(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义（基础班）2.2《函数的性质》 (教师版)

页第二节函数的性质第1课时系统知识牢基础——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性知识点一函数的单调性1．增函数与减函数2．单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．[提醒](1)函数单调性定义中的x1，x2具有以下三个特征：一是任意性，即“任意两数x1，x2∈D”，“任意”两字决不能丢；二是有大小，即x1<x2(或x1>x2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．(2)若函数在区间D上单调递增(或递减)，则对D内任意的两个不等自变量x1，x2的值，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(或eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0).(3)函数f(x)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质．3．谨记常用结论(1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．(2)k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与eq\f(1,fx)具有相反的单调性．(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增﹣减＝增，减﹣增＝减．(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性判断方法：“同增异减”．[重温经典]1．函数f(x)＝x2﹣2x的单调递增区间是()A．(1，＋∞)B．(﹣∞，1)C．(﹣1，＋∞)D．(﹣∞，﹣1)答案：A2．如果二次函数f(x)＝x2﹣(a﹣1)x＋5在区间(eq\f(1,2)，1)上是增函数，则实数a的取值范围为________．解析：∵函数f(x)＝x2﹣(a﹣1)x＋5的对称轴为x＝eq\f(a－1,2)且在区间(eq\f(1,2)，1)上是增函数，∴eq\f(a－1,2)≤eq\f(1,2)，即a≤2.答案：(﹣∞，2]3．函数f(x)＝lg(9﹣x2)的定义域为________；其单调递增区间为________．解析：对于函数f(x)＝lg(9﹣x2)，令t＝9﹣x2＞0，解得﹣3＜x＜3，可得函数的定义域为(﹣3,3)．令g(x)＝9﹣x2，则函数f(x)＝lg(g(x))，又函数g(x)在定义域内的增区间为(﹣3,0]，所以函数f(x)＝lg(9﹣x2)在定义域内的单调递增区间为(﹣3,0]．答案：(﹣3,3)(﹣3,0]4．(易错题)设定义在[﹣1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．答案：[﹣1,1]，[5,7]5．若函数y＝eq\f(2x＋k,x－2)与y＝log3(x﹣2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．解析：由于y＝log3(x﹣2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故函数y＝eq\f(2x＋k,x－2)＝eq\f(2x－2＋4＋k,x－2)＝2＋eq\f(4＋k,x－2)在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k＜0，得k＜﹣4.答案：(﹣∞，﹣4)6．已知函数f(x)为定义在区间[﹣1,1]上的增函数，则满足f(x)<f(eq\f(1,2))的实数x的取值范围为________．解析：由题设得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x<\f(1,2)，))解得﹣1≤x<eq\f(1,2).答案：[﹣1，eq\f(1,2)).知识点二函数的最值1．函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．[提醒](1)对于单调函数，最大(小)值出现在定义域的边界处；(2)对于非单调函数求最值，通常借助图象求解更方便；(3)一般地，恒成立问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方法．注意以下关系：f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a；f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a.解题时，要务必注意“＝”的取舍．[重温经典]1．函数f(x)＝eq\f(2,x－1)在[2,6]上的最大值是________．答案：22．若函数f(x)＝﹣eq\f(a,x)＋b(a>0)在[eq\f(1,2)，2]上的值域为[eq\f(1,2)，2]，则a＝________，b＝________.解析：∵f(x)＝﹣eq\f(a,x)＋b(a>0)在[eq\f(1,2)，2]上是增函数，∴f(x)min＝f(eq\f(1,2))＝eq\f(1,2)，f(x)max＝f(2)＝2.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a＋b＝\f(1,2)，,－\f(a,2)＋b＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\f(5,2).))答案：1eq\f(5,2)3．(易错题)函数y＝eq\f(x2－1,x2＋1)的值域为________．解析：法一：由y＝eq\f(x2－1,x2＋1)，可得x2＝eq\f(1＋y,1－y).由x2≥0，知eq\f(1＋y,1－y)≥0，解得﹣1≤y<1，故所求函数的值域为[﹣1,1)．法二：由y＝eq\f(x2－1,x2＋1)＝eq\f(x2＋1－2,x2＋1)＝1＋eq\f(－2,x2＋1)，令t＝x2＋1，则t≥1，∴eq\f(－2,t)∈[﹣2,0)，∴y＝1＋eq\f(－2,t)∈[﹣1,1)，∴所求函数的值域为[﹣1,1)．答案：[﹣1,1)4．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值为________．解析：当x≥1时，函数f(x)＝eq\f(1,x)为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝﹣x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.答案：25．已知函数f(x)＝﹣x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值﹣2，则f(x)的最大值为________．解析：函数f(x)＝﹣x2＋4x＋a＝﹣(x﹣2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数f(x)有最小值﹣2.故当x＝0时，函数f(x)有最小值，当x＝1时，函数f(x)有最大值．∵当x＝0时，f(0)＝a＝﹣2，∴f(x)＝﹣x2＋4x﹣2，∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝﹣12＋4×1﹣2＝1.答案：1知识点三函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及图象特征奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(﹣x)＝﹣f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(﹣x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2.函数奇偶性的几个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．3．有关对称性的结论(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．(2)若f(x)＝f(2a﹣x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a﹣x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．