福州高三月份（文科）数学模拟试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020年高考数学模拟试卷（文科)（4月份)一、选择题（共12小题)1.若复数,则（）A。0 B.2 C。 D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算即可。【详解】。故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，考查学生的基本计算能力，是一道容易题。2。已知集合，,则（）A. B. C。 D。【答案】A【解析】【分析】分别求出集合A、B，再按交集的定义运算即可.【详解】由,得，所以，又,所以.故选:A【点睛】本题考查集合的交集运算,涉及到解一元二次不等式，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.3。已知，设,，,则（)A. B. C。 D。【答案】A【解析】【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的性质即可得到答案。【详解】由已知,，，，所以。故选：A【点睛】本题考查指、对、幂的大小比较,考查学生的逻辑推理与基本计算能力,是一道容易题。4.下列函数中为奇函数的是（）A。 B.C。 D.【答案】D【解析】【分析】分别对所给选项按奇函数的定义进行验证.【详解】对于选项A，，故是偶函数；对于选项B，，故是偶函数；对于选项C,定义域为，不关于原点对称,故不是奇函数；对于选项D，当时，，，当时,，，所以是奇函数.故选：D【点睛】本题考查奇函数的定义，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.5.在中，，则（）A. B。 C。 D。2【答案】B【解析】【分析】将写成,利用减法运算可得即可得到答案.【详解】因为,所以，即，所以，所以.故选：B【点睛】本题考查向量的线性运算，涉及到向量的减法、数乘运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题。6.2021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示,下面叙述一定不正确的是(）A.甲的物理成绩领先年级平均分最多B。甲有2个科目的成绩低于年级平均分C.甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史D。对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果【答案】C【解析】【分析】根据图表依次对所给选项进行判断.【详解】由雷达图可知，甲的物理成绩领先年级平均分约为1。5,化学成绩领先年级平均分约为1，生物成绩约等于年级平均分，历史成绩低于年级平均分，地理成绩领先年级平均分约为1,政治成绩低于年级平均分，故A、B、D正确；而甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物（物理），故C选项错误。故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到统计中雷达图的识别及应用，考查学生识图能力、数据分析能力，是一道容易题.7。如图来自古希腊数学家阿基米德所研究的几何图形．此图形由三个半圆构成,两个小半圆外切，又同时内切于大半圆，三个半圆弧围成曲边三角形（黑色部分），由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，又称此图形为“皮匠刀”图形．若,在整个图形中随机取一点，则此点取自曲边三角形（黑色部分)的概率为（）A。 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则,,先求出白色区域的面积以及整个半圆的面积，再利用几何概型的概率计算公式计算即可.【详解】设,则，，所以白色区域的面积为，又整个半圆的面积为，由几何概型的概率计算公式，得所求事件的概率为。故选:B【点睛】本题考查面积型的几何概型的概率计算，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.8.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，若|AB｜＝2,则C的离心率为（）A。 B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用距离公式得到a、b关系式,然后求解离心率即可．【详解】由题意可知不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay＝0，圆的圆心为，半径为2，由题意及｜AB|＝2，可得，，即b2＝3a2,可得c2﹣a2＝3a2,即所以e2．故选：C．【点睛】本题主要考查求双曲线离心率的问题，此类问题的解题关键是建立的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题。