专题12 相似三角形的性质有关问题(解析版)（重点突围）

专题12相似三角形的性质有关问题考点一利用相似三角形的性质求解考点二相似三角形实际应用考点三利用相似求坐标考点四在网格中画已知三角形相似的三角形考点五相似三角形的综合问题考点一利用相似三角形的性质求解例题：（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）若，且周长比为4：9，则其对应边上的高的比为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，周长比为4：9，∴两个三角形的相似比为4：9，∵对应边上的高的比等于相似比，∴对应边上的高的比为4：9．故选B．【点睛】本题考查相似三角形的性质．熟记相似三角形的周长比，对应边上的三线比都等于相似比是解题的关键．【变式训练】1．（2021·湖南·永州柳子中学九年级期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数为（

）A．30° B．60° C．70° D．80°【答案】B【分析】根据相似三角形的对应角相等求出∠A＝∠D＝50°，然后根据三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵△ABC~△DEF，∴∠A＝∠D＝50°，∴∠F＝180°－∠D－∠E＝180°－50°－70°＝60°，故选：B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应角相等，对应边成比例．2．（2022·全国·九年级专题练习）两个相似三角形的面积之比为3：4，则这两个三角形的周长之比为_______．【答案】：2【分析】相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为3：4，∴相似比是：2，∵相似三角形的周长比等于相似比，∴这两个三角形的周长之比为：：2，故答案为：：2．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．3．（2021·广西·北师大平果附属学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE//BC，AD=CE，DB=1cm，AE=4cm．(1)求CE的长；(2)若△ABC的面积为，求△ADE的面积．【答案】(1)CE=2cm(2)△ADE的面积为．【分析】（1）设CE=xcm，根据平行线分线段成比例定理得代入可得结论；（2）根据平行得相似，则面积比等于相似比的平方，可得结论．（1）解：设cm，则cm，∵，∴，∵cm，cm，∴，∴，∴，∴cm，（2）解：∵，∴，∴，∵的面积为，∴的面积为．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定及平行线分线段成比例定理，在三角形相似的判定中常用平行相似的判定方法；还要熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方．考点二相似三角形实际应用例题：（2021·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）如图，已知零件的外径为，现用个交叉卡钳（两条尺长和相等，）测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度（

）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【答案】A【分析】先根据题意证明△AOB∽△COD，再根据相似三角形对应边成比例求出AB，问题得解．【详解】解：∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，∴OA＝OB，∵OC：OA＝1：2，∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，∵∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△COD，∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，∵CD＝12mm，∴AB＝24mm，∴零件的厚度为mm．故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，求出零件的内孔直径AB是解答本题的关键．【变式训练】1．（2022·山东青岛·九年级期末）如图，路灯A与地面的距离米，身高1.6米小明与路灯底部的距离米，则小明影子长_______米．【答案】5【分析】根据题意可得CDAB，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：根据题意得CDAB，∴∆EDC~∆EBA，∴，∴，∴DE=5米，故答案为：5．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为了测量一栋楼的高度，小王在他的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同时量得BC＝0.3m，CE＝2m，则楼高DE为______m．【答案】10【分析】如图，根据镜面反射的性质，△ABC∽△DEC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：根据题意，∵∠ABC＝∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DCE（反射角等于入射角，它们的余角相等），∴△ABC∽△DEC，∴＝，即＝，∴DE＝10（m）故答案为：10．【点睛】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．考点三利用相似求坐标例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________．【答案】【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示：∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，∴△BOC∽△AOB，∵点，∴OA=10，∵，∴，∴AB=2OB，∴BC=2OC，∴在Rt△BOC中，，即，∴，∴BC=4，∴点B的坐标为；故答案为．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．【变式训练】1．（2020·江苏·景山中学九年级阶段练习）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________．【答案】或【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可．【详解】根据题意：OA=2，OB=1，AB=，△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论，当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作∵△ABC∽△OBA，

AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶，解得BC=5，∴OC=4，∴C点坐标为(4，0)，当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA，=，=5，此时C点坐标为(3，2)，综上所述，C点坐标为(4，0)或(3，2)，故答案为：（4，0）或（3，2）．【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．2．（2020·江苏泰州·九年级阶段练习）已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为_________．【答案】【分析】如图，分类讨论：（1）；（2），根据相似三角形的相似比列式计算出b的值，写出点P的坐标即可．【详解】由题意可得：OA=2，OB=b，AP=，如图：（1）当时，，OA=AB=2，b=4，P(2，)；（2）当时，，，解得：b=9±，P(2，3±)；综上：P的坐标为：(2，)，(2，3±)．故答案为：(2，)，(2，3±)．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，分类讨论，根据相似三角形的性质求出对应边的长度进而写出点的坐标是解题关键．考点四在网格中画已知三角形相似的三角形例题：（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，在8×8的正方形网格中，△ABC是格点三角形，请按以下要求作图．(1)在图1中画出格点△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面积比为；(2)在图2中将△ABC绕着某格点逆向时针旋转90°得到格点△PFG，其中C与P对应．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用位似图形的性质，结合位似中心得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．（1）如图，（案不唯一）（2）如图，【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．【变式训练】1．（2022·河南洛阳·九年级期末）如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）．(1)判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由；(2)在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积．【答案】(1)相似，见解析(2)图见解析，面积为5【分析】（1）相似，分别求出每个三角形的三条边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似判断即可；（2）根据勾股定理得出三角形各边长，利用边长之比相等，作出面积最大的格点三角形即可．(1)△ABC∽△DEF，理由如下：在△ABC中，AB=2，BC=，AC=，在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，∴，∴△ABC∽△DEF；(2)如图，△MNP即为所求，．【点睛】此题考查了作图—相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握相似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．2．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．(1)在图1中的线段AC上找一个点D，使；(2)在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据“8字形”相似，可得CD:AD=2:3，从而得出点D的位置；（2）根据∠ACB=90°，AC=2BC，即可画出△CEF．（1）解：如图1所示，点D即为所求，（2）如图2所示，△CEF即为所求，【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．考点五相似三角形的综合问题例题：（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．（1）求证：△AFE∽△ADC．（2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）EB=2FD．【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证；（2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到结果．【详解】解：（1）∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC，∵∠EFD=∠BDF，∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，∴∠AFE=∠ADC，又∵∠BAD=∠DAC，∴△AFE∽△ADC；（2）由（1）得，△AFE∽△ADC，∴∠AEF=∠C，∵∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵，∴，∴，∵，∴，∴EB=2FD．【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相等及熟练掌握相似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式得出线段的关系是解的关键．【变式训练】1．（2021·安徽·九年级专题练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）求证EG2＝GF•AF；（3）若AG＝3，EG＝，求BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可．【详解】（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，，∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵，∴；（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵，∴，整理得：FG2+3FG-10=0．解得：FG=2，FG=-5（舍去）．∵∴∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即，∴．∴．【点睛】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．2．（2021·福建省诏安第一中学九年级期中）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F．(1)如图1，直按写出的值_______；(2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)画图见解析，α的值为30°或150°，【分析】由是正方形ABCD的对角线，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，则可求出边相等，进而可知，根据边之间的等量关系可知，故可知；由（1）知，，，，进而可知边之间的比例关系，由旋转知，，故可证明，根据相似比可证明边之间的等量关系；（3）连接DE，CE根据边相等的条件，以及角相等的条件可知AE=DE，BE=CE，由四边形ABCD是正方形，可知，AB=BC，进而可得△BCE是等边三角形，，进而可证，即：，同理，也可证明△BCE是等边三角形，，即：．(1)是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD=45°，，，，，，，，，故答案为：；(2)，理由：由（1）知，，，，，由旋转知，，，，；(3)如图3，连接DE，CE∵EA=ED，∴点E在AD的中垂线上，∴AE=DE，BE=CE，∵四边形ABCD是正方形，，AB=BC，，∴△BCE是等边三角形，，，即：，如图4，同理，△BCE是等边三角形，，即：，故答案为：30°或150°．【点睛】本题考查图形的旋转变换，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质，能够根据题意将变换后的图像画出来并构造适合的辅助线是解决本题的关键．一、选择题1．（上海市嘉定区部分学校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷）已知两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积比为（）A．2 B．8 C．4 D．1【答案】D【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案．【详解】解：两个相似三角形的相似比为，它们的面积比故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．2．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可．【详解】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似；第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似；第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似；第4个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似；故选：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键．3．（2022·福建省大田县教师进修学校九年级期中）如图，在中，点，，分别是，，的中点．若的面积为，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先证明，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：∵点，，分别是，，的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三边对应成比例的三角形相似以及相似三角形的面积比等于相似比的平方．4．（2022·海南·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论．【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），∴AC=6，OC=2，OB=7，∴BC=9，∵四边形OCDE是正方形，∴DE=OC=OE=2，∴O′E′=O′C′=2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′=∠BCA=90°，∴E′O′∥AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴，∴，∴BO′=3，∴OO′=7-3=4，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，点O在边AB上，且BO＝2OA．以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径r不可以取的是（

