2023年高考数学题型预测卷（上海） 猜题16 第17-18题 数列（上海归纳）

猜题16第17-18题数列(上海精选归纳)

一、解答题

2

1.(2023春•上海普陀・高三曹杨二中校考阶段练习)设Sn为数列的前〃项和，已知5„=-^n+^n+na„.

(1)证明：｛4｝是等差数列；

⑵若明,%，%成等比数列，求5“的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)-78

,[S.,n=1

【分析】⑴由题意可得2S“+/=2”+〃，根据。、.，作差即可得到从而

得证；

(2)由(1)及等比中项的性质求出外,即可得到｛4｝的通项公式与前〃项和，再根据二次函数的性质计算

可得.

【解析】(1)证明：因为S“+Bp25„+n2=2na„+n①，

当2时，2S,i+(〃-1)~=2(〃-+(〃-1)②

_

①-②得，2Sn+n~-2SZ1_1—(n—l)=2nan+n—2(n—V)an_i—(/?—1),

即2an+2〃-1=2nan-2(7?-l)aw_,+1,

即2(n-\)atl-2(〃-1)%=2(〃-1),

所以见—an-\=1,〃22且〃£N*,

所以｛〃“｝是以1为公差的等差数列.

(2)由(1)可得4=4+3,%=4+6,。=%+8,

又小,%,“9成等比数列，所以W=”八4,

即(4+6)2=(4+3>(4+8),解得q=T2,

所以4,=T2+(〃一=

25Y625

所以，=T2〃+竽=吴一争号n--------------

2)8

所以当〃=12或〃=13时，S“取得最小值，=兀=兀=，j喂一78.

2.(2023・上海黄浦・统考一模)已知｛%｝是等差数列，｛〃｝是等比数列，且4=3,4=9,…，％4=瓦.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵设C”=4+(-1)"bn(〃eN*),求数歹£c.｝的前2〃项和.

【答案】⑴=2〃-1

a"1

(2)4n2+-------

44

【分析】(1)运用等比数列、等差数列通项公式计算即可.

(2)运用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算即可.

【解析】(1)设等差数列｛为｝的公差为d,等比数列｛4｝的公比为夕，

则4=3=3,%="=旦=1,a”=ba=b、q=27,

b2q

又44=q+13d=l+13d=27,可得d=2,

所以a“=4+(〃一l)d=l+2(w-l)=2/i-l.

(2)由(1)可得b,=3"T,

故(_1)/,=_(_3广，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列，

所以%=(2〃-1)一(一3严，

所以数列｛c,,｝的前2〃项和为：

(4+%+L+%“)-[1+(-3)+L+(—3广]=冽I；”1)_I；；[]=4*+?-.

即：数列｛%｝的前2〃项和为

3.(2022.上海长宁.统考一模)已知数列也｝为等差数歹U,数列也｝为等比数列，数列｛%｝的公差为2;

⑴若4=q也=生也=%,求数列出｝的通项公式;

⑵设数列｛4｝的前"项和为S”,若几=3%,q+%|=6,求”|；

【答案】(1)勿=3”’

(2)-8

【分析】(1)根据｛4,｝,也｝数列性质及｛见｝的公差为2,写出仇也也之间的关系,再用即4代替即可求出通项公

式;

(2)根据｛4｝为等差数列且公差为2,将几=3%,6+。川=6两式中均变为关于首项和女的等式，进而解出首项

即可.

【解析】(1)解:由题知4=4也=%也=%,

Q色｝为等比数列,不妨设公比为4,

又数列｛4｝的公差为2,

/.b2—bx=2,Z>3-b2=6,

如-4=2

即

.加2_刎=6,

解得a=i，q=3,

故"=3"T,〃eN*；

(2)由题知数列｛q｝为等差数列，且公差为2,

$=3%，4+%=6,

12a,+12x11=3(«(+2(^-1))

q+4+2%=6

4=-8

解得:

Z=ll

故4=-8.

4.（2022•上海嘉定•统考一模）若数列是等差数列，则称数列｛《,｝为调和数列.若实数久。、c依次成

调和数列，则称b是。和。的调和中项.

（1）求g和1的调和中项；

（2）已知调和数列｛可｝,4=6,4=2,求｛%｝的通项公式.

