专题22.19二次函数的应用八大类型提升专练（重难点培优80道）-【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题22.19二次函数的应用八大类型提升专练（重难点培优80道）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________类型一、销售问题1．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考开学考试）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与x（天）的关系如表：时间x（天）1361036…日销售量m（件）9490847624…未来40天内，前20天每天的价格y1=14x+25（1≤x≤20且x为整数），后20天每天的价格y(1)认真分析上表中的数据，用所学过的知一次函数，二次函数的知识确定一个满足这些数据m（件）与x（天）之间的关系式，求出日销售量m（件）与x（天）之间的函数关系式；(2)请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【答案】(1)m=-2x+96(2)第18天的日销售利润最大为450元【分析】（1）由题意可知，m（件）与x（天）满足一次函数关系，设一次函数关系式为m=kx+b，待定系数法求解析式，即可求解；（2）设前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P【详解】（1）解：由题意可知，m（件）与x（天）满足一次函数关系．设一次函数关系式为m=kx+b，将1,94、3,90分别代入一次函数关系式m=kx+b中，得k+b=94解得k=-2b=96∴m=-2x+96经检验，其他m与x的对应值均适合以上关系式．（2）解：设前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P则P1∵1≤x≤20，-1∴当x=18时，P1有最大值，最大值为450P2∵21≤x≤40，此函数图象开口向上，对称轴是直线x=42，∴当x=21时，P2有最大值，最大值为21-42∵405<450，答：第18天的日销售利润最大为450元；【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．2．（2022秋·山东临沂·九年级校考阶段练习）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥公吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱，某特许零售店“冰墩款”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，现将家决定提价销售，设每天销售量y个，销售单价为x元．(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？(3)该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每入剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．【答案】(1)y=-10x+740(2)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元．(3)捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售价不低于50元且不高于52元．【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）根据“销售利润=销售量×(售价-进价)”列出平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式，再根据函数的增减性求得最大利润；（3）根据题意得剩余利润为w-200，利用函数性质求出w-200≥2200时的x的取值范围即可．【详解】（1）解：根据题意得：y=300-10x-44∴y与x之间的函数关系式为y=-10x+74044≤x≤52（2）解：根据题意得：w=-10x+740∵-10<0，∴当x<57时，w随x的增大而增大，∵44≤x≤52，∴当x=52时，w有最大值，最大值为w=-10×52-57∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元．（3）解：依题意剩余利润为w-200元，∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，∴44≤x≤52，w-200随x增大而增大，由-10x-572+2890-200=2200，解得x=50∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售价的取值范围为50≤x≤52．答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售价不低于50元且不高于52元．【点睛】本题主要考查了列一次函数关系式、二次函数应用、一元二次方程的应用等知识点，读懂题意、列出函数关系式是解题的关键．3．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）某商店销售一种进价100元/件的商品，且规定售价不得超过进价的1.4倍，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：售价x（元/件）130140销售量y（件/天）8060(1)直接写出y关于售价x的函数关系式；(2)设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？(3)若某天的利润不低于2000元，请直接写出x的取值范围．【答案】(1)y=-2x+340(2)W=-2x2+540x-34000；当销售单价定为(3)120≤x≤140【分析】（1）根据题意，设y关于售价x的函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法求解即可得到答案；（2）由（1）知，每天的销售量为y=-2x+340，每件商品的利润为x-100元，即可得到W与x之间的函数关系式；再由二次函数图像与性质求出最值即可得到答案；（3）根据（2）中，列一元二次方程求解，再由二次函数图像与性质解答即可得到答案．【详解】（1）解：设y关于售价x的函数关系式为y=kx+b，将130,80、140,60代入y=kx+b得80=130k+b60=140k+b解得k=-2b=340∴y关于售价x的函数关系式为y=-2x+340；（2）解：由（1）知，每天的销售量为y=-2x+340，∵商品进价为100元/件，∴W与x之间的函数关系式为W=-2x+340∵100<x≤140，∴W=-2x∵-2<0，∴当x=135时，W有最大值，为2450，答：当销售单价定为135时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大为2450；（3）解：由（2）知，W与x之间的函数关系式为W=-2x∴当某天的利润不低于2000元时，令-2x2+540x-34000=2000，即x-1352=225∵100<x≤140，∴120≤x≤140．【点睛】本题考查函数解决实际应用题，涉及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．4．（2023·湖南益阳·统考中考真题）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益yA（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yA=25x，投资B项目一年后的收益(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（m>0）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？【答案】(1)4万元(2)m=8(3)当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．【分析】（1）把x=10代入yA（2）当x=m时，可得25（3）设投入到B项目的资金为x万元，则投入到A项目的资金为32-x万元，设总收益为y万元，y=yA+yB【详解】（1）解：∵投资A项目一年后的收益yA（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：y当x=10时，yA（2）∵对A，B两个项目投入相同的资金m（m>0）万元，一年后两者获得的收益相等，∴25整理得：m2解得：m1=8，∴m的值为8．（3）y设投入到B项目的资金为x万元，则投入到A项目的资金为32-x万元，设总收益为y万元，∴y===-1而0≤x≤32，∴当x=-852×∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意，选择合适的方法解题是关键．5．（2022春·安徽宿州·九年级校考期中）某水果销售商从外地批发水果进行销售，为了解销售情况，他将去年九月和十月销售樱桃和枇杷情况统计如下表：月份樱桃销售量(樱桃每kg的利润（元/kg)枇杷销售量(枇杷每kg的利润（元/kg)九月10032002十月比九月少m3比九月多2m比九月少m(1)该销售商十月份枇杷销售的总利润比九月份少48元，设x=m%，求x(2)若十月份在这两种水果销售过程中，销售商获得了最大利润，请求最大利润．【答案】(1)0.6(2)最大利润为703.125元【分析】（1）根据销售商十月份枇杷销售的总利润比九月份少48元，列一元二次方程求解即可；（2）设销售商获得利润为w元，x=m%【详解】（1）解：根据题意得：2×(1-x)×200(1+2x)=2×200-48，解得x=0.6或x=-0.1（舍去），∴x的值为0.6．（2）解：设销售商获得利润为w元，x=m%根据题意得：w=3×100(1-x)+2(1-x)×200(1+2x)=-800x∵-800<0，∴当x=116，即m=6.25时，w取最大值∴最大利润为703.125元．【点睛】本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意、列出方程和函数关系式是解题的关键．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务．据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．

