人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题4.7 对数函数-重难点题型精讲（含解析）

专题4.7对数函数-重难点题型精讲1．对数函数的定义(1)对数函数的定义：一般地，函数y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+SKIPIF1<0).(2)判断一个函数是对数函数的依据：

①形如y=SKIPIF1<0；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+SKIPIF1<0).

​​​​​​​例如:y=SKIPIF1<0是对数函数，而y=SKIPIF1<0(x+1)，y=SKIPIF1<0都不是对数函数.2．对数函数的图象与性质对数函数y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示：3．底数a对对数函数图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”.

当a>1时，对数函数的图象“上升”;

当0<a<1时,对数函数的图象“下降”.

(2)函数y=SKIPIF1<0与y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.

(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：

无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.

①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴;

②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.4．反函数比较幂值大小的方法：【题型1对数（型）函数的定义域与值域】【方法点拨】根据对数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.【例1】（2022·广东·高一阶段练习）函数y＝lgx＋lg(5－3x)的定义域是（

A．[0,53) B．[1,5【解题思路】根据对数函数、根式的性质列不等式求函数定义域.【解答过程】由题设，{x>0lgx≥0所以函数定义域为[1,5故选：B.【变式1-1】（2022·浙江·高二学业考试）函数fx=logA．−∞,0 B．2,+∞ C．【解题思路】根据对数的真数大于零，得到一元二次不等式，即可求解.【解答过程】解：由题可知x2−2x>0，即x(x−2)>0，解得x<0或故函数fx=log故选：D.【变式1-2】（2022·山西运城·高二期末）已知函数fx=lgx2A．0,+∞ B．0,1 C．lg2,1【解题思路】首先求出x2【解答过程】因为x∈−1,3，所以x2+1∈故选：D.【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）函数y=ln(x−2)+1的值域为（A．R B．(1,+∞) C．[1,+【解题思路】由y=lnx的值域为R可得y=ln【解答过程】由对数函数y=lnx的值域为R，向右平移2个单位得函数y1则y=ln(x−2)+1的值域为故选：A.【题型2对数式的大小比较】【方法点拨】比较对数值的大小，主要依据对数函数的单调性，同底时可直接利用相应的对数函数比较大小；不同底时，可借助中间量进行比较.【例2】（2022·黑龙江·高三开学考试）已知a=log32，b=log52，c=3a−1，则A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a【解题思路】根据对数恒等式，运算法则以及对数函数的单调性即可判断．【解答过程】因为c=3a-1=13×3log3故选：B．【变式2-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知a=40.1，b=log32A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【解题思路】根据指数函数、对数函数的单调性分别求出a，b，c的取值范围，即可求解.【解答过程】因为a=40=logc=log所以a>b>c.故选：B.【变式2-2】（2022·河南·高三阶段练习（理））若a=0.50.3，b=log0.53A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>a>b【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【解答过程】因为0<a=0.50.3<0.50所以b<a<c.故选：D.【变式2-3】（2022·贵州·高三阶段练习（理））设a=log53，b=log0.30.2，c=0.543A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b【解题思路】根据指对数的性质判断大小关系即可.【解答过程】由b=log所以c<a<b.故选：D.【题型3解对数不等式】【方法点拨】对数不等式的三种考查类型：(1)形如SKIPIF1<0m>SKIPIF1<0n的不等式，借助y=SKIPIF1<0x的单调性求解.(2)形如SKIPIF1<0m>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b=SKIPIF1<0SKIPIF1<0)，再借助y=SKIPIF1<0x的单调性求解.(3)形如SKIPIF1<0>SKIPIF1<0(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=log4(x−2)−log4(a−x)，A．72,4【解题思路】根据f（3）=0，可得方程f(3)=log4(3−2)−log4【解答过程】由题意得，f(3)=log4(3−2)−所以fx=log因为f(2x−5)≤0，所以log4即log4(2x−7)≤log4(9−2x)，从而2x−7>0故不等式f(2x−5)≤0的解集为72故选：A.【变式3-1】（2022·云南楚雄·高二期末）已知函数fx的图象与gx=log14xA．0,+∞ B．0,1 C．0,1【解题思路】由fx与gx关于x轴对称得到fx【解答过程】已知函数fx的图象与gx=所以fx又fx=log所以0<3x<2x+1，解得0<x<1.故选：B.【变式3-2】（2022·四川自贡·高一期末）已知fx是定义在R上的奇函数，在区间0,+∞上为增函数，则不等式flogA．−∞,1 B．1,+∞ C．【解题思路】由奇函数知f(0)=0，再结合单调性及flog12【解答过程】由题意知：f(0)=0，又fx在区间0,+∞上为增函数，当x>0时，当x<0时，f(x)<0，由flog12x>0故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgA．0,1100 B．1100,+【解题思路】利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lg【解答过程】因为函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−fx，又f(−2)=−2，f(2)=2所以不等式f(lgx)−flg即f(lg又因为f(x)在(−∞所以f(x)在R上单调递增，所以lgx>2解得x>100.故选：D.【题型4对数函数的图象及应用】【方法点拨】①对数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的函数图象.②对数函数图象的应用：对于与对数函数、对数型函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而利用对数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.【例4】（2022·广东·高三阶段练习）函数y=lg(x+1)的图像是（A． B．C． D．【解题思路】由函数y=lgx的图象与x轴的交点是(1,0)结合函数的平移变换得函数y=lg(x+1)的图象与【解答过程】由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到，函数y=lg故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,0)，即函数y=lg(x+1)的图象与故选：A.