2021年广东省梅州市蕉岭县三校联合中考数学模拟试卷

2021年广东省梅州市蕉岭县三校联合中考数学模拟试卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.(3分)的绝对值是()

2020

A.-2020B.--X-C.D.2020

20202020

2.(3分)已知一组数据为1,5,3,9,7,11.则这组数据的中位数是（）

A.5B.6C.7D.8

3.（3分）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M,点M到x轴的距离为3,到y轴的距

离为4（）

A.(3,-4)B.(4,-3)C.(-4,3)D.(-3,4)

4.（3分）多边形的内角和不可能为（)

A.180°B.540°C.1080°D.1200°

5.（3分）若式子正1在实数范围内有意义,

则x的取值范围是()

x-2

A.且x¥2B.xWlC.x>\且xr2D.x<\

x-l>°的整数解共有（

6.（3分）不等式组)

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.（3分）在Rt/VLBC中，ZACB=90°，点”、E、F分别是边A3、BC、C4的中点，则

C”的值为（）

A.3B.4C.5D.6

8.（3分）在平面直角坐标系中，一次函数（m,人均为常数）与正比例函数

（〃为常数），则关于x的方程=加-6的解为（）

9.（3分）如图，矩形ABC。中，点G,CC上，连接AG,AE,将AABG和AECG分别沿

AG,使点B,C恰好落在AE上的同一点，CG=4,则。E的长度为（）

A.5B.工C.3D.立

332

10.（3分）已知抛物线y="（x-3）2+至过点C（0,4）,顶点为M,记作。£）,下列结论:

①抛物线的对称轴是直线x=3；

②点C在。。外；

③在抛物线上存在一点E,能使四边形ADEC为平行四边形；

④直线CM与。。相切.

正确的结论是（）

C.①③④D.①②③④

二.填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）

11.（4分）分解因式：a3-4a=.

12.（4分）若7ax仔与-〃3加，的和为单项式，则歹=.

13.（4分）已知丁、+丁，=0,则的值为_______.

laiIbllabI

14.（4分）如图，抛物线^二出耳。与直线y=wx+"交于A（-1,p）,B（3,q）两点，则

不等式ax2-mx+c>n的解集是.

15.（4分）如图，在四边形48。中，AC=B。，且EG、FH交于点。.若4c=4,则ECP+FH2

16.（4分）如图，AB是。。的直径，C为圆周上一点，连接AD,8小，则图中阴影部分

17.（4分）如图，反比例函数y==9（x>0）的图象与直线y=3,与直线（kWO）

x2

相交于点B,则k的值为.

三.解答题（共8小题，满分62分）

2

18.(6分)先化简，再求值：(x-1-_A_)+——5——，其中x=3.

x+1X2+2X+1

19.(6分)随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校

数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将

调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图

(1)这次活动共调查了人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心

角的度数为；

(2)将条形统计图补充完整.观察此图，支付方式的“众数”是“”；

(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中

选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法

—

银

行

卡

20.(6分)如图，在△45C中，AB=AC,。是AC上一点，E是8c延长线上一点，DE,

若乙48。=20°,求/C0E的度数.

21.(8分)关于x的一元二次方程x2-5x+%=0有实数根.

(1)求％的取值范围；

(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(w-1)x^+x+m-3=0与方程?

-5x+k=0有一个相同的根，求此时m的值.

22.(8分)如图，在四边形ABC。中，AD=BC

求证：四边形EGFH是菱形.

23.(8分)某医院计划选购4、B两种防护服.已知A防护服每件价格是B防护服每件价

格的1.5倍，用6000元单独购买4防护服比用5000元单独购买B防护服要少2件.

