高中数学培优讲义练习（必修二）：综合测试卷：必修二全册（提高篇）（教师版）

必修二全册综合测试卷（提高篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023春·浙江·高三开学考试）复数z1=−12−32i，复数A．z2=−1C．z2的虚部为32i 【解题思路】由已知求出z2【解答过程】对于A，由已知可得，z2==−21−3对于B，因为z2=−1对于C，根据复数的概念可知z2的虚部为3对于D，根据复数的概念可知z2在复平面内对应的点为−故选：C.2．（5分）（2023秋·北京·高一期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为x1,x2,⋯,xn，且数据xA．若数据x1,x2,⋯,B．若数据x1,x2,⋯,C．若数据x1,x2,⋯,D．若数据x1,x2,⋯,【解题思路】根据数据的平均数，方差，百分位数的性质逐项进行检验即可判断.【解答过程】对于A，数据x1,x2,⋯,xn的方差s对于B，数据x1,x2,⋯,xn，的平均数为x对于C，数据x1,x2,⋯,xn的方差为s对于D，数据x1,x2,⋯,xn故选：C.3．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知事件A，B，C的概率均不为0，则PA=PBA．PA∪B=PAC．PAB=P【解题思路】根据和事件的概率公式判断A、B，根据积事件的概率公式判断C、D.【解答过程】解：对于A：因为PA∪B=PA只能得到PA∩B=0，并不能得到对于B：因为PA∪CPB∪C由PA∪C=PB∪C由于不能确定A，B，C是否相互独立，故无法确定PA对于C：因为PAB=P又PAB=P对于D：由于不能确定A，B，C是否相互独立，若A，B，C相互独立，则PAC=PA则由PAC=PBC故由PAC=PBC故选：C.4．（5分）（2022·高二单元测试）某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34、23，两人能否获得满分相互独立，则下列说法正确的是（A．两人均获得满分的概率为1B．两人至少一人获得满分的概率为7C．两人恰好只有甲获得满分的概率为3D．两人至多一人获得满分的概率为11【解题思路】利用独立事件同时发生的概率公式和对立事件概率公式计算各自的概率，进而作出判定【解答过程】解：∵甲、乙两人能得满分的概率分别为34、2两人能否获得满分相互独立，分别记甲，乙能得满分的事件为M，N，则PM=34，PN∴两人均获得满分的概率为PM∩N两人至少一人获得满分的概率为1−PM∩N两人恰好只有甲获得满分的概率为PM∩两人至多一人获得满分的概率为1−PM∩N故选：A．5．（5分）（2023·全国·高三专题练习）对于给定的△ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，则下列结论不正确的是（

）A．AOB．OAC．过点G的直线l交AB、AC于E、F，若AE=λAB，AFD．AH与ABAB【解题思路】根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA⋅OB=OA⋅OC即【解答过程】如图，设AB中点为M，则OM⊥AB，∴AO∴AOOA·OB=OA·OC等价于对于一般三角形而言，O是外心，OA不一定与BC垂直，比如直角三角形ABC中，若B为直角顶点，则O为斜边AC的中点，OA与BC不垂直，故B错误；设BC的中点为D，则AG=∵E，F，G三点共线，∴13λ+AB=ABBCcos∴ABABcosB+AC∴ABABcosB故选：B.6．（5分）（2023·新疆·统考一模）如图，在长方体ABCD−A1B1CA．BB．BD与EF异面C．EH//平面D．平面EFGH//平面【解题思路】根据题目信息和相似比可知，BD1不可能平行于GH，BD与【解答过程】如下图所示，连接A1根据题意，由A1EEB1同理可得GH//CD由GH//CD1，而CD易知BD与EF不平行，且不相交，由异面直线定义可知，BD与EF异面，即B正确；在长方体ABCD−A1B所以EF//GH,EF=GH，即四边形所以EH//FG，又BC//EH⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以EH//平面ABCD由EF//A1B，EF⊄平面A1BCD1，又BC//FG，FG⊄平面A1BCD1，BC⊂平面又EF∩FG=F，且FG,EF⊂平面EFGH，所以平面EFGH//平面A故选：A.7．（2023春·河南·高三开学考试）在△ABC中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=1且b=2，则△ABC周长的最小值为（

