2023年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）

2023年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设全集U={123,4,5,6,7,8},4nQB={1,3},Q。UB）={2,4},则集合8为（）

A.{135,6,7,8}B.{2,456,7,8}C.{5,6,7,8}D.[1,2,3,4}

2.已知复数z的虚部为门，在复平面内复数z对应向量的模长为2,则（）

A.z=1+A/-3iB.z=+1+y/~3iC.z=1+>/-3iD.z=-1士V-3i

3.在“万众创业”的大背景下，“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点，已

知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品，2022年前三个季度，该直播间每个季

度的收入都比上一个季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则（）

A.该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍

B.该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍

C.该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍

D.该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和

4.函数/（久）=-妥在（一加,0）U（0,/r）上的图像大致为（）

5.九连环是中国杰出的益智游戏，九连环由9个相互连接的环组成，这9个环套在一个中空

的长形柄中，九连环的玩法就是要将这9个环从柄上解下来（或套上），规则如下：如果要解下

（或套上）第n环，则第n-1号环必须解下（或套上）,n-1往前的都要解下（或套上）才能实现.记

解下n连环所需的最少移动步数为册，已知的=1,a2=2,an=cin-i+2an-2+1（九？3）,

若要解下7环最少需要移动圆环步数为（）

A.42B.85C.170D.341

6.下列选项中，命题p是命题q的充要条件的是（）

A.在△4BC中，p：A>B,q：sinA>sinB

B.已知x,y是两个实数，p：%2—2%—3<0,q：0<x<2

C.对于两个实数x,y,p：x+y8,q：x#3或y力5

2

D.两条直线方程分别是ax+2y+6=0,l2：%+（a—l）y+a—1=0,p：，i〃，2，q：

a=2或-1

7.记函数/'（x）=sin（3X+R）（3>0,0<<5）的最小正周期为7.若/⑺=三，x屋为

/（%）的零点，则3的最小值为（）

A.2B.3C.4D.6

8.四叶草曲线是数学中的一种曲线，因形似花瓣，又被称为四叶玫瑰线（如右图），其方程为

（x2+y2y=8x2y2,玫瑰线在几何学、数学、物理学等领域中有广泛应用.例如，它可以用

于制作精美的图案、绘制图像、描述物体运动的轨迹等等.根据方程和图象，给出如下4条性

质，其中错误的是（）

y八

A

A.四叶草曲线方程是偶函数，也是奇函数

B.曲线上两点之间的最大距离为2，7

C.曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点）

D.四个叶片围成的区域面积小于27r

9.双曲线1-与=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别是Fi，F2,过F】作倾斜角为45。的直线

ab

交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）

A.2B.y/~2C.<7+1D.殍

10.在4ABC中，内角4B,C所对的边分别是a,b,c,已知ccosB+bcosC=2acosA,a-2,

△力BC的面积为则AABC的周长是（）

A.4B.6C.8D.18

11.如图所示，在长方体48以）一必当（71。1中，点E是棱CG上的Q

一个动点，若平面BE。［与棱A4］交于点F,给出下列命题：A/

①四棱锥&-BEQF的体积恒为定值；'f/；\T1

②四边形BE。/是平行四边形；Fk：\I

③当截面四边形BED#的周长取得最小值时，满足条件的点E至\/

少有两个；

④直线。iE与直线DC交于点P,直线。iF与直线。4交于点Q,则P、A

B、Q三点共线.

其中真命题是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

12.已知a=l+tan(-0.2),b=Zn0.8e,c=^,其中e为自然对数的底数，贝ij()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量值=(2,0),%=(x,2C)，且五与方的夹角为名则“

14.已知x,y是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表:

X12345

y4m9n11

其回归直线,=&+:过点(3,7),则zn,n满足的条件是

15.三棱锥的三视图如图所示，求该三棱锥外接球的体积

16.已知抛物线C：丫2=4久与圆“：x2+y2-2x=Q,过圆心M的直线/与抛物线C和圆M分

别交于4B,C,D,其中4c在第一象限，B,D在第四象限,则|斐。|+2|BC|最小值是______.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

11

①数列｛an｝中，已知。1=弓，对任意的p,qG/V*,都有Qp+q=即+与，令—.