(1)4,8两种防护服每件价格各是多少元？

(2)如果该医院计划购买B防护服的件数比购买A防护服件数的3倍多80件，且用于

购买A,B两种防护服的总经费不超过265000元

24.(10分)已知一次函数)，与反比例函数)，=典的图象交于A(-3,2)、8(1,〃)

x

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)的面积为；

(3)直接写出不等式依+b＞旦的解集；

x

(4)点P在x的负半轴上，当△B4O为等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

25.(10分)如图，己知抛物线与x轴相交于4(-6,0),B(1,0),与y

2

轴相交于点C,直线LAC

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若直线/与该抛物线的另一个交点为。，求点。的坐标；

(3)设动点尸(m,H)在该抛物线上，当NB4C=45°时

2021年广东省梅州市蕉岭县三校联合中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）-二—的绝对值是（）

2020

A.-2020B•一薪c]D.2020

2020

【考点】绝对值.

【解答】解：I-1

20202020

故选：C.

2.（3分）已知一组数据为1,5,3,9,7,11.则这组数据的中位数是()

A.5B.6C.7D.8

【考点】中位数.

【解答】解：将这组数据重新排列为1、3、5、7、9、11,

.•.这组数据的中位数至工=4,

2

故选:B.

3.（3分）在平面直角坐标系的第二象限内有一点点M到x轴的距离为3,到），轴的距

离为4()

A.(3,-4)B.(4,-3)C.(-4,3)D.(-3,4)

【考点】点的坐标.

【解答】解：由题意，得

X--4,y—3,

即M点的坐标是（-3,3）,

故选：C.

4.（3分）多边形的内角和不可能为（)

A.180°B.540°C.1080°D.12000

【考点】多边形内角与外角.

【解答】解：多边形的内角和可以表示成（n-2）«180°且〃是整数），”应为整

数，所以多边形的内角能被180整除.

故选：D.

5.（3分）若式子Y巨在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

x-2

A.且xW2B.xWlC.x>l且xW2D.x<l

【考点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件.

【解答】解：依题意，得

x-120且x-8W0,

解得且xW7.

故选：A.

6.（3分）不等式组的整数解共有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【考点】一元一次不等式组的整数解.

【解答】解：解不等式x-l>0,得：x>5,

解不等式得：xW8,

则不等式组的解集为1<XW4,

所以不等式组的整数解有3、3、4这8个，

故选：C.

7.（3分）在RtZXABC中，NACB=90°,点H、E、F分别是边AB、BC、C4的中点，则

CH的值为（）

A.3B.4C.5D.6

【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理.

【解答】解：在RtZ\A8C中，ZACB=90",

:.CH=1AB,

2

•.•点E、F分别是边8C,

：.EF=^AB,

2

：.EF=CH,

\'EF+CH=S,

.*.CH=EF=§X8=5,

2

故选：B.

8.（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y=m+6（m,6均为常数）与正比例函数y=nx

（〃为常数），则关于x的方程3的解为（）

【考点】一次函数与一元一次方程.

【解答】解：•••两条直线的交点坐标为（3,-1）,

二关于x的方程mx=nx-b的解为x=1,

故选：A.

9.（3分）如图，矩形ABC。中，点G,OC上，连接AG,AE,将aASG和AECG分别沿

AG,使点B,C恰好落在AE上的同一点，CG=4,则。E的长度为（）

A.互B.1C.3D.立

332

【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）.

【解答】解：矩形ABCD中，GC=4,/C=90°,

G£=VCG2-K；E8=V42+42=5,

根据折叠的性质：BG=GF,GF=GC=3,

CE=EF=3,ZAGB=ZAGFf

/EGC=/EGF,ZGFE=ZC=90°,

ZB=ZAFG=90°,

：.BG=GF=GC=4,ZAFG+ZEFG=ISO°,

：.BC=AD=2f点A,点E三点共线，

VZAGB+ZAGF+ZEGC+ZEGF=180°,

ZAG£=90°,

ARtAEGF^RtAFAG,

•・•—GE——EF，

AEGE

即旦旦

AE8

故选：B.

10.（3分）己知抛物线y=a（X-3）2+空过点c（0,4）,顶点为M,记作。力，下列结论:

4

①抛物线的对称轴是直线x=3；

②点C在外；

③在抛物线上存在一点E,能使四边形ADEC为平行四边形;

④直线CM与。。相切.

正确的结论是（）

C.①③④D.①②③④

【考点】二次函数综合题.