(1)设每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月获得最大利润？(2)如果每月获得8000元的利润，那么销售单价应定为多少元？；(3)由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月销售单价不低于60元，那么每月成本最少需要多少元？【答案】(1)当销售单价定为70元时，每月获得最大利润；(2)如果每月获得8000元的利润，那么销售单价应定为60元或80元；(3)每月成本最少需要10000元．【分析】（1）设y=kx+b，把40，600，75，250代入即可求出一次函数的解析式，再根据总利润=单件的利润（2）当w=8000时，得到-10x-70（3）求出x的取值范围，设成本为S，根据成本=进价×销售量，即可求出S与x的函数关系式，然后利用一次函数的增减性即可求出S的最小值．【详解】（1）解：设y=kx+b，把40，600，解得k=-10b=1000∴y=-10x+1000，w==-10=-10x-70∵a=-10<0，抛物线的开口向下，二次函数有最大值，∴当x=70时，w有最大值为9000元，∴当销售单价定为70元时，每月获得最大利润；（2）解：当w=8000时，则-10x-70解得：x1=60，答：如果每月获得8000元的利润，那么销售单价应定为60元或80元；（3）解：设成本为S，依题意得：60≤x≤75，∴S=40-10x+1000∵-400<0，∴S随x增大而减小，∴x=75时，S有最小值为10000元，答：每月成本最少需要10000元．【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的应用，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和实际问题中的等量关系是解决此题的关键．7．（2023春·安徽·九年级专题练习）某重工机械公司为用户提供矿山机械设备，该设备每件的售价为18万元，每件的成本为y（万元）与月需求量x（件/月）满足关系式y=6+ax（a为常数），其中x>0．经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12）符合关系式月份n（月）12成本y（万元/件）11b需求量x（件/月）120100(1)求y与x满足的关系式，并求表中b的值；(2)试推断是否存在某个月既无盈利也不亏损，请说明理由；(3)设第n个月的利润为w（万元），请求出w与n的函数关系式，并求在这一年的前9个月中，哪个月的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)y=6+600x，(2)不存在某个月既无盈利也不亏损，理由见解析；(3)w=24n2-312n+1128，在这一年的前9个月中，1【分析】（1）把x=120，y=11代入y=6+ax求出a即可得y与x满足的关系式，并把x=100代入解析式即可求出（2）假设存在某个月既无盈利也不亏损，即所得利润为0，得出关于n的方程，由判别式Δ<0（3）根据第n个月的利润=月需求量【详解】（1）解：把x=120，y=11代入y=6+ax得：11=6+解得a=600，∴y与x满足的关系式为y=6+当x=100时，y=6+600∴b=12；（2）解：不存在某个月既无盈利也不亏损，理由：假设存在某个月既无盈利也不亏损，则x18-(6+解得x=50，∴2n整理得：n2∵Δ=∴方程无解，∴不存在某个月既无盈利也不亏损；（3）解：根据题意得：w=x（=x(18-6-=12x-600=12(2=24=24(n-6.5)∵24＞∴当1≤n≤6时，w随n的增大而减小，当n=1时，w最大值为840，当7≤n≤9时，w随n的增大而增大，当n=9时，w最大值为264，∵840＞∴在这一年的前9个月中，1月的利润最大，最大利润是840万元．【点睛】本题主要考查二次函数函数的应用，理解题意准确梳理所涉变量，并熟练掌握待定系数法求函数解析式、以及根据利润的相等关系列出关系式是解题的关键．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为p=14t+161≤t≤40,t为整数

(1)求日销售量y（千克）与时间第t（天）的函数表达式；(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果该养殖户有日销售利润不低于2400元，该养殖户决定每天捐赠m元给村里的特困户，如果共捐赠了7350元，求m的值．【答案】(1)y=-2t+200（1≤t≤80，t为整数）；(2)第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元；(3)m的值为350．【分析】（1）设日销售量y与时间t的函数解析式为y=kt+b(k≠0)，将(1,198)、(80,40)代入，得二元一次方程组，解得k和b的值，再代入y=kt+b即可；（2）设日销售利润为w，根据日利润等于每千克的利润乘以日销售量可得w=(p-6)y，分两种情况讨论：①当1≤t≤40时，②当41≤t≤80时；（3）令w≥2400，即-12(t-30)【详解】（1）解：设日销售量y与时间t的函数解析式为y=kt+b(k≠0)将(1,198)、(80,40)代入，得：k+b=19880k+b=40，解得：k=-2∴y=-2t+200（1≤t≤80，t为整数）；（2）解：设日销售利润为w，则w=(p-6)y，①当1≤t≤40时，w=1当t=30时，w有最大值2450元；∴②当41≤t≤80时，w=-∴当t=41时，w有最大值2301∵2450>2301∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元；（3）解：由（2）得：当1≤t≤40时，w=-1令w≥2400，即-1解得：20≤t≤40，即20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，∴共有21天符合条件．∴m=7350÷21=350（元)．【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识点，明确二次函数的相关性质并会数形结合，是解题的关键．9．（2023·江苏泰州·统考中考真题）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．

