小学奥数之质数与合数解题(完整版)

小学奥数小学奥数之质数与合数解题

4-1-1.几何图形认知及简单计算4-1-1.几何图形认知及简单计算5-3-1.质数与合数（一）5-3-1.质数与合数（一）知识框架知识框架掌握质数与合数的定义能够用特殊的偶质数2与质数5解题能够利用质数个位数的特点解题质数、合数综合运用知识点拨知识点拨一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.例题精讲例题精讲模块一、判断质数合数下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【考点】判断质数合数【难度】1星【题型】填空按要求编号排序，并画出质数号码：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；1234567891011121314杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；1516171819202122232425262728九天九霄志凌云，九七共庆手相握；2930313233343536373839404142聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．4344454647484950515253545556将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．【答案】少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。如6=3+3，12=5+7，等。那么，自然数100可以写成多少种两个不同质数的和的形式？请分别写出来（100=3+97和100=97+3算作同一种形式）。【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第13题，15分逐一试验，可知：为所有符合条件的情况，所以共种。【答案】在19、197、2009这三个数中，质数的个数是（）.

（A）0(B)1(C)2(D)3【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛初赛第4题19是常见的质数，197容易检验知也是质数，本题主要是考查2009这个数是否是质数。实际上，2009=7×41，是个合数，所以在19，197，2009这三个数中有2个质数。正确答案为C。【答案】大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数？．【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】填空【关键词】祖冲之杯注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，质数是314159．【答案】质数是314159用L表示所有被3除余1的全体正整数．如果L中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L—质数”．问：第8个“L—质数”是什么？【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】填空【关键词】保良局亚洲区城市小学数学邀请赛“L数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…．“L—质数”应为上列数中去掉1，16，28，…，即为4，7，10，13，19，22，25，31，34，…．所以，第8个“L—质数”是31．【答案】319个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】解答我们知道任意连续9个自然数中最多有4个质数，本题考察对100以外的质数的熟练情况，有101，103，107，109是4个质数。【答案】101，103，107，109是4个质数从以内的质数中选出个，然后把这个数分别写在正方体木块的个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】解答小于的质数有，，，，，，，，其中.每个木块掷在地上后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是，最大是，经试验，三个数的和可以是从到的所有奇数，所有可能的不同值共有个。【答案】22自然数是一个两位数，它是一个质数，而且的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】解答【关键词】全国小学奥林匹克这样的自然数有4个：23，37，53，73．【答案】4小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为，其中，而且和都是质数(和是两个数字)．具有这种形式的数共有多少个？【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】解答若两位数、均为质数，则、均为奇数且不为5，故有1331，3113，1771，7117，7337，3773，9779，7997共8个数．【答案】8炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组．例如，时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而，，是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．【考点】判断质数合数【难度】3星【题型】填空【关键词】南京市青少年“科学小博士”思维训练最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中．而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：【答案】5、17、29答案不唯一图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?【考点】判断质数合数【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，口试质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．【答案】质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？【考点】判断质数合数【难度】3星【题型】解答【关键词】全国小学数学奥林匹克由于质数除了2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列．