【解答】解：由抛物线y=a(x-3)2+至可知：抛物线的对称轴x=3；

4

:抛物线y=〃(x-3)2+空过点c(0,

4

，4=9〃+至，解得：a=-―,

44

・・・抛物线的解析式为y=-[(工-3)2+卷，

令y=0,则--12+_25_=6,

84

・・・4(-2,0),7)；

・・・A3=10,

：.AD=5,

：.OD=3

VC(2,4),

・,.0)=、℃24c07=5,

：.CD=AD,

・••点C在圆上，故②错误；

过点C作CE〃A8,交抛物线于E,

VC(0,4),

代入y=-工(x-7)2+丝得：8=-工+丝，

4444

解得：x=0或x=5,

:.CE=6,

:・AD#CE,

・・・四边形AQEC不是平行四边形，故③错误；

由抛物线y=〃(x-3)4+至可知：M(3,空)，

47

VC(0,4),

,直线CM为y=口+42+4,

43

:.CMLCD,

・.・CQ=AO=6,

・,•直线CM与O。相切，故④正确;

故选：B.

二.填空题(共7小题，满分28分，每小题4分)

11.(4分)分解因式：a3-4a=a(a+2)(a-2).

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【解答】解：原式=a(a2-4)

—a(a+3)(a-2).

故答案为：a(a+2)(〃-5)

12.(4分)若7/必与加,的和为单项式，则俨=8.

【考点】同类项.

【解答】解：房与-/坟的和为单项式，

，7"必与-是同类项，

.••x=3,y=2,

/./=63=8.

故答案为：5.

13.(4分)己知4+4=0,则其_的值为-1.

laiIbllabI

【考点】绝对值.

【解答】解：•••-rAT+/r=°，

laiIbl

。异号，

ab<3

>abab_7.

IabI-ab

故答案为：-1.

14.(4分)如图，抛物线y=o?+c与直线〃交于4(-1,p),B,q)两点，则

不等式or2-mx+c>n的解集是x<-1或x>3.

【考点】二次函数与不等式（组）.

【解答】解：•.•抛物线y=o?+c与直线y="ix+〃交于A（-1,p）,q）两点，

.".ar7+c>/HA+n的解集是xV-1或x>3,

cue6-mx+c>n的解集是x<-1或x>3,

故答案为：xV-3或x>3.

15.（4分）如图，在四边形ABCQ中，AC=8D,且EG、FH交于点O.若AC=4,则EC^+FH1

【解答】解：F、G、〃分别是线段AB、CD,

:.EH、FG分别是AABD,EF、ZvlBC的中位线，

根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=1,EF=HG=L

22

又；AC=BD,

:.EH=FG=EF=HG,

四边形EFGH是菱形；

J.EGVFH,EG=2OE,

在RtZ\OEH中，根据勾股定理得：Od+OH2=EH2=4,

等式两边同时乘以4得：40d+40序=6><4=16,

(2OE)6+(20//)2=16,

即£G8+FW2=16.

故答案为：16.

16.（4分）如图，4B是。。的直径，C为圆周上一点，连接AD,BDM，则图中阴影部分

【考点】圆周角定理；扇形面积的计算.

【解答】解：连接。口，

是直径，

NACB=N4OB=90°,

是NACB的平分线，

AZACD=ZBCD=45°,

：.AD=BD,NZ)O8=90°,

,:AD=辰

...阴影部分的面积是:

17.（4分）如图，反比例函数），=建（x>0）的图象与直线y=3,与直线）=日（�）

x2

相交于点B,则k的值为6或旦.