②函数/(x)对任意xGR有f(x)+/(1-%)=1,数列｛an｝满足即=/(0)+/"(；)+/(9+•••+

/平)+〃1)，令“=(*)(：_»

在①、②中选取一个作为条件，求解如下问题(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个

解答计分)

(1)数列｛斯｝是等差数列吗？请给予证明.

(2)求数列｛4｝的前“项和

18.(本小题12.0分)

内蒙古自治区新高考改革自2022年起执行，在取消文理分科后实行“3+1+2”模式，即语

数外为国家统考，所有考生必选，然后从物理、历史2科中任选1科，再从化学、生物、政治

和地理中任选2科参加高考，选科前大家普遍认为，传统的“大文大理”(即“数理化”、“政

史地”组合)还依然是主流，而且男生将依然是“大理”的主体，某校为了解学生对“大理”

的选择是否与性别有关，从该校高一年级1000名学生(550名男生，450名女生)，按男女生分

层随机抽样抽取100人进行选科意向调查，经统计，选择“大理”人数比非“大理”人数多

(2)为了进一步了解学生进行选科的理由，随机选取了男生4名，女生2名进行访谈，再从中抽

取2名代表详细交流，求至少抽到1名女生的概率.

2=n(ad_bc)2

附表及公式:Kn=a+b+c+d

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>Ko)0.050.0250.0100.0050.001

Ko3.8415.0246.6357.87910.828

19.(本小题12.0分)

已知△ABC为等边三角形，其边长为4,点。为边4c的中点，点E在边AB上，并且DE14B,

将A2CE沿DE折起到△A'DE.

(1)证明：平面_L平面BCDE；

(2)在.棱BC上取一点P,使以,-BPDE=2匕，-BCDE，求左

20.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=2x—a,g(x)=Inx.

(1)若点M是y=f(x)图像上一点，点N是y=g(x)图像上一点，在当a=-l时，求M,N两点

之间的最近距离；

(2)若函数/i(x)=-/(x)•g(x)在(0,+8)上单调递减，求实数a的取值范围.

21.(本小题12.0分)

已知椭圆E：胃+/=l(a>b>0)的离心率为：，其左、右顶点分别为4,B,左右焦点为

尸2,点P为椭圆上异于4B的动点，且々的面积最大值为

(1)求椭圆E的方程；

(2)设过定点7(-1,0)的直线交椭圆E于M,N两点(与4B不重合)，证明：直线力M与直线BN

的交点的横坐标为定值.

22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系中，曲线Q的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，x轴

正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C?的方程为p(l-sin。)=1

(1)求曲线G的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；

(2)若点M(0,-1),曲线Q,的交点为4B两点,求|AM|“MB|的值

23.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=|2x+l|+|x+a|,若f(x)<3的解集为g,1].

(1)求实数a,b的值；

(2)已知m,n均为正数，且满足;+2+2a=0,求证：4m2+n2>4.

'/2mn

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：•.•全集U={1,234,5,6,7,8},

又Cu(4UB)={2,4},

AUB={1,3,5,67,8),又4CQB={1,3},

B={5,6,7,8}.

故选：C.

根据集合的基本运算，化归转化，即可得解.

本题考查集合的基本运算，化归转化思想，属基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由题意可设，z=a+y/~3i(^aG/?).

•••复数z对应向量的模长为2,

Ia2+/=4-解得a=±1，

故2=±1+/^九

故选:B.

先设出z,再结合复数模公式，即可求解.

本题主要考查复数模公式，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：设前三个季度的总收入分别为由,a2.a3,

因为每个季度的收入都比上一个季度的收入翻了一番，

以a2=2a］，2a2~4a1，

选项A,该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的4倍，即A错误；

选项B,该直播间第三季度化妆品收入为30%。3=30%-4al=120%%,

而第一季度化妆品收入为10%的=aX120%的,

所以该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的12倍，即B错误;

选项C,第二季度化妆品收入为20%ci2=20%-2al=40%%=|x120%的，

所以该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍，即C正确：

选项D,该直播间第三季度食品收入为70%&3=280%的,

前两个季度的食品收入之和为90%的+80%a2=250%的<280%%,

所以该直播间第三季度食品收入高于前两个季度的食品收入之和，即。错误.

故选：C.

设前三个季度的总收入分别为的,a2>a3,则a2=2ara3=2a2=4^,再结合条形图中，每个

季度化妆品和食品收入的占比情况，逐一分析选项，即可.

