清华大学静力学(九)

材料力学欢送学习张毅主编董桂花徐继忠潘立常副主编2006年6月第1章静力学根底第2章平面汇交力系第3章力矩平面力偶系第4章平面一般力系第6章材料力学根底第8章剪切第9章扭转第5章空间力系重心第7章轴向拉伸和压缩材料力学第10章截面的几何性质第11章弯曲内力第12章弯曲应力第13章弯曲变形第15章组合变形的强度计算第14章应力状态理论和强度准那么第16章压杆稳定材料力学第9章扭转9.1扭转的概念9.2外力偶矩的计算和扭转时的内力9.3薄壁圆筒的扭转9.4等直圆轴扭转时横截面上的应力9.5极惯性矩和抗扭截面系数9.6圆轴扭转时的强度条件和刚度条件9.7小结本章学习要求理解扭转的概念。较熟练地掌握扭矩的计算及扭矩图的绘制。了解薄壁圆筒扭转时横截面上的剪应力计算公式。理解剪应力互等定理。熟悉剪切胡克定律。掌握圆形及圆环形截面的极惯性矩和抗扭截面系数的计算。较熟练地掌握圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算及强度和刚度的计算。9.1扭转的概念扭转变形是杆件的四种根本变形之一。在垂直于杆件轴线的平面内，作用一对大小相等、方向相反的外力偶时，杆件的任意两个横截面都将绕轴线作相对转动，这种形式的变形称为扭转变形。图9.1圆轴的扭转和扭转角如图9.1所示，杆件任意两个横截面绕轴线的相对转角，称为扭转角，通常用φ表示。在图9.1中，截面B相对于截面A的扭转角为φBA。9.2外力偶矩的计算和扭转时的内力在对杆件进行强度和刚度计算之前，先要计算出作用于杆轴上的外力偶矩和横截面上的内力。图9.2功率的传递与分配对于工程中常用的传动轴，往往只知道它所传递的功率和转速。因此，为了对它进行强度和刚度计算，就要根据它所要传递的功率和转速，求出使轴发生扭转的外力偶矩。下面结合图9.2所示传动轴进行分析。1.力偶矩的计算设通过某一轮所传递的功率为Nk，单位为千瓦(kW)。轴的转速为n，单位每分钟转(r/min)。那么作用在此轴上的外力偶矩m可按以下方法求得：或式中N为公制马力数。在这种外力偶的作用下，圆轴横截面上的内力是一个作用在该截面内的力偶，其力偶矩T称为扭矩。内力偶矩T与外力偶矩m相互平衡，根据平衡条件，可得内力偶矩T的大小为 T=m2.扭转时的内力——扭矩扭矩的单位为N•m(牛顿•米)或kN•m(千牛顿•米)。3.扭矩图表示轴上各横截面上的扭矩变化规律的图形称为扭矩图。【例9.1】一传动轴如图9.3(a)所示，主动轮的输入功率为Nk1=500kW，假设不计轴承摩擦所损失的功率，三个从动轮输出的功率分别为Nk1=Nk2=150kW，Nk4=200kW；轴的转速为n=300r/min(转/分)。试画出轴的扭矩图。解：(1)计算外力偶矩(2)计算扭矩根据条件，各段横截面上的扭矩是不相同的，现用截面法计算各段杆轴内的扭矩。在BC段，用一个假想的截面n-n将杆截开，选取左边局部为脱离体，T1表示横截面上的扭矩，并假设为正值，如图9.3(b)所示。由平衡方程(3)画扭矩图根据计算的扭矩值及其正负号，即可画出扭矩图(图9.3(c))。从图中可见，最大的扭矩发生在CA段内，其值为9.56。结果为负值，说明扭矩的实际转向与假设相反，也说明横截面上的实际扭矩为负值。图9.3图∑Mx=0得 T1+M1=0T1=-m1=-4.17(kNgm)同理，在CA段在AD段，可选取右边局部为研究对象壁厚σ远小于其平均半径的圆筒，称为薄壁圆筒。图9.4薄壁圆筒扭转时的变形分析取一薄壁圆筒，当在其两端垂直于杆轴的平面内作用一对大小相等、转向相反的外力偶m时，圆筒发生了扭转变形。圆筒中任意横截面上的扭矩，可用截面法求得：T=m。9.3薄壁圆筒的扭转1.薄壁圆筒扭转时横截面上的剪应力为了求圆筒横截面上的剪应力，先观察薄壁圆筒扭转时的变形现象。在两个相互垂直的平面上，垂直于公共棱边的剪应力成对存在，且大小相等，方向指向(或背离)该公共棱边。这一关系称为剪应力互等定理。2.剪应力互等定理公式：＝3.剪切胡克定律剪切胡克定律G称为材料的剪切弹性模量，它反映了材料抵抗剪切变形的能力，单位为Pa或MPa。各种材料的G值可由实验测定。1.几何变形方面图9.5圆轴扭转时的变形分析图9.6楔形体的变形分析9.4等直圆轴扭转时横截面上的应力2.物理关系方面图9.7剪应力在横截面上的分布规律图9.8微剪力与扭矩之间的关系3.静力学关系方面1.受扭的杆件是等直圆轴4.公式的适用范围2.必须在弹性范围之内，即横截面上的剪应力不超过材料的剪切比例极限。微面积dA与它到某一点的距离P的平方的乘积在整个截面A上的总和，称为平面图形对该点的极惯性矩。即：对于直径为D的实心圆截面其抗扭截面系数为9.5极惯性矩和抗扭截面系数对于空心圆截面其抗扭截面系数为【例9.2】一直径d=50mm的圆轴，轴上的扭矩为T=1kNgn，材料的剪切弹性模量G=80GPa。试求：(1)距离圆心p=20mm处的剪应力和剪应变。(2)最大剪应力和单位长度的扭转角。解：(1) 计算截面的极惯性矩和抗扭截面系数由得由胡克定律得(2)最大剪应力为单位长度的扭转角为：圆轴扭转时的变形是用两个横截面绕轴线发生的相对转角即扭转角来度量的。为了使圆轴在工作中不因强度缺乏而发生破坏，应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力。因此，圆轴扭转时的强度条件为单位长度的扭转角为9.6圆轴扭转时的强度条件和刚度条件1.强度条件2.圆轴扭转时的变形在工程中，为了保证圆轴的正常工作，除了要满足强度条件外，还要限制它的扭转变形。3.刚度条件通常这种变形是通过限制圆轴的最大单位长度扭转角不超过许用的单位长度扭转角来实现的，即【例9.5】一空心圆截面轴，轴的内径d=85mm，外径D=90mm，材料的许用剪应力[τ]=60MPa，剪切弹性模量G=80GPa，轴的许用单位长度扭转角。试求轴所能传递的许用扭矩。的数值，可从有关手册中查到。4.计算举例解：(1) 强度方面因此，圆轴所能传递的许用扭矩为T=1.47kNgm圆轴的抗扭截面系数为由强度条件得(2)刚度方面圆轴的极惯性矩为由刚度条件得外力偶矩与功率、转速之间的换算关系为：9.7小结1.外力偶矩、扭矩和扭矩图本章主要研究圆轴扭转时的内力、应力和变形及其强度和刚度的计算；薄壁圆筒扭转时横截面上的剪应力、剪应力互等定理和剪切胡克定律。2.薄壁圆筒的扭转、剪应力互等定理和剪切胡克定律薄壁圆筒扭转时横截面上的剪应力沿筒壁均匀分布，其计算公式为：4.圆轴扭转时的变形和刚度条件