浙江省北斗联盟2022-2023学年高二下学期数学期中联考试卷

浙江省北斗联盟2022-2023学年高二下学期数学期中联考试卷一、单选题1．已知集合A={−2，−1，0，A．{−2，−1，C．{0，1} 2．设复数z满足z⋅(1+2i)=5，则z的虚部是（）A．2 B．2i C．-2 D．−2i3．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（）A．12小时 B．78小时 C．34小时 4．平面向量a与b相互垂直，已知a=(6，−8)，|b|=5，且bA．(−3，−4) B．(4，3) C．5．定义运算：|a1a3 a2a4A．π3 B．2π3 C．4π36．概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是A．甲48枚，乙48枚 B．甲64枚，乙32枚C．甲72枚，乙24枚 D．甲80枚，乙16枚7．已知a=log23，b=log34，c=logA．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a8．已知函数f(x)=|x|ex，若关于x的方程fA．(1，1+1e)C．(1，e2二、多选题9．已知数列{aA．若a1=2B．若a1=1C．若Sn=3D．若a1=110．如图所示，在正方体ABCD−A1B1CA．C1B．A1C⊥C．直线A1C1与平面D．直线A1C和直线11．已知顶点在原点O的抛物线x2=2py，(p>0)，过抛物线焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，当直线l垂直于y轴时，A．抛物线方程为x2B．若AB=12，则AB的中点到x轴距离为4.C．△ABO有可能为直角三角形.D．|AF|+4|BF|的最小值为18.12．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k>0且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，圆C：A．1 B．3 C．5 D．7三、填空题13．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a14．写出一个满足下列条件的正弦型函数：f(x)=.最小正周期是π；f(x)在[0，π4]上单调递增；）∀x∈R，都存在15．点F1是抛物线C：y2=4x的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A16．已知ΔEAB所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，且满足EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体四、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=5（1）求边BC的长以及三角形ABC的面积；（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADB=18．为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW·h），并将得到数据按如下方式分为9组：[0，40），[40，80），…，[320，360]，绘制得到如下的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在[160，200）的用户数量；（2）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0，40）和[320，360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率．19．已知数列{an}（1）求数列{a（2）设bn=an(20．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C（1）求证：AB⊥平面BCC（2）已知AC=2BC=2，直线BB1与底面ABC所成角的大小为π321．已知双曲线C：x2a2（1）求双曲线C的方程：（2）过点F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，交y轴于点P，若PA=m（3）在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求三角形QAB的面积的取值范围.22．已知函数f(x)=aln（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)有经过原点的切线，求a的取值范围及切线的条数，并说明理由；（3）设函数g(x)=f(x)−x的两个极值点分别为x1，x2，且满足

答案解析部分1．【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】【解答】因为A={−2，−1，0，故答案为：B.

【分析】根据交集的定义进行运算可得答案.2．【答案】C【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】因为z⋅(1+2i)=5，所以z=5所以z的虚部是−2，故答案为：C.

【分析】根据复数的乘除运算化简z，再根据复数的概念可得答案.3．【答案】B【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】如图，依题意可知R=2r，VV小=13π故答案为：B．

【分析】根据题意，问题转化为求V大4．【答案】D【知识点】向量的模；平面向量数量积的运算【解析】【解答】设b=(x，y)，则由题意得a解得x=4y=3或x=−4设c=(1，0)，当b又因为向量夹角范围为[0，当b=(−4，−3)故答案为：D.

【分析】设b=(x，y)5．【答案】C【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】因为|a1a2a3a4|=a1a4−a2a3，所以故答案为：C.

【分析】由条件利用三角恒等变换、三角函数图象变换规律，可得f(x)6．【答案】C【知识点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为12假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率P1乙获取96枚金币的概率P2则甲应该获得96×34=72故答案为：C．

【分析】根据题意，计算甲乙两人获得96枚金币的概率，由此分析可得答案.7．【答案】D【知识点】函数单调性的性质；对数的运算性质；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】a=log23=ln3令f(x)=ln(x+1)ln则f′因为x≥2，所以x(x+1)l令g(x)=xlnx，g′(x)=ln故xln所以f′(x)=x故f(x)=ln(x+1)ln所以ln3ln故答案为：D

【分析】对a，b，c进行变形，构造f(x)=ln(x+1)ln8．【答案】D【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【解析】【解答】∵f(x)=|x|当x≥0时，f(x)≥0（当0≤x<1时，f′(x)>0当x>1时，f′(x)<0f(x)在x=1处取得极大值f(1)=1当x<0时，f′(x)=作出函数f(设t=f(当t>1e时，方程当t=1e时，方程当0<t<1e时，方程当t=0时，方程t=f(当t<0时，方程t=f(方程f2(x)−mf(x)−m+1=0等价为要使关于x的方程f2等价为方程t2−mt−m+1=0有两个不同的根t1，t设g(则g(0)故答案为：D．

