高中数学培优讲义练习（必修一）：专题4.7 对数函数-重难点题型精讲（学生版）

专题4.7对数函数-重难点题型精讲1．对数函数的定义(1)对数函数的定义：一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+).(2)判断一个函数是对数函数的依据：

①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+).

​​​​​​​例如:y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数.2．对数函数的图象与性质对数函数y=(a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示：3．底数a对对数函数图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”.

当a>1时，对数函数的图象“上升”;

当0<a<1时,对数函数的图象“下降”.

(2)函数y=与y=(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.

(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：

无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.

①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴;

②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.4．反函数比较幂值大小的方法：【题型1对数（型）函数的定义域与值域】【方法点拨】根据对数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.【例1】（2022·广东·高一阶段练习）函数y＝lgx＋lg(5－3x)的定义域是（

A．[0,53) B．[1,53)【变式1-1】（2022·浙江·高二学业考试）函数fx=logA．−∞,0 B．2,+∞ C．0,2【变式1-2】（2022·山西运城·高二期末）已知函数fx=lgx2A．0,+∞ B．0,1 C．lg2,1 【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）函数y=ln(x−2)+1的值域为（A．R B．(1,+∞) C．[1,+∞【题型2对数式的大小比较】【方法点拨】比较对数值的大小，主要依据对数函数的单调性，同底时可直接利用相应的对数函数比较大小；不同底时，可借助中间量进行比较.【例2】（2022·黑龙江·高三开学考试）已知a=log32，b=log52，c=3a−1，则A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a【变式2-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知a=40.1，b=log32A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【变式2-2】（2022·河南·高三阶段练习（理））若a=0.50.3，b=log0.53A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>a>b【变式2-3】（2022·贵州·高三阶段练习（理））设a=log53，b=log0.30.2，c=0.543A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b【题型3解对数不等式】【方法点拨】对数不等式的三种考查类型：(1)形如m>n的不等式，借助y=x的单调性求解.(2)形如m>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b=)，再借助y=x的单调性求解.(3)形如>(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=log4(x−2)−log4(a−x)，A．72,4 B．（3，4） C．（2，5） 【变式3-1】（2022·云南楚雄·高二期末）已知函数fx的图象与gx=log14xA．0,+∞ B．0,1 C．0,12【变式3-2】（2022·四川自贡·高一期末）已知fx是定义在R上的奇函数，在区间0,+∞上为增函数，则不等式flogA．−∞,1 B．1,+∞ C．0,1【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgA．0,1100 B．1100,+∞ 【题型4对数函数的图象及应用】【方法点拨】①对数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的函数图象.②对数函数图象的应用：对于与对数函数、对数型函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而利用对数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.【例4】（2022·广东·高三阶段练习）函数y=lg(x+1)的图像是（A． B．C． D．【变式4-1】（2022·浙江·高一期中）函数y=lg|x+1|的图像的大致形状是（A． B．C． D．【变式4-2】（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdA．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c【变式4-3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx=logax−b（a>0且a≠1，aA．a>0，b<−1 B．a>0，−1<b<0C．0<a<1，b<−1 D．0<a<1，−1<b<0【题型5对数型复合函数性质的应用】【方法点拨】借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.【例5】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数fx=logax+2(1)当a=2时，求fx(2)是否存在实数a，使得fx在−1,34【变式5-1】（2022·甘肃·高三阶段练习（文））已知函数fx(1)求该函数的定义域；(2)求该函数的单调区间及值域.【变式5-2】（2022·海南·高一期末）已知函数fx(1)求fx(2)设函数gx=log4m+2x+4，若不等式【变式5-3】（2022·江苏·高三开学考试）已知函数f(x)=log(1)若m=1，求函数f(x)的定义域．(2)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围．(3)若函数f(x)在区间−∞，1−3上是增函数，求实数m【题型6对数函数的实际应用】【方法点拨】从实际问题出发，建立对数（型）函数模型，借助对数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.【例6】（2021·全国·高一专题练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3Q100成正比，且当Q＝900时，V（1）求出V关于Q的函数解析式；（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数．【变式6-1】（2022·全国·高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0lnMm计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中v0（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，参考数据：ln230≈5.4，1.648<(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log3x100−lgx0(1)若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.(2)若雄鸟的飞行速度为1.3km/min，雌鸟的飞行速度为0.8km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间[0,90]上的增