重难点02 三角形角度问题的四个模型与压轴题归类（解析版）

重难点02三角形角度问题的四个模型与压轴题归类三角形角度问题的四个模型与压轴题：熟悉8字模型、飞镖模型、风筝模型、角平分线这个四个基本模型以及对应的结论，能够将题目中涉及的基本模型抽象出来；期末试卷中通常会考察1道小题和1道大题（压轴题），多涉及角度的计算、角之间的数量关系的探究；若小题中涉及基本模型，则可直接套用结论，若大题中涉及基本模型，则不行，必须严格按照三角形的内角和定理以及外角性质推导出结论（注意：在大题中，结论虽不能直接使用，但是可以起到快速熟悉题目考点，理清题目逻辑，降低题目难度的作用）；（1）对于涉及8字模型的题，若无法找到“8字”，则需添加辅助线构造“8字”，如【模型1】下的第2~4题；（2）对于涉及角平分线模型的题，要注意此模型分三种情况——双内角平分线、一内角平分线一外角平分线、双外角平分线，分别对应不同的结论，套用这些结论做小题时，千万不能混淆。【模型18字模型】1．如图所示，的度数是A． B． C． D．【详解】解：如图，，，，．故本题选：．2．（2022·重庆·期中）如图，五角星的五个角之和，即：A． B． C． D．【详解】解：如图，连接，设与交于点，由得：，在中，，即，，即五角星的五个内角之和为．故本题选：．3．（2022·眉山·期中）如图，则的度数为．【详解】解：如图，连接，在和中，，，，，．故本题答案为：．4．如图，则度．【详解】解：如图，连接，由三角形的内角和定理得：，由多边形的内角和公式得：，所以．故本题答案为：540．5．（2022·宜宾·期末）如图，平分交于点，平分交于点，若，，则的度数为A． B． C． D．【详解】解：，，，又，，，同理可得：，，平分交于点，平分交于点，，，，，又，，．故本题选：．6．（2022·南阳·期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：（1）已知：如图1，三角形，求证：，证明：过点作．（2）如图2，线段、相交于点，连接、，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出、、、之间的数量关系：；（3）在图2的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，得到图3，请判断与、之间存在的数量关系，并说明理由．【详解】（1）证明：如图1，过作，，，又，；（2）解：根据（1）得：，又，，故本题答案为：；（3）解：，理由如下：根据（2）可得：①，②，和的平分线和相交于点，，，①②得：，．7．如图1，已知线段、相交于点，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：．利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示，，则的度数为．（3）如图3，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，．①若，，求的度数．②若角平分线中角的关系改成“，”，试直接写出与，之间存在的数量关系，并证明理由．【详解】解：（1）证明：在图1中，有，，，；（2）如图2，，，，，，，，，，故本题答案为：．（3）①以为交点“8字型”中，有，以为交点“8字型”中，有，，、分别平分和，，，，，，；②，理由如下：，，，，以为交点“8字型”中，有，以为交点“8字型”中，有，，，，．【模型2飞镖模型】1．如图，求证：．【详解】证明：如图，作射线，，，，．2．（2023·贵阳·一模）如图是一个零件形状的示意图，，，若按规定时这个零件合格，那么此时的度数是A． B． C． D．【详解】解：如图，连接并延长到点，，，，，，，．故本题选：．3．（2022·运城·期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，，则；②如图3，平分，平分，若，，求的度数；③如图4，，的10等分线相交于点、、，若，，求的度数．【详解】解：（1）如图（1），连接并延长至点，，根据外角的性质可得：，，又，，；（2）①由（1）可得：，，，，故本题答案为：50；②由（1）可得：，，，；③，，设为，，，解得：，即的度数为．【模型3风筝模型】1．（2023·无锡·期中）如图，把纸片沿折叠，当落在四边形内时，则与之间有始终不变的关系是A． B． C． D．【详解】解：纸片沿折叠，，，，，中，，即．故本题选：．2．（2023·重庆·期中）如图，点、分别在、上，将纸片沿折叠，点落在点处，，则是．【详解】解：根据折叠可得：，，，，，，，．故本题答案为：50．3．如图所示，把一个三角形纸片的三个顶角向内折叠之后个顶点不重合），图中．【详解】解：由题意知：又，，，，．故本题答案为：360．4．（2022·晋江·期末）如图，把三角形纸片沿折叠，当点落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是A． B． C． D．【详解】解：如图，△是沿折叠得到，，又，，，即，整理得：，，即．故本题选：．5．