高三统考北师大版数学一轮学案第12章第3讲合情推理与演绎推理

第3讲合情推理与演绎推理基础知识整合1．合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的eq\x(\s\up1(01))全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出eq\x(\s\up1(02))一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的eq\x(\s\up1(03))某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由eq\x(\s\up1(04))部分到eq\x(\s\up1(05))整体、由eq\x(\s\up1(06))个别到eq\x(\s\up1(07))一般的推理由eq\x(\s\up1(08))特殊到eq\x(\s\up1(09))特殊的推理一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)2．演绎推理(1)定义：从eq\x(\s\up1(10))一般性的原理出发，推出eq\x(\s\up1(11))某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由eq\x(\s\up1(12))一般到特殊的推理．(3)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式．“三段论”的结构①大前提——已知的eq\x(\s\up1(13))一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对eq\x(\s\up1(14))特殊情况做出的判断“三段论”的表示①大前提——eq\x(\s\up1(15))M是P；②小前提——eq\x(\s\up1(16))S是M；③结论——S是P1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．1．“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝log2|x|是对数函数，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函数”，以上推理()A．结论正确 B．大前提错误C．小前提错误 D．推理形式错误答案C解析本命题的小前提是f(x)＝log2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)＝log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝logax的函数才是对数函数．故选C.2．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是()A．10日和12日 B．2日和7日C．4日和5日 D．6日和11日答案D解析这12天的日期之和，S12＝eq\f(12×12＋1,2)＝78，甲、乙、丙各自的值班日期之和是26，对于甲，剩余2天的值班日期之和是22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日值班；对于乙，剩余2天的值班日期之和是9，故乙可能在2日，7日，或者是4日，5日值班，因此丙必定值班的日期是6日和11日．故选D.3．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙答案A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，不符合题意；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案1∶8解析因为两个正三角形是相似的三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方．所以它们的体积比为1∶8.5．(2019·银川模拟)下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．答案eq\f(nn＋1,2)解析由图知第1个图形的小正方形的个数为1，第2个图形的小正方形的个数为1＋2，第3个图形的小正方形的个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形的个数为1＋2＋3＋4，…，则第n个图形的小正方形的个数为1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).6．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，若eq\r(6＋\f(a,t))＝6eq\r(\f(a,t))(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.答案41解析根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为eq\r(n＋\f(n,n2－1))＝neq\r(\f(n,n2－1))，所以当n＝6时，a＝6，t＝35，a＋t＝41.核心考向突破精准设计考向，多角度探究突破考向一归纳推理角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(1))数字的归纳例1(2019·河南八市联盟模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，将该数列按下列格式(第n行有2n－1个数)排成一个数阵，则该数阵第8行从左向右的第8个数为()A．142 B．270C．526 D．1038答案B解析由题意，得Sn＝n2＋n，当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，所以an＝2n，又由数阵，知每一行的项数依次构成数列1,2,4,8，…，构成首项为1，公比为2的等比数列，由等比数列的前n项和公式，得该数阵第8行从左到右的第8个数为数列{an}的第eq\f(1－27,1－2)＋8＝135项，所以该数为a135＝2×135＝270，故选B.角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))式子的归纳例2(2019·大连二模)观察下列等式：1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)，…据此规律，第n个等式为________．答案1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)解析观察题中等式，可得规律为等式左边共有2n项且等式左边的分母分别为1,2，…，2n，分子均为1，奇数项为正，偶数项为负，即为1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)；等式右边共有n项且分母分别为n＋1，n＋2，…，2n，分子为1，即为eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).所以第n个等式为1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(3))图形的归纳例3(2019·重庆模拟)如图所示，将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，…，则在第二十个拐弯处的正整数是________．答案211解析观察图可知，第一个拐弯处2＝1＋1，第二个拐弯处4＝1＋1＋2，第三个拐弯处7＝1＋1＋2＋3，第四个拐弯处11＝1＋1＋2＋3＋4，第五个拐弯处16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个正整数，所以第二十个拐弯处的正整数就是1＋1＋2＋3＋…＋20＝211.归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号即可．(2)与式子有关的归纳推理①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后即可．②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．[即时训练]1.(2019·咸阳模拟)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图是杨辉三角数阵，记an为图中第n行各个数之和，则a5＋a11的值为()A．528 B．1020C．1038 D．1040答案D解析第一行数字之和为a1＝1＝21－1，第二行数字之和为a2＝2＝22－1，第三行数字之和为a3＝4＝23－1，第四行数字之和为a4＝8＝24－1，…第n行数字之和为an＝2n－1，∴a5＋a11＝24＋210＝1040.故选D.2．(2019·日照模拟)有下列各式：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)>2，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为________．答案1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n＋1－1)>eq\f(n＋1,2)(n∈N*)解析观察各式，左边为eq\f(1,n)的和的形式，项数分别为3,7,15，…，故可猜想第n个式子左边应有2n＋1－1项，不等式右边分别写成eq\f(2,2)，eq\f(3,2)，eq\f(4,2)，故猜想第n个式子右边应为eq\f(n＋1,2)，故按此规律可猜想此类不等式的一般形式为1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n＋1－1)>eq\f(n＋1,2)(n∈N*)．3．