[重温经典]1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是增函数的有()A．y＝2﹣|x|B．y＝xC．y＝x2﹣1D．y＝x3解析：选BCA．令y＝f(x)＝2﹣|x|，f(﹣x)＝2﹣|﹣x|＝2﹣|x|＝f(x)，是偶函数，但在(0，＋∞)上，y＝2﹣x是减函数，故A错误；B.令y＝f(x)＝x，f(﹣x)＝(﹣x)＝x，是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，故B正确；C.令y＝f(x)＝x2﹣1，f(﹣x)＝(﹣x)2﹣1＝x2﹣1＝f(x)，是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，故C正确；D.令y＝f(x)＝x3，f(﹣x)＝(﹣x)3＝﹣x3＝﹣f(x)，是奇函数，故D错误．故选B、C.2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(﹣1)＝________.答案：﹣23．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(﹣2)＋f(0)＝________.解析：由题意知f(﹣2)＝﹣f(2)＝﹣(22＋1)＝﹣5，f(0)＝0，∴f(﹣2)＋f(0)＝﹣5.答案：﹣54．已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________________．解析：∵f(x)为奇函数，∴f(﹣x)＝﹣f(x)．当x＝0时，有f(﹣0)＝﹣f(0)，∴f(0)＝0.当x<0时，﹣x>0.f(x)＝﹣f(﹣x)＝﹣(﹣x＋1)＝x﹣1.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0.))答案：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0))5．(易错题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数，∴a﹣1＋2a＝0，∴a＝eq\f(1,3).又f(﹣x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(﹣log35)的值为________．解析：当x≥0时f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(0)＝30＋m＝0，解得m＝﹣1，∴f(x)＝3x﹣1.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(﹣log35)＝﹣f(log35)＝﹣(3log35﹣1)＝﹣4.答案：﹣4知识点四函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．谨记常用结论定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a﹣b|；(2)若在定义域内满足f(x＋a)＝﹣f(x)，f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，f(x＋a)＝﹣eq\f(1,fx)(a>0)，则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．[重温经典]1．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(﹣1,1)时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1<x<0，,x，0≤x<1，))则f(eq\f(3,2))＝_______.答案：12．(教材改编题)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)﹣f(4)＝________.解析：由f(x)是R上周期为2的函数知，f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，∴f(3)﹣f(4)＝﹣1.答案：﹣13．已知f(x)是R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2022)＝________.解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，∴当x＝﹣3时，有f(3)＝f(﹣3)＋f(3)＝0，∴f(﹣3)＝0，f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，周期为6.故f(2022)＝f(0)＝0.答案：04．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(﹣1)＝________.解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4﹣x)，f(﹣x)＝f(4＋x)，又f(﹣x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(﹣1)＝f(4﹣1)＝f(3)＝3.答案：35．定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(﹣3，0]时，f(x)＝﹣x﹣1，当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2021)的值等于________．解析：定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数的最小正周期为5.当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(﹣3,0]时，f(x)＝﹣x﹣1，所以f(3)＝f(﹣2)＝1，f(4)＝f(﹣1)＝0，f(5)＝f(0)＝﹣1.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2021)＝404×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(1)＝404×1＋0＝404.答案：404第2课时精研题型明考向——函数的性质及其应用一、真题集中研究——明考情1．(复合函数的单调性及定义域)已知函数f(x)＝lg(x2﹣4x﹣5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．(﹣∞，﹣1]B．(﹣∞，2]C．[2，＋∞)D．[5，＋∞)解析：选D∵f(x)＝lg(x2﹣4x﹣5)在(a，＋∞)上单调递增，y＝lgx在(0，＋∞)上单调递增，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－4a－5≥0，,a≥2，))∴a≥5.故a的取值范围为[5，＋∞)．2．(函数的单调性、奇偶性)设函数f(x)＝ln|2x＋1|﹣ln|2x﹣1|，则f(x)()A．是偶函数，且在(eq\f(1,2)，+∞)单调递增B．是奇函数，且在(﹣eq\f(1,2),eq\f(1,2))单调递减C．是偶函数，且在(﹣∞,﹣eq\f(1,2))单调递增D．是奇函数，且在(﹣∞,﹣eq\f(1,2))单调递减解析：选D由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x＋1|>0，,|2x－1|>0))⇒x≠±eq\f(1,2)，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠±eq\f(1,2)，x∈R}，关于原点对称，又∵f(﹣x)＝ln|﹣2x＋1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝ln|2x﹣1|﹣ln|2x＋1|＝﹣f(x)，∴f(x)是奇函数，排除A、C；当x∈(﹣eq\f(1,2),eq\f(1,2))时，f(x)＝ln(2x＋1)﹣ln(1﹣2x)，则f′(x)＝eq\f(2,2x＋1)﹣eq\f(－2,1－2x)＝eq\f(4,1－4x2)>0，∴f(x)在(﹣eq\f(1,2),eq\f(1,2))单调递增，排除B；当x∈(﹣∞,﹣eq\f(1,2))时，f(x)＝ln(﹣2x﹣1)﹣ln(1﹣2x)，则f′(x)＝eq\f(－2,－2x－1)﹣eq\f(－2,1－2x)＝eq\f(4,1－4x2)<0，∴f(x)在(﹣∞,﹣eq\f(1,2))单调递减，∴D正确．