【变式4-1】（2022·浙江·高一期中）函数y=lg|x+1|的图像的大致形状是（A． B．C． D．【解题思路】求解函数的零点，根据排除法判断即可【解答过程】求lg|x+1|=0可得x+1=1或x+1=−1，解得x=0或x=−2故选：A.【变式4-2】（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdA．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c【解题思路】根据对数函数的图象性质即可求解.【解答过程】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点0，1作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>故选：C．【变式4-3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx=logax−b（a>0且a≠1，aA．a>0，b<−1 B．a>0，−1<b<0C．0<a<1，b<−1 D．0<a<1，−1<b<0【解题思路】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【解答过程】因为函数fx=又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以x=1+b>0，即b>−1又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以−1<b<0，故选：D.【题型5对数型复合函数性质的应用】【方法点拨】借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.【例5】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数fx=logax+2(1)当a=2时，求fx(2)是否存在实数a，使得fx在−1,34【解题思路】（1）先求出函数的定义域，再利用换元法求解函数的单调区间，（2）令t=−x2−x+2，则由−1≤x≤34，得t=−x+122【解答过程】（1）由题意可得x+2>0,1−x>0,解得−2<x<1，即fx的定义域为当a=2时，fx令t=−x2−x+2（x∈对称轴为x=−1则函数t=−x2−x+2在−2,−因为y=log所以fx在−2,−12（2）fx令t=−x因为−1≤x≤3所以t=−x+12当0<a<1时，fx在−1,34则loga1116=2，即当a>1时，fx在−1,34则loga94=2，即综上，a的值为114或3【变式5-1】（2022·甘肃·高三阶段练习（文））已知函数fx(1)求该函数的定义域；(2)求该函数的单调区间及值域.【解题思路】（1）令3−2x−x（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定fx的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得μ≤4【解答过程】（1）由3−2x−x2>0得：−3<x<1，∴f（2）令μ=−x2−2x+3，∴μ在−3,−1又fμ=log∴fx的单调递增区间为−1,1；单调递减区间为−3,−1∵μ≤−−12−2×∴fx的值域为−2,+【变式5-2】（2022·海南·高一期末）已知函数fx(1)求fx(2)设函数gx=log4m+2x+4，若不等式【解题思路】（1）首先确定fx的定义域，将其整理为f（2）根据对数函数单调性可将恒成立不等式转化为x2+mx+1≥0，采用分离变量法可得m≥ℎx【解答过程】(1)由x+1>03−x>0得：−1<x<3，∴fx的定义域为fx令tx=−x−12+4，则t又y=log由复合函数单调性可知：fx的单调递增区间为−1,1，单调递减区间为1,3由单调性可知：fx(2)∵fx≤gx在0,3即−x2+2x+3≤m+2x+4∴m≥−x−1令ℎx=−x+1x，则ℎ∴ℎxmax=ℎ1=−2，∴m≥−2【变式5-3】（2022·江苏·高三开学考试）已知函数f(x)=log(1)若m=1，求函数f(x)的定义域．(2)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围．(3)若函数f(x)在区间−∞，1−3上是增函数，求实数m【解题思路】（1）由对数的性质有x2（2）由题设(0,+∞)是y=x2−mx−m（3）首先根据二次函数、对数函数的性质判断复合函数的单调区间，再由已知区间的单调性有m2≥1−3【解答过程】（1）由题设，x2−x−1>0，则x>1+所以函数定义域为(−∞（2）由函数f(x)的值域为R，则(0,+∞)是所以Δ=m2（3）由t=x2−mx−m在(−∞,所以f(x)在(−∞,m又f(x)在(−∞,1−3)上是增函数，故【题型6对数函数的实际应用】【方法点拨】从实际问题出发，建立对数（型）函数模型，借助对数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.【例6】（2021·全国·高一专题练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3Q100成正比，且当Q＝900时，V（1）求出V关于Q的函数解析式；（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数．【解题思路】（1）根据成正比的性质，结合代入法进行求解即可；（2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可.【解答过程】解：（1）设V＝k·log3Q100∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3900100∴k＝12，∴V关于Q的函数解析式为V=（2）令V＝1.5，则1.5=12log即一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位．【变式6-1】（2022·全国·高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0lnMm计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中v0（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，参考数据：ln230≈5.4，1.648<(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T【解题思路】（1）运用代入法直接求解即可；（2）根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可.【解答过程】(1)当总质比为230时，v=2000ln即A型火箭的最大速度为10800m(2)A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A型火箭的喷流相对速度为2000×1.5=3000m/s，总质比为M3m由题意得：3000⇒ln因为1.648<e0.5<1.649即44.496<T<44.523，所以不小于T的最小整数为45．【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log3x100−lgx0(1)若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.(2)若雄鸟的飞行速度为1.3km/min，雌鸟的飞行速度为0.8km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.【解题思路】（1）将x0=5，v=0代入函数解析式，求出x的值即可答案；（2）设出雄鸟每分钟的耗氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到【解答过程】（1）将x0=5，v=0代入函数v=1因为lg5≈0.70，所以log3x100=2答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟耗氧量为x1