2023年人教版高中数学必修四知识点归纳总结

人教版中学数学必修四学问点归纳总结

1.1.1随意角

1.角的有关概念:

①角的定义：

角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

②角的名称:

③角的分类:

「正角：按逆时针方向旋转形成的,

负角：按顺时针方向旋转形成的角

④留意：

⑴在不引起混淆的状况下，“角a”或“Na”可以简化成“a图4-3

⑵零角的终边与始边重合，假如a是零角a=0°；

⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角.

2.象限角的概念：

①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)

在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.

1.1.2弧度制(一)

1.定义

我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫

做弧度制.在弧度制下，1弧度记做Irad.在实际运算中，经常将rad单位省略.

弧度制的性质：

2m

①半圆所对的圆心角为生=肛②整圆所对的圆心角为=27r.

rr

③正角的弧度数是一个正数.④负角的弧度数是一个负数.

⑤零角的弧度数是零.⑥角a的弧度数的肯定值|

4.角度与弧度之间的转换：

①将角度化为弧度：

TTH7T

360。=2万；180°=乃；1°=——«0.01745raJ；〃°=——rad.

180180

②将弧度化为角度：

2乃=360°；万=180°；\rad=(―)°«57.30°=57°18Z；/?=()°.

7171

5.常规写法：

①用弧度数表示角时，经常把弧度数写成多少n的形式，不必写成小数.

②弧度与角度不能混用.

6.特殊角的弧度

角

030456090120135150180270360

度

ooooooooooo

弧7171兀712万375〃3乃

0712兀

度6432346T

7.弧长公式

|tz|=-=>/=r-|tz|

弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的肯定值与半径的积.

4-1.2.1随意角的三角函数(三)

1.三角函数的定义

2.诱导公式

sin(2攵万+a)=sina(keZ)

cos(2^+a)=cosa(kGZ)

tan(2Z4+a)=tana(keZ)

当角的终边上一点P(X，历的坐标满意M+y=1时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何

表示一一三角函数线。

1.有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一样时为正，与坐标方向相反时为负。

有向线段：带有方向的线段。

2.三角函数线的定义：

设随意角a的顶点在原点0,始边与X轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(x,y),

过P作x轴的垂线，垂足为M；过点4(1,0)作单位圆的切线，它与角a的终边或其反向延

长线交与点T.y

由四个图看出:(W)

当角。的终边不在坐标轴上时，有向线段=于是有

sintz=—=—=y=MP,cosa=-=-=x=OM,tana=^=-=—=AT

r1r1xOMOA

我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。

说明：

(1)三条有向线段的位置：正弦线为a的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在

龙轴上；正切线在过单位圆与了轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，

一条在单位圆外。

(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向。的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向

垂足；正切线由切点指向与〃的终边的交点。

(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与“轴或了轴同向的为正值，与了轴或>轴反向

的为负值。

(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

4-1.2.1随意角的三角函数(1)

1.三角函数定义

在直角坐标系中，设a是一个随意角，a终边上随意一点p(除了原点)的坐标为(x,y),

它与原点的距离为r(r=+1y1=+9>o),那么

(1)比值上叫做a的正弦，记作sina，即sina=.

r

(2)比值二叫做a的余弦，记作cosa,即cosa=

r

(3)比值上叫做a的正切,记作tana,即tana=

X

(4)比值土叫做a的余切，记作cota,即cota-

yy

说明：①a的始边与x轴的非负半轴重合，a的终边没有表明a肯定是正角或负角，以及a

的大小，只表明与a的终边相同的角所在的位置；

②依据相像三角形的学问，对于确定的角a,四个比值不以点P(x,y)在a的终边上的

位置的变更而变更大小；

③当a='+版■(AwZ)时，a的终边在y轴上，终边上随意一点的横坐标x都等于0,

所以tana=)无意义；同理当a=左/(左eZ)时，cota=二无意义;

xy

④除以上两种状况外，对于确定的值a,比值上、土、上、土分别是一个确定的实数,

rrxy

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三

角函数。

2.三角函数的定义域、值域

函数定义域值域

y=sinaR[-1,1]

y=cosaR[-1,1]

y=tana{a|aw万+2匹&GZ]R

留意:

(1)在平面直角坐标系内探讨角的问题，其顶点都在原点，始边都与X轴的非负半轴重合.