本题考查统计的知识，理解条形图的含义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中

档题.

4.【答案】D

【解析】解：的定义域为(-7T,O)U(O,7r),

11

又/(-%)=(-x)sin(-x)--2=xsinx-歹=/(x),

••・/(X)是偶函数，.••/(%)的图像关于y轴对称，.••排除4B选项；

又当xe(0,兀)，且当％-»0时，/(x)-»-8,.•.排除c选项.

故选：D.

根据函数的奇偶性，极限思想，即可求解.

本题考查函数的图像问题，函数的奇偶性，极限思想，属基础题.

5.【答案】B

【解析】解：已知斯=an-1+2a“-2+1(兀23),

则册+an_i+1=2{an_r+an_2+1)>

又=1,=2,

则CI3=2+2xl+l=5,04=5+2x2+1=10.a5=10+2x5+1=21,a6=21+2x

10+1=42,CI7=42+2X21+1=85.

故选：B.

由数列的递推式，分别求出。3,&6,即可.

本题考查了数列的递推式，重点考查了运算能力，属基础题.

6.【答案】4

【解析】解：对于4,在^ABC中，02RsinA>2RsinB<=>sinA>sinB,

其中R为44BC的外接圆的半径，故命题P是命题q的充要条件，故A正确；

对于由%2-2%-3工0,得(x—3)(%+1)40,解得一14义工3,

所以p的充要条件为一14%W3,故8错误；

对于C,令％=4,y=4,满足％。3或y。5成立，但是％+yH8不成立，

所以由q推不出p,

故命题p不是命题q的充要条件，故C错误；

对于由题意,若力〃2,则修Q2Tm解得Q=—1,

所以由p可以推出q,由q推不出p,

所以命题p是命题q的充分不必要条件，故。错误.

故选：A.

根据充分条件和必要条件的定义逐个判断各个选项即可.

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：••・2=7,

0)

:.Ta)=27T,

v/(T)=sin(2zr+。)=

0<<p

n

.・.口=丞

.：X=今是零点，

o

7T.7T..„

••・V+5=Ekez,

・・.w=6k—2,kEZ,

当k=1时，

3的最小值为4.

故选：C.

根据三角函数的周期公式即可得到结论.

本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础.

8.【答案】A

【解析】解：对4选项，根据函数的定义及曲线的图象可得：

四叶草曲线方程不是函数，:4选项错误；

对B选项，••・同时以”与”—y”代替曲线方程中的“x”与”y”可知曲线方程不变，

••・四叶草曲线方程关V轴对称，关于x轴对称，关于原点对称，

设曲线上的点(x,y)到原点的距离为d,则d=Vx2+y2,

x2+y2>2xy,2y2<(,十丙,

x,-4

(x2+y2)3=8x2y2<巴比/2_，

•••(d2)3<2(d2)2,d2<2,

二根据对称轴可知：曲线上两点之间的最大距离为2C，二⑶选项正确；

对C选项，由B选项分析可知：

曲线经(0,0),(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1),共计5个整点，•••(；选项正确；

对。选项，由B选项分析可知：曲线上的点到原点0的距离的最大值为，N，

而以。为原点，半径为4的圆的面积为2兀，

.•・四个叶片围成的区域面积小于2兀，•・.。选项正确.

故选：A.

根据函数的定义，曲线方程的对称性，重要不等式，化归转化，即可求解.

本题考查曲线方程的图像性质问题的求解，函数的定义，重要不等式的应用，化归转化数学，属

中档题.

9.【答案】C

【解析】解：将K=c代入双曲线的方程得y=],即

在AMF/z中似„45。=5=1

2c

即唾包=1，解得e=5=4+1.

2acQ

故选：c.

将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a,b,c的关系，求出离

心率的值.

本题考查双曲线中三参数的关系：。2=02+炉，注意与椭圆中三参数关系的区别；求圆锥曲线的

离心率就是求三参数的关系.

10.【答案】B

【解析】解：因为ccosB+bcosC=2acosA,由正弦定理可得：sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA,

则sin(B+C)=sinA=2sinAcosA,解得cosA=；,因为46(0,7r),所以4=

因为三角形ABC的面积为[5，则S=gbcsinA=gbcxy=解得be=4,

在三角形力BC中由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA,

即4=(b+c)2-2bc-bc=(b+c)2-3bc,所以(b+c)2=4+3x4=16,所以b+c=4,

则三角形ABC的周长为a+b+c=2+4=6.