如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1,0)处标b1，点(1，－1)处标b2，点(0，－1)处标b3，点(－1，－1)处标b4，点(－1,0)处标b5，点(－1，1)处标b6，点(0,1)处标b7，…，以此类推，则b963处的格点的坐标为________．答案(16,13)解析观察已知点(1,0)处标b1，即b1×1，点(2,1)处标b9，即b3×3，点(3,2)处标b25，即b5×5，…，由此推断点(n，n－1)处标b(2n－1)×(2n－1)，因为961＝31×31，n＝16，故b961处的格点的坐标为(16,15)，从而b963处的格点的坐标为(16,13)．考向二类比推理例4(1)(2020·河北正定摸底)已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C对应的三边，若满足a2＋b2＝c2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＝1，则△ABC为直角三角形，类比此结论可知，若满足an＋bn＝cn(n∈N，n≥3)，则△ABC的形状为()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．以上都有可能答案A解析由题意，知角C最大，an＋bn＝cn(n∈N，n≥3)即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))n＝1(n∈N，n≥3)，又c>a，c>b，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))n＝1，即a2＋b2>c2，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)>0，所以0<C<eq\f(π,2)，故△ABC为锐角三角形．(2)(2019·江西南昌开学摸底)自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机．二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如(521)10＝1×29＋0×28＋0×27＋0×26＋0×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝(1000001001)2.我国数学史上，对数制研究不乏其人，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：7×7＝61,7×6＝52,7×5＝43，…，请类比二进制与十进制转化的运算，数(1010011100)2对应八进制数为()A．(446)8 B．(1134)8C．(1234)8 D．(4321)8答案C解析数(1010011100)2＝1×29＋0×28＋1×27＋0×26＋0×25＋1×24＋1×23＋1×22＋0×21＋0×20＝668，A项中，(446)8＝4×82＋4×81＋6×80＝294，B项中，(1134)8＝1×83＋1×82＋3×81＋4×80＝604，C项中，(1234)8＝1×83＋2×82＋3×81＋4×80＝668，D项中，(4321)8＝4×83＋3×82＋2×81＋1×80＝2257，故选C.类比推理的分类类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法．(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解．(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键．(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．[即时训练]4.若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，公差为eq\f(d,2).类似，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{eq\r(n,Tn)}的公比为()A．eq\f(q,2) B．q2C．eq\r(q) D．eq\r(n,q)答案C解析由题设，有Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝beq\o\al(n,1)q1＋2＋…＋(n－1)＝beq\o\al(n,1)qeq\f(n－1n,2).∴eq\r(n,Tn)＝b1qeq\f(n－1,2)，∴等比数列{eq\r(n,Tn)}的公比为eq\r(q).故选C.5．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面的面积，S4表示截面的面积，那么类比得到的结论是________．答案Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)＝Seq\o\al(2,4)解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)＝Seq\o\al(2,4).考向三演绎推理例5(2019·山东烟台调研)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n∈N*)．证明：(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.证明(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.∴eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)，(小前提)故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知eq\f(Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f(Sn－1,n－1)(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·eq\f(Sn－1,n－1)＝4·eq\f(n－1＋2,n－1)·Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．[即时训练]6.(2019·保定模拟)有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．结论正确答案A解析对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，大前提错误，故选A.7．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；(2)该小组人数的最小值为________．答案(1)6(2)12解析(1)若教师人数为4，则男学生人数小于8，最大值为7，女学生人数最大时应比男学生人数少1人，所以女学生人数的最大值为7－1＝6.(2)设男学生人数为x(x∈N＋)，要求该小组人数的最小值，则女学生人数为x－1，教师人数为x－2.又2(x－2)>x，解得x>4，即x＝5，该小组人数的最小值为5＋4＋3＝12.1．将圆周20等分，按照逆时针方向依次编号为1,2，…，20，若从某一点开始，沿圆周逆时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，称这种走法为一次“移位”，如：小明在编号为1的点，他应走1段弧长，即从1→2为第一次“移位”，这时他到达编号为2的点，然后从2→3→4为第二次“移位”，若某人从编号为3的点开始，沿逆时针方向，按上述“移位”方法行走，“移位”a次刚好到达编号为16的点，又满足|a－2020|的值最小，则a的值为()A．2019 B．2020C．2021 D．2022答案C解析若某人从编号为3的点开始，第一次“移位”到达6；第二次“移位”到达12；第三次“移位”到达4；第四次“移位”到达8；第五次“移位”到达16；第六次“移位”到达12；第七次“移位”到达4；第八次“移位”到达8；第九次“移位”到达16；第十次“移位”到达12；…从第二次开始，每4次“移位”为一组“移位”循环，“移位”a次刚好到达编号为16的点，则a－1应该能被4整除，又满足|a－2020|的值最小，则a＝2021.故选C.2．(2019·漳州模拟)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1,2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0，,x2⊕x3⊕x6⊕x7＝0，,x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0，))其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．答案5解析因为x4⊕x5⊕x6⊕x7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的第5位码元是错误的，所以k＝5.答题启示与推理有关的新定义问题是高考命制创新型试题的一个热点，解决此类问题时，一定要读懂新定义的本质含义及符号语言，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当地转化，注意推理过程的严密性．对点训练1．(2019·重庆模拟)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的eq\f(1,2)，第2关收税金为剩余金的eq\f(1,3)，第3关收税金为剩余金的eq\f(1,4)，第4关收税金为剩余金的eq\f(1,5)，第5关收税金为剩余金的eq\f(1,6)，5关所收税金之和，恰好重1斤，问此人总共持金多少．则在此问题中，第5关收税金()A．eq\f(1,20)斤 B．eq\f(1,25)斤C．eq\f(1,30)斤 D．eq\f(1,36)斤答案B解析假设原来持金为x，则第1关收税金eq\f(1,2)x；第