【答案】⑴/

【分析】（1）根据题意得到3、1、1成等差数列，从而得到方程，求出b=（，得到答案;

b2

f1112n+l

（2）根据题意得到一是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出一=y,

4,18

得到的通项公式.

【解析】（1）设《和1的调和中项为匕，依题意得：3、1、1成等差数列,

3b

所以『二三1二？，解得：b=工,

b22

故:和1的调和中项为y;

3/

（2）依题意，,是等差数列，设其公差为d,

11/八」11/八2〃+1

所以—=一+(〃-1)1=一+一(〃-1)=-----,

加以a”q''69、'18'

5.（2022・上海宝山・统考一模）已知数列｛〃〃｝满足4=1,/=3%T+4（〃N2）.

⑴求证：数歹式4+2｝是等比数歹小

⑵求数列｛%｝的通项公式；

⑶写出£〃2一的具体展开式，并求其值.

/=!

【答案】（1）证明见解析;

⑵4=3"-2；

⑶长

【分析】（1）利用构造法，得到%+2=3（4-+2）,可证明｛%+2｝是等比数列；

（2）根据等比数列的通项公式，求出。“+2=3”,进而可求｛/｝的通项公式；

55

（3）直接写出一的具体展开式，根据见，利用等比数列的前八项和公式，直接计算2%一可得答案・

/=!/=!

【解析】（1）a“=3a,i+4（〃N2）,等式两边同时加上2,

得4+2=3（a“_1+2）,又-q=l,q+2=3

则｛《,+2｝为首项是3,公比4=3的等比数列

（2）由（1）得，｛4+2｝为首项是3,公比4=3的等比数列，

二.〃〃+2=3〃，故。〃=3"-2.

5

+<2+3579

（3）=<2|+<23+<257«9=3+3+3+3+3-2X5

/=1

=止步一10=3x（95一1）7。=岂上

1-9888

6.（2022秋•上海浦东新•高三上海市建平中学校考阶段练习）公差不为零的等差数列｛《,｝满足

%=4%，4=-2.

（1）求｛%｝的通项公式；

⑵记｛《,｝的前”项和为S,,求使5„<an成立的最大正整数〃.

19

【答案】（1）。“=3〃-5或〃

44

19

（2）当/=3〃-5时，〃=3；当时，几=17.

【分析】（1）根据等差数列公式，代入计算得到答案.

（2）根据等差数列求和公式，考虑两种情况，代入数据得到不等式，解得答案.

【解析】（1）%=生火，B[J-2+14J=（-2+2J）（-2+4J）,解得d=3或d=；.

1Q

故〃“=3〃-5或《丁方

(3n—5-2)-n_3n2—In

(2)当4,=3〃-5时，S„=

22

SS'即宁<3〃一5,解得1<〃<¥，故最大正整数〃=3；

19

19—n----2卜〃

当时,s『44J="上〃

288

1171Q

…,即/一针（严"解得故最大正整数〃”

综上所述:

19

当?=3〃-5时，〃=3；当凤丁一1时，〃=17.

7.（2022秋・上海静安•高三校考阶段练习）已知｛为｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且

a「瓦=a3-b3=b4-a4.

(1)证明:%=a；

⑵求集合卜也=am+q/W4500｝中元素个数.

【答案】（1）证明见解析:

(2)9.

【分析】（1）设数列｛《,｝的公差为"，根据题意列出方程组即可证出；

（2）根据题意化简可得机=2=,即可解出.

【解析】（1）设数列｛叫的公差为d,所以，，+._花=8；_（〃+3；）'即可解得，瓦=a=；,所以原

命题得证.

⑵由（1）知，。=4=|■，所以仇=4“+4<=>4x2"T=4+（6-1）"+4，即2"T=2”?,^BPm=2A_2e[l,500],

解得24人410,所以满足等式的解％=2,3,4,,10,故集合｛幻仇=。,“+4,14机4500｝中的元素个数为

10-2+1=9.

8.（2022秋・上海静安•高三上海市市西中学校考期中）在等差数列｛《,｝中，5,,为其前〃项和（”《川）.若

6Z2=3,S4=16.

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

(2)设2=一—，求数列也｝的前〃项和

【答案】(1)4=2〃-l(〃€N*)；(2)T=-^—(neN,).

n2n+i

【分析】(1)运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程组，可得首项和公差，即可得到所求通项；

(2)求得2=:(不二一丁二],再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和.