切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选9，第二位选8，第三位最大可以选7，但7与8之和不是质数，再改选5，8与5之和是质数，符合要求．第四位可选剩余的最大数字6，如此类推……十位可选3，个位选2．所以，可以读到的最大数是98567432．数字排列如下图．【答案】98567432九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？原有多少辆大巴？【考点】判断质数合数【难度】3星【题型】解答【关键词】祖冲之杯仍按每车坐22人计算，少开一辆车将有23人无座位，这些人刚好平均分乘余下的车，23是质数，所以余下23辆车，原有24辆车，原有老人(个)．【答案】24辆车，529位老人一个两位数，数字和是质数．而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数．满足条件的两位数为【考点】判断质数合数【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第4题，8分两位数乘以3之后，数字和一定被3整除。又因为是质数，所以只能是3。有102，111，120，201，210这五种情况。依次分析：3倍 原数 数字和 5倍 数字和 7倍 数字和102 34 7（质） 170 8（合）111 37 10（合）120 40 4（合）201 67 13（质） 335 11（质） 469 19（质）210 70 7（质） 350 8（合）所以，满足条件的两位数为67【答案】三位数满足：它的所有质因数之和是。这样的三位数有个。【考点】判断质数合数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，1试，第6题以内的质数有、、、、、、、、，所以这样的三位数有个。【答案】模块二、质数个位性质哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以袤示成两个质数之和”。问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中的一个的个位数宇是1?【考点】偶质数2【难度】2星【题型】填空【关键词】华杯赛初赛第8题个位数字是1的两位质数有：11，31，41，61，71，其中168－11＝157，168－31＝137，168－41＝127168－61＝107，都不是两位数，只有168－71＝97是两位数．而且是质数．所以168＝71＋97是唯一的解【答案】与有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是______，最大是______。【考点】判断质数合数【难度】3星【题型】解答【关键词】走美杯，四年级，初赛，第7题数要最小，首先位数高的要尽可能的小，则最小的为112，最大的为711.【关键词】最小的为112，最大的为711万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【考点】质数个位性质【难度】2星【题型】解答【关键词】俄罗斯数学奥林匹克因为是质数所以个位数不可能为偶数0，2，4，6，8也不可能是奇数5．如果末位数字是3或9，那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了．所以个位数只能是7．这个三位质数可以是167，257，347，527或617中间的任一个．【答案】可以是167，257，347，527或617中间的任一个从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12.这样的数有几组？【考点】质数个位性质【难度】2星【题型】解答考虑到质数中除了2以外其余都是奇数，因此这5个质数中不可能有2；又质数中除了2和5，其余质数的个位数字只能是1、3、7、9.若这5个质数中最小的数其个位数字为1，则比它大24的数个位即为5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为3，则比它大12的数个位即为5，也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是7和9，因此最小的数只能是5，这5个数依次是5，17，29，41，53.这样的数只有一组.【答案】1组若、、都是质数，则__________（是指十位数字为1，个位数字为的两位数)【考点】质数个位性质【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第2题是质数，只能为2、3、5、7，但是12、15、27都不是质数，所以=3【答案】已知，，，，都是质数，那么。【考点】质数个位性质【难度】2星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级由于，，，除以的余数分别为，，，所以，，，，这个数除以的余数互不相同，那么其中必然有除以余的，也就是有的倍数，而这个数都是质数，那么只能是。由于，，，都比大，所以为。【答案】5某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来.【考点】质数个位性质【难度】2星【题型】解答有六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47.【答案】6个，11，13，17，23，37，47.有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来.【考点】质数个位性质【难度】3星【题型】解答抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数.这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31.【答案】2，3，13，23，31用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数.【考点】质数个位性质【难度】3星【题型】解答要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多可以组成6个质数。【答案】6用0-9这10个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是。【考点】质数个位性质【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第4题，10分2+3+5+67+89+401=567.【答案】用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是________．