故选：B.

由己知利用正弦定理求出4的值，然后利用余弦定理求出be的值，再利用余弦定理求出b+c的值，

由此即可求解.

本题考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.

11.【答案】C

【解析】解：对于①，四棱锥5-BED/的体积等于三棱锥E-B$Di的体积与三棱锥F-BiBDi

的体积之和，

又长方体ABC。中，CC\〃AA\"BB\,4公C平面夕过/，B/u平面

所以4Al〃平面&BQ,同理可得CQ〃平面&BDi，

所以点E、F到平面的距离为定值，

又△BBiDi的面积为定值，所以四棱锥Bi-BEDiF的体积恒为定值，①正确；

对于②，因为平面BED/n平面BCC/i=BE,平面BED/n平面4DD1&=DJ,且平面

8。681〃平面40。遇1，所以BE〃D[F,

同理BF〃EDi，所以四边形BEQF是平行四边形，②正确；

对于③，由平面BE。1与棱4送交于点F,

可得平面BED#Cl平面44$/=BF,平面BED#n平面CGD/=D1E,

又平面44//〃平面CC/iD,则BF//5E；

又平面BE。/n平面CQB/=BE,平面BED/C平面44也0=DrF,

又平面CCi/B〃平面44m1。，贝(IBE〃名凡

又BF//D1E,四边形BED/是平行四边形，

当BE+ED］的值最小时，四边形BE。/的周长取得最小值.

将侧面CC/iB与侧面CC山1。展开在同一平面，

当且仅当E为直线BQ与CQ交点时，BE+ED］的值最小，

则当截面四边形BEDiF的周长取得最小值时，满足条件的点E仅有1个，③错误；

对于④，直线ED1与直线DC交于点P,直线FDi与直线D4交于点Q,

则P、B、Q三点均为平面BEDiF与平面4BCD的公共点，

由平面BEQF与平面NBCD有且仅有一条交线，可得P、B、Q三点共线，所以④正确.

综上，真命题的序号是①②④.

故选：C.

利用割补法计算四棱锥当-8ED1F的体积，即可判断①；利用面面平行性质定理证明四边形

BEDiF是平行四边形，判断②；利用侧面展开图求得截面四边形BED】F的周长取得最小值时，满

足条件的点E个数，判断③；利用两平面有且仅有1条通过其公共点的直线证明P、B、Q三点共线，

即可判断④.

本题考查了空间中的线面平行关系应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题.

12.【答案】D

【解析】解:a=1+tan(—0.2),b=InO.Be,c=贵，

则b—c=1+InO.S—e~02,令f(x)=1+Inx—ex~1,

则((x)=1-e'T在xe(0,1)上递减，则((x)>/"(I)=0,

所以/(x)在xe(0,1)上递增，则f(x)<f(l)=0,即b<c,

则Q—c=1+tan(-0.2)—e-0,2,令g(x)=1+tanx—ex,

则g'(%)=一e*在％G(0,1)上递减，则g'(%)<g'(0)=0,

所以g(X)在％c(o,i)上递减，则g(X)vg(。)=。，即QVC,即可排除4B,c.

故选：D.

由b—c=1+m0.8—e-°，2,构造函数f(x)=1+/nx—e*T,利用导数法判断；由a—c=l+

tan(—0.2)—e~02,构造函数g(x)=1+tanx-ex,利用导数法判断.

本题主要考查导数法研究函数的单调性，是中档题.

13.【答案】-2

【解析［解：由向量方=(2,0),屋®2C),且为与方的夹角为多

可得方•&=2x7得+12x(―^)=2%+0x2V-3=2x(x<0),

解得x=-2.

故答案为：-2.

由向量的数量积的定义和坐标表示，解方程可得所求值.

本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

14.【答案】m+n=11

【解析】解：［="(1+2+3+4+5)=3,y=1(4+m+9+n+11)=

••・回归直线,=晨+:过点(3,7),

...24+,n=7,得m+n=ll.

故答案为：m+n=11.

根据已知条件，结合线性回归方程的性质，即可求解.