8-

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【解答】解：由题意得，

...点A(4,4),

(1)如图1,当y=Ax与反比例函数的交点B在点A的下方,

过点A、B分别作AM_Lx轴，垂足分别为M、N,

设点8坐标为(b,2刍)，则0N=〃建，

bb

・••点A(4,6),

・・・0M=4,AM=6；

■:S〉AOB=SMOM+S梯形AMNB-S〉BON=S梯形AMNB,

，18=B(6+”

2b

解得，加=8,bi=-2(舍去)

，点B(8,3),

k=—；

8

(2)如图2,当y="与反比例函数的交点8在点A的上方,

过点A、3分别作AM_Ly轴，垂足分别为M、N,

设点8坐标为(b,—则0N=2£

bb

・••点A(7,6),

，OM=6,AM=2；

*.*S^AOB=SMOM+S梯形-S〉BON=S梯形AMNB，

.".18=134)(建，

2b

解得，加=2,b4=-8(舍去)

:•点B(2,12),

%=2；

故答案为：6或3.

2

18.(6分)先化简，再求值：(x-1-2一)+——2——，其中x=3.

x+1X2+2X+1

【考点】分式的化简求值.

2

【解答】解：(x-I-工一)小一2一

2

x+4X+2X+8

=「(x-l)(x+l)_x2].(X+5)2

Lx+8-x+lJ，x

_x2-4_x2(x+6)2

---------.-------

x+1

当x=2时，原式=旦_=扫.

23

19.(6分)随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校

数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将

调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图

(1)这次活动共调杳了200人:在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心

角的度数为81°；

(2)将条形统计图补充完整.观察此图，支付方式的“众数”是“微信”:

(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中

选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法

银

行

卡

【考点】扇形统计图；条形统计图；众数；列表法与树状图法.

【解答】解：(1)本次活动调查的总人数为(45+50+15)-?(1-15%-30%)=200人,

则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°X_^L=81°,

200

故答案为：200、81°；

(2)微信人数为200X30%=60人，银行卡人数为200X15%=30人,

补全图形如下：

A人数

由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”,

故答案为：微信；

（3）将微信记为A、支付宝记为B,

画树状图如下：

画树状图得：

开始

ABC

/K/N/T\

ARCABCABC

:共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有7种，

二两人恰好选择同一种支付方式的概率为旦=§.

93

20.（6分）如图，在△4BC中，AB=AC,。是4c上一点，E是BC延长线上一点，DE,

若N4BO=20°,求NCOE的度数.

【考点】等腰三角形的性质.

【解答】解：,在△ABC中，AB=AC,

J.ZABC^ZACB^l.(180°-80°)=50°,

2

VZABD=20°,

/DBC=/ABC-ZABD=30Q.

:BD=DE,

：.ZE=ZDBC=30°,

NCDE=ZACB-ZE=20°.

21.(8分)关于x的一元二次方程？-5x+A=0有实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(〃[-1)/+x+〃?-3=0与方程/

-5x+k=0有-一个相同的根，求此时胆的值.

【考点】一元二次方程的定义；根的判别式.

【解答】解：(1)根据题意得△=(-5)2-4^0,

解得k＜普；

(2)

的最大整数为6,

二方程/-7x+k=0变形为x2-8x+6=0,

解得无3=2,X2=5,

丁一元二次方程-8=0与方程/-7戈+%=0有一个相同的根，

・••当x=2时，8(/??-I)+2+m-6=0,

解得"2=1；

而m-8W0,所以机=1舍去，

当x=8时，9(/n-1)+8+加-3=0,

解得，m=—,

10

：.m的值为a.

10

22.(8分)如图，在四边形ABC。中，AD=BC

求证：四边形EGF”是菱形.

【考点】菱形的判定；中点四边形.

【解答】证明：•••点E、F、G、H分别是A3、AC,

；.GF是△AOC的中位线，GE是△ABC的中位线，

：.GF//AD,GF=A,GE=L,EH//AD1AD,

223

：.GF//EH,GF=EH,

...四边形EGFH是平行四边形，

又,.•A£>=8C,

：.GE=EH,

四边形EGF”是菱形.

23.(8分)某医院计划选购A、8两种防护服.已知4防护服每件价格是3防护服每件价

格的1.5倍，用6000元单独购买A防护服比用5000元单独购买B防护服要少2件.

(1)A,8两种防护服每件价格各是多少元？

(2)如果该医院计划购买8防护服的件数比购买A防护服件数的3倍多80件，且用于

购买A,8两种防护服的总经费不超过265000元

【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用.

