2021届山东省临沂市高考数学模拟试卷（3月份）（一模）附答案详解

2021届山东省临沂市高考数学模拟试卷（3月份）（一模）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.若MUU,NaU,且MUN,则（）

A.MC\N=NB.MUN=MC.QNUCyMD.CyMaQN

2.若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复

数z,那么复数捻对应的点位于复平面内的―

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.无穷等差数列｛an｝的首项为劭，公差为d,前n项和为S“（〃€N,）,则“劭+d>0”是“｛SJ为

递增数列”的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

4,某校0名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，由图中数据估计此次数学

成绩平均分为（）

a

A.0B.0C.0D.0

5.设正方形ABCD的边长为1,则|荏一而+前|等于（）

A.0B.V2C.2D.2V2

6.从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四

项不同工作，若其中小张不能从事前两项工作，其余四人均能从事这四项工作，则不同的选派

方案共有（）

A.36种B.12种C.48种D.72种

2\x<0

7.12、设函数f（x）=，_2ox+a+l（其中—2Wa<-1），若存在区间［阳川，使函数

----------,x>0

.x

y（x）的定义域和值域均为［搐,％］,则I冽-划的最大值是（）

A.丛B.3C.12D.2s

8.已知椭圆C与双曲线X2一片=1的焦点相同，且椭圆C上任意一点到两焦点的距离之和为10,则

4

椭圆C的离心率等于

3345

A.—B.—C.—D.—

5454

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.下列命题正确的是（）

A.如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行

B.存在与两条异面直线同时平行的平面

C.若4ea,AE6,Bea,Be0,则an0=4B

D.若A,B,Cea,A,B,C6°,则a,£重合

10.设｛a.｝是无穷数列，An=an+an+1,（n=1,2,...）,则下面给出的四个判断中,正确的有（）

A.若｛an｝是等差数列，则｛4工是等差数列

B.若｛4J是等差数列，则｛an｝是等差数列

C.若｛an｝是等比数列，则｛4J是等比数列

D.若｛4J是等差数列，贝1」｛。2工都是等差数列

11.将函数/（乃=3s讥（2x+弓）的向左平移5个单位长度得到g（x）的图象，则下列判断正确的是（）

A.函数g（x）在区间上单调递增

B.函数g（x）在区间［-也引上单调递减

C.函数g（x）图象关于直线％=工对称

D.函数g（x）图象关于点©,0）对称

12.如图，已知正方体ABCD-AiBiGDi的棱长为a,E是棱CD上的动点厕下列结论中正确的有（）

A.EB11ADr

B.二面角E-4B1-4的大小为?

C.三棱锥4-8道北体积的最小值为

D.DiE〃平面4道避力

三、单空题(本大题共3小题，共15.0分)

13.已知函数，(2%-1)=4x+3(xeR),若/(a)=15,则实数a的值为.

14.已知函数/(x)=/+(a-1)/+ax,若曲线f(x)在x=1处的切线恰好平分圆C：x2+y2—

4y=0的周长，则实数a的值为.

15.已知线性回归方程y=1+bx,若元=2,歹=9，则。=•

四、多空题(本大题共1小题，共5.0分)

16.方程工+区=1(魏题＜£｛1,2,3,4，…,2013｝)的曲线中，所有圆面积的和等于，离心率最小

阈凝

的椭圆方程为.

五、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知函数/(x)=^3sinxcosx-cos2%——,x€R.

(1)求函数〃尤)的最小值和最小正周期.

(2)已知△ABC内角4B,C的对边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=0,若向量m=(l,sin4)与

n=(2,sinB)共线，求a,b的值.

18.公差不为0的等差数列｛aj中，已知的=4且房=的的0,其前n项和为Sn,

(1)求数列｛%｝的通项公式

(2)求治的最大值及取得最值时的n值.

19.在一个盒子里装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品，1枝三等品.

(1)从盒子里任取3枝恰有1枝三等品的概率多大？；

(2)从盒子里任取3枝，设0为取出的3枝里一等品的枝数，求0的分布列及数学期望.

20.如图，在四棱锥A-8CDE中，平面ADE1平面BCDE,在A/4DE中,

AD=AE=V5-。为DE的中点，四边形8CDE是等腰梯形，BC=

2DE=4,CD=BE=V5.

(I)求异面直线AD与BC所成角的正弦值；

(II)求证：平面20B1•平面40C；

(HI)求直线4C与平面40B所成角的正切值.

