第一章 三角形的证明 章末检测卷（教师版）

第一章三角形的证明章末检测卷姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春·北京门头沟·八年级统考期末）一个等腰三角形的两条边分别是和，则第三条边的边长是（

）A． B． C．或 D．不能确定【答案】B【分析】分类讨论：当等腰三角形的腰长为时和当等腰三角形的腰长为时，再根据三角形的三边关系，分析即可得出答案．【详解】解：当等腰三角形的腰长为时，则三边为、、，∵，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为时，则三边为、、，∵，∴能组成三角形，∴综上可得：第三条边的边长是．故选：B【点睛】本题考查等腰三角形的定义、三角形三边之间的关系，明确三边能否组成三角形是解本题的关键．2．（2022·四川南充·中考真题）如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．【详解】解：在中，的平分线交于点D，，∴CD=DF=3，故B正确；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正确；∴AC=AE+CE=9，故D正确；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，

∴BF=CD=3，故A错误；故选：A．【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．3．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．【详解】∵，，∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°，A．由作图可知，平分，∴，故选项A正确，不符合题意；B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，∴，∵，∴，故选项B正确，不符合题意；C．∵，，∴，∵，∴，故选项C正确，不符合题意；D．∵，，∴；故选项D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．4．（2022春·广东东莞·八年级东莞市东莞中学松山湖学校校考期中）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（

）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=4cm，∠ACB=60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三线合一)∴DC=cm，∵∠E=30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故选：B．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．5．（2022秋·浙江湖州·九年级专题练习）如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】D【分析】①根据三角形的内角和定理判定∠CAM=∠CMA，由等腰三角形的判定和三线合一的性质可得结论正确；②根据BN=AB=6，CM=AC=5，及线段的和与差可得BC的长；③根据三角形的内角和定理及角的和与差可得结论；④要想得到AM=AN，必有∠AMN=∠ANM，而AB≠AC，可知∠ABC≠∠ACB，从而得AM≠AN．【详解】解：①∵CE平分∠ACE，∴∠ACP=∠MCP，∵AM⊥CE，∴∠APC=∠MPC=90°，∴∠CAM=∠CMA，∴AC=CM，∴AP=PM，①正确；②同理得：BN=AB=6，∵CM=AC=5，∴BC=BN+CM-MN=6+5-2=9，②正确；③∵∠BAC=∠MAC+∠BAN-∠MAN=110°，由①知：∠CMA=∠CAM，∠BNA=∠BAN，△AMN中，∠CMA+∠BNA=180°-∠MAN=∠BAN+∠MAC，∴180°-∠MAN-∠MAN=110°，∴∠MAN=35°，③正确；④当∠AMN=∠ANM时，AM=AN，∵AB=6≠AC=5∴∠ABC≠∠ACB，∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④不正确；所以本题不正确的有④，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．6．（2022·全国·八年级专题练习）如图，中，，点D在内部，且使得．则的度数为（

）A． B． C． D．不能确定【答案】C【分析】如图，在内作，且使得，连，证明，得到为等腰三角形，再证明为等边三角形，推出为等腰三角形，由三角形外角的性质得出即可．【详解】如图，在内作，且使得，连，在和中，，，为等腰三角形，为等腰三角形，，，，为等边三角形，为等腰三角形，延长CE交AD于F点，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的综合问题，涉及等腰三角形的等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，有一定难度，根据题意做出适当的辅助线是解题的关键．7．（2022·八年级单元测试）如图，在第1个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以为顶点的底角度数是（）A． B．C．D．【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质，由，，得，，那么．由，得．根据三角形外角的性质，由，得．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．【详解】解∶∵，，∴，．∴．∴．∵，∴．∴．∴．同理可得：．…以此类推，以为顶点的内角度数是．∴以为顶点的内角度数是．故选A．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．8．（2022春·全国·八年级期末）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，AD，BE交于点F，H为AB的中点，连接EH，CH，FH，则下列说法正确的个数为（）①∠BAD＝∠CBE；②EH⊥AB；③CE＝AF；④AE＝CE+CF；⑤S△EFH＝S△EHC．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，由此可判断①；先判断出是等腰直角三角形，再根据等腰三角形的三线合一即可判断②；先根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，在上截取，连接，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，据此可判断③；先根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，从而可得，再证出是等腰直角三角形，从而可得，然后根据线段和差可得，即可判断④；过点作于点，作于点，先根据等腰三角形的三线合一可得平分，再根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可判断⑤．