【解答】解：(1)设B种防护服每件价格是x元，则A种防护服每件价格是1.5x元，

依题意得：5000-6000=2,

x7.5x

解得：尤=500,

经检验，x=500是原方程的解，

则7.5x=750.

答：A种防护服每件价格是500元，B种防护服每件价格是750元.

(2)设该医院可以购买)，件A防护服，则购买(3y+80)件B防护服，

依题意得：750y+500(2y+80)W265000,

解得：yWlOO.

则3y+80W380.

答：该医院最多可以购买380件B防护服.

24.(10分)已知一次函数)，=依+%与反比例函数>=期的图象交于A(-3,2)、B(1,n)

x

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)△AO2的面积为8；

(3)直接写出不等式㈣的解集0<x<l或x<-3；

x

(4)点尸在x的负半轴上，当△以。为等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

【解答】解：(1)・・•反比例函数>=蚂经过点A(-3,

x

•*./n=-6,

•:点B(8,")在反比例函数图象上，

••72-6•

：.B(1,-6),

把A,8的坐标代入尸丘+6,则广3k+b=21k=-2,

[k+b=-2Ib=-4

一次函数的解析式为y=-8A--4,反比例函数的解析式为y=-2；

X

(2)如图设直线A8交y轴于C,则C(7,

S^AOB=S^OCA+S/\OCB=JLX4x3+A,

25

故答案为8；

(3)观察函数图象知，氏+b>也，

X

故答案为0<x<7或x<-3；

(4)由题意0A=正可于

当AO=AP时，可得P2（-6,0）,

当。4=OP时.，可得尸3（-V13-0）,尸4（V13-2）（舍去），

当B4=PO时，过点A作AJJ_x轴于J3=P3A=X,

在RtZ\AJP5中，则有f=23+（3-x）2,

解得

8

：.P3（一45）,

6

综上所述，满足条件的点P的坐标为（-VUy-0）或（-8.

25.（10分）如图，已知抛物线yuM+bx+c与x轴相交于A（-6,0）,B（1,0）,与y

2

轴相交于点C,直线H_AC

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若直线/与该抛物线的另一个交点为D,求点。的坐标；

（3）设动点尸（“，"）在该抛物线上，当NB4C=45°时

【考点】二次函数综合题.

O=-rX36-6b+cf5

【解答】解:(1)将点A、8的坐标代入抛物线的表达式得《52

05+b+cc=-3

故抛物线的表达式为y=lx2+-|jr-3①;

(2)过点。作轴于点E,

而直线/_LAC,AO_Ly轴，

.".ZCDE+ZDCE=90°,ZDCE+ZOCA=90",

：.ZCDE=ZOCA,

VZAOC=ZCED=90°,

:.XCEDSXAOC,则典

0CAO

而点A、C的坐标分别为（-6、（2,则40=6,设点力（x,^?+.^-3）,

64

贝UDE=-x,CE=

64

125

——x——x

则二互=―--------,解得x=0（舍去）或-3,

36

当x=-1时，尸工^+2v-3=-5,

46

故点。的坐标为（-2,-5）；

(3)①当点尸在x轴的上方时,

由点C、。的坐标得，

延长4尸交直线/于点M,设点M（f,

"：ZPAC=45°,直线/_LAC,

：./\ACM为等腰直角三角形，则AC=CM,

则64+32=（f-2）2+（2/-4+3）2,解得f=4,

故点M的坐标为（3,3）,

由点A、M的坐标得工r+2②，

3

联立①②并解得》=-8（舍去）或

3

故点P的横坐标"?=&；

3

②当点P在X轴的下方时，

同理可得x=-6（舍去）或x=-3,

故m=-5,

综上，加=-5或刍.

3

考点卡片

1.绝对值

(1)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.

③有理数的绝对值都是非负数.

(2)如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，”的绝对值是它本身a；

②当。是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-“；

③当a是零时，。的绝对值是零.

即⑷={a(a>0)0(a=0)-a(a<0)

2.同类项

(1)定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项.