(2)a是随意角，射线0P是角a的终边，a的各三角函数值(或是否有意义)与ox转了几

圈，按什么方向旋转到0P的位置无关.

(3)sina是个整体符号，不能认为是“sin”与“a”的积.其余五个符号也是这样.

(4)随意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区分：

锐角三角函数是随意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相像(直角)三角形

的性质，“r”同为正值.所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，随意角的三角函

数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的，它也适合锐角三角函数的定义.

实质上，由锐角三角函数的定义到随意角的三角函数的定义是由特殊到一般的相识和探讨过

程.

(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一样性，将直角三角形置于平面直角坐

标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，始终角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟

识的锐角三角函数类比记忆.

3.例题分析

例1.求下列各角的四个三角函数值：(通过本例总结特殊角的三角函数值)

34

(1)0；(2)71；(3)

T,

解：(1)因为当a=0时，x-r,y=0,所以

sin0=0,cosO=1,tan0=0,cot0不存在。

(2)因为当a="时，x=一厂，y=0,所以

sin»=0,cos»=-l,tan;r=0,cot/r不存在，

网时，

(3)因为当a=x=0,y=-r,所以

2

»«-y-37r八

sin—=-1,cos—=0ftan—d、,cot——0,

2222

例2.已知角a的终边经过点尸(2,-3),求a的四个函数值。

解：因为x=2,y==—3,所以厂=522+(-3)2=屈，于是

3V13x225/13

sina=——y=—-；=3=

rV1313rV1313

y3x2

tancc——二—；cota=—=——.

x2y3

例3.已知角a的终边过点(a,2a)(aw0),求a的四个三角函数值。

解：因为过点(a,2a)(aw0),所以r=6|a|,x=a,y=2a

y2a2a26xa亚a\

当〃>011寸,5吊二二

一r一出\a「加J5s'”尸氐一5；tana=2;cota=-

y_2a_2。_2^5

当a<00寸,sina二

r石IaI-\[5a5

xa旧a1

cosa=—=—-f=-=-------；tana=2;cota=—

r一、15a52

4.三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知:

①正弦值上对于第一、二象限为正(y>0/>0),对于第三、四象限为负(y<0/>0)；

②余弦值日对于第一、四象限为正（x〉0,r>0）,对于其次、三象限为负（x<0,r>0）；

③正切值上对于第一、三象限为正（x,y同号），对于其次、四象限为负（x,y异号）.

X

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

5.诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：

sin（a+=sina,

cos（a+2k7r'）-cosa,其中左eZ.

tan（«+2%乃）=tana,

这组公式的作用是可把随意角的三角函数值问题转化为0〜2”间角的三角函数值问题.

4-1.2.2同角三角函数的基本关系

（-）同角三角函数的基本关系式：

1.由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：

（1）商数关系：tana=、♦。一（2）平方关系：sin2a+con2a=1

cona

说明：

①留意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin24c+cos24c=l等；

②留意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如

k冗

tana.cota=l（a。-^-,&eZ）；

③对这些关系式不仅要坚固驾驭，还要能敏捷运用（正用、反用、变形用），如：

222Sn<

cosa=±Vl-sina,sina=l-cosa,cosa='^o

tana

总结：

1.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，

确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的状况

不止一种。

2.解题时产生遗漏的主要缘由是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关

系开平方时，漏掉了负的平方根。

小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：

（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；

（2）尽量使分母不含三角函数式；

（3）根式内的三角函数式尽量开出来；

（4）能求得数值的应计算出来，其次要留意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作奇

妙的变形，

1.3诱导公式

1、诱导公式（五）sin（­-<z）=cosacos（—-«）=sina

22

2、诱导公式（六）sin（—+a）=cosacos（工+a）=-sina

22

总结为一句话：函数正变余，符号看象限

小结：

①三角函数的简化过程图:

②三角函数的简化过程口诀：

负化正，正化小，化到锐角就行了.

1.4.1正弦、余弦函数的图象

1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数

的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数

（1）函数y=sinx的图象

第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点以。|为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的

交点A起把圆分成n（这里n=12）等份.把x轴上从0到2n这一段分成n（这里n=12）等份.（预

备：取自变量x值一弧度制下角与实数的对应）.