(1)当一次性销售800千克时利润为多少元？(2)求一次性销售量在1000～(3)当一次性销售多少千克时利润为22100元？【答案】(1)当一次性销售800千克时利润为16000元；(2)一次性销售量在1000～1750kg(3)当一次性销售为1300或1700千克时利润为22100元．【分析】（1）用销售量×利润计算即可；（2）根据一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元求出销售单价，再乘以销售量即可列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；（3）根据（2）中解析式，令y=22100，解方程即可．【详解】（1）解：根据题意，当x=800时，y=800×50-30∴当一次性销售800千克时利润为16000元；（2）解：设一次性销售量在1000～销售价格为50-30-0.01x-1000∴y=x=-0.01=-0.01=-0.01x-1500∵-0.01<0，1000≤x≤1750，∴当x=1500时，y有最大值，最大值为22500，∴一次性销售量在1000～1750kg（3）解：由（2）知，当x=1750时，y=-0.011750-1500∴当一次性销售量在1000～1750kg∴-0.01x-1500解得x1∴当一次性销售为1300或1700千克时利润为22100元．【点睛】本题考查二次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．10．（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）根据以下素材，按要求完成任务：如何设计利润最大的销售方案素材1某商场以每件30元的价格购进一种杭州亚运会吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元．素材2市场调查分析：销售单价x（元）…343842465054…每天的销售量y（件）…726456484032…任务一确定销售量与销售单价之间的关系请求出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系．任务二确定每天的总利润与销售单价之间的关系请用x的代数式表示销售这种吉祥物每天所获得的总利润．任务三预估销售单价若商场销售这种吉祥物每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？任务四拟定销售方案商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大？【答案】任务一，函数关系式为y=-2x+140；任务二，W=-2x任务三，每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为40元；任务四，商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，使每天获得的总利润最大．【分析】任务一，利用待定系数法求解即可；任务二，根据利润=每件利润×销售量就可以得出结论；任务三，当W=600时，代入任务二的解析式求出x的值即可；任务四，将任务二的解析式转化为顶点式，由抛物线的性质就可以求出结论．【详解】解：任务一，根据素材2知，销售单价每4元，每天的销售量减少8件，∴每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系是一次函数关系，设函数关系式为y=kx+b，代入x=34，y=72和x=38，y=64，得34k+b=7238k+b=64，解得k=-2∴函数关系式为y=-2x+140；任务二，设每天的总利润为W，根据题意可得，W=x-30任务三，由题意知，W=600元，即-2x2+200x-4200=600解得x1=40，∴每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为40元；任务四，∵W=-2x∵-2<0，对称轴x=50，∴当x=50时，W取最大值，W最大答：商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，使每天获得的总利润最大．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．类型二、面积问题11．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）为了增加校园绿化，学校计划建造一块边长为40m的正方形花坛种植“两花一草”，如图，取四边中点，构成正方形EFGH（甲区域），在四个角落构造4

(1)经了解，甲区域建造费用为50元/m2，乙区城建造费用为80元/m2，草坪建造费用为10元/m2，设每个矩形的面积为xm2，建造总费用为y(2)当建造总费用为74880元时，矩形区城的长和宽分别为多少米？(3)甲区域建造费用调整为40元/m2，乙区域建造费用调整为a元/m2（a为10的倍数），草坪建造单价不变，最后建造总费用为55000元，求【答案】(1)y=280x+48000(2)矩形区域的长和宽分别为12米和8米(3)a的最小值是50．【分析】（1）先求出正方形ABCD、正方形EFGH、种植草坪的面积，然后根据“费用=单价×面积”即可解答；（2）设一个矩形区域的长和宽分别为m，n，则m+n=20，mn=x．然后代入（1）所得解析式可得x=96，即m20-m=96，即可求得（3）先根据题意可得800×40+4x⋅a+101600-800-4x=55000，即a=3750【详解】（1）解：由题意可知：正方形ABCD的面积为40×40=1600m2，正方形EFGH的面积为800m2，种植草坪的面积为1600-800-4x，根据题意可得：（2）解：设一个矩形区域的长和宽分别为m，n，则m+n=20，mn=x．依题意可得：280x+48000=74880，解得x=96．∴m20-m=96，解得m1∴m=12，n=8．答：矩形区域的长和宽分别为12米和8米．（3）解：依题意，800×40+4x⋅a+101600-800-4x∴a=3750∵x=m20-m∴当m=10时，x最大=100．∴a≥47.5．∴a的最小值是50．【点睛】本题主要考查了列函数关系、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．12．（2023秋·浙江·九年级专题练习）用长为12米的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，设矩形窗框的宽为x米，窗框的透光面积为S平方米．（铝合金型材宽度不计）

(1)求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．(2)求S的最大值．【答案】(1)S=-(2)6【分析】（1）根据矩形窗框的宽为x表示出面积S，即可；（2）利用二次函数最值求法得出即可．【详解】（1）解：由窗框的宽为x米，则长为12根据题意得：S=x×1∵0<x≤1∴0<x≤12∴S与x的函数关系式为S=-3（2）解：由（1）得：S=-3∴当x=2时，S有最大值，最大值为6．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，利用配方法求出顶点坐标是解题关键．13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，有长为12m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽AB为xm(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；(2)要围成面积为9m2的花圃，【答案】(1)S=-3x2(2)3【分析】（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为(12-3x)米，即可得S=x12-3x=-3x2+12x（2）由题意得-3x【详解】（1）解：由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为(12-3x)米，S=x(12-3x)=-3x∴S与x的函数关系式为：S=-3x∵墙的最大可用长度a为5m，即BC≤5∴0<12-3x≤5,∴73即自变量的取值范围是73（2）解：由题意，得-3x整理，得x2解得：x1=1，∵73∴x=1不合题意，舍去，∴AB的长为3m【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出二次函数和一元二次方程．14．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）某校九年级数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的专题探究；一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的框，在实际使用中，如果竖档越多，窗框承重就越大，如果窗框面积越大，采光效果就越好．小组讨论后，同学们做了以下试验：

请根据以上图案回答下列问题：(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为6m，当AB为1m，窗框ABCD的面积是______(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为6m，试探究AB长为多少时，窗框ABCD(3)经过不断的试验，他们发现：总长度一定时，竖档越多，窗框的最大面积越小，试验证：当总长还是6m时，对于图案③的最大面积，图案④【答案】(1)4(2)长为1m时，窗框ABCD的面积最大，最大为(3)见解析【分析】（1）当AB=1时，得出BC=4（2）设AB长为xm时，窗框ABCD的面积为ym2，则y=x（3）图案③：设AB长为xm时，窗框ABCD的面积为ym2，则y=x⋅6-4x3=-43x-342+34，根据二次函数的最值求解方法得当x=34时，y有最大值【详解】（1）解：当AB=1m时，则BC=∴窗框ABCD的面积=1×4故答案为：43（2）解：设AB长为xm时，窗框ABCD的面积为yy=x2-x=-x-1∵a=-1＜∴当x=1时，y有最大值1，即当AB长为xm时，窗框ABCD的面积最大，最大为1（3）解：设AB长为xm时，窗框ABCD的面积为yy=x⋅6-4x3=-∵a=-4∴当x=34时，y有最大值令x⋅6-5x整理得：20x∵Δ=∴此方程无解，∴图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握矩形的面积和二次函数对最值，根的判别式是解题的关键．15．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，要利用一面墙（长为30m）建羊圈，用100m长的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，每个羊圈留有个1m宽的门（留门部分不需要围栏），若宽用x（m）表示，总面积用y（