本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题.

15.【答案】y/~6n

【解析】解：由该三棱锥的三视图，知该几何体是长方体的一角，且长方体的卜、

长为2,宽为1,高为1,\\

二这个三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，\

・•.这个三棱锥的外接球半径R=目g=殍,\\\\

所以，该三棱锥外接球的体积尸=々兀(?)3=V■而T.XA

故答案为：\/~6n-

由该三棱锥的三视图，知该几何体是长方体的一角，由此求出其外接球半径，利用球的体积公式

求解即可.

本题三棱锥的外接球的体积的求法，考查学生的空间想象能力，由三视图求体积，是基础题.

16.【答案】2-7+6

【解析】解：M：/+丫2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,

所以圆心为抛物线C：y2=4x的焦点，且圆M过抛物线c：丫2=轨的顶点,

当ABJ.X轴时，|AO|=|BC|=2+1=3,贝+2|BC|=9,

当AB斜率存在时,设其方程为y=k(x-l)(kH0),C(x1,yi),D(x2,y2),

将y=fc(x-1)代入y2=4x得/(2%2—(2k2+4)x+k2=0,

「.2/+4

则Xi+孙=

=1

所以|AD|+2\BC\=(|4以|4-1)4-2(|BF|4-1)=\AF\+2\BF\+3=(与+1)+2(x2+1)+3=

x1+2X2+6

>2y/x1,2X24-6=2^T~2+6,

%i=^r~2

当且仅当%i=2不，即B时取等号，

tX2=—

由+6V9知，|4D|+2|BC|的最小值为2。+6.

故答案为：2，2+6.

按直线斜率存在和不存在分类讨论，斜率不存在时直接求出|AD|+2|BC|的值，斜率存在时,

设出直线方程，代入抛物线方程后应用韦达定理及基本不等式求解最值，最后比较即可得答案.

本题考查了抛物线的性质，属于中档题.

17.【答案】解：方案一：选择条件①

(1)由题意，令「=n,q=1,

则为i+i=On+ai=an+2'

即由i+l—an=2'

故数列｛4J是以a为首项，2为公差的等差数列.

(2)由(1)可得，an=j4-1-(n-1)=p

则垢=碗京=栗尹=而同=4,廿一*T)，

故Tn=瓦+52+…+，1

11111

=4-(1--)+4-+…+4--—)

11

=44-(-1--+,--1-,+-.+1--1-、)

1、

=4,(1-----)

in+ly

4n

=n+i'

方案二：选择条件②

(1)依题意，由即=/(0)+/(；)+/(9+…+/(早)+/(I),

可得即=/⑴+/(?)+…+片)+/(0),

两式相加，

可得2a“=[/(0)+/(I)]+呜+f(―)]+•“+[/(?)+/©)]+[/(I)+/(0)]

=1+1+…+1+1

=1-(n4-1)

=n+1,

n+1i।1,1、

an==1+2.(九一1)，

.・•数列｛a"是以1为首项，T为公差的等差数列•

(2)由⑴可得，*=

1

二(吟T)(竽T)

4

n(n+l)

A1、

=44-(-------),

、nn+l7

故〃=瓦+Z?2T—+bn

=4-(1-1)+4.(1-+--+4-(i-^)

，“1,11..11、

=4-(1--+---+…H--------—)

'223nn+17

=4.(1-启

4n

-n+1,

【解析】(1)在选择条件①的情况下，令『=九，q=1,代入题干表达式进行推导即可证得数列｛an｝

是以2为首项，3为公差的等差数列；在选择条件②的情况下，根据题干数列｛斯｝的表达式的特点

运用倒序相加法即可推导出数列｛an｝的通项公式，进一步证得数列｛即｝是以1为首项，"为公差的

等差数列.

(2)在选择条件①②的情况下，均先根据第(1)题的结果计算出数列｛a"的通项公式，再计算出数

列｛4｝的通项公式，最后运用裂项相消法即可计算出前n项和

本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和问题.考查了整体思想，转化与化

归思想，倒序相加法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.

