专题08 等腰三角形中的分类讨论模型（解析版）

专题08等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论：【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰方法：两圆一线具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）例1．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）是等腰三角形，，则的周长为（

）A．12 B．12或17 C．14或19 D．17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为与腰为时，即可得到答案．【详解】解：当的腰为时，的周长；当的腰为时，的周长．故选：D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．例2．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）等腰三角形的周长为，一边长为，则其它两边长是（

）A．， B．， C．，或， D．，【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质和构成三角形的条件即可得．【详解】解：∵等腰三角形的周长为，一边长为，∴①当底边长为时，其它两边长是，②当腰长为时，其它两边长是或，，此时三边不能构成三角形，综上，其它两边长是，，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形，构成三角形的条件，解题的关键是掌握这些知识点．例3．（2023秋·广东八年级课时练习）若是等腰三角形，，则的度数是（

）A．或B．或C．或D．或或【答案】D【分析】根据等腰三角形性质分情况讨论即可得到答案．【详解】解：是等腰三角形，，当是顶角时，；当是底角时，①当时，则；②；综上所述，的度数是或或，故选：D．【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度，根据等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键．例4．（2022秋·江苏南通·八年级启东市长江中学校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角的度数为．【答案】或【分析】根据题意画出图形，分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求出答案．【详解】根据题意得：，如图（1）所示，，则，即顶角为；如图（2）所示，，则，，即顶角为；故答案为：或．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．例5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使为等腰三角形，则点P有（）

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以为腰，点为顶角顶点；以为腰，点为顶角顶点；以为底．【详解】解：如图：如图，以为腰，点为顶角顶点的等腰三角形有5个；以为腰，点为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以为底的等腰，所以合计8个．故选：C．

【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．例6．（2023·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE′F′=∠CQP+∠QDE′，∴∠QDE′=∠DE′F′-∠CQP=60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，∴∠CQP=90°，∴∠QDF′=90°-∠DF′E′=60°，∴∠QDE′=∠E′DF′-∠QDF′=30°，∴α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．例7．（2022秋·江苏徐州·八年级校考期中）如图，，点C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当是等腰三角形，°．【答案】或或【分析】分三种情况讨论：①当，②当，③当，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，

①当时，∴∴．②当时，；③当时，；综上所述，的度数为或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．例8．（2023·安徽阜阳·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，若点，，则.请在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，点的坐标为.【答案】、或【分析】分两种情况求解：①AB=AC，②AB=BC．【详解】解：①当AB=AC时，∵AO⊥BC,∴OC=BO=3，∴C（-3，0）;②当AB=BC=5时，若点C在B点左侧，CO=BC-BO=2，此时点C的坐标为（-2，0）;若点C在B点右侧，CO=BO+BC=8，此时点C的坐标为（8,0）.综上所述，满足条件的点C有3个.故答案为：、或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形性质以及分类讨论，做题时需注意两点，一是注意点C必须位于x轴上，二是注意不能漏解，应分AB=AC与AB=BC两种情况分别解答，难度适中．例9．（2023·江苏苏州·八年级校考期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．

(1)若点在上，且满足，求此时的值；(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值：(3)在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形．【答案】(1)(2)或(3)或或或3【分析】（1）设，则，利用勾股定理求出，在中，依据，列方程求解即可得到的值．（2）如图所示，当点P在上时，过作于，设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值．当点与点重合时，点也在的角平分线上，此时，．（3）分四种情况：当在上且时，当在上且时，当在上且时，当在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到的值．【详解】（1）解：如图，设，则，

，，，，在中，由勾股定理得，，解得，，；（2）解：如图所示，当点P在上时，过作于，

平分，，，，在与中，，，，设，则，在中，由勾股定理得，，解得，，，当点与点重合时，点也在的角平分线上，此时，．综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或．（3）解：分四种情况：①如图，当在上且时，∴，

∵，，，，是的中点，即，．②如图，当在上且时，∴．③如图，当在上且时，过作于，∵，∴，在中，由勾股定理得，，．④如图，当在上且时，则，．综上所述，当的值为或或或3时，为等腰三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键．例10．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点，直线交x轴负半轴于点D，若的面积为