3．(函数的性质及解不等式)若定义在R的奇函数f(x)在(﹣∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x﹣1)≥0的x的取值范围是()A．[﹣1,1]∪[3，＋∞)B．[﹣3，﹣1]∪[0,1]C．[﹣1,0]∪[1，＋∞)D．[﹣1,0]∪[1,3]解析：选D法一：由题意知f(x)在(﹣∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(﹣2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x﹣1)≥0，得0≤x﹣1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x﹣1)≤0，得﹣2≤x﹣1≤0，∴﹣1≤x≤1，又x<0，∴﹣1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[﹣1,0]∪[1,3]，故选D.法二：当x＝3时，f(3﹣1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4﹣1)＝f(3)<0，不符合题意，排除A、C.故选D.4．(由函数的奇偶性求解析式)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex﹣1，则当x<0时，f(x)＝()A．e﹣x﹣1B．e﹣x＋1C．﹣e﹣x﹣1D．﹣e﹣x＋1解析：选D当x<0时，﹣x>0，∵当x≥0时，f(x)＝ex﹣1，∴f(﹣x)＝e﹣x﹣1.又∵f(x)为奇函数，∴当x<0时，f(x)＝﹣f(﹣x)＝﹣e﹣x＋1.5．(抽象函数的奇偶性、单调性及比较大小)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则()A．f(log3eq\f(1,4))>f()>f()B．f(log3eq\f(1,4))>f()>f()C．f()>f()>f(log3eq\f(1,4))D．f()>f()>f(log3eq\f(1,4))解析：选C因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(log3eq\f(1,4))＝f(﹣log34)＝f(log34)．又因为log34>1>2>2>0且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，所以f(2>f(2)>f(log3eq\f(1,4)).故选C.6．(由函数的奇偶性求值)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x，则f(﹣8)的值是________．解析：由函数f(x)是奇函数得f(﹣8)＝﹣f(8)＝﹣8＝﹣(23)＝﹣4.答案：﹣4[把脉考情]常规角度1.函数单调性的判断及应用：主要考查判断函数的单调性、求单调区间，利用单调性求参数的取值范围、比较大小、求最值等；2.函数奇偶性的判断及应用：主要考查判断函数的奇偶性，利用奇偶性求值等；3.函数周期性的判断及应用：主要考查函数周期性的判断，利用周期性求值等创新角度函数的性质与解不等式、函数的零点、命题的真假性、导数等交汇命题二、题型精细研究——提素养题型一函数单调性的判断及应用考法(一)确定函数的单调性及求单调区间[例1](1)函数f(x)＝|x2﹣3x＋2|的单调递增区间是()A.[eq\f(3,2)，＋∞)B.[1,eq\f(3,2)]和[2，＋∞)C．(﹣∞，1]和[eq\f(3,2)，2]D.(﹣∞，eq\f(3,2)]和[2，＋∞)(2)函数y＝eq\r(x2＋x－6)的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．(3)讨论函数f(x)＝eq\f(ax,x2－1)(a>0)在(﹣1,1)上的单调性．[解析](1)f(x)＝|x2﹣3x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x＋2，x≤1或x≥2，,－x2－3x＋2，1<x<2.))如图所示，函数的单调递增区间是[1,eq\f(3,2)]和[2，＋∞)；单调递减区间是(﹣∞，1]和[eq\f(3,2)，2].故选B.(2)令u＝x2＋x﹣6，则y＝eq\r(x2＋x－6)可以看作是由y＝eq\r(u)与u＝x2＋x﹣6复合而成的函数．令u＝x2＋x﹣6≥0，得x≤﹣3或x≥2.易知u＝x2＋x﹣6在(﹣∞，﹣3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝eq\r(u)在[0，＋∞)上是增函数，所以y＝eq\r(x2＋x－6)的单调递减区间为(﹣∞，﹣3]，单调递增区间为[2，＋∞)．答案：(1)B(2)[2，＋∞)(﹣∞，﹣3](3)法一：定义法设﹣1<x1<x2<1，则f(x1)﹣f(x2)＝eq\f(ax1,x\o\al(2,1)－1)﹣eq\f(ax2,x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(ax1x\o\al(2,2)－ax1－ax2x\o\al(2,1)＋ax2,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(ax2－x1x1x2＋1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1).∵﹣1<x1<x2<1，∴x2﹣x1>0，x1x2＋1>0，(xeq\o\al(2,1)﹣1)·(xeq\o\al(2,2)﹣1)>0.又a>0，∴f(x1)﹣f(x2)>0，故函数f(x)在(﹣1,1)上为减函数．法二：导数法f′(x)＝eq\f(ax′x2－1－axx2－1′,x2－12)＝eq\f(ax2－1－2ax2,x2－12)＝eq\f(a－x2－1,x2－12)＝﹣eq\f(ax2＋1,x2－12).∵a>0，x∈(﹣1,1)，∴f′(x)<0.∴f(x)在(﹣1,1)上是减函数．[方法技巧]确定函数单调性的常用方法定义法先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论图象法若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性导数法先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性考法(二)比较大小[例2]函数f(x)＝eq\f(ex＋e－x,ex－e－x)，若a＝f(﹣eq\f(1,2))，b＝f(ln2)，c＝f(lneq\f(1,3))，则有()A．c>b>aB．b>a>cC．c>a>bD．b>c>a[解析]∵f(x)＝eq\f(ex＋e－x,ex－e－x)，∴f(x)在(﹣∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，易知x<0时，f(x)<0，x>0时，f(x)>0，又∵ln2>0，﹣eq\f(1,2)<0，lneq\f(1,3)<0，∴b>0，a<0，c<0.又﹣eq\f(1,2)＝﹣lneq\r(e)，lneq\f(1,3)＝﹣ln3，且﹣lneq\r(e)>﹣ln3，∴﹣eq\f(1,2)>lneq\f(1,3)，∵f(x)在(﹣∞，0)上单调递减，∴f(﹣eq\f(1,2))<f(lneq\f(1,3))，即c>a，∴b>c>a，故选D.[答案]D[方法技巧]利用函数的单调性比较大小的方法比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．考法(三)解函数不等式[例3]定义在[﹣2,2]上的函数f(x)满足(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2﹣a)>f(2a﹣2)，则实数a的取值范围为()A．[﹣1,2)B．[0,2)C．[0,1)D．[﹣1,1)[解析]因为函数f(x)满足(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数在[﹣2,2]上单调递增，所以﹣2≤2a﹣2<a2﹣a≤2，解得0≤a<1，故选C.[答案]C[方法技巧]在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．