其次步：在单位圆中画出对应于角0,乡，2n的正弦线正弦线（等价于“列

632

表”）.把角X的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与X轴上相应的点X重合，则正

弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）.

第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数丫=$门*,XG

[0,2n]的图象.

依据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动,

每次移动的距离为2n,就得到y=sinx,xWR的图象.

把角x（xeR）的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦

依据诱导公式8Sx=sin（、+3）,可以把正弦函数丫='1皿的图象向左平移三单位即得余弦

函数y=cosx的图象.

正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.

2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法)：

正弦函数丫=$1僦<6[0,2“]的图象中，五个关键点是：(0,0)(£,1)(兀,0)(至，-1)(2兀,0)

22

余弦函数y=cosxxw[0,2扪的五个点关键是哪几个?(0,1)(―,0)(K,-1)(—,0)(2；t,1)

22

1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)

1.周期函数定义：对于函数f(X),假如存在一个非零常数T,使得当X取定义域内的每一

个值时，都有：f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数

的周期。

问题：(1)对于函数丁=加工，xeR有sin(工+女)=sin工，能否说女是它的周期？

6363

(2)正弦函数丁=sinx,xeR是不是周期函数，假如是，周期是多少？(2%不，左eZ且左。0)

(3)若函数/(x)的周期为T,则左T,ZeZ*也是/(幻的周期吗？为什么？

(是，其缘由为：/(x)=/(x+T)=/(x+2T)==.f(x+kT))

2、说明:

1。周期函数X€定义域M,则必有x+TeM,且若T〉0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2。“每一个值”只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数(如f(Xo+tWf(Xo))

3。丁往往是多值的(如y=sinx2兀,4兀，…，-2兀,-4兀，…都是周期)周期T中最小的正数叫做

f(x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)y=sinx,y=cosx的最小正周期为2兀(一

般称为周期)从图象上可以看出y=sinx,xwR；y-cosx,xeR的最小正周期为2〃；

推断：是不是全部的周期函数都有最小正周期？(/(x)=c没有最小正周期)

说明：(1)一般结论：函数y=Asin(dxx+。)及函数y=Acos(0x+e),xeR(其中A,。,。为

常数，且4/0,0>0)的周期T=如；

1jr

(2)若gvO,如：①y=3cos(-x)；®y=sin(-2x)；③y=2sin(——x--),xe7?.

26

则这三个函数的周期又是什么？

27r

一般结论：函数y=Asin(0x+夕)及函数y=Acos(5+e),xcR的周期7=——

㈤

1.42(2)正弦、余弦函数的性质(二)

1.奇偶性

(1)余弦函数的图形

当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。

(2)正弦函数的图形

2.单调性

从丫=5111*,XGE——］的图象上可看出：

22

当xG-］时，曲线渐渐上升，sinx的值由-1增大到1.

22

当xe［工，电］时，曲线渐渐下降，sinx的值由1减小到一1.

22

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［一工+2kn,-+2kn］(kWZ)上都是增函数，其值从一1增大

22

到1；在每一个闭区间［±+2kJi,至+2kn］(kCZ)上都是减函数，其值从1减小到一1.

22

余弦函数在每一个闭区间L(2k-1)n,2kn］(k@Z)上都是增函数，其值从一1增加到1;

在每一个闭区间［2kn,(2k+l)n］(kdZ)上都是减函数，其值从1减小到一1.

3.有关对称轴

视察正、余弦函数的图形，可知

JT

y=sinx的对称轴为x=攵4+—k£Zy=cosx的对称轴为x二左7k£Z

2

1.4.3正切函数的性质与图象

1.正切函数丁=tanx的定义域［工|%工］+&匹氏£2

2.正切函数是周期函数

tan(x+;r)=tanx^xeR,且xwk兀+&kez),

・••乃是y=tanxfXGR,且xwGZj的一个周期。

元;

(2)依据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数

y=tanxxwR,且+的图象，称"正切曲线"。

4.正切函数的性质(1)定义域：<x\x^^+k7r,kez

(2)值域：R视察：当x从小于以+^kez)，x--->%兀+]时，tanx---->-H»

当x从大于(■+&%(&€z)，x---->'+上万时，tanx---->一8。

(3)周期性：T=T；

(4)奇偶性：由tan(-x)=-tanx知，正切函数是奇函数；

(5)单调性：在开区间(_5+观仁+女万卜一内，函数单调递增。

1.5函数y=Asin(3x+4))的图象(二)

二、函勤=Asin(<ar+°),xG[0,+oo)(其中A>0,0>0)的物理意义

函数表示一个振动量时：

A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.