21.已知抛物线C：x2=2py(p>0),过其焦点F作斜率为1的直线交抛物线C于两点，且线段的中

点的横坐标为2.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过抛物线C上非顶点的任一点M作抛物线的切线?与直线y=-1交于点N,问：在y轴上是否存在

定点P，使得丽・(而-而)=0?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

22.已知函数/(x)=ax-Znx,g(x~)=ln(x2-2x+a),

⑴若a=0,求尸(x)=/(x)+g(x)的零点；

(2)设命题P：/(x)在［£］单调递减，q：g(x)的定义域为R,若pAq为真命题，求a的范围.

参考答案及解析

1.答案：c

解析：解：根据已知条件，M,N,U三个集合的关系可用Uenn图表示如下:

由图可看出：Mn/V=M,M\JN=N,QNUQM，二C是正确的.

故选C.

用Uenn图表示M,N,U这三个集合的关系，即可对这三个集合进行交、并、补的运算，从而找出正

确选项.

考查交集、并集、补集的概念及运算，用Venn图表示集合从而找集合关系的方法.

2.答案：D

解析：解：由图知，z=2+i,

z2+i(2+i)(l-i)3-i31.

.**----=-----=------------=-----=--------1,

1+i1+i(l+i)(l-i)222

则对应的点的坐标为(|,-》，位于复平面内的第四象限.

故选：D.

由图求得z,代入捻后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题.

3.答案：B

解析:

本题考查了数列的函数特征和充分条件和必要条件的判断，属于基础题.

根据充分条件和必要条件的定义判断即可.

解：等差数列｛an｝的首项为由,公差为d,

前n项和为5n=nax+

则%+i=(n+1)的+

2

则Sn+1—S九

n(n+l)d

=(n+l)at+-----------九Q1-

=Qi+nd,

若{S"为递增数列，ai+nd>o,

••S2-S、=%+d>0,

:.%+nd>0能推出由4-d>0

但+d>0不能推出%+nd>0,

故"的+d>0"是“{S"为递增数列”必要不充分条件.

故选：B.

4.答案:C

解析：试题分析：由频率分布直方图知□,故此次数学成绩的平均分为叵］，故选C.

考点：1.频率分布直方图；2.平均数

5.答案：C

解析：解：正方形4BC0的边长为1,贝力荏一元+就产=।而+而产

=I网2+|宿2+2赤刀=12+12+12+12=4，

.-.\AB-BC+AC\=2^

故选：C.

利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出

熟练掌握向量的运算法则和模的计算公式是解题的关键.

6.答案：D

解析：解：根据题意，分2步进行分析：

①，在小张之外的4人中任选2人，安排翻译、导游工作，有&=12种安排方法，

②，在剩下的3人中任选2人，安排礼仪、司机工作，有掰=6种安排方法，

则有12X6=72种不同的选派方案；

故选：D.

根据题意，分2步进行分析：①，在小张之外的4人中任选2人，安排翻译、导游工作，②，在剩下

的3人中任选2人，安排礼仪、司机工作，由分步计数原理计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

7.答案：D

解析:

问题转化为方程/(乃=》有两个相异的正实数根m,n,再由一元二次方程根与系数关系和配方法求

n-?n的最大值.

解：•:当xWO时，/(x)=2X>0,

不存在区间［m,n］U(-co,0］使得函数/'(x)的定义域和值域均为

a+1

当%>0时，f(x)=-2a+---,

X

,:-2工CLV—1,

Aa+1<0,

・•・/(%)在(0,+8)上是增函数.

若存在区间使函数f(x)的定义域和值域均为［加词，

则心所*

,/(«)=«

即方程/(%)=%有两个相异的正实数根m，n,

I1

-2a+---二x有两个正根.即％2+2ar-(a+1)=0有两个互已的正根m,n.

x

・•・m+n=—2a,mn=—a—1.

工洗+理)2—4加加二2302+«+］=2(a+#+宗

,**—2WaV—1,

•・・当a=—2时，|m-n|取得最大值2(-2+-)2+-=2J3.

故选D

8.答案：C

解析：本题考查椭圆的性质及双曲线的性质，培养了学生分析问题与解决问题的能力.