）A．7 B．22 C．2+22【解题思路】先利用面积相等与三角形面积公式，结合正弦的倍角公式求得2accos∠ABC2=c+a，再利用余弦定理的推论与余弦的倍角公式得到【解答过程】由题可得，S△ABC=S又BD=1，所以2acsin∠ABC=csin因为0<∠ABC<π，所以0<∠ABC2所以2accos∠ABC2又因为cos∠ABC=c2所以2c+a2ac2所以(c+a)2解得(c+a)2≥8或所以a+c≥22，当且仅当a=c=则b+a+c≥2+22故△ABC周长的最小值为2+22故选：C..8．（5分）（2022春·上海杨浦·高一期末）如图，一张A4纸的长P1P2=2a，宽P1P4①该多面体是三棱锥；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④该多面体外接球的表面积为4π其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】将该多面体放入长方体中，利用题干条件求出长方体的长、宽、高，从而得到该多面体是三棱锥，①正确；求出各边长，求出AP2+CP2=AC2，得到AP⊥同理可证明出平面BAC⊥平面ACD，③正确；长方体的外接球即为该几何体的外接球，求出长方体的体对角线，从而求出外接球半径和表面积.【解答过程】将该多面体放入长方体中，如图，设长、宽、高分别为x,y,z，则x2+y从而该多面体是三棱锥，①正确；由勾股定理得：AP=CP=3a2−a由勾股定理逆定理得AP⊥CP，因为AB=AD=3a，P为BD中点，所以AP⊥因为BD∩CP=P，BD,CP⊂平面BCD，所以AP⊥平面BCD，因为AP⊂平面BAD，所以平面BAD⊥平面BCD，②正确；取AC的中点H，连接HB，HD，因为AB=BC=DA=DC=3a，故BH⊥AC，DH⊥且BH=DH=3a2−a2=2a因为DH,AC⊂平面ACD，且DH∩AC=H，所以BH⊥平面ACD，又因为BH⊂平面BAC，所以平面BAC⊥平面ACD，③正确；从图形可知，长方体的外接球即为该三棱锥的外接球，而长方体的体对角线长为x2+y故该多面体外接球的表面积为4π5a2故选：D.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022秋·江苏南京·高二阶段练习）关于复数z，z1，z2，下列说法正确的是（A．若复数z12B．若z=1，则z=±1C．若复数z13D．若复数z满足1≤z≤3，则复数【解题思路】利用复数的性质判断A，取特殊值判断B，C，根据复数模的几何意义计算复数z对应的点所构成的图形面积判断D.【解答过程】对于选项A，若复数z12=所以z12=对于选项B，令z=12对于选项C，令z1=1，z2此时z1对于选项D，若复数z满足1≤z则复数z对应的点所构成的图形为半径为3和半径为1的两个圆所夹的圆环，所以图形面积为π×3故选：AD．10．（5分）（2023秋·辽宁沈阳·高一期末）下列说法正确的有（

）A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现奇数点”，事件N＝“出现3点或4点”，则PB．袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球．从中依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是3C．甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98D．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为【解题思路】计算古典概率判断A；利用列举法结合古典概型计算判断B；利用对立事件及相互独立事件求出概率判断CD作答.【解答过程】对于A，依题意，事件MN=“出现3点”，而掷骰子一次有6个不同结果，所以PMN对于B，记3个白球为a1,aa1其中两球同色的结果有：a1a2对于C，依题意，“至少一人中靶”的概率为1−(1−0.8)(1−0.9)=0.98，C正确；对于D，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，即在前两个路口都没有遇到红灯，第3个路口遇到红灯，所以到第3个路口首次遇到红灯的概率为(1−1故选：AC.11．（5分）（2022春·重庆北碚·高一阶段练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3bcosC+3ccosA．若B+C=2A，则△ABC的外接圆的面积为3B．若A=π4，且△ABC有两解，则bC．若C=2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为3D．