9。已知,且，，则（)A。有最小值1 B.有最大值1 C。有最小值3 D。有最大值3【答案】A【解析】【分析】分别由，得到,,消去得到的表达式，再结合，即可得到答案。【详解】由,得，解得①，由，得，解得②，由①②,得，又，所以当时，有最小值1，无最大值。故选：A【点睛】本题考查正弦型函数的性质,当然本题也可以数形结合得到，即，,考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题。10。我国古代名著《九章算术》中，将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体称之为阳马．已知阳马的顶点都在球O的表面上，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，，则球O的半径为(）A。 B。 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】将四棱锥置入到正方体中，利用正方体的体对角线为其外接球的直径即可得到答案。【详解】将四棱锥置入到正方体中，如图,因为，所以，所以外接球O的半径为。故选：B【点睛】本题考查求四棱锥外接球的半径，在处理较为特殊的锥体时，首先考虑能否将其置入长方体中，本题是一道容易题。11。已知两条抛物线，（且),M为C上一点（异于原点O)，直线OM与E的另一个交点为N．若过M的直线l与E相交于A，B两点，且的面积是面积的3倍．则（）A。8 B.6 C。4 D。2【答案】C【解析】【分析】，得，故(＊）,设直线OM的方程为(）,分别代入和，得,，代入（＊）式得，解方程即可得到答案.【详解】因为，所以，故（*），设直线OM的方程为（），由，得，解得或,所以，由，得，解得或，所以,将，，代入(＊）式得,解得（舍去）或，所以．故选：C【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，本题解题关键是将,转化为,考查学生转化与化归思想，数学运算求解能力，是一道中档题.12.已知，是函数在上的两个零点,则（）A. B. C。 D.0【答案】B【解析】【分析】令，则，即为与直线在上交点的横坐标,由图可得，即，且，利用计算即可。【详解】令，得．令，即,则，即为与直线在上交点的横坐标,由图象可知,，故，又，所以．故选：B【点睛】本题主要考查三角恒等变换中的给值求值，涉及到三角函数的图象与性质，辅助角公式，考查学生数形结合的思想,转化与化归的思想，是一道有一定难度的题。二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。13。已知，则曲线在处的切线方程为_________．【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义计算即可.【详解】由已知,，，又，所以切线方程为，即。故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的数学运算能力，是一道基础题。14.设x，y满足约束条件则z＝x—3y的最小值为_____【答案】-7【解析】【分析】先根据条件画出可行域，设z＝x—3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，数形结合即可得到答案．【详解】在坐标系中画出x，y满足约束条件的可行域,如图所示:由可得,则表示直线在y轴上的截距，截距越大，z越小,平移直线，经过点A时，z最小,由，可得，此时故答案为：．【点睛】本题考查简单的线性规划的应用，涉及到利用几何意义求目标函数的最值，考查学生数形结合的思想,是一道容易题.15。已知三棱锥的各棱长均为2，M，N分别为BC，PA的中点,则异面直线MN与PC所成角的大小为__________．【答案】【解析】【分析】取的中点,连接，易知或其补角为异面直线MN与PC所成的角，分别求出，解三角形即可.【详解】取的中点,连接，易知或其补角为异面直线MN与PC所成的角，又三棱锥的各棱长均为2,所以,又易得,所以，，所以，所以为等腰直角三角形，故.故答案为:【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，考查学生的逻辑推理能力,数学运算能力,空间想象能力,是一道中档题。16.的内角A，B,C的对边分别为a，b，c,的面积,D为线段BC上一点．若为等边三角形,则的值为___________．【答案】【解析】【分析】由及三角形面积公式，余弦定理可得，又，利用两角差的正切公式展开计算即可。【详解】因,所以，由三角形面积公式及余弦定理得，所以，又为等边三角形，所以．故答案为：【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到两角差的正切公式，三角形面积公式，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一）必考题:共60分.17。已知数列为递减的等差数列，，为方程的两根．（1）求的通项公式;(2）设，求数列的前n项和．