2023届福建省宁德市高考仿真模拟数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某高中高三(1)班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董,

小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁

写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下：

小王说：“入班即静”是我写的；

小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的;

小李说：“细节决定成败”不是我写的.

若三人的说法有且仅有一人是正确的，贝!1“入班即静”的书写者是()

A.小王或小李B.小王C.小董D.小李

已知双曲线C*2

2.=1(。>0/>0)的一个焦点为E，点A8是。的一条渐近线上关于原点对称的两点，以A3

为直径的圆过/且交C的左支于M,N两点，若|MN|=2,AAB尸的面积为8,则C的渐近线方程为()

C.y=±2xD.y=±—x

3,已知向量a,b满足I。1=1，IZ?1=2,且a与人的夹角为120。，则k-3司=()

A.而B.历C.2MD.743

4.偶函数/(%)关于点(1,0)对称，当TWxWO时,/(x)=-x2+l,求”2020)=()

A.2B.0C.-1D.1

5.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为().

A.432B.576C.696D.960

6.一个组合体的三视图如图所示(图中网格小正方形的边长为1),则该几何体的体积是()

A.In--B.1TI-\C.2%-2D.2%—4

2

7.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积是（）

333333

8.已知a,b为两条不同直线，a,B,7为三个不同平面，下列命题：①若。〃尸，ally,则/?〃九②若a〃a,

al1/3,则。〃£；③若（3A.y,则C£；④若a_L。，h±a,则a〃b.其中正确命题序号为（）

A.②③B.②®④C.①©D.①②③

9.设向量a,人满足冏=2,忖=1,卜乃〉=60,则k+陷的取值范围是

A.B.[G,+8）

C.[72,6]D.[66]

10.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为

[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100],若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）

D.60

11.已知“>〃>（）,c>\,则下列各式成立的是（）

C-l7c-1

A.sina>sinbB.ca>chC.ac<Z>tD.------<

b

12.已知三棱锥尸-ABC的顶点都在球。的球面上，PA=BPB=岳,AB=4,CA=CB=M,面姑8_1面

ABC,则球O的表面积为（）

10425万40〃50乃

A.------B.------C.------D.------

3693

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量小〃满足a%=—l，。«2。一刀=3,则卜卜.

14.在正方体中，已知点P在直线AB】上运动，则下列四个命题中：①三棱锥。-GBP的体积不

变;②。P_L；③当P为AB冲点时，二面角P-AC,-C的余弦值为牛；④若正方体的棱长为2,贝！1+怛”

的最小值为4+40；其中说法正确的是（写出所有说法正确的编号）

15.设aeR,若函数y=e"+ax,xeR有大于零的极值点，则实数a的取值范围是

16.《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足.问人数、豕价各几何？”.其意思是“若

干个人合买一头猪，若每人出100,则会剩下100；若每人出90,则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设X，），分别

为人数、猪价，贝|x=__,y=_.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在AA8C中，内角AB,C的边长分别为a,hc,且c=2.

7T

（1）若A=1,b-3,求sinC的值；

（2）若sinAcos^g+sin8cos24=3sinC,且AABC的面积S=WsinC,求。和的值.

222

18.（12分）已知A6C的内角A3,C的对边分别为a,hc,且满足2cos8=网心.

（1）求角C的大小;

(2)若.43。的面积为逆，求一A8C的周长的最小值.

2

TTTT

19.(12分)如图，在AQB中，已知NAOB=—,/区40=—，A3=4,O为线段AB的中点，△AOC是由AOB

26

绕直线A。旋转而成，记二面角8-AO—C的大小为夕

(1)当平面CO。，平面AO3时，求。的值；

27r

(2)当。=q-时，求二面角8-8—C的余弦值.

20.(12分)已知椭圆。的中心在坐标原点C,其短半轴长为1,一个焦点坐标为(1,0),点A在椭圆。上，点8在直

线丫=&上的点，且。4_LQ3.

(1)证明：直线AB与圆f+y2=l相切；

(2)求AQB面积的最小值.

21.(12分)在本题中，我们把具体如下性质的函数f(x)叫做区间。上的闭函数：①/(x)的定义域和值域都是。；

②fW在。上是增函数或者减函数.

(1)若/(x)=tan3x)在区间［-1,1］上是闭函数，求常数切的值；

(2)找出所有形如/(x)=alog3X+)6的函数(。,人都是常数)，使其在区间［1,9］上是闭函数.

