面平面.【详解】（1）连接交于点，连接，