【详解】解：，，，，，说法①正确；，是等腰直角三角形，，为的中点，（等腰三角形的三线合一），说法②正确；在和中，，，，如图，在上截取，连接，则垂直平分，，，，，即，，说法③错误；，垂直平分，，，，是等腰直角三角形，，，又，，说法④正确；如图，过点作于点，作于点，是等腰直角三角形，是边上的中线，平分（等腰三角形的三线合一），，，说法⑤正确；综上，说法正确的个数为4个，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键，较难的是⑤，通过作辅助线，利用到角平分线的性质定理．9．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，等边三角形ABC，，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．6【答案】C【分析】根据点M的运动轨迹确定点N的运动轨迹，利用将军饮马河原理计算即可．【详解】如图，当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与D重合时，点N与点P重合，∴点N在线段BP上运动，∵△PDC是等边三角形，点D是等边三角形ABC边BC的中点，∴BD=DC=PD=PC，∠BCP=60°，∴∠CBP=30°，∠BPC=90°，作点D关于直线BP的对称点E，连接CE，与BP的交点就是DN+CN最小的位置，且最小值为EC，连接BE，ED，∴∠CBP=∠EBP=30°，△BDE是等边三角形，∠CBE=60°，∴BD=DC=DE，∴∠BEC=90°，∠BCE=30°，∵BC=6，∴BE=3，CE=，∴DN+CN最小值为，故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，将军饮马河原理，直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定和将军饮马河原理是解题的关键．10．（2022春·江苏·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上，过点E作EF⊥BC于点F，延长CB至点G，使BG＝2FC，连接EG交AB于点H，EP平分∠GEC，交AD的延长线于点P，连接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，则下列结论：①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△PAB＝S△PGE．其中正确的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①③④【答案】D【分析】过点P分别作GE，AB，AC的垂线，垂足分别为I，M，N，根据角平分线的性质定理可知，PM=PN=PI，易证PH平分∠BGE，即∠PHM=∠PHI．设∠PEH=a，∠PAB=，由外角的性质可得∠APE=a-，∠AHE=2a-2，所以∠APE=∠AHE；故①正确；由外角的性质可得∠PHE=90°-a+，由三角形内角和可得，∠HPE=180°-a-（90°-a+）=90°-，所以∠PHE∠HPE，即PEHE；故②不正确；在射线AC上截取CK=EC，延长BC到点L，使得CL=FC，连接BK，LK，易证△EFC≌△KLC，所以EF=LK，∠L=∠EFC=90°，易证FG=BL，所以△GEF≌△BKL（SAS），所以∠EGF=∠KBC，GE=BK，由由外角的性质可知，∠BAC=∠BKC，所以AB=BK=GE，故③正确；因为S△PAB=·AB·PM，S△PGE=GE·PI，且AB=CE，PM=PI，所以S△PAB=S△PGE，故④正确．【详解】解：过点P分别作GE，AB，AC的垂线，垂足分别为I，M，N，∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，∴PM＝PN，∠PAB＝∠PAC，∵PE平分∠GEC，PN⊥AC，PI⊥EH，∴PI＝PN，∠PEH＝∠PEN，∴PM＝PN＝PI，∴∠PMH＝∠PIH，∵PH＝PH，∴∠PHM＝∠PHI，∴Rt△PMH≌Rt△PIH（HL），∴∠PHM＝∠PHI，设∠PEH＝α，∠PAB＝β，∴∠PEN＝α，∠BAN＝β，对于△APE，∠PEC＝∠PAE+∠APE，∴∠APE＝α﹣β，对于△AEH，∠HEC＝∠BAC+∠AHE，∴∠AHE＝2α﹣2β，∴∠APE＝∠AHE；故①正确；∵∠AHE+∠MHE，∠PHM＝∠PHI，∴∠PHE＝90°﹣α+β，∴∠HPE＝180°﹣α﹣（90°﹣α+β）＝90°﹣β，∴∠PHE≠∠HPE，即PE≠HE；故②不正确；在射线AC上截取CK＝EC，延长BC到点L，使得CL＝FC，连接BK，LK，∵∠ECF＝∠LCK，∴△EFC≌△KLC（ASS），∴EF＝LK，∠L＝∠EFC＝90°，∵BG＝2FC，FC＝CL，∴BG＝FL，∴FG＝BL，∴△GEF≌△BKL（SAS），∴∠EGF＝∠KBC，GE＝BK，∵∠ACB＝∠EGC+∠BAC，∠ACB＝∠KBC+∠BKC，∴∠BAC＝∠BKC，∴AB＝BK，∴GE＝AB，故③正确；∵S△PAB＝•AB•PM，S△PGE＝GE•PI，又∵AB＝GE，PM＝PI，∴S△PAB＝S△PGE．故④正确．故选：D．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形外角的性质定理，作出辅助线，构造全等是解题关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2022·云南·中考真题）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____．【答案】40°或100°【分析】分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解．【详解】解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°；当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°；故答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．12．（2022春·湖北·八年级校联考期中）如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．【答案】3.5【分析】过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长．【详解】解：过C点作CF⊥AB于F，如图，∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，∴CF=CE，在Rt△ACE和Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AF=AE，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=∠D，在△CBF和△CDE中，，∴△CBF≌△CDE（AAS），∴BF=DE，∵AF=AE，∴AB+BF=AD-DE，即11+DE=18-DE，∴DE=3.5cm．故答案为：3.5．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．13．（2022春·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，，则为____________cm．【答案】9【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据等腰三角形的判定可得，根据含角的直角三角形的性质可得，最后根据线段和差即可得．【详解】解：，，，，，在中，，，故答案为：9．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．14．