2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）：立体几何综合（解析版）

专题08立体几何综合

【母题来源】2022年新高考I卷

【母题题文】已知正方体hftl—h/i力L，则（）

A.直线％与砧,所成的角为90°

B.直线将与ih/所成的角为90°

C.直线方与平面所成的角为45°

D.直线芯与平面hill所成的角为45°

【答案】hn

【分析】

本题主要考查直线与直线所成角及直线与平面所成角，属「中档题.

【解答】

解：如图，因为li；11/T,I/Wih；,所以IT,J.Ih；,故A正确;

对于选项B:因为直线11；1平面Tih/I,,且由U平面市1/L,所以直线11/_L访/,故8正确;

对于选项c：连接h/i,与LL交于点Lz则ZL,11,即为直线11/与平面njj所成的角,

sinNJ的=者=:,所以4而=30。，故C错误;

11/2

对于选项D:直线11/与平面hliT所成的角即为Zi/IT=45°,所以D正确.

【母题来源】2022年新高考I卷

【母题题文】如图，直三棱柱hii-h/用的体积为4,△为n的面积为2立

⑺求h到平面h/ii的距离；

2）设i为h/i的中点，hh/=hi,平面h/iiJ•平面hll/h/,求二面角h-IT-i的正弦值.

【答案】解：（〃设h到平面％音的距离为t,

因为直三棱柱hii—h/i./的体积为4,即可得13m讣由%=4,

故M-hli=（5hi油%=：，

6=Dt

又%-hIi=h-h/Ii}Ah/If=jx2^2xt=J,

解得t=<2,所以h到平面瓦齐的距离为防；

⑵连接hi/,因为直三棱柱hii-h/i力中，hhz=hl,

故hh/i/i为正方形，即hl/1h/i,

又平面h/ii_L平面hii/h/,平面h/iiC平面hTI/%=h/i,hi/U平面h%h/,

故hi,J■平面h/i,所以hi/1ii,

又因为hh/_LR,hi/,h%U平面hll/h/,且hi/Chi/=h,

故行1平面h%%,则iiihi,

所以％,hi,ii三条直线两两垂直，

故如图可以以i为原点建立空间直角坐标系，

设hh,=hl=S,IT=s,则h/1=V2S,

-SxsxS=4解得「

由条件可得%叵—五

s

^1(0,0,0),i(2,0,0),h(0,2,0),hi(0,2,2),的中点％,/,〃,

所以*=(0,2,0)，n=(1,1,1)<11=(2,0,0)

设平面hi!的一个法向量为6/=（\w,说）,

TT

jW；•Ih=0;2W=0

»取6,=(1,0,-1)>

w；-IT=0•+W+w=01

同理可求得平面III的一个法向量为和=自/,_〃

所以|cos<W/»%>|=也婆

|w/|-|w2|

所以二面角h-II-i的正弦值为?

【母题来源】2022年新高考n卷

【母题题文】如图，四边形h苗为正方形，IIJ_平面hiiLii^I,hl=Tl=2ii,

记三棱锥1一疝，T-hii,i-hii的体积分别为"o2,①，贝卯）

A.dj=26j

AR

B.63=26；

C.63=6；+6,

D.2o}=36]

【答案】11

【解析】

【分

本题主要考壹三棱铢的体积，属于基础题.

【解答】

解：设hi=Ti=2ii=2,则6/=gx2x2=g,62=(x2x/=：.连结音交hi于

k,连结出、ik，则k=仃，Tk=Vd,fi=3,故上时=j8•此=#-

3=xhi=2,63=0/+o2,2dJ=36/.

【母题来源】2022年新高考II卷

【母题题文】如图，上是三棱锥|—hii的高，m=H，hi1hi,T是口的中点.

，〃证明：q〃平面阿,

⑵若ZhiL=Zliv=30。，IL=3,]h=5,求二面角i一比一[正弦值.