（2022·南阳·月考）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在外的点处．若，则的度数为A． B． C． D．【详解】解：如图，，，，又将三角形纸片的一角折叠，使点落在外，，而，，，，，．故本题选：．【模型4角平分线模型】1．（2023·宝鸡·一模）如图，在中，和的平分线相交于点，若，则的度数为A． B． C． D．【详解】解：在中，，，和是，的角平分线，，，，．又中，，．故本题选：．2．（2022·沈阳·期末）如图，在中，为延长线上一点，与的平分线相交于点，，则的度数为A． B． C． D．【详解】解：的平分线与的平分线交于点，，，，即，，，，，，．故本题选：．3．（2022·南充·期末）如图，为边延长线上一点，与的平分线交于点，与的平分线交于点，，与的平分线交于点，若，则的值为A． B． C． D．【详解】解：在中，，的平分线与的平分线交于点，，同理可得：，，以此类推：，，，即．故本题选：．4．（2022·武汉·期末）如图，在中，、分别平分、，、分别平分三角形的两个外角、，则和的数量关系为A． B． C． D．【详解】解：方法一：、分别平分、，，，，、分别平分三角形的两个外角、，，，，．方法二：、分别平分、，，，、分别平分三角形的两个外角、，，，，同理可得：，在四边形中，根据内角和为，．故本题选：．5．（2022·深圳·期末）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【详解】解：①平分，，，，，，，故①正确；②，，平分，，，故②正确；③，，，，，，，，，故③正确；④平分，，，，，平分，，，，，，，，故④正确；⑤由④得，，，，，故⑤正确．故本题选：．6．（2022·镇江·月考）在中，（1）如图（1）、是的内角角平分线，且相交于点，求；（2）如图（2）、是的外角角平分线，且相交于点，求；（3）如图（3）、分别是的一内角和一外角角平分线，且相交于点，求；（4）根据上述三问的结果，当时，分别可以得出与有怎样的数量关系（只需写出结论）．【详解】解：（1），，而平分，平分，，，，，，，当，；（2），，，，当，；（3），，而平分，平分，，，，，，当，；（4）；；．【压轴利用三角形的内角和定理或外角性质求角度、探究角之间的数量关系】1．（2022·南京·期末）【概念认识】如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．【问题解决】（1）如图②，在中，，，若的三分线交于点，则；（2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；【延伸推广】（3）如图④，直线、交于点，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，，直接写出的度数．【详解】解：（1），，是的“三分线”，，，或，故本题答案为：或100；（2）如图③，，，，、分别是邻三分线和邻三分线，，，，，；（3）四种情况：①如图1，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，，，，，，，，，，，，，，；②如图2，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，，，由①知：，同理得：，；③如图3，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，，，由①知：，同理得：，；④如图4，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，，，由①知：，同理得：，；综上，的度数为或或或．2．（2022·海安·期末）在中，平分交于点，点是射线上的动点（不与点重合），过点作交直线于点，的角平分线所在的直线与射线交于点．（1）如图1，点在线段上运动．①若，，则；②若，求的度数；（2）若点在射线上运动时，探究与之间的数量关系，请直接写出答案．【详解】解：（1）①，，，是的平分线，是的平分线，，，又，，故本题答案为：45；②由①得：；（2）如图（2），当点在线段上时，，，，平分，，；如图（3），当点在射线上时，由（1）得：，；综上，与之间的数量关系为：或．3．（2022·镇江·期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．【理解】（1）若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为；（2）若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为；（3）已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由；【应用】如图，平分的内角，交于点，平分的外角，延长和交于点，已知，若是开心中的一个开心角，设，求的度数．