同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等.

(2)注意事项：

①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；

②同类项与系数的大小无关；

③同类项与它们所含的字母顺序无关；

④所有常数项都是同类项.

3.提公因式法与公式法的综合运用

提公因式法与公式法的综合运用.

4.分式有意义的条件

(1)分式有意义的条件是分母不等于零.

(2)分式无意义的条件是分母等于零.

(3)分式的值为正数的条件是分子、分母同号.

(4)分式的值为负数的条件是分子、分母异号.

5.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

6.二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

（1）二次根式的概念.形如《（。20）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.

（3）二次根式具有非负性.4（a20）是一个非负数.

学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利

用二次根式的非负性解决相关问题.

【规律方法】二次根式有无意义的条件

1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开

方数都必须是非负数.

2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.

7.一元二次方程的定义

（1）一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2.

（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”;

“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

8.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△=房-4牝）判断方程的根的情况.

一元二次方程“/+法+。=0（a#0）的根与△=&?-4ac有如下关系：

①当△>◊时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=（）时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△<（）时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

9.分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、歹IJ、解、验、答.

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整,

要写出单位等.

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率

=工作量工作时间

等等.

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能

力.

10.一元一次不等式的应用

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以

得到实际问题的答案.

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中

的不等关系.因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.

（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数.

②根据题中的不等关系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④写出符合题意的解.

11.一元一次不等式组的整数解

（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）.

解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的

限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.

（2）已知解集（整数解）求字母的取值.

一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根

据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案.

12.点的坐标

（1）我们把有顺序的两个数〃和人组成的数对，叫做有序数对，记作（db）.

（2）平面直角坐标系的相关概念

①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴.

②各部分名称：水平数轴叫X轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），X轴一般取向右为正方

向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点.它既属于x轴，又属于y轴.

（3）坐标平面的划分

建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限,

第三象限，第四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.

（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系.

13.一次函数与一元一次方程

一次函数与一元一次方程.

14.反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程

组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.

（2）判断正比例函数和反比例函数y="在同一直角坐标系中的交点个数可总结

X

为：

①当心与上同号时，正比例函数y=hx和反比例函数尸”在同一直角坐标系中有2个交

X

点；

②当我1与&2异号时，正比例函数），=的》和反比例函数y="在同一直角坐标系中有0个交

X

点.

15.反比例函数综合题

（1）应用类综合题

能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了

学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力.在解决这些问题的时候我们还用到了

反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识.

（2）数形结合类综合题

利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在.已知点在图象上，那么点

一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图

象上.还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小.将数形结合在一起，是分析解决问

题的一种好方法.

16.二次函数与不等式（组）

二次函数y=/+灰+c（a、b、c是常数，nWO）与不等式的关系

①函数值y与某个数值，”之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得

自变量x的取值范围.

②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点

直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解.

17.二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项.

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键

是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,

并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立

直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的

取值范围要使实际问题有意义.

18.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线：④顶角平分线.以上四个元素中，从中

任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

19.直角三角形斜边上的中线

(1)性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.(即直角三角形的外心位于斜

边的中点)

(2)定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条

边为斜边的直角三角形.

该定理可以用来判定直角三角形.

20.三角形中位线定理

(1)三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

(2)几何语言：

如图，：点£＞、E分别是AB、AC的中点

ADE//BC,DE=LC.

2

(1)多边形内角和定理：(«-2)«180°且"为整数)

此公式推导的基本方法是从“边形的一个顶点出发引出(n-3)条对角线，将〃边形分割为

(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的所有内角之和正好是“边形的内角和.除此方法

之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的.即将多边形转化为三角形，这也

是研究多边形问题常用的方法.

(2)多边形的外角和等于360°.

①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则〃边形取“个外角，无论边数是儿，其外角

和永远为360°.

②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论:外角和=180°(n-2)-180°=360°.

22.菱形的判定

①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）;

②四条边都相等的四边形是菱形.

几何语言：：A8=8C=C£>=D4；.四边形ABCD是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）.

几何语言：•••ACLBQ,四边形A8C