22.(10分)已知。为坐标原点，点耳(-0,0),6(&,0),S(3&,0),动点N满足|A*|+|NS|=4jL点P

为线段Nf；的中点，抛物线C：/=2机双机＞0)上点4的纵坐标为",OAOS=6瓜

(1)求动点P的轨迹曲线W的标准方程及抛物线C的标准方程；

(2)若抛物线C的准线上一点。满足OP_LOQ,试判断溢『+防"是否为定值，若是，求这个定值；若不是,

请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据题意，分别假设一个正确，推理出与假设不矛盾，即可得出结论.

【详解】

解：由题意知，若只有小王的说法正确，则小王对应“入班即静”，

而否定小董说法后得出：小王对应“天道酬勤”，则矛盾；

若只有小董的说法正确，则小董对应“天道酬勤”，

否定小李的说法后得出：小李对应“细节决定成败”，

所以剩下小王对应“入班即静”，但与小王的错误的说法矛盾；

若小李的说法正确，贝心细节决定成败”不是小李的，

则否定小董的说法得出：小王对应“天道酬勤”，

所以得出“细节决定成败”是小董的，剩下“入班即静”是小李的，符合题意.

所以“入班即静”的书写者是：小李.

故选：D.

【点睛】

本题考查推理证明的实际应用.

2.B

【解析】

由双曲线的对称性可得50"=51小即/明=8,又|MN|=4-=2,从而可得C的渐近线方程.

【详解】

设双曲线的另一个焦点为尸'，由双曲线的对称性，四边形AEBP是矩形，所以5刖"=5M".，即从'=8,由

■/2，得：y=±Z,所以|m7|=更=2,所以〃=c,所以。=2,c=4,所以。=26，C的渐近

线方程为y=±x.

-3

故选B

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题.

3.D

【解析】

先计算a”，然后将卜-3可进行平方,，可得结果.

【详解】

由题意可得：

a-/?=|«||z?|cosl20=1x2x(一g=-1

.♦.(a-3Z?)=a—6ah+9b=1+6+36=43

.•.贝*_3目=屈.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。

4.D

【解析】

推导出函数y=/(x)是以4为周期的周期函数，由此可得出/(2020)=/(0),代值计算即可.

【详解】

由于偶函数y=/(x)的图象关于点(1,0)对称，贝II.f(—x)=/(x),/(2+x)+/(-x)=0,

〃x+2)=-/(-x)=-/(引,则/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以，函数)，=/(%)是以4为周期的周期函数，

由于当TWxWO时，/(x)=-x2+l,则/(202())=/(4x5()5)=/(0)=l.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于

中等题.

5.B

【解析】

先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二

者之一相邻.

【详解】

首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有用种不同排列方式，甲、丁排在一起共有"种不同方式；

若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有禺种不同方式；

若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有C；痣种不同方式；

根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为用用（A；+）=576种.

故选：B.

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题.

6.C

【解析】

根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积.

【详解】

由几何体的三视图可得，

几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为我的等腰直角三角形、高为2的棱

柱，

故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，

即\/=乃・产・2—」••五•五・2=2万一2,

2

故选C.

【点睛】

本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据

几何体的结构求出其体积.

7.B

【解析】

该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2,底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4,

底面半径为2,则其体积为V=jx4x4x2+Lx」x乃x4x4,

223

8

=16d--7t.

3

故选B

点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正

视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

8.C

【解析】

根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.

【详解】

根据面面平行的性质以及判定定理可得，若a〃分，ally,则故①正确；

若a〃a,a/1/3,平面％，可能相交，故②错误；

若2,则a,月可能平行，故③错误；

由线面垂直的性质可得，④正确；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.

9.B

【解析】

由模长公式求解即可.

【详解】

|a+r/7|=yj(a+tb)2=y/a2+2a-bt+t2b2=,4+2/+F=J(r++3>粗,

当t=-l时取等号，所以本题答案为B.

【点睛】

本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.

10.D

【解析】

频数

根据频率分布直方图中频率=小矩形的高X组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=笨求出班级人数.

频率

【详解】

根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）x20=0.30,

1Q

.••样本容量（即该班的学生人数）是9=60（人）.

0.30

故选：D.

【点睛】

频数

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，属于基础题

样本容量

11.B

【解析】

根据函数单调性逐项判断即可

【详解】

对A,由正弦函数的单调性知sina与sin*大小不确定，故错误；

对B,因为y=F为增函数，且a＞6,所以/＞心，正确

对C,因为y=炉为增函数，故/＞匕。，错误；

对D,因为y=在（0,+e）为减函数，故;，错误

xba

故选B.

【点睛】

本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题.