【详解】解：（1）设最小角为，为开心三角形，，，，故本题答案为：12；（2）当是“开心角”，则最小角为；当不是“开心角”，设最小角为，，，故本题答案为：35或；（3）是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，另一个开心角是，第三个内角是，是最小内角，，；【应用】平分的内角，，，设，平分的外角，，，，，，，，①当与互为开心角时，或，或，解得：；②当与互为开心角，或，，，舍去，，解得：；综上，或．4．（2022·淮安·期末）【概念认识】如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．【问题解决】（1）如图②，在中，，，若的三分线交于点，求的度数；（2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；【延伸推广】（3）在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，直接写出的度数．（用含的代数式表示）【详解】解：（1）如图，当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时，；（2）在中，，，又、分别是邻三分线和邻三分线，，，，，在中，，；（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，；情况二：如图②，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，；情况三：如图③，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，；情况四：如图④，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，；综上，的度数为：或或或．1．（2023·威海·期中）如图所示，则的度数是A． B． C． D．【详解】解：如图，连接，则，根据“8字形”数量关系可得：，所以．故本题选：．2．（2023·苏州·期中）如图，线段，相交于点，连接，，平分，平分，则，，满足的关系式是A． B． C． D．【详解】解：如图，和的平分线和相交于点，，，，，，即．故本题选：．3．（2022·无锡·月考）如图1，已知线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：；（2）如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题：①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；②若，，试求的度数；③若和为任意角，其他条件不变，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由；④若和为任意角，，，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由．【详解】解：（1），，且，，故本题答案为；（2）①以为交点的有1个，为和，以为交点的有4个，为和，和，和，和，以为交点的有1个，为和，故本题答案为6个；②平分，平分，，，由（1）中的结论得：，，整理得：，；③：，理由如下：平分，平分，，，由（1）中的结论得：，，整理得：；④，理由如下：由（1）中结论得：，，整理得：．4．（2023·西安·模拟）如图是一个零件示意图，经测量得知，，，则的度数为A． B． C． D．【详解】解：如图，连接，并延长至点，是的外角，是的外角，，，，即，．故本题选：．5．如图1和图2，在三角形纸片中，点，分别在边，上，沿折叠，点落在点的位置．（1）如图1，当点落在边上时，与之间的数量关系为（只填序号），并说明理由；①②③（2）如图2，当点落在内部时，直接写出与，之间的数量关系．【详解】解：（1）由题意得：，，故本题答案为：③；（2），理由如下：如图2，连接，由题意知：，，，．6．（2022·合肥·期末）如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，此时测得，，则的度数为A． B． C． D．【详解】解：如图，设与交于点，，，，，，，．故本题选：．7．（2023·哈尔滨·期中）如图，的角平分线，交于点，若，．则A． B． C． D．【详解】解：，，，的角平分线，交于点，，，，是的外角，．故本题选：．8．（2023·青海·一模）如图，在中，是的平分线，是的平分线，与相交于点，若，则的度数是．【详解】解：是的平分线，是的平分线，，，又，，，．故本题答案为：．9．（2022·西安·期末）如图，在中，，是的平分线，和是两个外角的平分线，、、三点在一条直线上，下列结论中：①；②；③；④；⑤，其中正确的是A．①②③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【详解】解：①、是与的平分线，，，，，即，，故①正确；②和是两个外角的平分线，，故②正确；③，，是的平分线，，，故③正确；④，，故④正确；⑤，平分，，，，，，故⑤正确；综上，正确的有①②③④⑤．故本题选：．10．（2022·宝鸡·期末）