【解析】解：(1)设数列｛”,』的首项为4，公差为d,

[a,=a,+d=3

由题意得；；…

⑸=4“+6”=16

解得｛3,

故数列｛〃〃｝的通项公式=1+25-1)=2〃-1伽€”)；

,、…11(11)

(2)由⑴得不~~o—7-y—Th

2=(2〃-1)(2〃+1)212〃-12〃+1J

即有前”项和小小+…

335572n-l2n+lJ

=-[I------]=---(〃£“).

212/z+lJ2n+l

9.(2023•上海•高三专题练习)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，满足q=l,S“=(；"+，〃(r为常数).

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若2=(-D"lg(a“•4+1),求数列他,｝的前〃项和为T”.

【答案】(1)an=n.(2)7；,=(-l)«lg(n+l).

【分析】⑴令〃=1,解得:f=；,再由4=S“』，即可求出勺，

(2)根据(1)的结论，再利用并项求和，即可求解.

【解析】解：(1)令〃=1,£=q=6+，，可得f=g,所以*=(；〃+£]〃

〃22时，S“_I=(n-1),可得a“=g[〃2_(〃T)2]+g="

所以““=〃(n>2),又因为6=1满足上式，所以““=〃

（2）因为2=（-D"lg（aj，）=（T）"（lg%+lg%）

Tn=一（1goi+lgo2）+）g%+lgo3）-）gu+lga4）++（-l）"（lga„+lga„+1）

=（-irig«„+1-ig«,=（-irig（n+i）

所以ig（〃+i）

10.（2022・上海•高三专题练习）已知各项为正数的等比数列｛q｝中，《=1,4=4.

（1）求数列｛《,｝的通项公式；

（2）设勿=log?%,求数列出｝的前〃项和S“.

【答案】⑴％=2~；（2）S“=W二

"2

【分析】（1）根据条件求出q即可；

n

（2）fo„=log22-'=n-l,然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.

【解析】（1）•&=/=4,且4>0,.14=2,

q

.•.a.=M=2”'

,,_|

（2）bn=log22-n-\

「（0+n-l）nrr-n

/.3”=---------------=---------

"22

11.（2014秋.上海徐汇.高三位育中学校考期中）已知〃eN*数列｛4｝满足4=匕卢；数列｛《,｝满足

%=4+4+&+-,+&“；数列也,｝为公比大于1的等比数列，且打，>4为方程V-20x+64=0的两个不相

等的实根.

（1）求数列｛%｝和数列也“｝的通项公式；

（2）将数列｛2｝中的第q项，第的项，第%项，....第a“项......删去后剩余的项按从小到大的顺序排

成新数列匕,｝，求数列｛g｝的前2013项和.

【答案】⑴4=3"；（2）b,=T-（2）20X8；6

【分析】（1）根据｛4｝的通项公式计算得出数列的通项公式，利用一元二次方程根与系数关系，结合

已知可以求出&&的值，最后写出数列｛4｝的通项公式；

（2）根据题意可以知道数列他,｝删去哪些项，剩下哪些项，根据等比数列可知：剩下组成新的数列的奇数

项和偶数项分别也是等比数列，这样利用分组求和，利用等比数列前"项和公式求和即可.

【解析】（1）­：d=3+（T）”,

“2

.,,,,3x2n

..q,=4+d2+d3+---+d2n=—^—=3n.

；九,久为方程》2一20》+64=0的两个不相等的实根，

：,b2+b4=20,仇•2=64,又公比大于1,设公比为4,所以4>1

2

解得仇=4,勿=16=>q2=4q>\:.q=2,bn=b2-q"=2".

（2）由题意将数列｛〃,｝中的第3项、第6项、第9项、…删去后构成的新数列｛%｝中的奇数项数列与偶数

项数列仍成等比数列，首项分别是伉=2,“=4,公比均是8,

（013=（C|+C3+C5+---+C2O|3）+（C2+C4+C6+---+C2O|2）

2X（1-81007）4X（1-81006）20X8I,X,6-6

=----------------H------------------=------------------

1-81-87

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列前"项和公式，考查了等比数列的性质，考查了

数学运算能力.