【答案】解：〃)法一：连接5、U，

因为IL是三棱锥I一hii的高，所以IL〉平面hR，所以上，5，!L_LU，

所以N|Lh=N[U=90°，X[h=|1,|L=|L,所以△ILhw/uU，所以Lh=U，

作hi中点i,连接“、Ti1则有U，hi,又hi_Lhi,所以口加立

又因为UC平面面，hiU平面时，所以U/7平面同，

又I、T分别为窗，口的中点,所以，在△ilh中,必h

又因为DE笈平面加，|hu平面加,所以拉么平面M

又U、TTU平面UT,nIT=I,所以平面Uw平面面，

又Uu平面UT，所以J〃平面而；

法二：（〃连接5、U，

因为IL是三棱锥1-hii的高，所以IL平面hh,所以!L1Lh,IL1LI,

所以N|：h=/|U=90°，又|卜=口，|L=]L，所以△]5>三△]；1,

所以5=U，又hi1埴，在n定△hitL为ii中点，

延长iL，交hi于i,连接!i,

所以在△山中,JT分别为n、「的中点，所以皿小，

因为TLC平面|hi,|iu平面同，所以TL〃平面时；

⑵法一:过点i作Ti//u，以H为•轴，兀为W轴，n为®轴.

建立如图所示的空间直角坐标系.

因为|L=3,|h=5,由〃)Lh=U=4，

又NhiL=NTlL=30°,所以u=2,U=2y13,

所以丫0,2,3),l(2<3,0.0),h(-2<3,0,0),“万/,，

设hi=S,则彳-2乃S,0,

平面比］的法向量设为京=(.,<忆,wj.直线hi的方向向量可设为3=poo),

直线口U平面hit直线T|的方向向量炭=（0,2,3）

所以武…

所以1=0,设W/=3,则W/=—2,所以的,=（0,3,—2力

平面hi1的法向量设为®2=G，hi=(0,g,0)，hT=(3<j,

hl,w->=0SW?=0

1?所以3、c，所以W,=0,设-2=炉，贝心Q=-6,

hi.w,=03y13-2+W2+-w2=0-

所潴=NJ,0,-6);

w；«W2_

所以COS<W/­12_12_473

而力商i-g刷-77S一IT

二面角i-hl-i的平面角为s则sin*=山-cos2「=*

所以二面角i一hi-1的正弦值为先

法二：G过点h作hi/ZU，以hl为轴，hi为W轴,hi为的轴

建立所示的空间直角坐标系.

因为IL=3,m=5,由〃儿h=U=4，

又Nh%=NllL=30°,所以，hi=4<3,所以］(2丑2,3),\(4<3,0,0),

h(0,0.0),T(3丘/，)，设挤=8,则彳0,8,少，

平面面的法向量设为。=",wy,w”，hl=(4^3,(),())>hi=(3炉,1,力

hl,Wi—04^3'i0

C?所以｛，:、“3、〃，所以-/=0设M=—2,则W/=3

比.牝=03V5-/+W/+-W；

所以正/=(0,3,—2);

平面hi1的法向量设为京2=(•,w,w；«hi=(0,S,0)，hi=(3。,1,

,・％=。所以12="

福.「一o'3港F+1+汾2=。

所以W2=0,设)=炉,则跖=一6,所以=(g,0,—6);

所以COSVW/，W2>_嬴焉国—石忑一万

二面角1一hT—1的平面角为占，则sin。=V；-cos2^=夕

所以二面角i一hi—1的正弦值为今

【命题意图】

考察棱柱、棱锥棱台、圆柱、圆锥、圆台及其简单组合体的结构特征，能画出简单空间图形并能识别立体

图形的模型，考察几何体中的点线面关系，考察线线、线面、面面之间的平行和垂直关系，考察异面

直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角的平面角等的求解，考察数形结合思想，空间想象力及

逻辑推导能力.