(1)写出总面积y（m2）关于宽x（m(2)当面积y=624m2时，求羊圈的宽【答案】(1)y=-3(2)羊圈的宽x的值为26米【分析】（1）根据长方形面积公式求解即可；（2）把y=624代入（1）中的解析式，解一元二次方程求解即可．【详解】（1）由题意得，y=x100-3x+2∵100-3x+2≤30，∴x≥24，∵100-3x+2≥2，∴x≤100∴y=-3x（2）当y=624=-3x解得x1∴羊圈的宽x的值为26米．【点睛】本题考查了二次函数的应用和解一元二次方程，准确理解题意，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．16．（2023·全国·九年级专题练习）2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段（五象火车站-龙岗站）已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长27m的砖墙，然后打算用长60m的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏（平行于

(1)设施工区域的一边AB为xm，施工区域的面积为S m2．请求出S与(2)当围成的施工区域面积为288m2时，(3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/m2，项目方打算拨款120000【答案】(1)S=-3x(2)当AB的长是12米时，围成的施工区域面积为288m(3)拨款够用．理由见解析【分析】（1）根据题意可得到S与x的函数关系式为：S=-3x2+60x，自变量x（2）当围成的施工区域面积为288m2时：-3x（3）由S-3x-102+300，结合【详解】（1）解：根据题意得：S=x60-3x0<60-3x≤270<3x<60解得：11≤x<20，∴S与x的函数关系式为：S=-3x（2）解：由（1）知：S=-3x∵围成的施工区域面积为288m∴-3x解得：x=8（舍去）或x=12，∴当AB的长是12米时，围成的施工区域面积为288m（3）解：拨款够用．解析如下：∵S=-3x∵a=-3<0，函数图像的对称轴为直线：x=10，∴当11≤x<20时，S随x的增大而减小，∴当x=11时，施工区域有最大面积S=-311-10所需费用为297×400=118800<120000，答：拨款够用．【点睛】本题是面积问题(二次函数综合)，考查了二次函数的性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．17．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF:BF=3:4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为

(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．【答案】(1)y=4-(2)当x=87时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为【分析】（1）由BE=y可表示出IJ,MN,CD的长，由BF=x，AF:BF=3:4可表示出BC，AF，AB，AC，FG，FH的长，进而可求出y与x之间的函数关系式；（2）根据（1）中相关数据列出函数解析式，然后利用函数的性质解答．【详解】（1）∵四边形BCDE是矩形，∴BC∥DE，∵BE∥∴BE=∵AB=AC，F是边BC的中点，∴BC=DE=2x，AF⊥BC，∵AF:BF=3:4，∴AF=3x∴AB=AC=B∵点G、H、F分别是边AB、AC的中点，∴FG=FH=1∴4y=16-2x×2-5x∴4y=16-17x∴y=4-17x∵4-17x∴0<x<32∴y=4-17x（2）设面积为S，则S=2x=8x-=-7∴当x=87时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键．18．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）某景区要建一个游乐场（如图所示），其中AD、CD分别靠现有墙DM、DN（墙DM长为27米，墙DN足够长），其余用篱笆围成．篱笆DE将游乐场隔成等腰直角△CED和长方形ADEB两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．设(1)则BE的长为米（用含x的代数式表达）；(2)当AB多长时，游乐场的面积为320平方米？(3)直接写出当AB为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？【答案】(1)60-3x(2)当AB长为16米时，游乐园的面积是320平方米；(3)当AB为12米时，游乐场的面积达到最大，最大值为360平方米．【分析】（1）根据BE的长=篱笆总长-AB-DE-EC+2×3得出结论；（2）根据矩形的面积与等腰直角三角形的面积的和=320列出方程，解方程即可，并根据BE的取值范围得出结论；（3）根据游乐场的面积=矩形的面积与等腰直角三角形的面积的和列出函数解析式，由函数的性质求出最大．【详解】（1）解：由题意知，DE=CE=AB，设AB的长为x米，则BE的长为54-3x+6=60-3x米，故答案为：60-3x；（2）解：由题意得：x(60-3x)+1解得x1∵x>060-3x≤27解得11≤x<58∴x=16，答：当AB长为16米时，游乐园的面积是320平方米；（3）解：设游乐场的面积为y平方米，由题意得：y=x(60-3x)+1∵11≤x<58∴当x=12时，y有最大值，最大值为360，答：当AB为12米时，游乐场的面积达到最大，最大值为360平方米．【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意用x表示BE的长．19．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）如何裁剪出符合要求的长方形纸片？素材1如图1，△ABC是腰长为40cm的等腰直角三角形卡纸，校艺术节上，甲、乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的长方形纸片，并使长方形的四个顶点都在△ABC的边上．

素材2甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的732的长方形纸片，乙同学按图3的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的5

任务1计算纸片周长请帮甲同学计算此长方形纸片的周长．任务2判断裁剪方案请帮乙同学判断此裁剪方案是否能够实现，说明理由．任务3计算最大面积请帮丙同学计算出长方形纸片面积的最大值．【答案】任务1：80cm；任务2：乙同学不能实现，见解析；任务3：400【分析】任务1.设EF=CF=xcm，则AF=(40-x)cm，依据题意列出方程求得任务2.设NP=CP=MQ=BQ=ycm，则PQ=(402-2y)任务3.利用配方法，分别求得两个方案中的面积的最大值即可得出结论．【详解】解：任务1.由题意得：∠C=45°，∵EF⊥AC，∴EF=FC．设EF=CF=x cm，则AF=(40-x)cm∵矩形ADEF的面积为三角形面积的732∴x(40-x)=7化简得x2解得：x=5或x=35，∴矩形ADEF的边长为5cm，35∴周长为2(5+35)=80cm任务2.由题意得：∠C=∠B=45°，MQ=NP，∵EF⊥AC，MQ⊥BC，∴NP=CP=MQ=BQ．设NP=CP=MQ=BQ=ycm，则PQ=(40∵矩形MNPQ的面积为三角形面积的58∴y(402整理得：y2∵Δ=b∴方程无实数根，∴乙同学的方案不能实现；任务3.图2方案：∵S=x(40-x)=-x∴当x=20cm时，矩形的面积最大为400图3方案：∵S=y(402∴当y=102cm时，面积最大为∴长方形纸片面积的最大值为400cm【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，配方法，二次函数的性质，函数的极值，利用配方法解答是解题的关键．20．（2023秋·全国·九年级专题练习）某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？(3)现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围．【答案】(1)y=-(2)当x=40时，y有最大值，y最大(3)60≤x<80【分析】（1）根据题意可得AE=DE=HG=BF=CF=12x（2）将（1）中得到的表达式化为顶点式，即可进行解答；（3）先分别求出矩形EAGH和矩形DEFC的面积，再求出总费用w，结合w关于x的函数图象，即可得出x的取值范围．【详解】（1）解：题意得，AE=DE=HG=BF=CF=1DC=200-∴y=AD×DC=100-∴y=-5（2）解：y=-5∵-54<0，开口向下，对称轴x=40∴当x=40时，y有最大值，y最大（3）解：矩形DEFC=CD⋅DE=1矩形EAGH面积=1∴-5整理得：x2设w=x如图，画出w关于x的函数图象．