考法(四)利用单调性求参数的取值范围[例4](1)已知函数y＝log(6﹣ax＋x2)在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x，x≤4，,log2x，x>4.))若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．[解析](1)设u＝6﹣ax＋x2，∵y＝logu是减函数，∴函数u在[1,2]上是减函数．∵u＝6﹣ax＋x2，对称轴为直线x＝eq\f(a,2)，∴eq\f(a,2)≥2，且u>0在[1,2]上恒成立．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≥2，,6－2a＋4>0，))解得4≤a<5，∴实数a的取值范围为[4,5)．(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.[答案](1)[4,5)(2)(﹣∞，1]∪[4，＋∞)[方法技巧]利用函数单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意两段端点值的大小．[针对训练]1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是()A．f(x)＝﹣x2B．f(x)＝3﹣xC．f(x)＝ln|x|D．f(x)＝x＋sinx解析：选C选项A中的函数是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故不正确；选项B中的函数是非奇非偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故不正确；选项C中的函数是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；选项D中的函数是奇函数，在R上单调递增，故不正确．故选C.2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且在[﹣1,0]上单调递减，设a＝f(eq\r(2))，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是()A．b<c<aB．a<b<cC．b<a<cD．a<c<b解析：选C因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，则a＝f(eq\r(2))＝f(eq\r(2)﹣2)，b＝f(2)＝f(0)，c＝f(3)＝f(﹣1)．因为﹣1<eq\r(2)﹣2<0，且函数f(x)在[﹣1,0]上单调递减，所以b<a<c.故选C.3．已知函数f(x)的定义域为R，且在[0，＋∞)上是增函数，g(x)＝﹣f(|x|)，若g(lgx)>g(1)，则x的取值范围是()A．(0,10)B．(10，＋∞)C.(eq\f(1,10)，10)D.(0，eq\f(1,10))∪(10，＋∞)解析：选C∵g(﹣x)＝﹣f(|﹣x|)＝g(x)，∴g(x)是偶函数，又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴g(x)在[0，＋∞)上是减函数．∵g(lgx)>g(1)，∴g(|lgx|)>g(1)，∴|lgx|<1，∴eq\f(1,10)<x<10，故选C.4．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x≤1，))满足对任意的实数x1≠x2都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，则实数a的取值范围为________．解析：由题意，函数f(x)在(﹣∞，1]和(1，＋∞)上都是增函数，且f(x)在(﹣∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,4－\f(a,2)>0，,a≥4－\f(a,2)＋2，))解得a∈[4,8)．答案：[4,8)题型二函数最值的求法[典例](1)函数f(x)＝(eq\f(1,3))x﹣log2(x＋2)在区间[﹣1,1]上的最大值为________．(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≤1，,x＋\f(6,x)－6，x>1，))则f(x)的最小值是________．(3)函数f(x)＝2x2﹣eq\r(x2＋1)的最小值为________．[解析](1)(单调性法)由于y＝(eq\f(1,3))x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[﹣1,1]上单调递增，所以f(x)在[﹣1,1]上单调递减，故f(x)在[﹣1,1]上的最大值为f(﹣1)＝3.(2)(利用单调性和基本不等式求解)因为函数y＝x2在(﹣∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0.当x>1时，y＝x＋eq\f(6,x)≥2eq\r(6)，当且仅当x＝eq\r(6)时，等号成立，此时f(x)min＝2eq\r(6)﹣6.又2eq\r(6)﹣6<0，所以f(x)min＝2eq\r(6)﹣6.(3)(换元法)令eq\r(x2＋1)＝t，t≥1，则x2＝t2﹣1，∴y＝2(t2﹣1)﹣t＝2t2﹣t﹣2(t≥1)．∵y＝2t2﹣t﹣2(t≥1)的对称轴t＝eq\f(1,4)，∴ymin＝2×12﹣1﹣2＝﹣1，∴函数f(x)的最小值为﹣1.[答案](1)3(2)2eq\r(6)﹣6(3)﹣1[方法技巧]求解函数最值的4种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)换元法：求形如y＝eq\r(ax＋b)＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．(3)分离常数法：求形如y＝eq\f(cx＋d,ax＋b)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用分离常数法求解．(4)基本不等式法：求形如y＝ax＋eq\f(b,x)(a>0，b>0)的函数的最小值常用基本不等式，注意等号成立的条件．[针对训练]1．(单调性法)函数f(x)＝eq\f(1,x－1)在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是eq\f(1,3)，则a＋b＝________.解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fa＝1，,fb＝\f(1,3)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－1)＝1，,\f(1,b－1)＝\f(1,3)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4.))所以a＋b＝6.答案：62．(换元法)函数f(x)＝x﹣eq\r(x＋1)的最小值为________．解析：令eq\r(x＋1)＝t(t≥0)，则x＝t2﹣1，所以y＝t2﹣t﹣1(t≥0)．又y＝t2﹣t﹣1(t≥0)的图象是对称轴为直线t＝eq\f(1,2)，开口向上的抛物线的一部分，所以ymin＝(eq\f(1,2))2﹣eq\f(1,2)﹣1＝﹣eq\f(5,4)，故函数f(x)的最小值为﹣eq\f(5,4).答案：﹣eq\f(5,4)3．(分离常数法)当﹣3≤x≤﹣1时，函数y＝eq\f(5x－1,4x＋2)的最小值为________．解析：由y＝eq\f(5x－1,4x＋2)，可得y＝eq\f(5,4)﹣eq\f(7,42x＋1).∵﹣3≤x≤﹣1，∴eq\f(7,20)≤﹣eq\f(7,42x＋1)≤eq\f(7,4)，∴eq\f(8,5)≤y≤3.∴所求函数的最小值为eq\f(8,5).答案：eq\f(8,5)题型三函数奇偶性的判断及应用考法(一)函数奇偶性的判断[例1]函数y＝x2lgeq\f(x－2,x＋2)的图象()A．关于x轴对称B．关于原点对称C．关于直线y＝x对称D．关于y轴对称[解析]记f(x)＝x2lgeq\f(x－2,x＋2)，定义域为(﹣∞，﹣2)∪(2，＋∞)．∵f(﹣x)＝(﹣x)2lgeq\f(－x－2,－x＋2)＝x2lgeq\f(x＋2,x－2)＝﹣x2lgeq\f(x－2,x＋2)＝﹣f(x)，∴f(x)为奇函数，即函数y＝x2lgeq\f(x－2,x＋2)的图象关于原点对称．故选B.[答案]B[方法技巧]函数奇偶性的判定方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．