12.（2014秋.上海徐汇.高三位育中学校考期中）己知数列｛4｝满足：4=1,%=2,且

an+2=（2+cos〃乃）（q-l）+3,〃eN*.

（1）求数列（«„｝前20项的和4；

（2）求通项公式

（3）设｛4｝的前〃项和为S,,问：是否存在正整数〃?、n,使得邑“=〃62,1?若存在，请求出所有符合条

件的正整数对（，4〃），若不存在，请说明理由.

n,〃为奇数，

【答案】（1）却+99;（2）%="I；（3）所有的符号条件的正整数对（〃?,〃），有且仅有（3,1）

2x32,〃为偶数.

和(2,2)两对，理由见解析.

【分析】(D根据递推公式直接代入求出的，%出。各项，再分类求和即可.

(2)对4+2=(2+cos町)(a,-l)+3,"wM根据"的奇偶性进行分类讨论，判断出数列的性质，最后求出数

列｛q｝的通项公式.

(3)根据分组求和法求出邑”的表达式，然后根据52”7=52“-’“可以求出邑,1的表达式，最后根据题意

52“="邑,1，得到加的表达式，可以确定，〃的取值范围，然后根据加的取值范围，逐一取正整数进行判断

即可.

29

【解析】(1)S20=(1+3+5+---19)+(2+2X3+2X3+---+2X3)=31°+99

(2)当〃是奇数时，cos，vr=-l：当”是偶数时，cos〃;r=l.所以，当〃是奇数时，4+2=4+2；当〃是

偶数时，%+2=3%.

又4=1,02=2,所以。”?冯，…，。2"-1，…是首项为1，公差为2的等差数列；…，%)，…是首项为2,

公比为3的等比数列.

”,〃为奇数，

因此，

2x3二〃为偶数.

(3)S2n=(«]+o3+---+a2„_l)+(a2+a4+---+a2„)

=[1+3+…+(2〃-1)]+(2+6+…+2x3"i)

=3"+n2-\,

2

S2„_t=$2“一的“=3"+”2-1-2x3'i=3"T+n-l.

所以，若存在正整数加、〃,使得52“=，”邑,1，则

S„3"+n2-],2x3"i,2X3"T

m.=—=2——=----------------=1-I-----------<1H-------=3

邑一3"T+〃2-l3n-'+n2-r3"T

22

显然，当，”=1时，S2n=3"+n-1751x(3"-'+«-1)=S2n_t.

当%=2时,由52“=2邑,1，整理得3"T=〃2-1.显然，当〃=1时，3'-'=1^0=12-1;当〃=2时，

32T=3=22-1,

所以（2,2）是符合条件的一个解.

当〃23时，3"'=（1+2）a=1+CLx2+C3x22+…

22

>l+2C,',,l+4Ct1=2n-l>n-l.

当〃?=3时，由邑,,=352,1，整理得〃=1，所以（3,1）是符合条件的另一个解.

综上所述，所有的符号条件的正整数对（加,〃），有且仅有（3,1）和（2,2）两对.

【点睛】本题考查了分组求数列的和，考查了等比数列、等差数列前〃项和公式，考查了分类讨论思想，考

查了数学运算能力.

13.（2015秋•上海长宁•高三统考阶段练习）已知数列｛q｝为等差数列，公差""0,4r0,（〃€^）,且

2N

akx+24+］X+=°（%6,）

（1）求证：当k取不同自然数时，此方程有公共根；

（2）若方程不同的根依次为4,%，…，x“，…，求证：数列为等差数列.

【答案】（D见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）依题意，2ak+i=ak+aM,于是原方程可转化为（ax+a-）（x+D=。，从而

可证结论；（2）原方程另一根为x“，利用韦达定理，可求得怎=-1-跑，然后可得甘一=-黑；根据

4tI十xn乙a

等差数列的定义，证明即可.

试题解析：（1）,｛《,｝是等差数列，，24+|=4+4+2，；•+24+|X+%2=0,；（&/+4+2）（x+D=0,

.•.当k取不同自然数时，原方程有一个公共根-1.

（2）原方程另一根为当，则-4=-=幺必=1+3，

44at

.r_I2d2d1_ak.11_ak+iak,_ak-ak+l_-d_1

9

.〃ak"ak\+xn2d'1+七用\+xn2d2d2d2d2

.••数列［］）一］是以为公差的等差数列.