【分析】对x分情况讨论，分别利用导数得到函数f(x)的单调性，从而得到函数f(x)的大致图象，设t=f(x)，关于x的方程f2(x)−mf(x)−m+1=0恰有4个不相等的实数根，等价为方程t2−mt−m+1=0有两个不同的根t1，9．【答案】A,B【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列递推式【解析】【解答】A.由a1=2，B.由a1=1，所以数列{an+1则an+1=2×3n−1C.由Sn=3n+当n=2时，a当n=3时，a3显然a22≠D.由an+1=2所以数列{1an所以1an=1+12故答案为：AB

【分析】利用递推公式可判断A；可得an+1+1=3(an+1)，即可得数列{an+1}是以a1+1=210．【答案】A,B,C【知识点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【解析】【解答】由正方体的特性可知，A1C为正方体ABCD−A1B1C1D1的体对角线，A1C⊂平面ACC1A1，平面由正方体的特性可知，BD⊥平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，故A1设正方体的边长为1，直线A1C与平面ACC1A1的夹角为θ，则A1C1=2直线A1C与直线故答案为：ABC.

【分析】根据正方体的结构特征，结合线面垂直的判定定理、直线与平面所成的角以及异面直线的定义，逐项进行判断，可得答案.11．【答案】A,B,D【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】当直线l垂直于y轴时，△ABO面积为p22=8若AB=12，有A、B两点到准线距离之和为12，则AB的中点到准线距离为6，故AB的中点到x轴距离为6−2=4，B符合题意；设直线AB：y=kx+2，联立x2=8y可得x2−8kx−16=0，由韦达定理知x1x2一定是钝角三角形，C不符合题意；|AF|+4|BF|=y故答案为：ABD

【分析】利用抛物线的定义可判断A、B；设直线AB：y=kx+2与抛物线方程联立，结合韦达定理和数量积的运算，可判断C；利用基本不等式可判断D.12．【答案】A,C【知识点】轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定【解析】【解答】设动点P(x，y)，由|PA|=2|PO|，得整理得(x+1)2+y又圆C：(x−2)2+y圆C：(x−2)2+y当两圆外切时，r+2=3，得r=1，当两圆内切时，|r−2|=3，r>0，得r=5．故答案为：AC.

【分析】设出动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程，由点P是圆C：13．【答案】5【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【解析】【解答】设等差数列的公差为d，首项为a1则a1+2d+a1+5d=40故答案为：52

【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，可得答案.14．【答案】2sin(2x−π【知识点】正弦函数的单调性；正弦函数的周期性【解析】【解答】设f(因为∀x∈R，都存在x0使得f(x)≤f(x0)=2，所以因为f(x)最小正周期为π，所以T=π=2πω，ω=2，则f(x)=2所以∃k∈Z，[φ，当k=0时，−π2≤φ≤0，不妨取φ=−故答案为：2sin(2x−π

【分析】设f(x)=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0，根据∀x∈R，都存在x0使得f(x)≤f(x0)=2，可得A=2，根据15．【答案】2【知识点】导数的几何意义；椭圆的定义；椭圆的简单性质【解析】【解答】由题意知F1(1，0)，F2故y′=1x，所以A(1，2)，又点A恰好在以F1，F2为焦点的椭圆上，所以2a=AF所以，e=2c故答案为：2

【分析】设A(x0，y0)，(y0>0)，则A在函数16．【答案】16π【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】取AB中点F，G是矩形ABCD对称线交点，连接EF，FG，作OG//EF，由已知ΔEAB是等边三角形，EF⊥AB，又平面EAB⊥平面ABCD，EF⊂平面EAB，平面EAB∩平面ABCD=AB，∴EF⊥平面ABCD，则OG⊥平面ABCD．设O是E−ABCD外接球球心，由EF⊥平面ABCD和OG⊥平面ABCD得OG⊥AG，OGFE是直角梯形，设OE=OB=R，而FG=12AD=1，BG=∴(EF−即(332∴S=4πR故答案为：16π．