（2022春·八年级单元测试）如图，和都是等腰直角三角形，若，，，则______．【答案】26【分析】利用手拉手模型证明，根据八字形证明角相等，进而可证明，再利用勾股定理解答即可．【详解】解：和为等腰直角三角形在和中在中，，在中，，在中，，在中，，，，在中，，在中，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证，得到直角三角形，再结合勾股定理的运用是解题关键．15．（2022春·八年级课时练习）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，，AE与CD交于点F，于点G，则的度数为________．【答案】##30度【分析】先根据等边三角形的性质得到AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，则由AD＝BE得到BD＝CE，再根据“SAS”可判断△ACE≌△CBD，根据三角形外角性质得到∠CAE＝∠BCD，所以∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，而∠AGF＝90°，利用三角形内角和定理即可求出∠FAG的度数．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，∵AD＝BE，∴BD＝CE，∵在△ACE和△CBD中，∴△ACE≌△CBD（SAS），∴∠CAE＝∠BCD，∵∠AFG＝∠CAF＋∠ACF，∴∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，∵AG⊥CD，∴∠AGF＝90°，∴∠FAG＝90°−60°＝30°．故答案为30°．【点睛】本题考查了本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．16．（2022春·全国·八年级专题练习）在中，，，以BC为一边画等腰，使得它的第三个顶点P在的斜边AB上，则的度数为________．【答案】或或【分析】根据题意画出图形，分，，三种情况讨论，根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】如图，当时，，，当时，，当时，．故答案为：或或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，分类讨论是解题的关键．17．（2022春·八年级单元测试）如图，在中，，D、E是内两点．AD平分，，若，则______cm．【答案】10【分析】过点E作，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作，垂足为G，由直角三角形中所对的直角边是斜边的一半可知，，然后由等腰三角形三线合一可知，，然后再证明四边形DGFH是矩形，从而得到，最后根据计算即可.【详解】解；过点E作，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作，垂足为G．，，，，，，．又，，，AD平分，，且．，，，四边形DGFH是矩形．．.故答案为：10.【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及矩形的性质和判定，根据题意构造含的直角三角形是解题的关键.18．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有_________【答案】②③⑤【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【详解】解：∵∠B、∠C的角平分线交于点F，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，设∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β，∵，∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β，∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△BDF与△CEF为等腰三角形，∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，故②正确；∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，故③正确；只有当△ABC是等腰三角形时，即∠ABC=∠ACB，则∠FBC=∠FCB，∠ADE=∠AED，则BF＝CF，AD=AE，根据现有条件无法证明BF=CF，并且无法证明∠ADE=∠A或∠AED=∠A，即无法证明△ADE为等腰三角形，故①、④错误；∵∠A＝80°，∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°，∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正确．故答案为②③⑤．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定及角平分线的定义及平行线的性质，三角形内角和定理；题目利用两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022·山东青岛·统考中考真题）已知：，．求作：点P，使点P在内部，且．【答案】见解析【分析】分别以点B、C为圆心，大于BC长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，然后再以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB、BC于点M、N，以点M、N为圆心，大于MN长一半为半径画弧，交于一点Q，连接BQ，进而问题可求解．【详解】解：如图，点P即为所求：【点睛】本题主要考查角平分线与垂直平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线与垂直平分线的尺规作图是解题的关键．20．（2022春·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由“”可证；（2）由，，即可求得与的度数，即可得的度数，又由，即可求得的度数，则由即可求得答案．【详解】（1）证明：∵，∴，在和中，∴（）；（2）∵，∴，∴．∵，∴，∴【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．21．（2022春·全国·八年级专题练习）如图所示，有一个三角尺（足够大），其中，把直角三角尺放置在锐角上，三角尺的两边恰好分别经过点．(1)若，则_________°，__________°，___________°；(2)若，求的度数；(3)请你猜想一下与所满足的数量关系，并说明理由．【答案】(1)145°；90°；55°；(2)30°(3)∠ABD+∠ACD+∠A=90°，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理可以求出，根据直角三角形两锐角互余求出∠DBC+∠DCB=90°，由此即可求出∠ABD+∠ACD的度数；（2）同（1）求解即可；（3）同（1）求解即可．