18.【答案】解：(1)从550名男生和450名女生中按男女分层随机抽样抽取100人，男生抽取55人，

女生抽取45人，

•••选择非大理的男生15人，.•・选择大理的男生为40人，

设选择非大理的女生为x人，则选择大理的女生为(45-x)人，

••・选择大理的人数比非大理的人数多20人，二45—x+40-15-x=20,二%=25,

填写2x2列联表如下：

选择“大理”选择非“大理”合计

男生401555

女生202545

合计6040100

2_100(40x25-15x20)2

K~~60x40x55x45-x8.249>7.879>

能在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为选择“大理”与性别有关;

(2)设至少抽到1名女生为事件4

•••基本事件总数为量=15,

事件4包含的基本事件数为6屐+废=9,

••・p⑷迷=!•

【解析】(1)根据分层随机抽样求出抽取男生、女生人数，再填写2X2列联表，计算K2,对照附

表得出结论；

(2)求出基本事件总数和事件4包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式计算即可.

本题考查了列联表与独立性检验的应用，古典概型的概率计算，属于中档题.

19.【答案】解：(1)证明：因为DE1AB,所以折叠后DEIA'E,DE1BE,

因为4'ECBE=E,A'E,BEu平面ABE,

所以。E1平面ABE,

因为DEu平面BCDE,

所以平面A'BE_L平面BCCE；

(2)要想%,_BPDE=：匕一BCDE，只需四边形BPDE的面积为四边形BCDE面积的一半,

连接BD,则4。=2,BD=2<3,DE=ADsin600=AE=ADsin300=1,

故SAABC=4c,BD=5x4x2yl3=4y3,S&ADEZAE-DE—>

/zz

故四边形BCDE的面积为4，？-?=殍，

所以四边形BPDE的面积为空，SAC°P=亨，

由三角形面积公式得qco-CPsin60°==学，解得CP=

2242

.1^£1__1

',两=丁”

【解析】(1)由折叠后位置关系不变得到线线垂直，证明线面垂直，面面垂直；

(2)先根据体积关系得到四边形BPDE的面积为四边形BCDE面积的一半，作出辅助线，结合三角

形面积公式求出CP=?从而得到比例关系.

本题考查面面垂直的证明，考查线段长度的比值，属中档题.

20.【答案】解：(1)设点为g(%)=2n%图像上一点,

g'(x)=3则g'(x】)=《令*=2,

则/=又超)=—ln2,此时N(；,Tn2),

则V=g(x)在点N(g,Tn2)处的切线方程为y=2(%-j)-/n2,

则点N&-)2)到直线f⑶=2x+1的距离d=网+"2+1|=出丝，亏

乙V4+15

则M,N两点之间的最近距离为气空口.

(2)h(x)=-f(%)g(x)=(a-2x)lnxfxG(0,+oo),

则九'(%)=-2lnx+*子，x6(0,+8),

由函数九0)=一f(%)g(x)在(0,+8)上单调递减，

可得-2伉x+宁〈。在(0,+8)上恒成立，

即a<2xlnx4-2%在(0,+8)上恒成立，

令k(x)=2xlnx+2x,xe(0,+oo),则/(%)=2lnx4-4,

由可得％>、；

由k'(x)<0,可得0<%<也，

则当x=a时'k(x)取得最小值k(1)=2x^xln^+2x^=—

则则实数a的取值范围为(—8,-分

【解析】(1)先求得g(x)的斜率为2的切线方程，再利用点到直线距离公式即可求得M,N两点之间

的最近距离；

(2)利用题给条件构造关于a的不等式，构造函数k(x)=2xlnx+2x,并利用导数求得k(x)的最小

值，进而求得实数a的取值范围.

本题考查函数的导数应用，函数的单调性的应用，考查计算能力.

21.【答案】解：(1)由已知可得/儿=’?，

02=b2+c2

解得a=2,b=c=1,

所以椭圆E的方程为[+[=1.

43

(2)证明：设过点7(—1,0)的直线方程为x=my-l,

联立Cl+4v2-12-0,得(3*+4)y2-6my-9=0,

设M(x0i)，W(x2,y2),

则A>0恒成立，

月+%'2=3^(*)，

因为4(一2,0),B(2,0),

所以直线4M的方程为y=含0—2),

直线BN的方程为y=瓷0-2),

2yl(22-2)+2丫2(%1+2)

联立两直线方程,可得X=

y2(x1+2)-y1(x2-2)

把=my1-1,x2=my2-1代入上式，整理得

_4»丫2-6丫1+2