【命题方向】

立体几何综合考察，考察用立体几何的知识证明线线、线面、面面的平行与垂直.考察体积和表面积的求

解运算能力，考察空间向量的坐标运算。能熟练运用空间向量的坐标运算和向量运算，把空间立体几何问

题转化为空间向量问题.能运用平行和垂直的判定定理和性质定理，进行证明和求解计算.

【得分要点】

一、向量角度:

=(x,y,z)cos^a,^=一XiXz+y^+zv

a=(X],ypz”222

JxJ+yJ+zrJ^+w+z：

二、角度公式:

(1)、异面直线夹角(平移角，也是锐角和直角方(0曰)

cos"Icos(；,b)\=:1x-+y/+z,z|

(2)、直线与平面所成的角(射影角，也是夹角，八[0个)m,〃是平面法向量

sin8=|cos6矶=Jx'+yj+zR

"xj+yj+zj

(3)、二面角(法向量的方向角，夕e[0."])裾平面法向量

|cose|=|cos(而|=,电+”+^I

判断正负方法(经验型结论):

(D观察法;

(2)同进同出互补，一进一出相等;

三、向量计算点到距离公式(棱锥等的高)

d=\PA\sin0=\PA\»\cos<PA,n)|=恒出+%8+平2!

一■、多选题

1.（2022•福建•莆田八中高三开学考试）如图，四棱锥中，底面"8是正方形，“1平面/8（725/=/8,

。P分别是4cse的中点，又是棱必上的动点，则下列选项正确的是（）

A.OM1PA

B.存在点M使。M//平面S8C

C.存在点“，使直线OM与所成的角为30。

D.点用到平面与平面S45的距离和为定值

【答案】ABD

【分析】

以A为坐标原点，/民/。,45所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法判断ACD,根

据线面平行的判定定理判断B

【详解】

以A为坐标原点，48,/。,45所在直线分别为乂乃2轴，建立空间直角坐标系（如图），

设S/=/8=2,

则4（0,0,0）,C（2,2,0）,8（2,0,0）,£）（0,2,0）,5（0,0,2）,0（1,1,0）,P（l,1,1）,

由“是棱加上的动点,设M（（M,2-/1）,（O“S2）,

:.APC）M=-1+A-1+2-A=0.

AP10M,故A正确；

当/为SZ）的中点时，OM是的中位线,

所以OM“SB,

又OA/U平面S8C,S8u平面SBC,

所以QW//平面SBC,故B正确；

在=（2,0,0）,丽=（T"-l,2-/I）,

若存在点M,使直线OM与AB所成的角为30。,

|ZB-OA7|],V3

则cos30°=

|丽•|OM\JI+HT+(2_"'2

化简得3万-9义+7=0,方程无解，故C错误;

点M到平面/8CC的距离4=2—九

丽.画

点M与平面S/18的距离出

所以点M到平面"CD与平面S48的距离和为4+出=2-2+%=2,是定值，故D正确;

故选：ABD

2.（2022•山东临沂•模拟预测）如图，在五棱锥P-48CDE中，尸/i平面力8CDE,

AB//CD,ACIIED,AE!IBC,ZABC=4S,AB=2®,BC=2AE=4,△P/8是等腰三角形.则()

A,平面PCD1平面R4c

B.直线P8与平面PC£＞所成的角为的大小为60。

C.四棱锥P-/COE的体积为变

3

D.四边形ZC0E的面积为3

【答案】AD

【分析】

在“8C中，利用勾股定理证得力81AC,又由PA1ABCDE，证得P41AB,进而证得N81平面PZC,

得到CD1平面刃C,可判定A正确；过点A作加/1PC于点//,证得平面PCD,结合/8〃平面

PCD,得到3到平面PCD的距离/i=2,结合线面角的定义法，可判定B不正确；由CD1平面P4C,得

到CDLAC,得出四边形ACDE为直角梯形，结合梯形的面积公式和锥体的体积公式，可判定C不正确，

D正确.