）A．6 B．10 C．15 D．16【答案】C【分析】根据勾股定理得到，求得OA＝10，OB＝20，过O分别作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，∴，∵BO＝2OA，∴OA＝10，OB＝20，过O分别作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，∴∠BEO＝∠C＝∠ADO，∵∠A＝∠A，∠B＝∠B，∴△BEO∽△BCA，△AOD∽△ABC，∴，，∴，，∴OE＝16，OD＝6，当⊙O过点C时，连接OC，根据勾股定理得，如图，∵以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，∴r＝6或10或16或，故选：C．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．二、填空题6．（2022·湖南岳阳·九年级期中）已知，的周长为3，的周长为1，则与的面积之比为_____．【答案】【分析】先根据相似三角形的性质求出其相似比，再根据面积的比等于相似比的平方进行解答即可．【详解】解：的周长为3，的周长为1，∴三角形的相似比是，∴与的面积之比为．故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．7．（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接交于点，若，，，则的长是___________．【答案】【分析】利用平行四边形对边平行，得到，再根据，得，然后列比例式，代数求值即可．【详解】解：平行四边形，，，，，，又，，，，，即，，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质应用，如何找到相似三角形是解题的关键．8．（2022·上海·九年级单元测试）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在的网格中，是一个格点三角形，如果也是该网格中的一个格点三角形，它与相似且面积最大，那么与相似比的值是______．【答案】【分析】根据表格求出的三边长，作出，求出的三边长，然后对应的边作比可得比值相等，两个三角形相似，相似比即为对应边的比，此时面积是最大的．【详解】解：由表格可得：，，，如图所示：作，，，∵，∴与的相似比为，由于表格的限制，可得且此时面积最大，故答案为：．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，在表格中作出相似三角形是解题关键．9．（2020·浙江省义乌市稠江中学九年级阶段练习）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点E，若BD＝6，AE＝5，AB＝7，则AC＝_______．【答案】【分析】根据AD平分∠BAC，可得∠BAD＝∠DAC，再利用同弧所对的圆周角相等，求证△ABD∽△BED、△ACE∽△ADB，利用其对应边成比例可得，然后将已知数值代入即可求出AC的长．【详解】∵AD平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAD，∵，∴∠C＝∠D，∴△ACE∽△ADB，∴，即：，∵AD平分∠BAC，∴，∴∠BAD＝∠EBD，∵∠BDA＝∠BDE，∴△ABD∽△BED，∴，即：，解得：DE＝4或－9（舍去），∴AD＝AE＋DE＝5＋4＝9，∴，AC＝，故填：．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质和圆周角定理等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．10．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___．【答案】或【分析】由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、，∴，，∴，当与相似时，则可分：①当时，有，如图所示：∴，即，解得：，∴，∴，∴；②当时，有，如图所示：∴，即，解得：，∴，∴，∴；综上所述：当与相似时，或；故答案为或．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．三、解答题11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点F，BD＝AD，BE＝EC．(1)求证：△ABD∽△CBE；(2)若CD＝CF，试求∠ABC的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，结合∠B＝∠B，可以得到；（2）设∠B＝x，则由（1）和已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到问题解答．（1）证明：∵BD＝AD，BE＝EC∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE

∴∠BAD＝∠BCE而∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE（2）解：设∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝，∴∠ADC＝又∵CD＝CF∴∠ADC＝∠DFC＝

∴

∴即【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键．法的应用是解题关键．12．（2022·陕西西安·九年级期中）如图，在四边形中，，，点E在上，．(1)求证：；(2)若，，，求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）首先得出，再根据已知得到，利用两角对应相等的两个三角形相似即可得证；（2）利用相似三角形的性质得出的长，由代数得出答案即可．【详解】（1）∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形面积问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．13．（2022·吉林长春·九年级期中）如图，，且，点D在内部，连接．(1)求证：．(2)若，且，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据可得，则，即可证明；（2）根据，先求出的长度，在根据相似三角形对应角相等，得出，即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角形相似的性质和判定定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例；以及两边成比例且夹角相等的三角形相似．14．（2022·湖南常德·一模）如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接(1)求的面积(2)若点是边上一点，且∽，求点坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用D点为BC的中点得到D（1，3），再利用待定系数法确定反比例函数解析式为y＝，接着利用E点的横坐标为2得到E（2，），然后根据三角形面积公式求解；（2）根据相似三角形的性质，利用相似比可求出CF，然后计算出OF的长，从而得到点F坐标．（1）点为的中点，，，把代入得，反比例函数解析式为，，

点的横坐标为，当时，，即，的面积；（2）∽，，即，解得，，点坐标为．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了反比例函数图象上的点的坐标特征．15．（2022·福建·将乐县教师进修学校九年级期中）已知：E是矩形的边上一个动点，直线交于点F，(1)求证