12.D

【解析】

由题意画出图形，找出A/X8外接圆的圆心及三棱锥P-BCD的外接球心O,通过求解三角形求出三棱锥P-BCD的

外接球的半径，则答案可求.

【详解】

如图；设A8的中点为。；

'：PA=y/2,PB=M,AB=4,

.•.△公8为直角三角形，且斜边为A3,故其外接圆半径为：r=448=40=2；

2

设外接球球心为O；

•；CA=CB=5,ffiPAB±^ABC,

CD1.AB可得CZJJL面PAB；且DC=^CA^-AD2=底■

二0在C。上；

r-5

故有：AO2=OD2+AD2^>R2=(«_R)2+^/?=-^；

5丫_50%

二球0的表面积为：4nR2=4nx娓)3

故选：D.

【点睛】

本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

首先根据向量的数量积的运算律求出蓝,再根据卜卜77计算可得;

【详解】

解：因为。・（2々-〃）=3,

所以27一。乃=3

又a・b=-1

所以J=1

所以卜卜正=1

故答案为：1

【点睛】

本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.

14.①@@

【解析】

①A4〃£）G，44〃平面DBQ,得出A与上任意一点到平面DBQ的距离相等，所以判断命题①；

②由已知得出点P在面OCGR上的射影在oq上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题②

③当P为AB1中点时，以点。为坐标原点，建立空间直角系。一型，如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法

可求得二面角AG-c的余弦值，可判断命题③；

④过A4作平面A4M交44于点做点。关于面AgM对称的点G,使得点G在平面A8ga内，根据对称

性和两点之间线段最短，可求得当点。在点片时，在一条直线上，|。"+忸"取得最小值|GB|.可判断命题

④.

【详解】

①•：ABJ/DQ,平面DBQ,所以A片上任意一点到平面DBQ的距离相等，所以三棱锥D-C.BP的体积

不变，所以①正确；

②尸在直线A片上运动时，点尸在面。CCQ|上的射影在0a上，所以OP在面OCG2上的射影在0G上，又

0G±CD],所以。P，DC，所以②正确；

③当P为Ad中点时，以点。为坐标原点，建立空间直角系。-盯z,如下图所示，设正方体的棱长为2.

则：A(2,0,0),4(2,2,2),P(2,l,1),AQ,。,2),C,(0,2,2),C(0,2,0),所以

AG=(-2,2,0),Mi=(0,-l,l),CC,=(0,0,2),

cm-AC,=0[—2x+2y=0

设面AGP的法向量为机=(%,yz),贝ij八，即\，令x=l,则y=l,z=L.•.根=(□/),

虎PA=。[-y+z=0

拉•AG=°—2x4-2y=0

设面AG。的法向量为〃=（乂y,2）,即2z"…』,。),

nCCj=0

m-n2__76

/.cos<m,n>=~：---,由图示可知，二面角「一4&一。是锐二面角，所以二面角/5-4a-。

|则利3

的余弦值为迈，所以③不正确

3

④过A片作平面Ag"交AR于点加，做点。关于面A4M对称的点G,使得点G在平面A8AA内,

则。P=GP,D4=G4,OG_LAg,所以|。"+忸曰=仁"+忸N，当点P在点片时，在一条直线上,

|。尸|+忸”取得最小值|G8|.

因为正方体的棱长为2,所以设点G的坐标为G（2,加,〃），DG=（2,加，小，相=（0,2,2）,所以

DG-AB,=2m+2n-0)

所以加=一〃，又ZM=GA=2,所以根=—n—yj2>

所以G(2,—«⑹，B(2,2,0),|GB|=J(2—2『+卜"—2『+(&-0y=非+4&，故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查空间里的线线，线面，面面关系，几何体的体积，在求解空间里的两线段的和的最小值，仍可以运用对称的

思想，两点之间线段最短进行求解，属于难度题.

15.a＜-l

【解析】

先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解.

【详解】

因为y=e*+ox,所以y'=e'+a,令丁'=。得“=一e',

因为函数〉=^+公有大于0的极值点，所以e、＞l,即a=—e、＜—1.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想.

16.10900

【解析】

由题意列出方程组，求解即可.

【详解】

lOOx-y=100

由题意可得M.c，解得x=io,y=900.

90x-y=0

故答案为10900

【点睛】

本题主要考查二元一次方程组的解法，用消元法来求解即可，属于基础题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)sinC-2^1.(2)a=b=5.

7

【解析】

(1)先由余弦定理求得再由正弦定理计算即可得到所求值；

(2)运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得sinA+sinB=5sinC,运用正弦定理和三角形的面积公式可

得a,b的方程组，解方程即可得到所求值.