【详解】

因为NABC=45\AB=2&,BC=4,

由余弦定理可得数=Q回2+4?_2.20x4cos45°=8,所以4C=2旬,

AB2+AC2=BC2,所以181NC,

又由P/1平面48cQE,AB\平面48CDE,所以尸/1X8,

因为所以N81平面P/C,

又因为ABUCD,所以CD,平面HC,

因为CDu平面PCD,所以平面PCD1平面PZC,所以A正确;

过点A作/41PC于点H,

因为平面尸CD1平面P/C,且平面PCDC平面P/C=PC,所以/“1平面PCD,

又因为/8//CD,48cz平面PCO,所以/8//平面PCD,

所以点A到平面PC。的距离等于点B到平面PCD的距离，

在宜用中，可得///=2,即8到平面PCO的距离〃=2,

h21

设直线PB与平面PCD所成的角为氏可得sin6=£=J=；,

PB42

乂由（r<8s9（r所以8=30°,所以B不正确；

由CD1平面HC,可得C01ZC,

因为ZC//OE,所以四边形ZC0E为直角梯形，其面积为S=g（&+2&）x0=3,

所以四棱锥尸-4CDE的体积为夕=；x3x2忘=2近，所以C不正确，D正确.

3.（2022•湖北嚷阳五中模拟预测）正方体“8CQ-48C4的棱长为1,瓦尸,G分别为叫的中点,

动点，在线段4a上，则下列结论中正确的是（）

A,直线4F与直线EQ异面B.平面/所截正方体所得的截面面积为J

o

C.存在点//,使得平面4即//平面8BGD.三棱锥力-EC”的体积为定值

【答案】BD

【分析】

依题意作直观图，分析图中的几何关系即可.

【详解】

依题意作上图，连接,则有，即EF与42共面，构成平面4EF2；

对于A,连接A尸,A,E,F,D,都在平面内，..直线"与。£共面，

故A错误；

对于B,平面4E/截正方体的截面就是4£尸9,以。为原点建立空间坐标系如上图，

则N（I,O,O）,E（；,I,O）,F（O,I,；）A（O,O,I）,酢=（一11，3席=（；，1，-1）.

AF-DtE=O,即，由空间两点距离公式得==W,

19

四边形NEF.的面积=gxzl尸=3,故B正确；

28

对于C,若H=4且HxCi,则4/n平面4844=4，且〃U平面工8修4，

即平面4即与平面488/有交点，平面4844〃平面。CGA,

并且Eu平面。CGA,故平面4E”与平面。CG2相交；

若，=4,则Ee平面4平面4EH与平面力8耳4相交，

平面平面。C0R,并且平面。CGA,

故平面AEH与平面相交;

若〃=G,同理可证得平面NE//与平面。eqA相交，

故不存在，点使得平面4E”与平面OCCQ平行，C错误；

对于D,由直线4G〃底面4BCD,

所以H点到底面ABCD的距离就是正方体的棱长1,

也是底面为△/EC的三棱柱/-CEH的高，4/EC的面积是定值，

故D正确；

故选：BD.

4.（2022•湖南•长沙市明德中学二模）如图，/8CO是底面直径为2高为1的圆柱。«的轴截面，四边形。。。/

绕。。逆时针旋转6（0*6W"）到。。QM,则（）

A,圆柱。。的侧面积为4“

B.当0<6<“时，DD,1A}C

C.当8=f时，异面直线4。与OQ所成的角为1

34

D.A/。。面积的最大值为6

【答案】BC

【分析】

对rA,由圆柱的侧面积公式可得;

对于B,由线面垂直的判定定理和性质定理可得；

对于C,由题知，AOOQI为正三角形，根据异面直线所成的角的定义计算得解；

对于D,作RE1DC,由线面垂直的判定定理和性质定理得力E1DC：在Rt4RE中,

2

AXE=J”；+ED；=Jl+D\E<Jl+DQ：=&,代三角形面积公式得解.