解：由题意可设椭圆C的方程为二十二二1（。＞匕＞0）,

£h'

又由定义可得2a=10,即a=5,而0=J1+4=、热，

后

it—---------

5

故选无正确答案，或者题目错误。

9.答案：BC

解析：解：对于4如果一条直线不在平面内，

则这条直线就与这个平面平行或直线与平面相交，故A错误；

对于8：根据线面平行的判定，存在两条异面直线同时平行于同一个平面，故B正确；

对于C：根据公理3：如果两个平面有一个公共点，

那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线，故C正确；

对于。：若4,B,C三点共线，则a与/?平面不一定重合，故。错误；

故选：BC.

对于4：直接利用反例说明问题，即可判断4是否正确；对于B：根据线面平行判定，即可判断B是否

正确；对于C：根据公理3,即可判断C是否正确；对于D：利用4,B,。三点共线，即可判断。是否

正确.

本题考查的知识要点：线面平行的判定和性质的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题.

10.答案：AD

解析：解：4若｛斯｝是等差数列，设公差为d,则当nN2时，An-=an+an+1--an=

an+i-an-1=2d,为常数，则｛4n｝是等差数列,故A正确，

8..若｛An｝是等差数列，设公差为d,则当nN2时，An-An_T=an+an+1-an_r-an=an+1-

Q九一1=2d,

即｛an｝的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，则整体｛an｝不一定是等差数列，故8错误,

C.若｛即｝是等比数列，设公比为q,则当q=—l时，An=an+an+1=O,则｛4J不是等比数列，故

C错误，

。若｛4"｝是等差数列，设公差为d,则当7122时，。2?1-—。2»1-2=2d,则｛&2„｝都是

等差数列，故。正确，

故选：AD.

利用等差数列的通项公式以及等差数列的定义分别进行验证即可.

本题主要考查等差数列等比数列的通项公式以及定义，利用定义进行验证是解决本题的关键，是基

础题.

11.答案：ACD

解析：解：函数/0)=35讥(2%+9的向左平移三个单位长度得到9(乃=35讥(2%+兀+9=

一3s出(2%+$的图象，

对于4由于XC哈勺,则2x+.e[沾]，所以函数g(x)在区间己方上单调递增，故A正确；

对于B：由于％€[-也丁则2x+ge[0,可，所以函数g(x)在区间[一,常上先减后增，故B错误;

对于C：当时，9(工)=3,故C正确；

对于D：当x=W时，9($=°，故0正确；

故选：ACD.

直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用判断4、8、C、。的结论.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运

算能力和数学思维能力，属于基础题.

12.答案：ABD

解析：解：在正方体4BCD-中，C。J_平面则CO1

"%/

又141。，A^ODC=D,.-.AD11平面DA1B1C,得Z。11BE,；[\\

即EB1—正确；X/叉9*

二面角£一41多一4的大小即二面角。一41当一4的大小，可得二面_________]1/

AB

角E——4的大小为全故8正确；

设n&D=。，则三棱锥4一名。道的体积V=[SAOEBJAD19

•••。/为定值，.•.当E到OB1距离最小时，三棱锥A—/D1E的体积最小，此时E与。重合，

23

S»B、OD—|xix&axa=则三棱锥A—B】DiE的体积的最小值V=1x^axy/2a=^a>

故C错误；

由平面。口。1。〃平面A&BiB,可得0速〃平面占&84故。正确.

故选：ABD.

由直线与平面垂直的性质判断4求出二面角的平面角判断B；求出三棱锥4-BiQE体积的最小值

判断C；由面面平行的性质判断D.

本题考查正方体的结构特征，考查空间中点、线、面间的距离及空间中角的求法，考查运算求解能

力，是中档题.

13.答案：5

解析：解：根据题意，函数/(2x-1)=4%+3,EP/(2x-l)=2(2%-1)+5,

则/(x)=2x+5,

若f(a)=15,则/(a)=2a+5=15,解可得a=5；

故答案为：5.

根据题意，由函数的解析式可得f(2x-1)=2(2x-1)+5,即可得f(无)=2%+5,可得函数的解析

式，据此分析可得答案.

本题考查函数值的计算，注意函数解析式的定义，属于基础题.

14.答案：一3

解析：

先利用导数求出f(x)在x=1处的切线方程，然后根据切线平分圆的周长，即切线过圆心，将圆心代

入切线方程，即可解得a.

本题考查了导数的几何意义及切线方程的求法，同时还考查了圆的弦的性质.属于基础题，注意计

算须准确.

解：圆C：即为％2+(y-2)2=4,故圆心为(0,2).

又((x)=3x2+2(a—l)x+a,•,-/(1)=2a,/'(I)=3a+1.