【答案】（1)；（2）．【解析】【分析】（1)由,为方程的两根，且数列为递减的等差数列可得，进一步得到公差,再利用通项公式计算即可；（2）由（1）可得，再利用分组求和法求和即可。【详解】设等差数列的公差为d，因为，为方程的两根，且数列为递减的等差数列，所以，所以，所以，即数列的通项公式为．（2）由（1)得，所以，所以数列的前n项和．【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、一元二次方程等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养，是一道容易题.18.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°,AB＝AA1＝2,P为CC1的中点。（1)证明:AB1⊥平面PA1B；（2)设E为BC的中点，线段AB1上是否存在一点Q,使得QE∥平面A1ACC1？若存在，求四棱锥Q﹣AA1C1C的体积;若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2)存在;体积【解析】【分析】解法一：（1）证明A1ABB1为正方形,设A1B交AB1于点O，则O为AB1的中点，且A1B⊥AB1。连接PA,PB1，PO,推出PO⊥AB1，然后证明AB1⊥平面PA1B.（2）当Q为AB1中点，即点Q与点O重合时，QE∥平面A1ACC1.连接A1C，说明QE∥平面AA1C1C。Q到平面A1ACC1的距离等于B到平面A1ACC1的距离的一半,转化求解几何体的体积即可.解法二：（1)证明A1ABB1为正方形，设A1B交AB1于点O，则O为AB1的中点，且A1B⊥AB1。连接B1C交BP于F点，推出BB1⊥平面ABC，AC⊥BB1.结合AC⊥BC,证明AC⊥平面BB1C1C，证明BP⊥平面AB1C，然后证明A1B⊥平面PA1B.（2）当Q为AB1中点，即点Q与点O重合时，QE∥平面A1ACC1.取AB中点M，连接QM，ME,说明Q到平面A1ACC1的距离等于E到平面A1ACC1的距离,利用等体积法转化求解即可.解法三：（1)设A1B交AB1于点O，说明A1ABB1为正方形,得到A1B⊥AB1，连接PA，PB1,PO，推出PO⊥AB1，证明PO⊥平面ABB1A1得到平面PA1B⊥平面ABB1A1。即可证明AB1⊥平面PA1B。(2)同方法一【详解】解：解法一：（1）证明：在△ABC中,∵∠ACB＝90°,∠ABC＝45°，AB＝2，∴，又直三梭柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则A1ABB1为正方形，设A1B交AB1于点O，则O为AB1的中点,且A1B⊥AB1.连接PA,PB1，PO，∵侧棱CC1⊥底面ABC，P为CC1的中点，则，，故PA＝PB1。∴PO⊥AB1，∵PO∩A1B＝O，且PO，A1B⊂平面PA1B，∴AB1⊥平面PA1B。（2）当Q为AB1中点，即点Q与点O重合时，QE∥平面A1ACC1.理出如下：连接A1C,∵E为BC的中点，∴则QE∥A1C,∵QE∉平面AA1C1C，A1C⊂平面AA1C1C，∴QE∥平面AA1C1C.此时，Q到平面A1ACC1的距离等于B到平面A1ACC1的距离的一半,又，∴.解法二：（1)证明:在△ABC中,∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝2，∴，又直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB＝AA1＝2，则A1ABB1为正方形，设A1B交AB1于点O，则O为AB1的中点，且A1B⊥AB1。连接B1C交BP于F点，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BB1⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1.又AC⊥BC，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C，∵BP⊂平面BB1C1C，∴AC⊥BP,在矩形BB1C1C中，P为CC1的中点，则，,由CC1∥BB1得△CPF∽△BB1F，∴，∴，，∴PF2+CF2＝PC2，故B1C⊥PB，又AC⊥BP,AC∩B1C＝C,AC，B1C⊂平面AB1C，∴BP⊥平面AB1C，∵AB1⊂平面AB1C，∴AB1⊥BP.又A1B⊥AB1，A1B∩BP＝B，A1B，BP⊂平面PA1B，∴A1B⊥平面PA1B.（2）当Q为AB1中点，即点Q与点O重合时，QE∥平面A1ACC1.理由如下:取AB中点M，连接QM，ME，又CE＝BE，∴ME∥AC，∵ME⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，∴ME∥平面A1ACC1。同理可得QM∥平面A1ACC1.又∵ME∩QM＝M，ME，QM⊂平面QME,∴平面QME∥平面A1ACC1,又∵QE⊂平面QME，∴QE∥平面A1ACC1.