【详解】

对于A,圆柱OQ的侧面积为2"xlxl=2〃，A错误；

对于B,因为0<6<“，所以。RIRC,又。〃1/Q,

所以。平面/QC,所以。。14C,B正确；

对于c,因为4。"/。。，所以NO4A就是异面直线4。与。。1

所成的角，因为NDOQi=g,所以AOG。为正三角形，

所以。2=42=1,因为4A1。2，所以/D4a=(,C正确；

对于D,作垂足为E,连接4E，所以DCi平面所以4E1CC.

在RSARE中，&E=J/Q；+ED；=Jl+RE?<Jl+RO；=y/2,

S.A、CD=；XDCXA\EW；X2X®=五,所以（邑4co）皿=&，D错误.

故选：BC.

5.（2021•河北•沧县中学高三阶段练习）如图所示，在四棱锥中S-/BCD中，为正方形，

SC=SD=CD=1,E为线段SZ）的中点，F为4c与BD的交点、,AD1SD,则下列结论正确的是（）

A.BC1平面SCDB.EFP平面S/8

C.平面SC。1平面力8。D.线段8E长度等于线段防长度

【答案】ABC

【分析】

由BC1CD,8C1SD,可判断选项A,由面面垂直的判定定理进而可判断选项C,由线面平行的判定定理可判

断选项B,由线面垂直的性质定理加上勾股定理可判断选项D.

【详解】

因为4BCD是正方形，所以8clCO.又因NO1SD所以8ClS£>,8u平面SCD,SDu平面SCO.

CDCSD=D,所以8cl平面SC3,因此A正确；

而8Cu平面/BCD,所以平面SC。i平面NBC。，因此C正确；

因为尸是8。的中点，而E为线段S。的中点，所以£尸〃监58u平面MB,EFu平面”8,所以瓦V/平

面”8,因此B正确；

对于D,因为ACDS是边长为1的正三角形，/8CD是正方形，所以。S=l,乂由8cl平面SCO,

有8CLSC,所以3S=0.在ABDS中，BS=BD=yfi,£>5=1,又5£、SF分别是等腰三角形ABOS的

底边。S和腰8。上的中线，所以线段BE与S厂的长度不相等（否则，A8OS是正三角形），因此D不正确；

故选：ABC.

s

6.（2022・广东深圳•高三阶段练习）已知正方体N8C£>-44GA的棱长为1,E为棱4力上的动点，平面。

过点E且与平面平行，则（）

A.B、E1CD1

B.三棱锥E-qGA的体积为定值

C.与平面4OG所成的角可以是g

D.平面a与底面/8C。和侧面的交线长之和为2近

【答案】AB

【分析】

由CRIG。、4Glen可证得CR1平面阴CQ,由线面垂直的性质可证得A正确；由线面平行的判定

可知ADH平面BGR,知点E到平面片GA的距离为1,由棱锥体积公式可知B正确；以。为坐标原点可

建立空间直角坐标系，假设线面角为利用线面角的向量求法可构造方程，由方程无解知C错误；将底

面，BCD和侧面CDD£展开到同一平面，可得交线的轨迹，由平行关系可知EG=/C=VL知D错误.

【详解】

对「A,二•四边形为正方形，CR，CQ；

,/^C,1平面CDDG,CRu平面CDD£,：.B£tCDt.

又ICQ=G,B£,CQu平面AB}CtD,CD,1平面AB^D；

78£<=平面/86。，，8£1。。，A正确；

对于B,..7D//42〃用G,ADu平面B£Di,B£u平面AG2，二平面BCR,

乂EwAD,:•点、E到平面B£R的距离即为1%=1,

，E-B£D、=§5阴CQJ“4=不于k氏1=j，B正确；

对于c,以。为坐标原点，方，比，函正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

则4(1,0,1),£)(0,0,0),C,(0,1,1),£>.(0,0,1),

则西=(1,0,1),西=(0,1,1),

设平面4〃G的法向量"=(x,y,z),

则(黑令X=L解得：y=i，z=-i,

[£>C[n=y+z=0

设E（人,0⑼（0一力），则万国=（儿0,-1）,

I--|_|^-«|_4+1

•.cos<DE,n>=।---=/.；

1]

|时|〃|，3一+3

R+11

若RE与平面4〃G所成的角为1•，则COS<。]邑〃

行7r5,方程无解,

.•.。也与平面所成的角不能为C错误;

对于D,设平面a与底面/BCD和侧面CMC的交线分别为EF,FG,则跖〃/C,FGHC.D,

将底面ABCD和侧面COD©沿CD展开至恫一平面，则瓦£G三点共线且EGHAC,

EG=AC=y/2,D错误.