【分析】取AB中点F，G是矩形ABCD对称线交点，连接EF，FG，作OG//EF，可设O是外接球球心，求出半径即可得多面体E−ABCD的外接球的表面积.17．【答案】（1）解：在△ABC中，因为b=5，c=2，由余弦定理b2得5=2+所以a2−2a−3=0解得：a=3或所以BC=3，S（2）解：在△ABC中，由正弦定理bsin得5sin所以sin在△ADC中，因为cos∠ADC=所以∠ADC为钝角.而∠ADC+∠C+∠CAD=180所以∠C为锐角故cos因为cos∠ADC=−所以sin∠ADC=sin∠DAC===由题可知∠DAC为锐角，cos所以tan∠DAC=【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】(1)在△ABC中，由余弦定理可得a=3，即得BC的值，再由S△ABC=118．【答案】（1）解：由直方图可得，样本落在[0，40)，[40，80)，落在[200，240)，[240，280)，因此，样本落在[160，1−(0所以样本中用电量在[160，200)的用户数为（2）解：由题可知，样本中用电量在[0，在[320，360]的用户有2户，设编号分别为a，则从6户中任取2户的样本空间为：Ω={(1，2)，则A={(1，所以n(A)=8，从而P(A)=n(A)所以走访对象来自不同的组的概率为815【知识点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】【分析】(1)由频率分布直方图中的数据，由频率的定义计算出样本落在[160，200)的频率，由此计算出结果即可。19．【答案】（1）解：因为1+a当n=1时，可得1+a当n≥2时，可得1+a1+两式相减得nan=所以数列{an（2）解：当n=1时，b1当n≥2时，bn则S=1【知识点】数列的求和；数列递推式【解析】【分析】(1)由1+a1+2a2+3a3+⋯nan=(n−1)⋅220．【答案】（1）证明：因为点B1在底面ABC内的射影恰好是点C所以B1C⊥面因为AB⊂面ABC，所以B1C⊥因为D是AC的中点，且满足DA=DB．所以DA=DB=DC，所以∠DAB=∠DBA，∠DCB=∠DBC.因为∠DAB+∠DBA+∠DCB+∠DBC=π，所以∠DBA+∠DBC=π2，即∠ABC=π2，所以因为B1C∩BC=C，BC⊂面BCC1B所以AB⊥平面BCC（2）解：∵B1C⊥面ABC，∴直线BB1与底面ABC所成角为因为BC=1，所以B由（1）知，∠ABC=π2，因为AC=2BC=2，所以∠BAC=π如图示，以C为原点，CA，则C(0，0，0)，B(12，32，0)，D(1，0，0)设C1(x，y，z)，由CC1=则BC设平面BDC1的一个法向量为n=(x，y，z)n·BC1=−x−因为B1C⊥面ABC，所以面DBC记二面角C−BD−C1的平面角为θ，由图知，所以cosθ=|cos〈所以二面角C−BD−C1的大小为【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）利用点B1在底面ABC内的射影恰好是点C，所以B1C⊥面ABC，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以B1C⊥AB，再利用D是AC的中点，且满足DA=DB，所以DA=DB=DC，所以∠DAB=∠DBA，∠DCB=∠DBC，再利用∠DAB+∠DBA+∠DCB+∠DBC=π，所以∠DBA+∠DBC=π2，所以BC⊥AB，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出AB⊥平面BCC1B1。

（2）利用B1C⊥面ABC，得出直线BB1与底面ABC所成角为∠B1BC，从而求出21．【答案】（1）解：依题意，双曲线C的左焦点为F′C的实轴长2a=|MF因此a=3所以双曲线C的方程为x2（2）解：由（1）知，双曲线C的渐近线方程为y=±3依题意，直线l的斜率k存在，且|k|>3设直线l的方程为：x=ty+2，由x=ty+2x2−3y2=3，消去则y1而点P(0，−2因为PA=mAF，则有y1+2所以m+n=−2−2（3）解：由（2）知，点Q(0，2t)，S因为0<|t|<3，令u=1+t2∈(1，2)，而函数y=因此0<41+t所以三角形QAB的面积的取值范围(4【知识点】基本不等式；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由双曲线过点M和右焦点F的坐标及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出双曲线C的方程；

(2)设直线l的方程为：x=ty+2，t=1k，0<|t|<322．【答案】（1）解：当a=1时，f(x)=lnx+当x>1时，f′(x)>0，当0<x<1时，∴单调递减区间为(0，1)（2）解：f(x)=alnx+1∵f′(x)=a∴a−1x0显然a≠0，∴2a设g(x)=x−xlnx，x>0当x>1时，g′(x)<0，当0<x<1时，∴g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)且g(e)=0；当0<x<e时g(x)>0；当x>e时g(x)<0，作出g(x)的大致图象，如图，若f(x)有经过原点的切线，则直线y=2a与由图可知，0<2a≤1或2a<0，即a其中，当2a=1或2a<0，即当0<2a<1综上：a=2或a<0时，有且仅有一条切线，a>2时，存在两条切线.（3）解：g(x)=f(x)−x=aln∴g′∵x1，x∴x1，x∴Δ=a2−4>0x1则g(=2aln∴g(x由g(x1)−g(x2令ℎ(x)=lnxx−1∴ℎ(x)在(0，1)上单调递增，且∴ℎ(x1)≤ℎ(1函数y=x+1因为y′=1−1x2∴a=x【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】(1)根据导数和函数单调性的关系即可求出函数f(x)的单调区间；

(2)设切点为(x0，y0)，根据导数的几何意义和斜率公式可得2a=x0−x0lnx0，再构造函数g(x)=x−xlnx，x>0，利用导数求出函数g(x)的值域，再分类讨论即可求出a的取值范围及切线的条数；

(3)根据函数

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：40分分值分布客观题（占比）24.0(60.0%)主观题（占比）16.0(40.0%)题量分布客观题（占比）12(54.5%)主观题（占比）10(45.5%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）填空题4(18.2%)4.0(10.0%)解答题6(27.3%)12.0(30.0%)多选题4(18.2%)8.0(20.0%)单选题8(36.4%)16.0(40.0%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(72.7%)2容易(22.7%)3困难(4.5%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号1直线与平面所成的角2.0(5.0%)102频率分布直方图2.0(5.0%)183椭圆的简