考点：等差关系的确定；数列递推式.

14.（2023春・上海•高三校联考阶段练习）记S“，为数列｛%｝的前〃项和，已知S,=£+/+l,neN\

⑴求q+生，并证明出+.｝是等差数列;

(2)求S“.

【答案】（1）q+%=6,证明见解析

_1/+&当〃为偶数时

（）"/+〃+2,当〃为奇数时

【分析】⑴利用4,与前〃项和5“的关系，由S“吟+"+1可得4,%的值，即可求得4+%的值；根据

相减法求得（4川+4-2）-（4,+。向）为常数，证明其为等差数列；

（2）由（1）中数列｛q+。向｝为等差数列，对〃进行奇偶讨论，即可求得S“.

【解析】⑴解：已知5“=会+1+1,〃eN*

当〃=1时，at=-y+2,4=4；当”=2时，4+42=/+5,%=2,所以。1+%=6.

因为S”吟+1+1①，所以5,用=智+（〃+1）2+应

②一①得,。,用=智-号+（,+1）2-〃2,整理得%+j=4〃+2,„eN\

所以+a”+2）-（a”+。“+|）=[4（〃+1）+2]-（4及+2）=4（常数），neN,,

所以｛q+4+J是首项为6,公差为4的等差数列.

+

(2)解：由(1)知，cin_x+an=4(/z—1)+2=4n—2,neN,n>2.

vj

-(6+4/1-2)2

当〃为偶数时,5”=(4+/)+(4+%)++(«,.-(+«,.)=2----4--------=n+n'

当〃为奇数时，SL4+3+6m+%)++(……此4I)=〃"+2.

“2+〃，当〃为偶数时

综上所述,

〃2+〃+2,当〃为奇数时

15.（2022春.上海闵行.高三闵行中学校考开学考试）已知数列｛〃“｝,%=1，伍"｝的前”项和为S”.

（1）若｛4｝为等差数列，57=21,求公差d的值及通项句的表达式；

（2）若｛《｝为等比数列，公比”0,且对任意〃eN*,均满足S,,<9,求实数4的取值范围.

q

【答案］(l)d=2,4=2〃_5,〃€N*

C、r3-G3+A/31

6，6

【分析】（1）由题意列出方程组解得4/,即可得解；

（2）由题意见=广3,数列｛5,,｝为递增数列，对任意“eN"均满足只需场言解

不等式即可.

%=q+2d=1

4=-3

【解析】（1）由题意得。r7x6J〜，解得

S7=7a｝+-^-d=21d=2

所以d=2,〃〃=2〃-5,〃wN'.

（2）因为公比乡>0,%=1，所以4=/-3,〃£N*,故数列｛S.｝为递增数列.

均满足2,只需场巴=言4=小豕5=容厂以解得

对任意/ZEN'

0<^<1

3-回v3+V3

十q，6

综上，实数q的取值范围是p铲,，叵］.

16.（2021秋•上海浦东新•高三上海南汇中学校考阶段练习）已知数列｛q｝的前〃项的和为S,,,且

2

2Sn=s-atl+t-n-n.

⑴当s=3,f=。时，求证数列1%+:1为等比数列，并求｛q｝的通项公式；

（2）当$=0/=3时,不等式。,川+一之之对于任意n>2,neN*都成立，求A,的取值范围.

%

【答案】⑴a,,=gx3"-g

【分析】（1）退〃相减，得出递推式，再用构造法证明，最后求通项公式

（2）恒成立问题，通过分离〃与几转化为函数最值问题求解

【解析】（1）当5=3/=0时,25,,=3。“-〃

当〃=1,2S]=3q-1，则4=1

2s“=3%-〃

当〃22,

2S,i=3a,i-("-l)

两式相减得24=3%-3%-—1,即a“=3a,-+1

所以4+g=3(a,i+；

13

4+二

2

所以］见+；］是首项为|■，公比为3的等比数列

所以1所3以4=于13"最1

(2)当s=0,r=3时,2S“=31-”,即邑=尹—(〃

当”22时,4,=S“-S"_|=3"-2>1

由+4*/I,得a„+la„+A>利,,即A<也］对于任意n>2,neN-都成立数*=⑶二2）（3：+1），令

t=3n—3>3

则空但=（-）=3+5

'a“Ttt

4

因为y=f+—在（0,2）上单调递减，在（2,+00）上单调递增

t

所以当r=3时,“+：+5］=今所以人学

XZ/minJ3

17.（2022秋•上海黄浦•高三上海市大同中学校考阶段练习）己知数列｛4｝,｛b„｝,匕,｝满足4=伉=。=1,

e

%=an，Cz=}c”5N*).