(1)求直线的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段上（不与点重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，点F的坐标为或或【分析】（1）据直线交轴正半轴于点，交轴于点，，设直线解析式为，把的坐标代入求得的值，从而求得的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出的值，求出的值，从而求出点的坐标；（2）直接根据待定系数法求出的解析式，先根据的坐标求出直线的解析式，将点的横坐标代入直线的解析式，求出的纵坐标，将的纵坐标代入直线的解析式就可以求出的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使为等腰直角三角形，分三种情况分别以点为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出（2）中的值，就可以求出点的坐标．【详解】（1）解：，∴设直线的解析式为，∵直线经过，，，∴直线的解析式为，，，的面积为，，，，，直线的解析式为（2）解：设直线的解析式为，，∴，解得．∴直线的解析式为；∵点P在上，且横坐标为m，，轴，∴E的纵坐标为，代入得，，解得，，的长；即，；（3）解：在x轴上存在点F，使为等腰直角三角形，①当时，如图①，有，，，，解得，此时；②当时，如图②，有，的长等于点E的纵坐标，，，解得：，∴点E的横坐标为，∴；③当时，如图③，有，．，．作，点R为垂足，，，．同理，．∵点R与点E的纵坐标相同，，∴，解得：，，∴点F的横坐标为，．综上，在x轴上存在点F使为等腰直角三角形，点F的坐标为或或．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．课后专项训练1．（2023春·四川成都·七年级统考期末）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（

）A． B．或 C． D．或【答案】A【分析】分是腰长与底边长两种情况讨论求解．【详解】解：①是腰长时，三角形的三边分别为、、，因为,故不能组成三角形；②是底边长时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，周长，综上所述，这个等腰三角形的周长是．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．2.（2023·浙江·八年级课堂例题）如图，是射线上一动点，，当为等腰三角形时，的度数一定不可能是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】分和三种情况，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：若为等腰三角形则有和三种情况，①当时，则有，故；②当时，则；③当时，则，综上可知：不可能为；故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确分类、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2023·福建龙岩·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】分为、，三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当时，符合条件的点有2个；当时，符合条件的点有1个；当，即当点C在的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C共有4个．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有(

)A．0个 B．2个 C．4个 D．8个【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，∴满足条件的格点C有4个，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键5．（2023·山东日照·八年级统考期末）如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，若点C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的点C的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定即可得到结论．【详解】解：如图所示，使△ABP为等腰三角形的点P的个数是6，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键．6．（2022·山东青岛·统考二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若为轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与x轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可．【详解】解：如图，满足条件的点M的个数为2．故选A．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在中，，，．若点P为直线BC上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据勾股定理求出AB，分为三种情况：①AB＝AP，②AB＝BP，③AP＝BP，得出即可．【详解】解：在△ABC中，∠B=90°，BC＝8，AC＝6，由勾股定理的：，如图，以点A为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点B和点P1；以点B为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点P2和P3；作线段AB的垂直平分线交直线BC与一点，即点P4；即共4个点，故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．8．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【详解】解：如图，，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣，0），P3（，0），当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．9．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（

）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．10．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）等腰三角形的一角为，则其顶角的大小是．【答案】或【分析】等腰三角形的一个内角是，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意讨论即可．【详解】解：分两种情况：当的角是底角时，，则顶角度数为；当的角是顶角时，则顶角为；故答案为：或．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11．（2023·四川凉山·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角是．【答案】或【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形的内部、三角形的边上、三角形的外部，根据条件可知第二种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论即可得解．【详解】解：①当高在三角形内部时，如图：∵，∴，∵，∴，∴；②当高在三角形外部时，如图：∵，∴，∵，∴，∴．∴综上所述，底角是或．故答案是：或．【点睛】本题主要考查了与三角形的高有关的计算、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质三角形的分类以及等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键．12．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若，则该等腰三角形的顶角为度．【答案】90【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：∵，∴设顶角，则底角，∴，∴，∴该等腰三角形的顶角为，故答案为：90．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．13．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如果等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为和9两部分，那么这个等腰三角形的腰和底的长分别是．【答案】，或，【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为和9两部分得到底和要的差是，再根据周长列式求解即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为和9两部分，∴腰与底的差为：，①当底边比腰长时，设腰为，则底为，由题意可得，，解得：，，②当腰比底边长时，设腰为，则底为，由题意可得，，解得：，，故答案为：，或，．【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论．14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，2），在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有____个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA为底，可能OA为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于1个点（O除外）；②以O为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于2个点；③作线段AO的垂直平分线，此时交y轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．15．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒，当点在边上，当时，是等腰三角形．