故切线方程：y-2a=(3a+l)(x-1).

将(0,2)代入得：a=-3.

故答案为：—3.

15.答案：4

解析：解：将元=2,9=9代入线性回归方程可得9=1+2b,.•«=4

故答案为：4

将元=2,y=9代入线性回归方程，即可求解.

本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题.

16.答案：物嫁施^0根

・%，+_J=1和，_+1

加裁独整wn醐僻

解析：试题分析：由公式解竹密斗蜉由……哥燎=*(池旬，(2n+D,所有圆面积的和等于危(

匾

f#劈上臂也一署哪愣)=醐凝懈加；

椭圆的离心率最小，即a,匕最为接近，所以离心率最小的椭圆方程为工+上=1和工_+

醐晦黛陋SKIS

lo

考点：本题主要考查数列的求和公式，椭圆的几何性质，圆面积计算公式。

点评：中档题，对于数列的求和公式胆甘密斗警)也……曷,W(2n+l),记忆清楚则题目

不难，否则，推导公式要从头做起。

17.答案：

【小题2】

【小题1】

(a=V3.

/(X)的最小值为-2,最小正周期为7T

lb——2-\/3.

解析：解、题!■】/<(%)=V3sinxcosx—cos2%—=—sin2x—cos2x—1-1.

222

所以/(%)的最小值为-2,最小正周期为m

【小题2】因为/(C)=sin(2C一一1=0,

即sin(2C-=1'

又因为0<C<兀，-ZL<2C-ZL<—,所以2c—三=工,

66662

故c=2L

3

因为?n与?i共线，所以sinB—2sinA=0,

由正弦定理一―=/一，得。=2a.①

sinAsinB

因为c=3,由余弦定理，

得9=小+/—2abcos—,

3

即小+b2-ah=9,②

联立①②，解得a=V3.

b=2A/3.

18.答案：解：(1)设等差数列公差为d,dHO,

由的=4月.忌=得(4+6d/=4(4+9d),解得d=一1，

・・・则。„=4-i(n-1)=-1n+y

(2)令斯=—：?!+蓝工0,可解得九313,

.,.等差数列｛an｝的前12项为正数，第13项为0,从第14项开始为负值，

・••数列的前12项或13项和最大，

13(4+0)

S12=S13=2=26

解析：(1)由通项公式和已知可得d的方程，解方程易得通项公式；

(2)解不等式an=-"+号W0,易得5｝的前12项为正数，第13项为0,从第14项开始为负值，可

得答案.

本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题.

19.答案：⑴回；(2)分布列见解析，□.

解析：试题分析：⑴先求出从6枝圆珠笔中任取3支的事件的总数4再求出恰有1枝是三等品的事件

的总数8,用B除以4即是所求的概率；（2）先判断区1的所有可能的取值，再求出0取每个值时

对应的概率，根据分布列的列法将所求的概率与对应的□的值分别填入表格，列出分布列，根据

分布列中的0的值及其对应的概率以及公式0求数学期望.

试题解析：（1）区I.2分

S4分

（2）回5分

□.□S>S□'

0S..9分

所以S的分布列是：

□10分

回.12分

考点：1.随机事件的概率；2.离散型随机变量及其应用；3.离散型随机变量的分布列与数学期望

20.答案：解：（I）如图所示，四边形BCDE是等腰梯形，所以DE〃BC；

所以乙4CE就是异面直线4。与BC所成的角，......（2分）

在△4DE中，AD=AE,

又。为DE的中点，所以4。IDE；

在△40。中，AD=V5M0=2，

所以异面直线4。与BC所成角的正弦值为等；…（5分）

（H）由（I）知，A0A.DE,........（6分）

因为平面力DE1平面BCED,平面ADED平面BCED=DE,且4。u平面从困

所以4。_L平面BCED...............（7分）

所以。。14。；................（8分）

在AOBC中，BC=4,易得0B=0C=2或,所以C01B。，

又因为40nB0=0,所以COJL平面40B；...........（9分）

又C。u平面40C,

所以平面力OBJ■平面40C；....................................（10分）

（皿）由（n）知CO1平面AOB,

所以直线4c与平面4。8所成角就是4a4。；........（11分）

在RtA/lOC中，OC=2y[2,AO=2.所以tan4c4。=或，

所以直线4c与平面AOB所成角的正切值为&...................（13分）

解析：（I）找出N4DE是异面直线4。与BC所成的角，在三角形中求