【考点】质数个位性质【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初试，第5题）根据题意，这些合数之和要尽量的小，首先要选择这些合数中是本身是合数的，有4、68、9，还剩下0、1、2、3、5、7这六个数构成两位数为合数，让十位上的数尽量的小，则为1、2、3，个位上的数有0、5、7，根据题意，10、27、35或15、27、30均为合数，所以合数的最小值为：4+6+8+9+10+27+35=99。【答案】用数字卡片1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，7，9，9（不允许把6倒过来当作9，也不许把9倒过来当作6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于________．【考点】质数个位性质【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第2题；；；和为【答案】如果一些不同质数的平均数是21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？【考点】质数个位性质【难度】3星【题型】解答如果想使得这些质数中最大的一个尽可能大，那么一定要求这些质数在满足平均数为21的条件下数量尽可能多，且比21大的质数只能有一个。21以下的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，则说明这些质数最多可能有8+1=9个，则大于21的那个数为21+19+18+16+14+10+8+4+2=112，但112不是质数。分析原因，发现在上面算式中有一个除了21以外的奇数19，使得结果为偶数，说明在原来的一组质数中不能有2，否则无法使得比21大的数是质数。去掉2再次求和为112-19=93，仍然不是质数，则可以做微调93-4=89，即在原来的一组质数中再去掉一个17即可，这组数为3，5，7，11，13，19，89，最大的一个是89。【答案】89如果某整数同时具备如下三条性质：①这个数与1的差是质数，②这个数除以2所得的商也是质数，③这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数【考点】质数个位性质【难度】3星【题型】解答由条件②可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数的两倍，即此幸运数为2，则的所有可能取值为5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。于是2-1的所有可能取值为9，13，21，25，33，37，45，57，61，73，81，85，93。根据题目条件①，2-1应为质数，因此2-1只可能为13，37，61或73。再由条件③知2-1除以9所得的余数应为4，于是2-1只可能是13，从而这个幸运数只能是2=14。【答案】14

5-3-2.质数与合数（二）5-3-2.质数与合数（二）知识框架知识框架掌握质数与合数的定义能够用特殊的偶质数2与质数5解题能够利用质数个位数的特点解题质数、合数综合运用知识点拨知识点拨一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.。例题精讲例题精讲模块一、偶质数2如果都是质数，并且，则的最小值是_________【考点】偶质数2【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，17题本题考察的是最小的偶质数2，所以最小是2. 【答案】两个质数之和为，求这两个质数的乘积是多少.【考点】偶质数2【难度】2星【题型】解答因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是，另一个是，乘积为.我们要善于抓住此类题的突破口。【答案】74将1999表示为两年质数之和：l999=口+口，在口中填入质数。共有多少种表示法?【考点】偶质数2【难度】2星【题型】填空【关键词】华杯赛初赛第1题因为两个奇数的和是偶数，所以将1999表示成两个质数的和，这两个质数中必有一个是偶数，因而也就是2，另一个是1999－2＝1997即1999＝2十1997，只有一种填法(我们将2＋1997与1997＋2作为同一种)．【答案】一种A，B，C为3个小于20的质数，，求这三个质数.【考点】偶质数2【难度】2星【题型】解答因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是，另两个奇质数之和为，又因为这三个数都要小于，所以只能为和，所以这三个质数分别是，，.【答案】，，把100分拆成三个质数（只能被1和它本身整除且大于1的自然数叫做质数）的和，共有_____种方法。【考点】偶质数2【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，四年级，初赛，第6题100是个偶数，拆成3个质数之和，而质数中除2以外，其他的都是奇数，3个奇数之和为奇数，所以其中必有2，现在知两个质数之和为98，则可拆成61+37、67+31、19+79。所以共有3种方法。【答案】种已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？【考点】偶质数2【难度】2星【题型】解答最小的合数是4，其平方为16．我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这3个质数中必然有2，那么其余2个的和是14，只能一个是3一个是11，因此这3个质数的乘积是．【答案】667个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？【考点】偶质数2【难度】2星【题型】解答因为7个质数的和是偶数，所以这7个质数不可能都是奇数.我们知道是偶数的质数只有2，因此这7个质数中必有一个是2.又因为2是最小的质数，并且这7个连续质数是从大到小排列的，所以.其他6个数从大到小依次是17、13、11、7、5、3.这样.【答案】7如果a，b均为质数，且，则______.【考点】偶质数2【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第8题，4分根据题意a,b中必然有一个偶质数2，，当时，，当时不符合题意，所以.【答案】7如果a，b均为质数，且3d＋7b＝41，则a＋b＝________。【考点】偶质数2【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第9题，4分根据奇偶性我们可以知道a、b中必然有一个是2，若a=2，则b=7,满足题意；若b=2,则a=9，与题意不符。所以a为2、b为7，则a+b=9。