若A=2C，且sinB=2sinC，O为△ABC的内心，则【解题思路】根据条件3bcosC+3ccos选项A：根据条件B+C=2A求角A，根据正弦定理求外接圆的半径，从而求外接圆的面积；选项B：由余弦定理得9=b2+c2选项C：根据正弦定理把边c表示为6cosA，利用△ABC为锐角三角形求角A的范围，从而求边选项D：利用正弦定理求出角C，从而判断出△ABC是直角三角形，利用直角三角形内切圆半径公式求△ABC的内切圆半径，从而求△AOB的面积.【解答过程】因为3bcosC+3ccos即3sin因为A+B+C=π，所以sinB+C=sinA选项A：若B+C=2A，则A=π所以△ABC的外接圆的直径2R=asinA所以△ABC的外接圆的面积为π×选项B：由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA得9=选项C：由正弦定理，得asinA=因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<π20<B<π2所以c=6cos选项D：因为sinB=2sinC因为A=2C，所以sinB=所以由正弦定理bsinB=csin所以sin2C即2sinCcos所以cos2C=34，又因为A=2C，所以C=π6，即△ABC是直角三角形，所以内切圆的半径为r=1所以△AOB的面积为S=1故选：ACD.12．（5分）（2023·湖南·模拟预测）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，CB=2，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，连接AB，AC得到四棱锥A−BCED（如图2），点F为AB的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（

A．当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为3B．四棱锥A−BCED的体积的最大值为3C．若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为3D．若异面直线AC与BD所成角的余弦值为34，则A、C两点间的距离为【解题思路】A项，分析点A与点C重合时三角形ADE翻折旋转所得的几何体类型，即可得到几何体的表面积；B项，通过∠AEC表达出A−BCED的体积，即可求出四棱锥A−BCED的体积的最大值；C项，通过三角形的等面积法即可求出点F到平面ACD的距离；D项，通过C项的三角形ACE为正三角形时，由余弦定理得到异面直线AC与BD所成角的余弦值为34，即可求出异面直线AC与BD所成角的余弦值为34时，A、【解答过程】由题意，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，CB=2，DE是△ABC∴tanA=BCAC=33∴A=30°,AD=BD=1对于A项，当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体为以2为半径高为1的半个圆锥，∴三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为：S=1故A正确；对于B项，设∠AEC=θ，则θ∈0,设点A到CE的距离为ℎ，则ℎ=AEsin∴四棱锥A−BCED的体积为：VA−BCDE在y=sinθ中，∴VA−BCDE∴四棱锥A−BCED的体积的最大值为32对于C，D项，当三角形ACE为正三角形时，∠AEC=60°，AC=AE=CE=3过点F作FG⊥AC，连接DG，取BC的中点H,连接FH，EH，EG在△ABD中，AD=BD,点F为AB的中点，由几何知识得，FG⊥DF，AC⊥BC在△ACD中，AD=CD=2,∴AG=CG=12AC=32，在△ABC中，G为AC的中点，,点F为AB的中点，AC⊥BC∴FG⊥AC,AB=AC2在△ADG中，DG=在四边形DEGF中，由几何知识得，DE⊥EG,DE∥BC∥FG，∴四边形DEGF是矩形，DG=EF=13设点F到平面ACD的距离为ℎ1在△DFG中，DG⋅ℎ1=DF⋅FG，即13由几何知识得，EH∥BD，FH∥AC,∴FH=12AC=32,此时∠FHE由余弦定理，EF代入数据，解得：cos∠FHE=∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为34，则A、C两点间的距离为3故D正确；故选：ABD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~650kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为350.【解题思路】根据频率分布直方图及平均值计算出x,y，再根据由频率分步直方图求百分位数的方法求解.