【详解】（1）解：∵∠A=35°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=145°；∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=55°，故答案为：145°；90°；55°；（2）解：∵∠A=60°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°；∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=30°；（3）解：∠ABD+∠ACD+∠A=90°，理由如下：∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A；∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=180°-∠A-90°，∴∠ABD+∠ACD+∠A=90°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，熟知三角形内角和定理是解题的关键．22．（2022春·广东阳江·八年级统考期中）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．(1)求证：为的角平分线；(2)探究，，之间的数量关系并给出证明【答案】(1)证明见解析；(2)，理由见解析【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再证明≌，可得，再证明≌，即可得证；（2）根据全等三角形的性质可得，进一步可得，从而可得．【详解】（1）证明：连接CD，BD，如图所示：为的垂直平分线，，，，在和中，，≌，，在和中，，≌，，为的角平分线；（2）解：，理由如下：≌，，又，，即，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．23．（2022春·广东江门·八年级校考阶段练习）（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：．（2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：．（3）类比应用：如图3，平分，，，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；【分析】（1）由题意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证△ACD≌△AED，从而可求出，，即可求解；（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据题意可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即，即可得出答案；【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，∵，，∴：=AB：AC；（2）如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE又∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴，∴，∴AB：AC=BD：CD；（3）如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，∵∠D+∠AEB=180°，又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，在△ADC与△AEM中，，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE为∠BAM的角平分线，故，∴BE：CD=AB：AC；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用，正确掌握知识点是解题的关键；24．（2022春·浙江·八年级专题练习）（1）如图1，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE相交于点O．求证：OA=2DO；（2）如图2，若点G是线段AD上一点，CG平分∠BCE，∠BGF=60°，GF交CE所在直线于点F．求证：GB=GF．（3）如图3，若点G是线段OA上一点（不与点O重合），连接BG，在BG下方作∠BGF=60°边GF交CE所在直线于点F．猜想：OG、OF、OA三条线段之间的数量关系，并证明．【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答；（3），理由见解答．【分析】（1）由等边三角形的可求得：，理由含角的直角三角形的性质可得，进而可证明结论；（2）理由证明即可证明结论；（3）连接，在上截取，连接，可证得是等边三角形，进而可利用证明，得到，由可说明猜想的正确性．【详解】证明：（1）为等边三角形，，，，，平分，平分，，，在中，，，，；（2）证明：，，，，，平分，，，，，，在和中，，，；（3）解：．理由如下：连接，在上截取，连接，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，在和中，，，，，，．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的而拍的与性质，含角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．25．（2022春·江苏·八年级专题练习）【探索发现】如图1，在等腰直角三角形中，，若点在直线上，且，，则．我们称这种全等模型为“型全等”．

【迁移应用】设直线与轴，轴分别交于，两点．(1)若，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，点在第一象限，如图2．①直接填写：______，______；②求点的坐标．(2)如图3，若，过点在轴左侧作，且，连接．当变化时，的面积是否为定值？请说明理由．【拓展应用】(3)如图4，若，点的坐标为．设点，分别是直线和直线上的动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点的坐标．【答案】(1)①2，3；②(2)是，理由见解析(3)点的坐标为或【分析】（1）①若k＝，则直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于A（2，0），B（0，3）两点，即可求解；②作ED⊥OB于D，则△BED≌△ABO．由全等三角形的性质得DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，即可求解；（2）过点N作NM⊥OB于M，则△BMN≌△AOB．由全等三角形的性质得MN＝OB＝3，根据三角形的面积公式即可求解；（3）过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，证明△PCS≌△QPT．分两种情况，由全等三角形的性质得QT＝PS，PT＝SC，可得点Q的坐标，将点Q的坐标代入y＝﹣2x+3求得n的值，即可求解．【详解】（1）解：①若k＝，则直线y＝kx+3（k≠0）为直线y＝x+3，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x，2，∴A（2，0），B（0，3），∴OA＝2，OB＝3，故答案为：2，3；②作ED⊥OB于D，∴∠BDE＝∠AOB＝90°，∵∠ABO+∠EBD＝90°＝∠ABO+∠BAO，∴∠BAO＝∠EBD，又∵△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，∴AB＝BE，∴△BED≌△ABO（AAS），∴DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，∴OD＝OB+BD＝5，∴点E的