【答案】已知P,Q都是质数，并且，则=【考点】偶质数2【难度】3星【题型】填空本题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。通过观察发现题目中有2个未知数，但是都是质数，从结果上看2003是一个奇数，那么前面2个乘积必须为1个奇数1个偶数，那么P和Q中必须有一个是2才可以。由大小关系可以发现只能Q是2，解出P=199,P×Q=398。【答案】398都是质数，如果，那么。【考点】偶质数2【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，6分由于342是2的倍数，不是4的倍数，所以与为一奇一偶，则或者为质数2，令，而342=2×3×3×19，则或者或者，对应的为7或者55或者169，只有7是质数，所以=7。【答案】三个质数△、、，如果△1，△，那么△是多少？【考点】偶质数2【难度】3星【题型】填空除了2以外的质数都是奇数，这样的两个奇数相加必然得偶数不成立，所以△、必有一个偶质数2，又因为△1，所以△2【答案】2，，都是质数，并且，，，那么____。【考点】偶质数2【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第8题，5分为奇数，所以a=2，b=31，c=13，d=53，那么cd=13×53=689【答案】已知是质数，也是质数，求是多少？【考点】偶质数2【难度】3星【题型】解答是质数，必定是合数，而且大于1．又由于是质数，大于1，一定是奇质数，则一定是偶数．所以必定是偶质数，即．【答案】2029当p和+5都是质数时，+5=。【考点】偶质数2【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第6题，6分p和p3+5奇偶性不同，所以较小的p一定是2，所以p3+5=13，+5=【答案】是质数，，，都是质数．求是多少？【考点】偶质数2【难度】3星【题型】解答由题意知是一个奇数，因为，，所以是3的倍数，所以【答案】34只同样的瓶子内分别装有一定数量的油．每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13．已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？【考点】偶质数2【难度】3星【题型】解答由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是瓶油(连瓶)重量之和的倍，即瓶油(连瓶)共重()(千克)而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于是唯一的偶质数，只有两种可能：⑴油重之和为千克，瓶重之和为千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为(千克)．⑵油重之和为千克，瓶重之和为千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为(千克)，这与油重之和千克矛盾．因此最重的两瓶内共有千克油。【答案】12三个数都是质数，它们的倒数和的倒数是_______。【考点】偶质数2【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，初赛，第12题，6分P与P+1和+2奇偶性不同，所以P只能是2,另外两个是3和5，所以它们的倒数和的倒数是.【答案】用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．【考点】偶质数2【难度】3星【题型】解答【关键词】小学数学夏令营除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5，7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}．即共有10种不同的方法．【答案】10如果一些不同质数的平均数为21，那么它们中最大的一个数的最大可能值为．【考点】偶质数2【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，复赛，4题对于任意一组数，其中大于平均数的超出部分之和一定等于小于平均数的不足部分之和，所以为了使这些质数中最大的数更大，应该尽可能多地取小于21的质数，由于大于21的所有质数都是奇数，所以大于平均数21的超出部分之和一定是偶数，相应的所取的小于21的质数与21的差之和也应该是偶数，所以唯一的偶质数2是不能取的，因为它与21的差为奇数．剩下7个数的和是75，21×8-75=93，小于93的最大的质数是89．当这些质数取3，5，7，11，13，19，89时符合条件．【答案】模块二、质数5已知，，，，都是质数，那么。【考点】质数【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，第4题由于，，，除以的余数分别为，，，所以，，，，这个数除以的余数互不相同，那么其中必然有除以余的，也就是有的倍数，而这个数都是质数，那么只能是。由于，，，都比大，所以为。【答案】模块三、数字的拆分将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？【考点】数字的拆分【难度】2星【题型】解答最大的质数必大于5，否则10个质数之和将不大于50，又60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即8个7与2个2的和为60，故其中最大的质数是7．【答案】7将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？【考点】数字的拆分【难度】2星【题型】解答若要求最大的质数尽可能大，则其余9个质数应尽可能小，最佳的方案是9个2。但是此时剩余的数为32，不是质数，所以退而求其次，另其余9个数为8个2，1个3，那么第10个数为31【答案】31将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？【考点】数字的拆分【难度】3星【题型】解答枚举法：有些学生会问，老师：什么时候用枚举法？1.数不大，种类比较少2.没有规律，不能用排列组合等方法3.能有方法做的时候建议不采用枚举的方法37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+197+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17共有10种不同的拆法，其中3×5×29=435最小【答案】10种，最小乘积为435甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是13，甲比乙大13岁，那么乙今年多大？