27r

T：T往复振动一次所需的时间，称为“周期”

3y♦

f：/=*=&单位时间内往返振动的欠数，称为“频率”2

以+夕：称为“相位”.

(p:x=0时的相位，称为"初相”.—j\

—2~|

2.1.1向量的物理背景与概念及向量的允何表示

（-）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

1、数量与向量的区分：a，/.

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；（终点）

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.A（起点）

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；②用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB;④向量丽的大小一长度称为向量的模，记作I而I.

3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.

向量与有向线段的区分：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就

是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不

同的有向线段.

4、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是随意的.留意0与0的含义与书写区分.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.a/

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.之二

5、平行向量定义：式）

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定o与任一向量平行.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义（2）向量a、b、c平行，记作a〃b〃c.

2.1.2相等向量与共线向量

1、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.七二■

说明：（1）向量a与b相等，记作a=b；（2）零向量与零向量相等；

（3）随意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.

2、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同始终线上（与有向线段的起点

木天）..

说明：（1）平行向量可以在同始终线上，要区分于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区分于在同始终线上的线段的位置关系.

2.2.1向量的加法运算及其几何意义

1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

2、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）

如图，已知向量a、b.在平面内任取一点A,作丽=a,BC=b,则向量焦叫做a

与b的和，记作a+b,即a+b=AB+BC=AC,规定：a+0-=0+a

（1）两向量的和仍是一个向量;

（2）当向量Z与3不共线时:

当向量。与3不共线时，a+g的方向不同向，且Ia+1a1+1Z|；

♦—♦——♦—♦—♦—

当a与b同向时，贝（］a+Z?、a、b同向，且Ia+b|=|aI+1）I,

当a与B反向时，若则a+3的方向与a相同，且Ia+3I=|aHBI;

若Ia则a+1的方向与：相同,且|a+b|=|1|-|a|.

（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个

向量连加

3.加法的交换律和平行四边形法则

1）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）

2）向量加法的交换律:a+b=b+a

六、备用习题思索：你能用向量加法证明：两条对角线相互平

分的四边形是平行四边形吗？

2.2.2向量的减法运算及其几何意义

1.用“相反向量”定义向量的减法

（1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作-a

(2)规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a)=a.

任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(-a)=0

假如a、b互为相反向量，则a=-b,b=-a,a+b=0

(3)向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.

即：a-b=a+(-b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算:

若b+x=a,则x叫做a与b的差，记作a-b

3.求作差向量：已知向量a、b,求作向量a-b

•(a—b)+b=a+(一b)+b=a+O=a

0Oo

作法：在平面内取一点o,----------7人/

作正:a,AB=b贝U砺=a-/|/

即a-b可以表示为从向量b的终点4向向鲁a的终点的向量.

留意：1。而表示a-b.强调：差向量“箭头”指向被减数

平面对量基本定理、平面对量的正交分解和坐标表示及运算

1.(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e।、e?的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一.L是被2,I，1唯一确定的数量

2.向量的夹角：已知两个非零向量M、b,作=OB=b,则NA0B=8,叫向量2、b

的夹角，当6=0°,a>B同向，当8=180°,a>B反向，当6=90°,2与B垂直，记作M_L

bo

3.平面对量的坐标表示

(1)正交分解：把向量分解为两个相互垂直的向量。

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、/作为基底.

任作一个向量。，由平面对量基本定理知，有且只有一对实数x、y,使得

a=xi+yj........①

我们把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标，记作。=(x,y)........②

其中x叫做。在x轴上的坐标，y叫做。在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示.与。相

等的向量的坐标也为(x,y).特殊地，i=(1,0),j=(0,l),0=(0,0).