故选：AB.

7.（2022•辽宁鞍山•二模）如图，点P是棱长为2的正方体Z8CA-4为。。|的表面上一个动点，则（）

A.当P在平面8CC圈上运动时，四棱锥P-A4QQ的体积不变

B.当P在线段/c上运动时，RP与4G所成角的取值范围是[g,|-]

C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45。的点P的轨迹长度为〃+40

D.若尸是4片的中点，当尸在底面48CD上运动，且满足P/W平面4c〃时，。尸长度的最小值是否

【答案】ABC

【分析】

A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；

C选项，找到尸的轨迹，计算即可；D选项，找到P的轨迹，计算即可.

【详解】

A选项，底面正方形4QQ的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体

积不变，A选项正确；

B选项，Of与4cl所成角即与/C所成角，当尸在端点4,C时，所成角最小，为（，当尸在ZC中

点时，所成角最大，为女,故B选项正确；

C选项，由于尸在正方体表面，尸的轨迹为对角线48/,ADt,以及以4为圆心2为半径的!圆弧如图，

故P的轨迹长度为汗+4后，C正确;

D选项，FP所在的平面为如图所示正六边形，故尸尸的最小值为灰，D选项错误.

故选：ABC.

8.（2022♦海南海口•模拟预测）如图,在长方体44GA中,AAt=2AB=2AD,E,尸分别是棱GA,

CG的中点，则（）

A.尸是等边三角形B.直线么也与8尸是异面直线

C.4尸1平面BDED,三棱锥4-/就》与三棱锥4-FD8的体积相等

【答案】AC

【分析】

A选项可根据几何关系求三角形的各个边长进行判断；B选项证点4,E,B,尸四点共面得出矛盾；C选

项证4户1。尸，吊尸1B尸线线垂直，可得线面垂直；D选项点Z与点尸到平面4QB的距离不相等，即是

高不相等，体积也不会相等.

【详解】

对于A,设48=1,则8/=£>F=&,故△5。尸是等边三角形，A正确;

对于B,连接E尸、&C,如图所示：

易知EF,故点4，E,B,尸共面，B错误；

对于C,设48=1,则4。=石，DF=42,AF=6所以4。2=。尸2+//2

所以4/1DF,

同理可知4尸，8尸，又因为DFcBF=F,所以4尸1平面8。£故C正确；

对于D,三棱锥4-ABD与三棱锥4-FDB有公共的面AQB,

若要它们的体积相等，则点4与点户到平面4"的距离相等，这显然不成立，故D错误.

故选：AC.

二、解答题

9.（2020・重庆•高三阶段练习）如图，在四棱锥P-/8C。中，PCJ_底面力8C。，/8C。是直角梯形，ADLDC,

ABIIDC,AB=2AD=2CD=2,点E是P8的中点.

(1)证明：平面E/C_L平面尸8C；

(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为县；

3

①求三棱锥P-/CE的体积；

②求二面角P-AC-E的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)①;;4

【分析】

(1)由线面垂直性质得PCJ.4C,已知条件可得4c=8C=7L即4c2+8C?=4)有FC1BC,根据线

面垂直的判定及性质即可证平面E/C1平面P8C.

1

=-VTZ即可

(2)①由(I)知N8PC即为直线总与平面P/C所成角，即可求PC,又/_ACEp

2厂一

求三棱锥P-/CE的体积.