由图可知，当x≤20或x≥60时，w=x∵28≤x<80，∴60≤x<80．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出表达式，熟练掌握二次函数相关知识点，并灵活运用．类型三、几何动点问题21．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、(1)△PBQ的面积等于8平方厘米？(2)五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？【答案】(1)2秒或4秒(2)经过3秒时，五边形APQCD的面积最小，最小值为63【分析】（1）设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB-AP=6-x（2）设五边形APQCD的面积最小面积是ycm2，根据S五边形APQCD=【详解】（1）解：设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则AP=xcm，BQ=2x∴BP=AB-AP=6-x由题意得：S△PBQ整理得：x2解得：x1=2，答：经过2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米；（2）解：设五边形APQCD的面积最小面积是ycm根据题意得：S五边形∴y=6×12-1∴当x=3时，y最小答：经过3秒时，五边形APQCD的面积最小，最小值为63cm【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，读懂题意，正确列出一元二次方程，求出y与x的关系式是解题的关键．22．（2020秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，点P从点A出发沿AB边向点B以1个单位每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2个单位每秒的速度移动．如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，设运动时间为t秒(0<t<6)，回答下列问题：

(1)运动开始后第几秒时△PBQ的面积等于8．(2)设五边形APQCD的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值．【答案】(1)2秒或4秒(2)S=t2-6t+72，当【分析】（1）设运动开始后第t秒时△PBQ的面积等于8，由三角形面积公式即可求解；（2）由S=S【详解】（1）解：设运动开始后第t秒时△PBQ的面积等于8，由题意得12整理得：t2解得：t1=2，答：运动开始后第2秒或4秒时△PBQ的面积等于8．（2）解：S==6×12-=t=t-3∵1>0，0<t<6，∴当t=3时，S最小答：S=t2-6t+72，当t=3【点睛】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用，根据图形找出等量关系式，掌握二次函数最值的求法是解题的关键．23．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，点P从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，到点C停止，过点P作PQ⊥BC交AB点Q，以线段PQ的中点为对称中心将△APQ旋转180°得到△DQP，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为t(s)(t>0)，

(1)求当点D落在BC边上时t的值；(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；(3)直接写出当△ADC是等腰三角形时t的值．【答案】(1)2(2)S=(3)1或81717【分析】（1）由题意易得AP=QD=PC=2t，然后可得方程2t+2t=8，进而问题可求解；（2）由题意可分当0<t≤2时和当2<t≤4时，进而分类求解即可；（3）由题意可当DC=DA时，当AD=AC=8cm时，当DC=CA=8【详解】（1）解：如图，当点D落在BC边上时，