如图，在直角坐标平面内，以原点0为起点作而=a,则点A的位置由“唯一确定.

设。4=xi+W，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是

向量质的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面对量都是可以用一对实数唯一表示.

2.3.3平面对量的坐标运算

1.平面对量的坐标运算

(1)若a=(w，y),b=(x2,y2),则a=(玉+々，必+力)，a-b=(.xl-x2,yi-y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

(2)若a=(x,y)和实数X,则九(=(/U,办).

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

设基底为i、j,则Aa=2(x/+yj)=Axi+初，即九!=(Ax,2y)

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

(3)若B(x2,y2),则A8=(%2-的，必一必)

AB=OB—OA=(X2.丫2)"(X”Yi)=区一x>y?-y)

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

2.4.1平面对量的数量积的物理背景及其含义

1.平面对量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b,它们的夹角是0,

则数量|a||b|cos。叫a与b的数量积，记作a.b,即有a，b=|a||b|cos0,(0W。Wn).

并规定0向量与任何向量的数量积为0.

(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos。的符号所确定.

(2)两个向量的数量积称为内积，写成a.b；今后要学到两个向量的外积aXb,而a.b是两

个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“•”在向量运算中不是乘号，既不能省略，

也不能用"X”代替.

(3)在实数中，若aM,且a.b=0,则b=0；但是在数量积中，若aM,且a-b=0,不能推出

b=0.因为其中cos。有可能为0.

(4)已知实数a、b、c(bM),则ab=bc=>a=c.但是a-b=b-c^>a=c

如右图：a-b=|a||b|cosp=bl|OA|,b-c=bl|c|cosa=b||OA

=>a-b=b-c但awc-

(5)在实数中，有(a.b)c=a(b-c),但是(a，b)c+a(b-c)

明显，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共

线.

2.“投影”的概念：作图

zLKL

~o°°(B1)aA

定义：IblcosO叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；

当。为锐角时投影为正值；当。为钝角时投影为负值；当。为直角时投影为0；

当。=0。时投影为|b|；当0=180。时投影为-|b|.

3.向量的数量积的几何意义：

数量积a-b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos。的乘积.

两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，

1、a_Lboa-b=0

2、当a与b同向时，a-b!a|lb|；当a与b反向时，a-b=-1a||b|.

特殊的a-a=|a『或=Ia-bW|a|jbcosO=

|a||)l

平面对量数量积的运算律：

1.交换律：a-b=b-a

证：设a,b夹角为0,则a•b=|a||b|cos0,b-a=|b||a|cos0/.a-b=b'a

2.数乘结合律:(A,a)-b=A,(a-b)=a-(Xb)

证：若九>0,(Xa)-b|a||b|cos0,九(a・b)=X|a||b|cos0,a-(Xb)=X|a||b|cos0,

若大<0,(Xa)-b=|Xa||b|cos(n-0)=-X|a||b|(-cos。)=X|a||b|cos0,九(a-b)

=X|a||b|cos0,a-(kb)=|a||Xb|cos(n-0)=-X|a||b|(-cos。)=X|a||b|cos0.

3.安排律：(a+b)-c=a-c+b-c

在平面内取一点0,作正=a,AB=b,OC=c,Va+b（即砺）在c方向上的投

影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos0=|a|cos0,+|b|cos02

/.|c||a+b|cos0=|c||a|cosOi+|c||b|cos02)c・(a+b)=c-a+c-b即：

(a+b)・c=a-c+b-c

说明：（1）一般地，（a・b）cWa（b•c）

(2)a•c=b•c,cWOka=b

(3)有如下常用性质：a2=IaI2,

(a+b)(c+d)=a•c+a•d+b•c+b•d

2.4.2平面对量数量积的坐标表示、模、夹角

1、平面两向量数量积的坐标表示

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即=X/2+必必

2.平面内两点间的距离公式

（1）设。=（x,y）,则+＜或|&|=J—+/.

（2）假如表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为区,y）、（々，为），

那么Ia|=｛（/-犷+⑸-乂）2（平面内两点间的距离公式）

3.向量垂直的判定

设a=a，y)，b=(x2,y2)，则<=>XjX2-

4.两向量夹角的余弦（0W6W不）

COS0

x22x22