【解答过程】由题意可得400x+600y+0.36+0.9+0.36=322100100(2y+x+0.0018+0.003+0.0006)=1由0.12+0.18+0.3=0.6知，估计该地居民月用电量的第60百分位数约为350.故答案为：350.14．（5分）（2022·黑龙江哈尔滨·高二学业考试）给出如下几个命题：①若A​是随机事件，则0≤P（②若事件A​与B​是互斥事件，则A​与B​一定是对立事件；③若事件A​与B​是对立事件，则A​与B​一定是互斥事件；④事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大．其中正确的是①③．（填序号）【解题思路】根据随机事件的概念可判断①；根据互斥事件与对立事件的关系可判断②③；举例当事件A,B互斥时事件A,B中至少有一个发生的概率和A,B中恰有一个发生的概率一样大，判断④.【解答过程】①若A为不可能事件时，其概率为0，当A为必然事件时，其概率为1，不可能事件和必然事件是作为随机事件的两个极端情形，故0≤P（A）②若事件A与B是互斥事件，则A与B不一定是对立事件，比如掷色子“朝上的面为1”和”朝上的面为2“互斥但不对立，所以不正确；

③若事件A与B是对立事件，即A与B不会同时发生，则A与B一定是互斥事件，所以正确；

④事件A,B中至少有一个发生的概率不一定比A,B中恰有一个发生的概率大，比如当A、故答案为：①③.15．（5分）（2023·全国·高一专题练习）已知平面向量a、b、c和实数λ满足a=b=a+b=2，a⋅c【解题思路】根据a=b=a+b=2，可得a,b=2π3【解答过程】解：因为a=b=则4+2a⋅b+4=4，所以因为a,b∈则如图所示，在平面直角坐标系中A2,0，B则a=OA=因为a⋅c+b⋅c=0因为a−λc⋅则−4λ2b2−4则a−λc=2+3=24因为−3所以y=4λb+322+1在所以ymin=1，当λb=−32−12时，y=2故a−λc+故答案为：2,2216．（5分）（2023春·江西吉安·高三阶段练习）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD,CF//DE，且AB=DE=2,CF=1，G为棱BC的中点，H为棱①当H为DE的中点时，GH//平面ABE；②三棱锥B−GHF的体积为定值；③三棱锥E−BCF的外接球的表面积为12π其中正确的结论序号为①②．（填写所有正确结论的序号）【解题思路】对于①，根据线面平行的判定定理进行判断；对于②，根据棱锥的体积公式即可判断；对于③，根据三棱锥E−BCF的结构特征，确定其外接球球心的位置，求出外接球半径，即可求得外接球表面积，即可判断.【解答过程】对于①：当H为DE的中点时，取EA中点为M，连接MH,MB，如下图所示：因为H,M分别为ED,EA的中点，故可得MH//根据已知条件可知：BG//AD,BG=1故四边形HMBG为平行四边形，则HG//又MB⊂平面ABE,HG⊄平面ABE，故HG//平面ABE，故①正确；对于②：VB−GFH=VH−BGF，因为又DE//CF,CF⊂平面BGF,DE⊄平面BGF，故DE//平面又点H在DE上运动，故点H到平面BGF的距离是定值，故三棱锥H−BGF的体积为定值，则三棱锥B−GFH的体积为定值，则②正确；对于③：取△EFC的外心为O1，过O1作平面EFC的垂线则三棱锥B−EFC的外接球的球心O一定在O1因为DE⊥平面ABCD,CF//DE，故FC⊥平面ABCD,CB⊂平面ABCD，则CF⊥CB，又CB⊥CD，CF∩CD=C,CF,CD⊂平面EFCD，故CB⊥平面即BC⊥平面EFC，又OO1⊥则OO1//CB，故OO1,BC由BC⊥平面EFC，O1C⊂平面EFC，则BC⊥O则四边形OPCO1为矩形，则连接OB,OC，如图所示．在△EFC中，知EF=2则由余弦定理可得cos∠EFC=5+1−825=−则由正弦定理可得O1设三棱锥E−FCB的外接球半径为R，则OC=OB=R，在Rt△OBP中，OB=R,OP=102故由勾股定理可知：OB则三棱锥E−BCF外接球的表面积S=4πR2故答案为：①②．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023·全国·高一专题练习）已知复数z1,z(1)若z1−z(2)若复数z=z1⋅【解题思路】（1）由复数线性运算及模运算建立方程求解；（2）由复数乘法运算得z，利用z对应的点在第一、三象限的角平分线上建立方程求解.【解答过程】（1）z1解得a=−5或a=1；（2）z=z由于z对应的点在第一、三象限的角平分线上，则−2a+3=a+6，解得a=−1.18．（12分）（2022秋·云南楚雄·高二阶段练习）某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图：(1)求直方图中的x的值(2)估计月平均用电量的众数和中位数，第80百分位数．