【考点】数字的拆分【难度】3星【题型】解答个位与十位数字之和为13，那么这样的质数在两位数中只有67，三位数中为167，再继续则不符合常理，所以甲乙年龄有可能分别为40,27岁，或者90，77岁，所以乙的年龄可能为27岁或77岁。【答案】27或77三位数满足：它的所有质因数之和是。这样的三位数有个。【考点】数字的拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，1试以内的质数有、、、、、、、、，所以这样的三位数有个。【答案】13个从20以内的质数中选出6个数，写在一个正方体的六个面上，使两个相对面的和都相等，所选的6个数是__________________【考点】数字的拆分【难度】3【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第6题20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19.显然2不能入选，否则会出现有的和为奇数，有的和为偶数的情况，那么还剩下3，5，7，11，13，17，19这7个数。从中选择6个，相当于从中剔除1个。由于这7个数的和为，是3的倍数，而选出的6个数之和也是3的倍数，所以被剔除的那个数也是3的倍数，只能是3。所以选出的6个数是：5，7，11，13，17，19.【答案】5，7，11，13，17，19.已知n个自然数之积是2007，这n个自然数之和也是2007，那么n的值最大是_______。【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第10题，5分为了构造和与积都等于2007的一组自然数，首先把2007拆成若干个整数之积，然后把和不足的地方用1补足。容易看出来，2007拆分成的整数越多，它们的和就越小，需要添加的1也就越多。2007的质因数分解式是32×223，3+3+223=229，还需要补2007-229=1778个1。所以共有1781个。【答案】

5-3-3.质数与合数（三）5-3-3.质数与合数（三）知识框架知识框架掌握质数与合数的定义能够用特殊的偶质数2与质数5解题能够利用质数个位数的特点解题质数、合数综合运用知识点拨知识点拨一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.例题精讲例题精讲模块一、质数合数综合写出10个连续自然数，它们个个都是合数．【考点】质数合数综合【难度】2星【题型】解答在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96．我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了．用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．同学们可以在这里随意截取10个即为答案．可见本题的答案不唯一．【答案】114，115，116，117，118，119，120，121，122，123老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找200个连续的自然数它们个个都是合数．【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数第10个是11的倍数，那么这10个数就都是合数．又，m3，，m11是11个连续整数，故只要m是2，3，，11的公倍数，这10个连续整数就一定都是合数．设m为2，3，4，，11这10个数的最小公倍数．m2，m3，m4，，m11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数11的倍数，因此10个数都是合数．所以我们可以找出2，3，411的最小公倍数27720，分别加上2，3，411，得出十个连续自然数27722，27723，2772427731，他们分别是2，3，411的倍数，均为合数．说明：我们还可以写出(其中n！123n)这10个连续合数来．同样，是m个连续的合数．那么200个连续的自然数可以是：【答案】四个质数2、3、5、7的乘积为，经验证200到220之间仅有一个质数，请问这个质数是。【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级四个质数乘积＝210；200到220的质数，因为210＝，所以，，，，，，，，都是合数，所以只需要判断中谁是质数即可，209和211中211是质数。【答案】积为210，质数是211有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答略【答案】例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，就是说它们都不是质数．有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是……，我们注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被2、3、4、…、(n+1)整除，它们是连续的n个合数．其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n．如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是几？【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答首先我们可以分析出大多数自然数都是智康数，所以核心的思想是找到智康数与其他自然数的“分界线”。我们知道最小的三个不同合数是4,6,8，它们的和是18,则比18小的数一定都是智康数，而比18大的数中，我们可以分为与18的差是“奇数”或者是“偶数”。如果与18的差是偶数，那么这类自然数一定不是智康数，可以写作4+6+(8+2n),如果与18的差是一个奇数，那么可以写作4+(6+2n)+(8+1)也不是一个智康数，所以最大的智康数为17。【答案】17将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（）【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】填空首先列出前几个合数4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想A尽量小，这两个数也不能都同时为奇数，因为奇合数比较少，找出8个来必然很大。所以应该是一奇一偶，经试验得A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即A的最小值为29。大部分的题考的都是质数，此题考合数，重在强化