AP=QD=PC=2t．由2t+2t=8，解得t=2，所以当点D落在BC边上时t的值是2．（2）解：当0<t≤2时，如图，

AP=DQ=2t，QP=t．∴S=1当2<t≤4时，如图，

AP=QD=2t，DE=4t-8，∴S=t综上，S=t（3）解：当DC=DA时，如图，

CM=MA=4t，由4t+4t=8，解得t=1；当AD=AC=8cm时，如图5DM=QP=t，AM=2AP=4t，由(4t)2+t

当DC=CA=8cm时，如图6DM=QP=t，CM=4t-8，由(4t-8)2解得t1=64综上，当△ADC是等腰三角形时t的值为1或81717或【点睛】本题主要考查勾股定理、二次函数的综合及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理、二次函数的综合及等腰三角形的性质是解题的关键．24．（2023春·全国·八年级专题练习）已知△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，CD=4cm，BD=AD．点F从点A出发，沿AC-CD运动，速度为1cm/s，同时点E从点B出发，沿(1)求BD的长；(2)设△AEF的面积为S，点P、Q运动时间为t，求S与的函数关系式，并写出的取值范围．【答案】(1)5(2)S=【分析】（1）在Rt△ACD中，利用勾股定理，可求出AD的长，结合BD=AD，即可得出BD（2）利用时间=路程÷速度，可求出点E，F到达各节点所需时间，分0≤t≤3，3<t≤5及5<t<7三种情况考虑，当0≤t≤3时，由点E，F的运动速度，可得出AF，BE的长，进而可得出CE的长，再利用三角形的面积公式，即可找出S关于t的函数关系式；当3<t≤5时，由点E，F的运动速度，可得出CF，BE的长，进而可得出EF的长，再利用三角形的面积公式，即可找出S关于t的函数关系式；当5<t<7时，过点E作EM⊥BC于点M，则△DEM∽△DAC，根据各边之间的关系，可得出DF，EM的长，再利用三角形的面积公式，即可找出S关于t的函数关系式．【详解】（1）解：在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=3cm，∴AD=A又∵BD=AD，∴BD=5cm（2）解：3÷1=3(s)，5÷1=5(s)，当0≤t≤3时，如图1所示，AF=tcm，BE=t∴CE=BC-BE=4+5-t=(9-t)cm∴S=1当3<t≤5时，如图2所示，CF=(t-3)cm，BE=t∴EF=BC-CF-BE=4+5-(t-3)-t=(12-2t)cm∴S=1当5<t<7时，如图3所示，过点E作EM⊥BC于点M，则△DEM∽△DAC．∵CF=(t-3)cm，BD=5cm，DE=(t-5)cm∴DF=BC-CF-BD=4+5-(t-3)-5=(7-t)cm，EM=∴S=1综上所述，S与t的函数关系式为S=-【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积、相似三角形的判定及性质以及根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是：（1）在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AD的长；（2）分0≤t≤3，3<t≤5及5<t<7三种情况，找出S关于t25．（2023·河北邯郸·统考一模）如图在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动．黑球到达A处时，从10cm/s开始减速，每过2秒减1cm；其运动距离y（单位：cm）由两部分构成：一部分与运动时间t（单位：s）成正比，另一部分与t2成正比，此时，白球在黑球前面70cm处，一直以2cm/s运动时间t/s24运动速度v/cm/s98运动距离y1936(1)求出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)求黑白两球之间距离的w与运动时间t之间的关系式，判断并说明黑球在运动过程中会不会碰到白球．【答案】(1)v=10-12(2)w=1【分析】（1）设出表达式，利用待定系数法即可求得；（2）表示出黑白两球之间距离，求最小值即可；【详解】（1）解：设表达式为v=kt+b，将2,9，4，8代入表达式得：解得：k=-1所以，函数表达式为：v=10-1设y=at2+bt，将(2,19)得4a+2b=19,16a+4b=36，解得∴y=-1（2）解：设黑白两球的距离为wcmw=70+2t-y=1∵14∴当t=16时，w的最小值为6>0，∴黑球不会碰到白球．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据条件准确得到表达式是解题关键．26．（2023·天津东丽·统考一模）如图，四边形ABCD的坐标分别为A-4,0，B2,0，C0,4(1)求四边形ABCD的面积；(2)将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O'B'C'，点O、B、C的对应点分别为点O'、B'、C'，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动，若【答案】(1)20(2)当0≤t<2，S=4t-t2；当2≤t≤83，S=4【分析】（1）过点D作DE⊥OA于点E，由A-4,0，B2,0，C0,4，D-2,6，可得OE=2，OA=4，DE=6，OC=4，（2）根据当0≤t<2时，△O'B'C'与四边形AOCD重合部分是梯形，当2≤t≤83时，△O'B【详解】（1）解：过点D作DE⊥OA于点E，∵A-4,0，B2,0，C0,4∴OE=2，OA=4，DE=6，OC=4，AE=4-2=2，∴S==6+10+4=20；（2）解：当0≤t<2时，△O'BS=4+4-2t当2≤t≤83时，△O'BS=1当83<t≤4时，△OS=-9【点睛】本题考查平面直角坐标系与几何图形、二次函数与图形变换、平移的性质，熟练掌握相关知识进行分类讨论是解题的关键．27．（2023春·天津·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°，BO=BA，顶点A6,0，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E-6,0，C0,2，点D在第二象限．将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O'C'D'E'，点O，C，D，E的对应点分别为(1)如图①，当t=1时，O'C'与OB交于F点，求点C(2)若矩形O'C'D'①如图②，当矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为五边形时，C'D'分别与OB交于点G，与AB交于点H．O'②当53≤t≤42【答案】(1)点F的坐标F1,1，点C'(2)①S=-12t2+6t-10．其中t【分析】（1）由t=1、C0,2，可得点C坐标，根据△OAB是等腰直角三角形可证△OOF是等腰直角三角形，从而可得∴O（2）①过点G作GM⊥OA于M，根据平移的性质可得O'C'=2，O'M=C'G=t-2，由C'D'∥OA，可证△O'AN与△C'NH均为等腰直角三角形，可得O'A=O'【详解】（1）解：由点C0,2，得OC=2由已知矩形平移得，OO'=t，OC=又△OAB是等腰直角三角形，得∠BOO∴△OOF是等腰直角三角形，∴OO∴点F的坐标F1,1，点C'的坐标（2）解：①由平移知，O'C'=2，如图，过点G作GM⊥OA于M，∴GM=OM=2，∴O由C'得∠O∴△O'AN又OA=6，∴O∴C∴S=S==2t-2-=-1其中t的取值范围是4<t<6；②∵t=53时，矩形O'∴S=1当t=42时，矩形O'C∴S=-1【点睛】本题考查平移的性质、平面直角坐标系与图形、等腰直角三角形的性质及求二次函数解析式，熟练掌握平移的性质是解题的关键．28．（2023·吉林松原·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=2cm．点P从点A出发，沿射线AB方向运动，在运动过程中，以线段AP为斜边作等腰直角三角形APQ．当PQ经过点C时，点P停止运动．设点P的运动距离为x(cm)，△APQ(1)当点Q落在CD边上时，x=______cm；(2)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)设PQ的中点为M，直接写出在整个运动过程中，点M移动的距离．【答案】(1)4(2)y=(3)2【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质AP=2AQ，∠QAP=45°，再根据矩形的性质得∠DAQ=∠AQD，进而得出（2）分0<x≤4时，4<x≤6时，6<x≤8时，分别根据面积公式计算表示即可；（3）先确定点的运动轨迹是线段AC，再根据勾股定理求出答案．【详解】（1）解：如图1中，∵△APQ是等腰直角三角形，∴AP=2AQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠DAB=90°，∴∠DAQ=∠AQD=45°，∴AD=DQ=2，∴AQ=A∴AP=2故答案为：4；（2）解：当0<x≤4时，如图2-1中，重叠部分是△APQ，∵AQ=PQ=2∴y=1当4<x≤6时，如图2-2中，则重叠部分是四边形APMN，Rt△MQN由（1）知，AN=22∴NQ=MQ=AQ-AN=2∴y=S当6<x≤8时，如图2-3中，重叠部分是五边形ABTMN，由题意，Rt△QMN和Rt