"〃+2

⑴若｛"｝为等比数列，公比4>o,且2+。=8,求q的值及数列佃“｝的通项公式;

（2）若｛"｝为等差数歹I」,公差d=1,求和：q+Q++%.

【答案】⑴夕=g,«„4"-'+2

3

小2〃

⑵而

【分析】（1）根据题意，列出方程求得4,然后根据累加法即可得到数列｛q｝的通项公式；

（2）由题意可得数列也配£,｝是一个常数列，然后根据裂项相消法即可求得G+Cz++%的值.

【解析】⑴由题意可得，a=4也=",因为乙+伪=64，所以1+4=6八

整理得6q2-q-l=0,解得q=-g(舍)，或4=g

b111

所以“广不n£二屋《'=7£=不《'=乜

“、I2J

所以数列｛qj是以1为首项，4为公比的等比数列，

所以%=1.4"T=4"T,〃WN，

所以=%=4"T

则q=1,

4-4=1,

%~a2=4,

。「凡T=4〃-2(n>2),

1—4"一14«-i.9

各式相加，可得〃=1+1+4+4~+K+4〃*=------F1=------,

1-43

当”=1时，4=1也符合该式，故q=土产.

(2)依题意,由*=/-c“(〃eN*),可得b“,2.c„tl=b„-c„,

q+2

两边同时乘%,可得2也2%=她+£

因为姑2仿=力2=1+〃=1+1=2

所以数列抄出.£,｝是一个常数列，且此常数列为l+d=2

则2也向g=2,且｛2｝为等差数列，公差d=l,4=1,即a="

又因为4=l,d=l>0,所以仇>0

所以q+c?+…+%

18.（2006・上海・高考真题）设数列｛4｝的前，7项和为S“，且对任意正整数小«„+5„=4096.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵设数歹U｛kgan｝的前〃项和为T„,对数列但｝，从第几项起T„<-509?

【答案】-r

（2）46.

【分析】（1）利用当”22,5“-，1=。“得到。”=；令1，即数列｛4｝为等比数列，然后求通项即可；

（2）由（1）得log?4=12-〃，然后利用等差数列求和公式得到7；=空业，最后利用二次函数单调性

2

和特殊值的思路求解即可.

【解析】（1）当〃=1时，4+3=24=4096,解得q=2048,

当〃22时，由4+S.=4096得%+Si=4096,两式相减可得24-%=0,即可=1“1,所以数列｛q｝为

等比数列，公比为所以q,=2048x

/八，/・、,icll…（11+12-（23-n）n

（2）由（1）得log2a“=12-〃，所以（=1--------------L=1,

当〃W23时，T„>0,

23x45

令/（〃）=%也，则f（〃）在（23,—）上单调递减，X/（45）=（~^）=_495>-509,

/（46）=（23-：）X46=_529<_509,

所以当〃246时，/（〃）<—509,即从第46项起（,<-509.

19.（2022秋•上海虹口•高三统考阶段练习）设等差数列｛q｝的前〃项和为S“，且％=10.

⑴若%=590,求｛%｝的公差;

（2）若“eZ,且凡是数列｛S,J中最大的项，求《所有可能的值.

【答案】（1）3

（2）18,19,20

【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得｛《,｝的公差.

（2）根据数列｛S,,｝中的最大项列不等式，从而求得q的所有可能取值.

【解析】（1）设等差数列也｝的公差为d，则

a=4+3d=10

4，解得d=3.

S20=204+1901=590

（2）由（1）得（=q+3d=]0,d="3%'

由于邑是数列⑸｝中最大的项，〃=与4<0此>10①,

<77>04+6f/>0

所以

/4°4+7d«0

q+6x-—―=20-t/j>0

即，3

r10-a70-4j八

a.+7x----L=------L<o

I133

解得，35420,由于《是整数，所以％的可能取值是18,19,2（）.