【详解】

解：（D由余弦定理

a2=b2+c2-2&CC0SA=9+4-2x3x2x—=7,«=V7

矗得sinC=亭

由正弦定理「

sirt4

.,1+cosB.门1+cosA

(2)由已知得:sinAx--------1-sinox-------=3sinC

22

sinA+sinAcosB+sinB+sinBcos/4=6sinC

sin4+sinB+sin(A+3)=6sinC,sinA+sinB=5sinC

所以a+b=5c=l()……①

I?5

又S=-absinC=—sinC,所以访=25-一②

22

由①@解得a=b=5

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

18.(1)C=y(2)35/6

【解析】

(1)因为2cos8=«,所以b+2ccosB=2n,

222

由余弦定理得b+2c-"ci=2a,化简得a+b-c^ab，

2ac

可得/+/—c?J,解得8sC='，

lab22

TT

又因为Ce（O,万），所以C=§.（6分）

（2）因为S08c=gq6sinC=*加?=,所以a/?=6,

则a+b2=2#（当且仅当a=〃=时，取等号）.

由（1）c2=cr+b2—ab>2ab-ab=ab=6（当且仅当〃=/?二时，取等号），解得

所以々+。+（?之3^/^（当且仅当a=b=c=>/^时，取等号），

所以ABC的周长的最小值为3卡.

19.（1）e=g；⑵一回

25

【解析】

（1）平面CO。，平面AQB,建立坐标系，根据法向量互相垂直求得;（2）求两个平面的法向量的夹角.

【详解】

（1）如图，以。为原点，在平面OBC内垂直于0B的直线为x轴,。B,Q4所在的直线分别为），轴,z轴，建立空间直角

坐标系O-xyz,则4(0,0,26),8(0,2,0),D(0,l,而,CQsin0,2cos6,0)

TLOD=0xsine+ycos6=0

,设“=（x,y,z）为平面COO的一个法向量，由<°C°得

y+&z=0

，取z=sin。,则勺=(V3COS0.-y/3sin0.sin0)

因为平面AOB的一个法向量为4=(1,0,0)由平面COD1平面AOB,得勺4=0所以后cos。=0即。=］.

27r

(2)设二面角B-OD-C的大小为&,当。=彳,平面COD的一个法向量为

B厂

cos

«,=(V3cosT，-V3sinT，SmT)=(-,--，T)«--fT^3-5，

V4+4+4

综上,二面角B-OD-C的余弦值为-或.

5

【点睛】

本题考查用空间向量求平面间的夹角，平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，难度一般.

20.(1)证明见解析；(2)1.

【解析】

(1)由题意可得椭圆C的方程为,+丁=1,由点B在直线v=挺上，且。4_L03知。4的斜率必定存在，分类讨论

当0A的斜率为()时和斜率不为0时的情况列出相应式子，即可得出直线A3与圆x2+y2=1相切；

⑵由⑴知，AQB的面积为5=<|04卜］。矶.1

【详解】

解：(1)由题意，椭圆。的焦点在x轴上，且/?=c=l,所以。=虚.

所以椭圆C的方程为：+尸=1.

由点8在直线y=点上，且。4_L03知。4的斜率必定存在，

当。4的斜率为()时，］。川=拒，

于是|/叫=2,。到AB的距离为1,直线AB与圆Y+y2=i相切.

当。4的斜率不为0时，设。4的方程为了="，与：+9=1联立得(1+2公)/=2,

所以只=r^7T，=从而|QA-=^±^.

112

1+2公人1+2/i+2k

而O8LQ4,故08的方程为％=-6,而3在卜=点上，故x=_®，

1

从而幽=2+2左2,于是-----------1-----------1

|。4「|幽

此时，。到AB的距离为1,直线45与圆/+/=1相切.

综上，直线AB与圆f+V=1相切.

⑵由⑴知，426的面积为

S=^\OA\-\OB\2+2k2

2J1+2左2

上式中，当且仅当攵=()等号成立,

所以AQB面积的最小值为1.

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意

识，考查化归与转化思想，属于难题.

21.(1)±5；(2)/(x)=3log3x+y/x.

【解析】

(1)依据新定义，f(x)的定义域和值域都是［-1,1］,且/(X)在［-1,1］上单调，建立方程求解；(2)依据新定义，讨

论f(x)的单调性，列出方程求解即可。

【详解】

(D当0>0时，由复合函数单调性知，/。)=1211(如)在区间［-1,1］上是增函数，即有〈tan(-6>)=-1,解

tan69=1

得T

7TTT

同理，当。<0时，有tan(-⑼=1