考法(二)函数奇偶性的应用[例2](1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)﹣1，则f(﹣6)＝()A．2B．4C．﹣2D．﹣4(2)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.[解析](1)根据题意得f(﹣6)＝﹣f(6)＝1﹣log2(6＋2)＝1﹣3log22＝﹣2.故选C.(2)函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数，故f(﹣x)＝f(x)，即ln(e﹣3x＋1)﹣ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得lneq\f(1,e3x)＝2ax＝lne2ax，即eq\f(1,e3x)＝e2ax，整理得e2ax＋3x＝1，所以2ax＋3x＝0，解得a＝﹣eq\f(3,2).[答案](1)C(2)﹣eq\f(3,2)[方法技巧]利用函数奇偶性可以解决以下问题求函数值将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值求解析式将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出求解析式中的参数利用待定系数法求解，根据f(x)±f(﹣x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性建立方程(组)，进而得出参数的值画函数图象利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象求特殊值利用奇函数的最大值与最小值之和为零求一些特殊结构的函数值[针对训练]1．(多选)设函数f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，则下列结论正确的是()A．|f(x)|是偶函数B．﹣f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数解析：选ABC∵f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，则f(﹣x)＝eq\f(e－x－ex,2)＝﹣f(x)．∴f(x)是奇函数．易知A、B、C正确．∵f(|﹣x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．2．已知函数f(x)＝eq\f(2|x|＋1＋x3＋2,2|x|＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于()A．0B．2C．4D．8解析：选Cf(x)＝eq\f(2·2|x|＋1＋x3,2|x|＋1)＝2＋eq\f(x3,2|x|＋1)，设g(x)＝eq\f(x3,2|x|＋1)，因为g(x)的定义域为R，关于原点对称，且g(﹣x)＝﹣g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.3．若函数f(x)＝eq\f(k－2x,1＋k·2x)在定义域上为奇函数，则实数k＝________.解析：由f(﹣1)＝﹣f(1)得eq\f(k－\f(1,2),1＋\f(1,2)k)＝﹣eq\f(k－2,1＋2k)，解得k＝±1.经检验，k＝±1时，函数f(x)都为奇函数．答案：±1题型四函数周期性的判断及应用[典例](1)(已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝﹣f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2020)＝()A．5B.eq\f(1,2)C．2D．﹣5(2)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(﹣2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0<x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2<x≤0，))则f(f(15))的值为________．[解析](1)由f(x)＝﹣f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2020)＝f(505×4)＝f(0)＝﹣f(0＋2)＝﹣(22＋log22)＝﹣5.(2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(﹣1)＝|﹣1+eq\f(1,2)|＝eq\f(1,2)，所以f(f(15))＝f(eq\f(1,2))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).[答案](1)D(2)eq\f(\r(2),2)[方法技巧]函数周期性问题的求解策略(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．[针对训练]1．(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()A．f(x)为奇函数B．f(x)为周期函数C．f(x＋3)为奇函数D．f(x＋4)为偶函数解析：选ABC因为f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，所以f(x)关于(1,0)和(2,0)中心对称，所以f(x)的周期为2，所以f(x)的对称中心为(k,0)(k∈Z)，所以f(x)为奇函数．因为周期为2，所以f(x＋3)＝f(x＋1＋2)＝f(x＋1)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝f(x＋2)，所以f(x＋3)，f(x＋4)都为奇函数，故选A、B、C.2．已知f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且x∈[1,3)时，f(x)＝log2x＋1，则f(2023)的值为()A．﹣1B．0C．1D．2解析：选C因为f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为2，又2023＝2×1011＋1，且x∈[1，3)时，f(x)＝log2x＋1，因此f(2023)＝f(1)＝1.3．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝﹣eq\f(1,fx)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(﹣eq\f(11,2))＝______.解析：∵f(x＋2)＝﹣eq\f(1,fx)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(﹣eq\f(11,2))＝f(eq\f(5,2))，又2≤x≤3时，f(x)＝x，∴f(eq\f(5,2))＝eq\f(5,2)，∴f(﹣eq\f(11,2))＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝lneq\f(1－x,1＋x)C．f(x)＝exD．f(x)＝xsinx解析：选B对于A，f(﹣x)＝﹣x3＋1≠﹣f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(﹣x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＝﹣lneq\f(1－x,1＋x)＝﹣f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(﹣x)＝e﹣x≠﹣f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(﹣x)＝﹣xsin(﹣x)＝xsinx＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.2．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x﹣1)＜f(eq\f(1,3))的x的取值范围是()A.(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))B.[eq\f(1,3)，eq\f(2,3))C.(eq\f(1,2)，eq\f(2,3))D.