y==-1综上所述：y=1（3）解：如图4中，连接AC．当点C落在PQ上时，QC=PC=22，此时点M与C∴PQ的中点M的运动轨迹是线段AC，AC=A【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，求分段函数关系式，勾股定理等，分情况求关系式要找到临界点．29．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知正方形ABCD的边长为12，点E由点C开始沿射线CB运动，连接DE，点G为DE的中点，EG绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF．(1)当点E运动到B点时，△GEF的面积是．(2)当点E为BC中点时，①求点F到直线BC的距离是多少？②∠FCE的度数是多少？(3)直接写出CF的最小值．【答案】(1)36(2)①点F到BC的距离为3；②90°(3)CF的最小值为2【分析】（1）利用勾股定理求出BD，可得结论；（2）①如图2中，过点G作GM⊥CD于点M．证明△DMG≌△ECFSAS，推出∠DMG=∠ECF=90°，GM=CF②利用全等三角形的性质解决问题即可；（3）如图3中，过点G作GM⊥CD于点M．过点F作FN⊥EC于点N．证明△DMG≌△ENFAAS，推出GM=FN=12EC，DM=EN=6，设FN=GM=m，则EC=2m，推出【详解】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ABC=90°，∵AB=AD=12，∴BD=122∵DG=GB=62∴BF=BG=62∵∠GBF=90°，∴△GBF的面积=1（2）①如图2中，过点G作GM⊥CD于点M．则DG=GE，GM∥EC，∴DM=MC（平行线分线段成比例），∴GM=1∴DM=MC=6，∵CD=CB，EC=EB，∴DM=EC，∵∠DCE=∠GEF=90°，∴∠EDC+∠DEC=90°，∠DEC+∠CEF=90°，∴∠MDG=∠CEF，∵DG=EG=EF，∴△DMG≌△ECFSAS∴∠DMG=∠ECF=90°，GM=CF，∴点F到BC的距离为3；②∵△DMG≌△ECF，∴∠DMG=∠ECF=90°；（3）如图3中，过点G作GM⊥CD于点M．过点F作FN⊥EC于点N．∵DG=EG=EF，∠MDG=∠NEF，∠DMG=∠ENF=90°，∴△DMG≌△ENFAAS∴GM=FN=12EC设FN=GM=m，则EC=2m，∴CN=2m-6，∴CF∵5＞∴CF2有最小值，最小值∴CF的最小值为2205【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．30．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm,BC=15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2(1)当t为多少秒时，P,Q两点之间的距离是10cm(2)用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S(3)当t为多少秒时，S△CPQ【答案】(1)当t为3秒或5秒时，P,Q两点之间的距离是10(2)S=-4(3)2秒或3秒【分析】（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm,BC=15cm，点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，由此可用含（2）由（1）可知CP=(20-4t)，CQ=2t，根据三角形的面积公式即可求解；（3）根据题意分别表示出S△ABC，S【详解】（1）解：若运动的时间为ts，则CP=(20-4t)cm，CQ=2tcm，P,Q即在Rt△PCQ中，∠C=90°，PQ=10∴PC2+CQ2=PQ∴当t为3秒或5秒时，P,Q两点之间的距离是10cm（2）解：∵AC=20cm,BC=15cm，点P的速度是4cm/s，点∴点P从点A到点C的时间为204=5s，点Q从点C到点B∵当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，∴0≤t≤5，若运动的时间为ts，则CP=(20-4t)cm，CQ=2tcm，在Rt∴S=1∴Rt△CPQ的面积S=-4（3）解：根据题意，S△ABC由（2）可知，S△CPQ∴-4t2+20t=425∴当t为2秒或3秒时，S△CPQ【点睛】本题主要考查动点与三角形知识的综合，理解动点的运动规律，动点的运动与三角形边长的关系，边长的面积关系是解题的关键．类型四、拱桥问题31．（2023秋·全国·九年级专题练习）兰兰家新建了一个蔬菜大棚，大棚的样式如图1，大棚入口的外形呈抛物线形状，宽度是8m，最高点距地面2m，现要在大棚的入口正中间加3根木条做一个简易的长方形门框，如图

(1)若门框的高不低于1.5m，且长方形门框的宽AB的长度不小于2m，则长方形门框的宽度(2)在（1）的条件下，为了节省木料，求3根木条长度和的最小值．【答案】(1)2≤AB≤4(2)23【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）（2）设A点的横坐标为x，则B点的横坐标为8-x，AB的长度为8-2xm，求出AE，BE【详解】（1）解：如图，以大棚入口的左端点为原点建立直角坐标系，由题意知顶点C坐标为4，2，D点坐标为设抛物线的解析式为y=ax-4

将D点坐标代入，得a8-42+2=0，解得∴抛物线的解析式为y=-1当y=1.5时，x1=6，则AB的长度最大为6-2=4m∴AB的范围为2≤AB≤4；（2）设A点的横坐标为x，则B点的横坐标为8-x，AB的长度为8-2xm∵2≤AB≤4，∴2≤8-2x≤4，得2≤x≤3，点A的纵坐标为-18如图，木条AE=BF=-18令3根木条长度和为l，∴l=AB+AE+BF=8-2x+2×-当2≤x≤3时，y随x的增大而减小，所以当x=3时，l取得最小值为-1即3根木条长度和的最小值为234m【点睛】本题考查的是二次函数的应用，解题关键是求出函数解析式．32．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA

(1)建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式．(2)一大型货车装载设备后高为7m，宽为4【答案】(1)y=-(2)能【分析】（1）根据题意建立坐标系可得抛物线的顶点坐标为点C0,8，点B-8,6,B18,6（2）根据题意得：当x=±4时，y=7.5>7，即可求解．【详解】（1）解：如图：以AA1的中点为坐标原点，以AA1所在直线为