20.（2022秋・上海嘉定•高三统考阶段练习）数列｛q｝的前〃项和5“="2-〃+C,

（1）若｛%｝为等差数列，求公差、首项、c的值;

（2）在（1）的条件下，求数列的前”项和H”.

【答案】（1）公差为2,首先为0,c=0

〃+1

[S,,n=｝.

【分析】（1）由题意，根据公式。〃=\,结合等差数列的相关定义，可得答案;

（2）由（1）可知，S用表达式，根据裂项相消，可得答案.

2

【解析】(1)由题意，Sn=n-n+c,当〃=1时，4=E=l-l+c=c,

当〃22时，S“_[=(n-l)2-(n-l)4-c,

则an=_5〃_]="21)~-(/?-l)+cj=2n-2,n>2,

由4+i-。“=2(〃+1)-2-(2〃-2)=2，则%-4[=2-。=2,解得c=0,

故等差数列｛4｝，公差为2,首项为。，c=0.

(2)由(1)可知，S〃=〃2一八,s〃+[=(〃+1)2一(〃+1)=〃(〃+1),

1111

==-------

S“+i------+n〃+1'

11111,1n

Hrr=1---1------bT--------=1-----=----.

n223nn+ln4-1n4-1

21.(2022秋・上海宝山•高三上海交大附中校考开学考试)已知+.

⑴等比数列也｝的首项4=4,公比4=%,求£>的值；

i=l

(2)等差数列｛%｝首项公差d=4,求｛g｝通项公式和它的前2022项和邑必.

【答案】(<£>=焉;

r=I3乙

(2)c”="H—,^20222046264.

【分析】（1）求出囚、出的值，再利用等比数列的求和公式以及数列的极限可求得结果;

（2）求出q、d的值，利用等差数列的通项公式可求得q,,利用等差数列的求和公式可求得Szg的值.

(1)

；+xj的展开式通项为兀产（246,%wN*）,则对=C：］；『,

解:

13

所以，=6x—=—,q=q=C>|则。<”1,

3

叱2—v々(J/')々元3

"I-i-q\-q|_J232

-16

(2)

13i

=6x=1

解：c｝=a54”=%=1，贝！|c“=q+("_l)(/="+],

所以，S2O22=2022c,+2022X；021"=2Q22x|+10)।x2Q21=2046264.

22.(2022秋•上海浦东新♦高三华师大二附中校考阶段练习)记S.为数列｛%｝的前"项和，已知5.=2a„-at,

且。尸0.

(1)证明：｛4｝是等比数列；

(2)若也｝是等差数列，且白=4,a+勿=18可，求集合树6=勿+3配14机4200｝中元素的个数.

【答案】(1)证明见解析；

(2)8.

【分析】(1)利用求得a“=2%i，结合已知及等比数列定义即可证结论；

(2)由(1)有4=22”,根据已知可得『=(4〃-3)4,再由集合的描述可得2*T=/W[1,200]且KmwN*,

进而判断对应人的个数，即可得结果.

【解析】(1)当”22,则S“_|=2a“T-4，而S“=2a“-q,可得a“=2(4-4马)，

所以q=2a“T，又。尸0,

所以｛4｝是首项为外，公比为2的等比数列.

(2)由(I)知：a“=2"T%,令也｝的公差为d,则4+仇=2々+44=2弓+44=18q,

所以d=4q,故2=々+("-l)d=(4--3)q,

所以4=hm+3bl=(4m-3)q+3al=4mat,故2*-q=4/nq,qH0,

所以2"3=me[1,200]且k,meN*,则34&<3+log2200,

又7<1呜200<8,故3"vll,共有8个％值,

所以集合kk=d,+34，14，K200｝中元素的个数为8.

23.(2023春•上海浦东新•高三上海市建平中学校考阶段练习)已知公差d不为0的等差数列｛a„｝的前n项

和为S“，％=6,y-=1.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵若数列=2%,cn=an+b„,求数列｛c“｝的前”项和善.

【答案】⑴=2〃；

c、，4向4

(2)n~+n+----.

33

【分析】(1)由S9=3号,应用等差数列前〃项和、等差中项公式得见=10,结合已知求基本量，进而写

出｛4“｝的通项公式；

(2)由(I)得%=2〃+4",应用分组求和，结合等差等比前〃项和公式求力,.