此时，Q到平面A1ACC1的距离等于E到平面A1ACC1的距离，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC,∵BC⊂平面ABC,∴CC1⊥BC，又AC⊥BC，AC∩CC1＝C，AC,CC1⊂平面AA1C1C，∴BC⊥平面AA1C1C，∴EC为四棱锥Q﹣AA1C1C的高，.∴.解法三:（1）证明：在△ABC中,∵∠ACB＝90°,∠ABC＝45°，AB＝2，∴，设A1B交AB1于点O,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2,A1ABB1为正方形，∴O为AB1中点，且A1B⊥AB1.连接PA,PB1，PO，∵侧棱CC1⊥底面ABC，P为CC1的中点，则，，故PA＝PB1.∴PO⊥AB1，同理可得PO⊥A1B.又A1B∩AB1＝O，A1B,AB1⊂平面ABB1A1，PO⊥平面ABB1A1∵PO⊂平面PA1B,∴平面PA1B⊥平面ABB1A1.∵平面PA1B∩平面ABB1A1＝A1B,AB1⊂平面ABB1A1，∴AB1⊥平面PA1B.（2）同方法一【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、空间几何体的体积等知识，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算19。已知椭圆经过点，，是C的左、右焦点,过的直线l与C交于A,B两点，且的周长为．（1）求C的方程；（2）若，求l的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由题意可得关于a，b，c的方程组,求解a，b，c的值，即可得到椭圆的方程;（2）当轴时，A，B的坐标为，,易知，不满足题意；当AB与x轴不垂直时，设直线l的方程为，联立椭圆方程得到根与系数的关系,将用表示,解方程即可。【详解】(1）依题意，,故．将点代入椭圆方程得，，所以，所以C的方程为．（2）由（1）知,的坐标分别为,．设,,①当轴时，A，B的坐标为，,则,不满足题意．②当AB与x轴不垂直时，设直线l方程为，代入得：．所以，，，因为，，所以．因为,所以．依题意得：，解得，即．综上，直线l的方程为或．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，是一道中档题。20。下图是某校某班44名同学的某次考试的物理成绩y和数学成绩x的散点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B．经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常,B生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理,得到一些统计量的值：，,，，，其中，分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，．y与x的相关系数．（1）若不剔除A、B两名考生的数据，用44数据作回归分析,设此时y与x的相关系数为，试判断与r的大小关系，并说明理由;（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到），并估计如果B考生参加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分)，物理成绩是多少?（精确到个位）．附：回归方程中，．【答案】（1）；理由见解析；（2）；81分【解析】【分析】（1)结合散点图，可得出结论;（2）利用题中给的相关系数，最小二乘法写出回归直线方程，再令x＝125，即可算出答案；【详解】（1）．理由如下：由图可知，y与x成正相关关系，①异常点A，B会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其回归直线的总偏差更大,回归效果更差，所以相关系数更小．③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大．④42个数据点更贴近其回归直线l．⑤44个数据点与其回归直线更离散．（以上理由写出任一个或其它言之有理均可得分）（2）由题中数据可得：,，所以，，所以，将代入,得，所以估计B同学的物理成绩约为81分．【点睛】本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数据分析、数学运算等数学核心素养,是一道中档题.21。已知函数，为的导函数．（1）设,求的单调区间；（2）若，证明:．【答案】（1)的单调递增区间；单调递减区间;（2)详见解析．【解析】【分析】（1）先对求导，然后结合导数符号可求函数的单调区间；（2）要证明：，只要证，构造函数，，结合导数及函数性质可证．【详解】（1）由已知,，所以，，令，得，解得，令,得，解得,故的单调递增区间;单调递减区间（2)要证,只需证：．设，，则．记，则．当时，，又，，所以；当时，，,所以，又，，所以．综上，当时，恒成立，所以在上递增．所以，，即，所以，在上递增，则,证毕．【