[eq\f(1,2)，eq\f(2,3))解析：选D因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x﹣1)＜f(eq\f(1,3))，所以0≤2x﹣1＜eq\f(1,3)，解得eq\f(1,2)≤x＜eq\f(2,3).3．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()A．f(x)·g(x)是偶函数B．|f(x)|·g(x)是奇函数C．f(x)·|g(x)|是奇函数D．|f(x)·g(x)|是偶函数解析：选CD∵f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(﹣x)＝﹣f(x)，g(﹣x)＝g(x)．对于A，f(﹣x)·g(﹣x)＝﹣f(x)·g(x)，函数是奇函数，故A错误．对于B，|f(﹣x)|·g(﹣x)＝|f(x)|·g(x)，函数是偶函数，故B错误．对于C，f(﹣x)·|g(﹣x)|＝﹣f(x)·|g(x)|，函数是奇函数，故C正确．对于D，|f(﹣x)·g(﹣x)|＝|f(x)·g(x)|，函数是偶函数，故D正确．4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若f(2﹣x2)>f(x)，则实数x的取值范围是()A．(﹣∞，﹣1)∪(2，＋∞)B．(﹣∞，﹣2)∪(1，＋∞)C．(﹣1,2)D．(﹣2,1)解析：选D因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．因为当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，所以函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2﹣x2)>f(x)等价于2﹣x2>x，即x2＋x﹣2<0，解得﹣2<x<1.5．若函数f(x)＝2|x﹣a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(﹣∞，1)D．(﹣∞，1]解析：选Bf(x)＝2|x﹣a|＋3＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2a＋3，x≥a，,－2x＋2a＋3，x<a.))因为函数f(x)＝2|x﹣a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a>1.所以a的取值范围是(1，＋∞)．6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹣4)＝﹣f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(﹣25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(﹣25)C．f(11)<f(80)<f(﹣25) D．f(﹣25)<f(80)<f(11)解析：选D因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[﹣2,0]上是增函数．又因为函数f(x)满足f(x﹣4)＝﹣f(x)，所以f(x﹣8)＝﹣f(x﹣4)＝f(x)，所以函数f(x)为周期函数，且周期为8，因此f(﹣25)＝f(﹣1)<f(0)＝f(80)<f(11)＝f(3)＝﹣f(﹣1)＝f(1)．故选D.7．已知函数f(x)＝2024x＋log2024(eq\r(x2＋1)＋x)﹣2024﹣x＋3，则关于x的不等式f(1﹣2x)＋f(x)>6的解集为()A．(﹣∞，1)B．(1，＋∞)C．(﹣∞，2)D．(2，＋∞)解析：选A∵函数y1＝2024x﹣2024﹣x为奇函数，函数y2＝log2024(eq\r(1＋x2)＋x)为奇函数，∴函数g(x)＝2024x﹣2024﹣x＋log2024(eq\r(x2＋1)＋x)为奇函数且在R上单调递增，∴f(1﹣2x)＋f(x)>6，即g(1﹣2x)＋3＋g(x)＋3>6，即g(x)>g(2x﹣1)，∴x>2x﹣1，∴x<1，∴不等式f(1﹣2x)＋f(x)>6的解集为(﹣∞，1)．8．如果奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式eq\f(fx－f－x,x)<0的解集为()A．(﹣2,0)∪(2，＋∞)B．(﹣∞，﹣2)∪(0,2)C．(﹣∞，﹣2)∪(2，＋∞)D．(﹣2,0)∪(0,2)解析：选D由函数f(x)为奇函数可知f(﹣x)＝﹣f(x)，因此eq\f(fx－f－x,x)<0可化为不等式eq\f(2fx,x)<0，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,fx<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,fx>0.))再由f(2)＝0，可得f(﹣2)＝0，由函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，可得函数f(x)在(﹣∞，0)上也为增函数，结合函数f(x)的单调性，作出示意图可得，所求不等式的解集为{x|﹣2<x<0或0<x<2}．9．(多选)下列关于函数f(x)＝eq\f(\r(x2－x4),|x－1|－1)的性质描述正确的是()A．f(x)的定义域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))B．f(x)的值域为(﹣1,1)C．f(x)在定义域上是增函数D．f(x)的图象关于原点对称解析：选ABD由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x4≥0，,|x－1|－1≠0，))得﹣1≤x≤1且x≠0，此时f(x)＝eq\f(\r(x2－x4),－x－1－1)＝eq\f(\r(x2－x4),－x)＝eq\f(|x|\r(1－x2),－x)，因此A正确；当0＜x≤1时，f(x)＝﹣eq\r(1－x2)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，0))，当﹣1≤x<0时，f(x)＝eq\r(1－x2)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，故f(x)的值域为(﹣1,1)，B正确；易知f(x)在定义域上不是增函数，选项C错误；又f(﹣x)＝eq\f(|－x|\r(1－－x2),－－x)＝eq\f(|x|\r(1－x2),x)＝﹣f(x)，则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，D正确，故选A、B、D.10．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x﹣1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．解析：由题意知g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1.))函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．答案：[0,1)11．若f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x<1，,－ax，x≥1))是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．解析：由题意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1<0，,3a－1×1＋4a≥－a，,a>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(1,3)，,a≥\f(1,8)，,a>0，))所以a∈[eq\f(1,8)，eq\f(1,3)).答案：[eq\f(1,8)，eq\f(1,3)).12．已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a)．(1)若a＝﹣2，试证f(x)在(﹣∞，﹣2)上单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：设x1<x2<﹣2，则f(x1)﹣f(x2)＝eq\f(x1,x1＋2)﹣eq\f(x2,x2＋2)＝eq\f(2x1－x2,x1＋2x2＋2).