【解析】(1)由题设$9=355,则我3=3x34受，即3%=5a3=30,

所以“5=10,而“3=6,易得d=2,则4=2,

故%=q+5-1)3=2”.

(2)由(1)知：b„=22n=4",则6=2〃+4",

所以7；=2(1+2+…+”)+(4'+42+...+4")=2*"(，詈+4；-：，')=“2+〃+?_*

24.(2022.上海普陀.统考二模)设5“是各项为正的等比数列｛%｝的前"项的和，且邑=3,4=4,neN,.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(2)在数列｛4｝的任意4与见八项之间，都插入火(我N")个相同的数(-1)廉，组成数列也｝,记数列｛〃｝的

前”项的和为求Z„o的值.

【答案】⑴氏=2"、weN"

(2)8152

【分析】(1)设等比数列｛4｝的公比为4>0，由已知建立方程组求解可得数列的通项公式；

(2)数列｛"｝中在4T之前共有人+(1+2+3++幻=日产项，再分组，分别利用等差、等比求和公式可

求得答案.

(1)解：设等比数列｛4｝的公比为9>0,则解得4=1,夕=2则等比数列｛4｝的通项公式

为%=2"T,"eN*.

(2)解：数列他｝中在4M之前共有人(1+2+3++幻=号攵项，当女=12时，

三丝=90<100,当左=13时，史超=104>100,则

22

2222222

7]00=(1+2+2++2')+(-1+2-3+4-+12)-13x9

1_,13

=----+(1+2+3+4++12)-117=2"-40=8152.则所求的数歹ij｛"｝的前100项和为8152.

1—2

25.(2022•上海闵行•统考二模)已知｛《,｝是公差为d的等差数列，前〃项和为S,M，%,%%的平均值为明

%,处,生，小的平均值为12.

2

(1)求证：Sn=n；

(2)是否存在实数f,使得-T<1对任意“eN,恒成立，若存在，求出r的取值范围，若不存在，请说明

a”

理由.

【答案】(1)证明过程见解析；

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)由等差数列通项公式基本量计算得到公差为2,首项为1,从而得到前n项和：

a99

(2)假设存在f,使3T<1对任意〃eN*恒成立，变形为二•</<三三+2对任意•恒成立，结

an2n-l2n-l

2

合当〃eN*时，0<-^-<2,求出f>2且仁2,因此符合题意得f不存在.

2n-l

【解析】(1)由题意得：4+。2甘+。4=4"=8,解得：1=2,

44

由4+。2+。3+。4=4。I+64=16,解得：4=1,

g、rCn(n-\L),22

所以S“=na.i+--2--d=n+n~-n=n~；

(2)假设存在，，使-一<1对任意恒成立，

an

12)_

则-let-1+—<1对任意〃eN*恒成立，

IaJ

27

BP——<r<-一；+2对任意“eN*恒成立，

2〃-12n-l

2

当”eN*时，0<-~~-<2,

2n-l

所以f>2且f42,因此符合题意得f不存在，证毕.

26.(2023•上海•高三专题练习)在数列｛q｝中，4=5,。e=3勺-4〃+2,其中〃eN*.

⑴设"=q-2〃，证明数列也｝是等比数列；

⑵记数列｛%｝的前n项和为S,,,试比较S“与+2022的大小.

【答案】(1)证明见解析：

(2)答案见解析.

【分析】(1)由已知得”“="+2〃，代入给定等式并变形，再利用等比数列定义判断作答.

(2)利用分组求和法求出S“，作S”与/+2022的差，构造新数列并判断其单调性即可推理作答.

【解析】(1)neN*»由5="”-2”得：a„=bn+In,而/=3〃“-4〃+2,

则%+25+1)=3(。+2”)-4〃+2,整理得%=3%而4=q-2=3,

所以数列｛〃,｝是首项为3,公比为3的等比数列.

(2)由(1)知，d=3x3"T=3",于是得见=3"+2〃，c3(l-3")+2+2nn=3^+w2+/?_3,

"1-3222

+n+1

RIL。z2“cc、3"'232“cc3+2n-4047

因止匕，S—+2022)=----Fn~+n----n~—2022=--------------,

〃