(3)从月平均用电量在[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]内的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，求从月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取多少户？【解题思路】（1）由各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1可得答案；（2）由直方图中最高矩形底边的中点得众数，在频率分布直方图中，中位数左边和右边直方图面积相等、第80百分位数左边面积占总面积的80%（3）利用频率估计月平均用电量为[220,240)的居民在四组中所占比例，即可得答案.【解答过程】（1）因直方图中，各组数据频率之和为所有矩形面积之和为1，则0.002+0.0025+0.005+x+0.0095+0.011+0.0125×20=1得x=0.0075.（2）月平均用电量的众数是220+2402因前3个矩形面积之和为0.002+0.0095+0.011×20=0.45<0.5前4个矩形面积之和为0.002+0.0095+0.011+0.0125×20=0.7>0.5则中位数在220,240内，设为y，则y−220×0.0125=0.5−0.45，得y=224因为前4个矩形面积之和为0.7<0.8，前5个矩形面积之和为0.7+20×0.0075=0.85>0.8，则第80百分位数在[240，260)内，设第80百分位数为a，则(a−240)×0.0075=0.8−0.7=0.1，解得a≈253.33，即第80百分位数约为253.33.（3）月平均用电量为[220,240)的居民对应的频率为：0.0125×20=0.25.又由（2）分析可知，月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组居民对应频率之和为：1−0.45=0.55.则应抽取居民的户数为：11×0.2519．（12分）（2022秋·云南·高二阶段练习）某区A，B，C三所学校有意愿报考名校自招的人数分别为24，8，16人，受疫情因素影响，该区用分层随机抽样的方法从三所学校中抽取了6名学生，参加了该区统一举办的现场小范围自招推介说明会.(1)从这6名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查，求这2名学生来自不同学校的概率；(2)若考生小张根据自身实际，报考了甲乙两所名校的自招，设通过甲校自招资格审核的概率为23，通过乙校自招资格审核的概率为4【解题思路】（1）首先确定三所学校被抽到的人数，再利用编号，列举的方法，即可所求概率；（2）首先求两所学校都没有通过的概率，再利用对立事件概率公式，即可求解.【解答过程】（1）用分层随机抽样的方法从三个学校中一共抽取了6名选手参加全市集训，现三所学校应该抽取的人数分别为3，1，2，设来自A学校的三名学生分别为A1，A2，A3；来自B学校的学生为B；来自C学校的两名学生分别为从这6名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查，样本空间Q=A3Ω共包含15个样本点，记这2名学生来自不同学校为事件D，事件D含A1,B，A1,C1，A1,C2，A2,B，A2,所以PD（2）记小张至少能通过一所学校自招资格审核为事件E，通过甲学校自招资格审核为事件M，通过乙学校自招资格审核为事件N，则事件E“至少通过一所学校自招资格审核”的对立事件是“两所学校都通不过”，因为M与N相互独立，所以M与N相互独立，所以PE答：小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率为141520．（12分）（2022·全国·高一期末）如图所示△ABC的两边BC=1，AC=2，设G是△ABC的重心，BC边上的高为AH，过G的直线与AB，AC分别交于E，F，已知AE=λAB，(1)求1λ(2)若cosC=14，S△AEF=(3)若BF⋅CE的最大值为−5【解题思路】（1）利用重心的性质以及三点共线的充要条件即可求解；（2）先解出λ与μ，再利用解三角形的知识求出EF和AH，最后将EH+AF⋅HF+EA化简即可求解（3）以AB和AC【解答过程】（1）AE=λAB⇒如图所示，连接AG并延长交BC于点D，则D为BC中点，因为G为△ABC重心，所以AG=因为AG，AE，AF起点相同，终点共线，所以13λ+1（2）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∴a=1，b=2，∵c2=aS△AEFS△ABC所以S△AEF由1λ+1μ∴AE=2×3在△ABC中cosA=在△AEF，EF在Rt△AHC，中AH=AC×EH+HF+∴EH+