因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1﹣x2<0，所以f(x1)﹣f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(﹣∞，﹣2)上单调递增．(2)设1<x1<x2，则f(x1)﹣f(x2)＝eq\f(x1,x1－a)﹣eq\f(x2,x2－a)＝eq\f(ax2－x1,x1－ax2－a).因为a>0，x2﹣x1>0，所以要使f(x1)﹣f(x2)>0，只需(x1﹣a)(x2﹣a)>0恒成立，所以a≤1.故a的取值范围为(0,1]．13．已知函数f(x)＝x2＋a|x﹣2|﹣4.(1)当a＝2时，求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值；(2)若f(x)在区间[﹣1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x﹣2|﹣4＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－8，x≥2，,x2－2x，x<2))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12－9，x≥2，,x－12－1，x<2，))当x∈[0,2)时，﹣1≤f(x)<0；当x∈[2,3]时，0≤f(x)≤7，所以f(x)在[0,3]上的最大值为7，最小值为﹣1.(2)因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋ax－2a－4，x>2，,x2－ax＋2a－4，x≤2，))又f(x)在区间[﹣1，＋∞)上单调递增，所以当x>2时，f(x)单调递增，则﹣eq\f(a,2)≤2，即a≥﹣4；当﹣1<x≤2时，f(x)单调递增，则eq\f(a,2)≤﹣1，即a≤﹣2，且4＋2a﹣2a﹣4≥4﹣2a＋2a﹣4恒成立，故a的取值范围为[﹣4，﹣2]．14．设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x>0，,－fx，x<0.))(1)若f(﹣1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，当x∈[﹣2,2]时，g(x)＝f(x)﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．解：(1)∵f(﹣1)＝0，∴b＝a＋1.由f(x)≥0恒成立，知a>0且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2﹣4a＝(a＋1)2﹣4a＝(a﹣1)2≤0，∴a＝1.从而b＝2，f(x)＝x2＋2x＋1.∴F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12，x>0，,－x＋12，x<0.))(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，∴g(x)＝f(x)﹣kx＝x2＋(2﹣k)x＋1，由g(x)在[﹣2,2]上是单调函数，知﹣eq\f(2－k,2)≤﹣2或﹣eq\f(2－k,2)≥2，得k≤﹣2或k≥6.即实数k的取值范围为(﹣∞，﹣2]∪[6，＋∞)．第3课时难点专攻夺高分——函数性质的综合应用题型一函数性质的交汇应用问题函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．考法(一)单调性与奇偶性相结合[例1]已知偶函数fx＋eq\f(π,2)，当x∈(﹣eq\f(π,2),eq\f(π,2))时，f(x)＝x＋sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则()A．a<b<cB．b<c<aC．c<b<aD．c<a<b[解析]∵当x∈(﹣eq\f(π,2),eq\f(π,2))时，y＝sinx单调递增，y＝xeq\f(1,3)也为增函数，∴函数f(x)＝x＋sinx也为增函数．∵函数f(x+eq\f(π,2))为偶函数，∴f(﹣x+eq\f(π,2))＝f(x+eq\f(π,2))，f(x)的图象关于x＝eq\f(π,2)对称，∴f(2)＝f(π﹣2)，f(3)＝f(π﹣3)，∵0<π﹣3<1<π﹣2<eq\f(π,2)，∴f(π﹣3)<f(1)<f(π﹣2)，即c<a<b，故选D.[答案]D[方法技巧]函数单调性与奇偶性的综合常利用奇偶函数的图象的对称性，以及奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解．考法(二)奇偶性与周期性相结合[例2](1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x﹣2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝﹣x2，则f(eq\f(13,2))＝()A．﹣eq\f(9,4)B．﹣eq\f(1,4)C.eq\f(1,4)D.eq\f(9,4)(2)定义在R上的函数f(x)为奇函数，f(1)＝1，又g(x)＝f(x＋2)也是奇函数，则f(2024)＝________.[解析](1)因为f(x﹣2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的函数，所以f(eq\f(13,2))＝f(eq\f(13,2)﹣8)＝f(﹣eq\f(3,2))，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(﹣eq\f(3,2))＝﹣f(eq\f(3,2))＝﹣[﹣(eq\f(3,2))2]＝eq\f(9,4)，所以f(eq\f(13,2))＝eq\f(9,4).故选D.(2)∵g(x)＝f(x＋2)是奇函数，∴g(﹣x)＝f(﹣x＋2)＝﹣f(x＋2)．又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴﹣f(x＋2)＝f(﹣x﹣2)，∴f(﹣x＋2)＝f(﹣x﹣2)＝f(﹣x＋2﹣4)，∴f(x)＝f(x﹣4)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．∴f(2024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝0.[答案](1)D(2)0[方法技巧]函数周期性与奇偶性的综合多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解．考法(三)单调性、奇偶性与周期性的综合[例3]定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+eq\f(3,2))＝f(x)，当x∈(0,eq\f(1,2)]时，f(x)＝log(1﹣x)，则f(x)在区间(1,eq\f(3,2))内是()A．减函数且f(x)>0B．减函数且f(x)<0C．增函数且f(x)>0D．增函数且f(x)<0[解析]当x∈(0,eq\f(1,2)]时，由f(x)＝log(1﹣x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在区间[-eq\f(1,2),0)上也单调递增，且f(x)<0.由f(x+eq\f(3,2))＝f(x)知，函数的周期为eq\f(3,2)，所以在区间(1,eq\f(3,2))上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.[答案]D[方法技巧]对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．[针对训练]1．设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0<x<2时，f(x)＝﹣lnx，则e的值为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,3)解析：选D因为函数以4为周期，所以f(eq\f(7,3))＝f(eq\f(7,3)﹣4)＝f(-eq\f(5,3))＝﹣f(eq\f(5,3))＝lneq\f(5,3)，所以e＝e＝eq\f(5,3).故选D.2．已知函数f(x)是(﹣∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x﹣1，则f(2024)＋f(2025)的值为()A．﹣2B．﹣1C．0D．1解析：选D∵f(x)的图象关于x＝1对称，∴f(2﹣x)＝f(x)．