∵OA=OA1=∴B-8,6，B18,6设抛物线函数表达式为y=ax2∴6=64a+8，解得：a=-132∴抛物线的函数表达式为y=-1（2）解：这辆货车能安全通过，理由如下：根据题意得：当x=±4时，y=-132∴这辆货车能安全通过．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．33．（2023·北京·九年级专题练习）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=-0.01x-302+9，据调查，龙舟最高处距离水面2(1)水面的宽度OA=_______m；(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m【答案】(1)60(2)4条．【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案；（2）求出当y=5时，x的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为9m【详解】（1）解：令y=0，则-0.01x-30∴x-302解得x=0或x=60，∴A60∴OA=60m故答案为：60；（2）解：令y=5，得-0.01x-30∴x-30解得x1=10，∴可设计赛道的宽度为50-10=40m∵每条龙舟赛道宽度为9m∴最多可设计赛道4条．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．34．（2023·北京·九年级专题练习）如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x-h)(1)拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x23681012竖直高度y45.47.26.440根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系y=a(x-h)(2)一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=-0.288(x-5)2+7.2，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为d1，“新拱门”的跨度为d2，则d1__________d2(填“>”、【答案】(1)y=-0.2(2)>【分析】（1）由表格得当x=2时，y=4，当x=10时，y=4，从而可求顶点坐标，即可求解；（2）由表格可以直接求出d1，由y=-0.288(x-5)2【详解】（1）解：由表格得：∵6-2=10-6，∴顶点坐标为6,7.2，∴y=a(x-6)∴a(2-6)解得：a=-0.2，∴y=-0.2(x-6)（2）解：由表格得当x=12时，y=0，原拱门中：d1=12（新拱门中：当y=0时，-0.288解得：x1=0，∴d2=∵12>10，∴d故答案：>．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的关键．35．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图1，有一座抛物线形拱桥，某正常水位时，桥下的水面宽20米，拱顶到水面的距离为6米，到桥面的距离为4米，相邻两支柱间的距离均为5米，建立直角坐标系如图2．(1)求抛物线的函数表达式．(2)求支柱MN的长度．(3)随着水位的上升，桥下水面的宽度逐渐减小．一艘货船在水面上的部分的横截面是边长为5米的正方形，当水位上升0.75米时，这艘货船能否顺利通过拱桥？请说说你的理由．【答案】(1)y=-(2)5.5米(3)不能，理由见解析【分析】（1）设抛物线的函数表达式为y=ax2+6（a≠0（2）将x=5代入函数关系式求得y的值，可求出支柱MN的长度；（3）将x=52代入函数关系式求得y的值，再与【详解】（1）设抛物线的函数表达式为y=ax2把B（10，解得a=-350抛物线的函数表达式为y=-350（2）当x=5时，y=-3∴MN=10-4.5=5.5（米）．（3）不能，理由如下：当x=52时，y=∴这艘货船不能顺利通过拱桥．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．36．（2023·河南商丘·统考一模）清明上河园是中国著名八朝古都河南开封的一座大型历史文化主题公园，占地600余亩，坐落在开封城风光秀丽的龙亭湖西岸．它是依照北宋著名画家张择端的传世之作《清明上河图》为蓝本建造的，于1998年10月28日正式对外开放．2021年10月，入选首批河南省中小学研学旅行实践基地拟认定名单．如图为园中一座桥，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=20m，桥拱顶点B到水面的距离是5m．按如图所示建立平面直角坐标系，设该抛物线的解析式为(1)求桥拱部分对应的抛物线的解析式；(2)某天，一艘船经过桥下，如图，船的宽度DE=2m，船上放置长方体的集装箱，集装箱的高度CD=EF=1.8m，若该船恰好贴着桥拱经过桥下，求此时船的左侧点D与点【答案】(1)y=-(2)船的左侧点D与点O的距离为2m或16【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）令y=1.8，求得x1【详解】（1）解：如图，由题意得：水面宽OA=20m，桥拱顶点B到水面的距离是5结合函数图象可知，顶点B10，5设二次函数的表达式为y=ax-10将点O0，0解得：a=-1∴二次函数的表达式为y=-1即y=-1（2）解：集装箱的高度CD=EF=1.8m则y=1.8，即1.8=-1则x1∵船的宽度DE=2m由题意得：当船在对称轴左侧时，点C恰好经过桥拱，此时船的左侧点D与点O的距离DO=2m当船在对称轴右侧时，点F恰好经过桥拱，此时船的左侧点D与点O的距离DO=OE-DE=18-2=16m即此时船的左侧点D与点O的距离为2m或16【点睛】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键．37．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）苏北里下河水乡溱潼镇，过去有着“出门就过河”的历史，随着经济的发展，桥梁逐渐增多，其中以新读书址大桥最为壮观．现测得其中一钢架跨径为24m，拱高14.4m，每隔3m有一根立柱．(1)该钢架可以看作一个二次函数的图像，如右图所示，请建立适当的平面直角坐标系，并写出这个二次函数的表达式；(2)求制作右图中这七根立柱共需要多长的不锈钢管．【答案】(1)y=-110x(2)75.6m【分析】（1）根据构建平面直角坐标系时，尽量使得抛物线的解析式比较简单的原则，可以y=ax（2）由（1）可根据抛物线的解析式求每根柱子的长，从而可求．【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，则有A12,-14.4设抛物线解析式为y=ax∴a×解得：a=-1∴y=-1（2）解：当x=3时，y=-1当x=6时，y=-1当x=9时，y=-12=75.6m答：这七根立柱共需75.6m【点睛】本题考查了构建平面直角坐标系，二次函数的实际应用，掌握构建平面直角坐标系及理解二次函数中的自变量和因变量的实际意义是解题的关键．38．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB和矩形OABC构成.矩形OABC的边OA=34米，OC=9米，以OC所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN⊥x轴，ON=7.5米，点E是OM上方抛物线上一动点，且点E的横坐标为m，过点E作x轴的垂线，交OM于点F.①求EF的最大值.②某工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是125米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围【答案】(1)y=-1(2)①当m=72时，EF有最大值165【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数表达式；（2）①先求出点M坐标为152,3，再求出直线OM的解析式为y=25x，进而求出EF=-15②根据师傅能刷到的最大垂直高度是125米，得到当EF>125时，他就不能刷到大门顶部，令EF=125，得到-15【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点D的坐标为92设抛物线的表达式为y=ax-将点A0,34解得a=-15∴抛物线对应的函数的表达式为y=-1（2）解：①将x=7.5代入y=-15x-∴点M15∴设直线OM的解析式为y=kxk≠0将点M152,3∴k=2∴直线OM的解析式为∴EF=-15m-92∵-∴当m=72时，EF有最大值，为②∵师傅能刷到的最大垂直高度是125∴当EF>12令EF=125解得m1又∵EF是关于m的二次函数，且图象开口向下，∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m的范围是32【点睛】本题考查为二次函数的实际应用，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识，熟知二次函数的性质并灵活应用是解题关键．39．（2023·湖北武汉·模拟预测）按要求解答(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM=10.8米．建立如图所示的直角坐标系．①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．③已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于+【答案】(1)原计划每天修20米(2)①y=-0.3x2+10.8；②5.5【分析】（1）设原计划每天修x米，然后根据题意列分式方程求解即可；（2）①由题意可得E-4,0,F4,0,A-6,0,B6,0,M0,10.8，然后运用待定系数法解答即可；②车的宽度为4米，令x=4时求得y=6，然后再减去0.5即可解答；③如图：由CE，DF高均为0.3米，则点G【详解】（1）解：设原计划每天修x米则根据题意可得：2400解得：x=-25或x=20经检验，x=20是分式方程的解．答：原计划每天修20米．（2）解：①根据题意可得：C设抛物线的函数表达式为y=a由题意可得：0=36a-6b+c0=36a+6b+c10.8=c所以抛物线的函数表达式为y=-0.3②∵车的宽度为4米，车从正中通过，∴令x=4时，y=-0.3×16+10.8=6，∴货车安全行驶装货的最大高度为6-0.5=5.5（米）．③如图：由CE，DF高均为0.3米，则点G的纵坐标为令y=0.3，则有：0.3=-0.3x2+10.8∴人行道台阶的宽度为：FG=∴人行道宽度设计达标．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，正确求得函数解析式是解答本题的关键．40．（2023春·广西南宁·九年级校考阶段练习）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米，在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米，小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的