②取48的中点G连接CG,构建以诟、CD,而为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系，根据已知线

段长度确定C,P,A,B,E,分别求面H4C、面ZCE的一个法向量，即可求二面角P-/C-E的余弦

值.

(1)

证明：.PC1平面/8CZ),/Cu平面Z8CZ),

PC].AC.

■：AB=2,有49=8=1,1OC且/8C£)是直角梯形，

:.AC=BC=@AC2+BCZ=AB2,

ACIBC.

:PCcBC=C,PCu平面P5C,8Cu平面P8C,

AC1平面PBC.

-：4Cu平面E4C,

,平面EZC±平面P8C

⑵

①由⑴易知BC1平面R4C,

..ABPC即为立线PB与平面PAC所成角.

c上空在

PBPB3

PB=y[6,则PC=2

•，•VP-ACE=g限仙=g（；（；x1X2）X2）=；.

②取的中点G,连接CG,以点C为坐标原点，分别以且、CD,而为x轴、j轴、z轴正方向，建立如

图所示的空间直角坐标系,

则C（0,0,0）,P（0,0,2）,/（1,1,0）,5（1,-1,0）,呜,一；,1

____UU-------（\

.•,。=（1,1,0）,〜=（0,0,2）,C£=l--11

，25

设蓝=(x”M，zJ为平面2/C的法向量，则而=芭+乂=0,而•丽=24=0,得马=0,取芭=1,必=一1

得加=。,一1,0)

设〃=(》2,歹2*2)平面4CE的法向量，则〃•。=工2+歹2=°，“•CE=:x2-；%+Z2=0,取工2=1，%=

Z2=-1,得〃=(1,一1，一1).

IX1+(-1)x(-1)+0X(-1)

cos<m,n>=

所求二面角为锐角，二面角尸-ZC-E的余弦值为逅.

3

10.（2022•重庆南开中学模拟预测）在三棱柱力8C-44G中，AB18C,平面/CC/1平面=&C,

E,尸分别为线段ZC4⑸的中点.

⑴求证：EFLBC；

⑵若AB=BC=e，直线与平面GE尸所成角的正弦值为!，且4/C>30。，求三棱锥6-4£尸的体

6

积.

【答案】（1）证明见解析

⑵变

6

【分析】

（1）先证线线垂直，再证明线面垂直，从而可得线线垂直；

（2）建立空间直角坐标系，根据题中的条件得4£=后.再将问题转化为求心.口於即可.

（1）

AA,=A,C,E为4C的中点，

又平面ACCXAX1平面ABC,平面/eg4n平面ABC=AC,

4EL平面/8C,且8Cu平面/8C,A}E1BC,

:ABLBC,AB〃AR、:.BCI%B1,

又A}B}n4E=4,.18CJ.平面AtEB},

又EFu平面4Eq,EFLBC.

⑵

如图，以4为坐标原点，分别以福，语为x,z轴正方向，M14cl所外建立空间直角坐标系，设4E=a,

则4（0,0,0）,J（-l,0,a）,C,（2,0,0）,E（0,0,q）,F（；,g,0）,

号=（-l,O,a）币=（-|,；,0）印=卜2,0,a）.

设平面C£尸的法向量。=（x,y,z）,

-_n-2x+az=0

则:土,=即是31n.解得万=(a,3a,2),

n-C,F=0——x+—y=0

122

A{A-n\\

由题意:MJ1+L2小06+4T,解得a=5/2或a=,

65

ZAtAC>30°f

•.a—5/2,

由43=6C=正有515C,可知NC|44=45°,

走x2也忑走.

••%.AFP

C|-/ijhr226

11.(2021・江苏•矿大附中高三阶段练习)如图，已知正方形/BCD和矩形/CE尸所在的平面互相垂直,

AB=42,AF=t,M是线段E尸的中点.

(1)求证：4M〃平面BDE；

(2)若线段RC上总存在一点P,使得PF18E,求，的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)72

【分析】

(I)设/C