∵函数f(x)为(﹣∞，＋∞)上的奇函数，∴f(﹣x)＝﹣f(x)，∴f(x)＝f(2﹣x)＝﹣f(﹣x)，∴f(4﹣x)＝﹣f(2﹣x)＝f(﹣x)，∴周期T＝4.∵x∈[0,1]时，f(x)＝2x﹣1，∴f(1)＝21﹣1＝2﹣1＝1.又函数f(x)是(﹣∞，＋∞)上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(2024)＋f(2025)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.3．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(﹣x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x﹣cosx，则下列结论正确的是()A．f()<f()<f(2018)B．f(2018)<f()<f()C．f(2018)<f()<f()D．f()<f()<f(2018)解析：选C∵f(x)是奇函数，∴f(x＋2)＝f(﹣x)＝﹣f(x)，∴f(x＋4)＝﹣f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2018)＝f(2＋4×504)＝f(2)＝f(0)，f()＝f(eq\f(1,2))，f()＝f(eq\f(2,3))，∵当x∈[0,1]时，f(x)＝2x﹣cosx单调递增，∴f(0)<f(eq\f(1,2))<f(eq\f(2,3))，∴f(2018)<f()<f()，故选C.题型二新定义问题所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现过或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．[典例]若两函数具有相同的定义、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”．下列三个函数y＝2|x|﹣1，y＝eq\f(x2,1＋x2)，y＝eq\f(x2,2)＋cosx﹣1中，与函数f(x)＝x4不是亲密函数的个数为()A．0B．1C．2D．3[解析]易知幂函数f(x)＝x4的定义域为R，是偶函数，在(﹣∞，0)上，f(x)单调递减，在(0，＋∞)上，f(x)单调递增，y≥0.三个函数的定义域都为R且都为偶函数，单调性也与y＝x4保持一致，但是y＝eq\f(x2,1＋x2)＝1﹣eq\f(1,1＋x2)的最大值接近1，y＝2|x|﹣1≥0，y＝eq\f(x2,2)＋cosx﹣1≥0，故选B.[答案]B[方法技巧]深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系是解题的关键．如果函数的某一性质(一般是等式、不等式)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题．[针对训练](多选)在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：(1)a★b＝b★a；(2)a★0＝a；(3)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)﹣2c.关于函数f(x)＝x★eq\f(1,x)的说法正确的是()A．函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3B．函数f(x)为偶函数C．函数f(x)的单调递增区间为(﹣∞，﹣1)，(1，＋∞)D．函数f(x)不是周期函数解析：选ACD对于新运算“★”的性质(3)，令c＝0，则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b，∴f(x)＝x★eq\f(1,x)＝1＋x＋eq\f(1,x).当x>0时，f(x)＝1＋x＋eq\f(1,x)≥1＋2eq\r(x·\f(1,x))＝3，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时取等号，∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故A正确；函数f(x)的定义域为(﹣∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(﹣1)＝1﹣1﹣1＝﹣1，∴f(﹣1)≠﹣f(1)且f(﹣1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；根据函数的单调性，知函数f(x)＝1＋x＋eq\f(1,x)的单调递增区间为(﹣∞，﹣1)，(1，＋∞)，故C正确；由C知，函数f(x)＝1＋x＋eq\f(1,x)不是周期函数，故D正确．eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、综合练——练思维敏锐度1．下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增的是()A．f(x)＝|sinx|B．f(x)＝lneq\f(e－x,e＋x)C．f(x)＝eq\f(1,2)(ex﹣e﹣x)D．f(x)＝ln(eq\r(x2＋1)﹣x)解析：选C对于A，f(x)＝|sinx|为偶函数，不符合题意；对于B，f(x)＝lneq\f(e－x,e＋x)的定义域为(﹣e，e)，关于原点对称，有f(﹣x)＝lneq\f(e＋x,e－x)＝﹣lneq\f(e－x,e＋x)＝﹣f(x)，为奇函数，设t＝eq\f(e－x,e＋x)＝﹣1＋eq\f(2e,x＋e)，x∈(﹣e，e)，在(﹣e，e)上为减函数，而y＝lnt为增函数，则f(x)＝lneq\f(e－x,e＋x)在(﹣e，e)上为减函数，不符合题意；对于C，f(x)＝eq\f(1,2)(ex﹣e﹣x)，有f(﹣x)＝eq\f(1,2)(e﹣x﹣ex)＝﹣eq\f(1,2)(ex﹣e﹣x)＝﹣f(x)，为奇函数，且f′(x)＝eq\f(1,2)(ex＋e﹣x)>0，则f(x)在R上为增函数，符合题意；对于D，f(x)＝ln(eq\r(x2＋1)﹣x)的定义域为R.f(﹣x)＝ln(eq\r(x2＋1)＋x)＝﹣ln(eq\r(x2＋1)﹣x)＝﹣f(x)，为奇函数，设t＝eq\r(x2＋1)﹣x＝eq\f(1,\r(x2＋1)＋x)，易知t在R上为减函数，而y＝lnt为增函数，则f(x)＝ln(eq\r(x2＋1)﹣x)在R上为减函数，不符合题意．故选C.2．已知f(x)是定义在[2b,1﹣b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x﹣1)≤f(2x)的解集为()A.[-1,eq\f(2,3)]B.[-1，eq\f(1,3)]C．[﹣1,1]D.[eq\f(1,3)，1]解析：选B∵f(x)是定义在[2b,1﹣b]上的偶函数，∴2b＋1﹣b＝0，∴b＝﹣1，∵f(x)在[2b,0]上为增函数，即函数f(x)在[﹣2,0]上为增函数，∴函数f(x)在(0,2]上为减函数，则由f(x﹣1)≤f(2x)，得|x﹣1|≥|2x|，即(x﹣1)2≥4x2，解得﹣1≤x≤eq\f(1,3).又∵函数f(x)的定义域为[﹣2,2]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x－1≤2，,－2≤2x≤2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤3，,－1≤x≤1.))综上，所求解集为[-1，eq\f(1,3)].3．已知函数f(x)在[0,4]上是增函数，且函数y＝f(x＋4)是偶函数，则下列结论正确的是()A．f(2)<f(4)<f(5)B．f(2)<f(5)<f(4)C．f(5)<f(4)<f(2)D．f(4)<f(2)<f(5)解析：选B因为函数y＝f(x＋4)是偶函数，所以函数y＝f(x＋4)的图象关于直线x＝0对称，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以f(5)＝f(3)，又函数y＝f(x)在[0,4]上是增函数，所以f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(5)<f(4)．故选B.4．如果对定义在R上的奇函数，y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，所有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则