【答案】或或【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可．【详解】∵，，，∴由勾股定理得：()，当在上时，当时，如图，∴；

当时，过于点，如图，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，当，如图，，∴综上可知：的值为：或或．，故答案为：或或．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，解题时需要作辅助线构造直角三角形以及等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．14．（2022秋·江苏扬州·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为ts，当s时，是以为腰的等腰三角形．【答案】5或8【分析】是以为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当时；②当时，分别求出的长度，继而可求得t值．【详解】解：在中，，，，∴cm，①当时，如图1，则；②当时，故答案为：5或8．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．15．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，中，，，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与A、不重合），连接，当是等腰三角形时，则的长为___________．【答案】4或##或4【分析】现根据已知条件得出，再根据BC=6，分别求出AB、AC、BD、AD、CD的长，然后分类讨论即可．【详解】解：∵ABC中BD平分ABC，∴CBD=ABD，∵BD=AD，∴ABD=BAD，∴CBD=ABD=BAD，∵ACB=90°，∴CBD+ABD+BAD=90°，∴CBD=ABD=BAD=30°,∵BC=6，∴AB=2BC=12，AC=，∵，且BC=6，∴BD=2CD，∵BD2=CD2+BC2，即(2CD)2=CD2+62，∴CD=，BD==AD；（1）当BE=BD=时，如图：（2）当BE=DE，如图：∵BE=DE，∴EDB=ABD=30°，∴AED=EDB+ABD=60°，∴ADE=180°-AED-A=180°-60°-30°=90°，∴ADE为直角三角形，又∵且AD=，∴DE=4，∴BE=4；（3）当BD=DE，时，点E与A重合，不符合题意；综上所述，BE为4或．故答案为：4或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，30°直角三角形的性质的应用，按三种不同的情况进行讨论是解题的关键．16．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个．【答案】7【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：如图，线段和射线有公共端点．求作：点，使点在射线上，且为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．【详解】如图所示，点、、即为所求．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．18．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．（3）等边三角形的巧妙点的个数有（

）A．2个

B．6个C．10个

D．12个【答案】（1）见解析；（2）6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；（3）C．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，作AB、AC的垂直平分线，交点P即为所求；（2）分别以点B、C为圆心，BC为半径画圆，以点A、B为圆心画圆，作出BC、AB的垂直平分线，交于P5，图中P1、P2、P3、P4、P5、P6即为所求，根据等腰三角形的性质分别求出∠BPC的度数即可得答案；（3）根据（2）中作图方法画出图形，即可得答案．【详解】（1）点P为所求，（2）如图：分别以点B、C为圆心，BC为半径画圆，以点A、B为圆心画圆，作出BC、AB的垂直平分线，交于P5，图中P1、P2、P3、P4、P5、P6即为所求，共6个，∵∠BAC=80°，AB=AC，P1P6是BC的垂直平分线，∴∠ABC=∠ACB=50°，∠BP1A=∠CP1A，∠BAP5=∠BAC=40°，∵AP1=AB，∴∠P1BA=∠BP1A，∴∠BAP5=2∠P1BA=40°∴∠P1BA=20°，∴∠BP1C=2∠P1BA=40°，∵AP2=AC，BP2=BC，∴∠AP2C=∠ACP2，∠BP2C=∠BCP2，∴∠AP2C+∠BP2C=∠ACP2+∠BCP2，∴∠BP2A=∠BCA=50°，∴∠ABP2=∠ABC=50°，∴∠P2BC=100°，∴∠BP2C=（180°-∠P2BC）=40°，同理可得：∠BP3C=40°，∵∠BAP5=40°，AP5=BP5，∴∠ABP5=∠BAP5=40°∵∠ABP5=∠BAP5=40°，∴∠P5BC=∠ABC-∠ABP5=10°，∵BP5=CP5，∴∠BPC=180°-2∠P5BC=160°，∵AC=AP4，∠CAP4=40°，∴∠APC=70°，∴∠BPC=2∠APC=140°，∵AC=CP6，∴∠AP6C=∠CAP6=40°，∴∠BP6C=2∠AP6C=80°．综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．（3）如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法