2024届福建省福州一中数学高一上期末达标检测试题含解析

2024届福建省福州一中数学高一上期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．若，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.2．已知函数，则（）A.3 B.2C.1 D.03．已知函数，则下列结论不正确的是（）A. B.是的一个周期C.的图象关于点对称 D.的定义域是4．设，，，则的大小顺序是A. B.C. D.5．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.6．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（）．注：重心坐标公式为横坐标：；纵坐标：A. B.C. D.7．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝（）A.{x|－2＜x＜－1} B.{x|－2＜x＜3}C.{x|－1＜x＜1} D.{x|1＜x＜3}8．在平面直角坐标系中，直线的斜率是（）A. B.C. D.9．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（）A. B.C. D.10．函数的单调递减区间是（）A.（） B.（）C.（） D.（）11．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是A. B.C. D.12．已知幂函数的图象过，则下列求解正确的是（）A. B.C. D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．已知,则的值为________14．已知点角终边上一点，且，则______15．某次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图.则参加测试的总人数为______，分数在之间的人数为______.16．已知函数．若关于的方程，有两个不同的实根，则实数的取值范围是____________三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于点，（分别是与轴、轴正半轴同方向的单位向量),函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当满足时，求函数的最小值.18．已知函数，（1）求的最小正周期；（2）求单调递减区间19．如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于的函数为.（1）求函数的解析式，并求；（2）若，求的值.20．已知函数为奇函数.（1）求实数a的值；（2）求的值.21．已知函数.（1）若函数的定义域为，求集合；（2）若集合，求.22．已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动.（1）求线段中点的轨迹的方程；（2）若一光线从点射出，经轴反射后，与轨迹相切，求反射光线所在的直线方程.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1、D【解析】根据不等式的性质逐项判断可得答案.【详解】对于A，因为，，故，故A错误对于B，因为，，故，故，故B错误对于C，取，易得，故C错误对于D，因为，所以，故D正确故选：D2、B【解析】先求值，再计算即可.【详解】，，故选：B点睛】本题主要考查了分段函数求函数值，属于基础题.3、C【解析】画出函数的图象，观察图象可解答.【详解】画出函数的图象，易得的周期为，且是偶函数，定义域是，故A，B，D正确；点不是函数的对称中心，C错误.故选：C4、A【解析】利用对应指数函数或对数函数的单调性，分别得到其与中间值0,1的大小比较，从而判断的大小.【详解】因为底数2>1，则在R上为增函数，所以有；因为底数，则为上的减函数，所以有；因为底数，所以为上的减函数，所以有；所以，答案为A.【点睛】本题为比较大小的题型，常利用函数单调性法以及中间值法进行大小比较，属于基础题.5、D【解析】根据题意，函数与图像有两个交点，进而作出函数图像，数形结合求解即可.【详解】解：因为关于x的方程恰有两个不同的实数解，所以函数与图像有两个交点，作出函数图像，如图，所以时，函数与图像有两个交点，所以实数m的取值范围是故选：D6、D【解析】由重心坐标公式得重心的坐标，根据垂直平分线的性质设出外心的坐标为，再由求出，然后求出欧拉线的斜率，点斜式就可求得其方程.【详解】设的重点为，外心为，则由重心坐标公式得，并设的坐标为，解得，即欧拉方程为：，即：故选：D【点睛】本题考查直线方程，两点之间的距离公式，三角形的重心、垂心、外心的性质，考查了理解辨析能力及运算能力.7、A【解析】直接根据交集的定义即可得解.【详解】解：因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，所以.故选：A.8、A【解析】将直线转化成斜截式方程，即得得出斜率.【详解】解：由题得，原式可化为，斜率.故选：A.9、C【解析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．【详解】设底面半径为r，则，所以.所以圆锥高.所以体积.故选：C.【点睛】本题考查圆锥的性质及体积，圆锥问题抓住两个关键点：（1）圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长；（2）圆锥底面半径r、高h、母线l组成直角三角形，满足勾股定理，本题考查这两种关系的应用，属于简单题.10、A【解析】根据余弦函数单调性，解得到答案.【详解】解：，令，，解得，，故函数的单调递减区间为；故选：A.11、A【解析】当时,在上是增函数，且恒大于零，即当时,在上是减函数，且恒大于零，即，因此选A点睛:1．复合函数单调性的规则若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”

函数单调性的性质(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；(2)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反12、A【解析】利用幂函数过的点求出幂函数的解析式即可逐项判断正误【详解】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，），∴2α，解得α，故f（x），即，故选A【点睛】本题考查了幂函数的定义，是一道基础题二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13、【解析】利用正弦、余弦、正切之间的商关系,分式的分子、分母同时除以即可求出分式的值.【详解】【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系和商关系,考查了数学运算能力.14、【解析】利用任意角的三角函数的定义，即可求得m值【详解】点角终边上一点，，则，故答案为【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题15、①.25②.4【解析】根据条件所给的茎叶图看出分数在[50，60)之间的频数，由频率分布直方图看出分数在[50，60)之间的频率和[90，100)之间的频率一样，继而得到参加测试的总人数及分数在[80，90)之间的人数.【详解】成绩在[50，60)内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，成绩在[90，100]内同样有2人，由，解得n=25，成绩在[80，90)之间的人数为25-(2+7+10+2)=4人，所以参加测试人数n=25，分数在[80，90)的人数为4人.故答案为：25；4【点睛】本题主要考查茎叶图、频率分布直方图，样本的频率分布估计总体的分布，属于容易题.16、【解析】作出函数的图象，如图所示，当时，单调递减，且，当时，单调递增，且，所以函数的图象与直线有两个交点时，有三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】（Ⅰ）由已知可得，则,又因，所以.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由，得，即，解得.由条件得，故函数图象的对称轴为，①当，即时，在上单调递增，所以②当，即时，在处取得最小值，所以.③当，即时，在上单调递减，所以.综上函数的最小值为点睛：二次函数在给定区间上最值的类型及解法：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解18、（1）；（2）.【解析】（1）利用求出函数的最小正周；（2）由求出x的范围，即得的单调递减区间.【小问1详解】∵函数，∴，故的最小正周期为.【小问2详解】由可得，，解之得，所以f(x)的单调递减区间.19、（1），；（2）.【解析】（1）由三角函数的定义得到，进而代入计算；（2）由已知得，将所求利用诱导公式转化即得.【详解】解：（1）因为，所以，由三角函数定义，得.所以.（2）因为，所以，所以.【点睛】本题考查三角函数的定义，三角函数性质，诱导公式.考查运算求解能力，推理论证能力.考查转化与化归，数形结合等数学思想.已知求时要将已知中角作为整体不分离，观察所求中的角与已知中的角的关系，利用诱导公式直接转化是化简求值的常见类型.20、（1）（2）【解析】（1）由奇函数定义求；（2）代入后结合对数恒等式计算．【详解】（1）因为函数为奇函数，所以恒成立，可得.（2）由（1）可得.所以.【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查对数恒等式，属于