2023年上海市普通高中学业水平考试数学试卷

2023年上海市普通高中学业水平考试

数学试卷

考生注意：

1.本试卷共4页，29道试题，总分值120分，考试时间90分钟。

2.本考试分设试卷和答题纸。试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择

题，第三大题为解答题。

3.答卷前，务必在答题纸上填写姓名、报名号（春考考生填写春考报名号）、考场号、

座位号，并将核对后的条形码贴在指定位置上。

4.作答必须涂或写在答题纸上。在试卷上作答一律不得分。第二大题的作答必须涂在

答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。

一、填空题（本大题总分值36分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直

接填写结果，每个空格填对得3分，否那么一律得。分.

1.复数3+4，㈠为虚数单位）的实部是.

2.假设log2（x+l）=3,那么x=.

3.直线y=x-l与直线y=2的夹角为.

4.函数/（幻=的定义域为.

1-35

5.三阶行列式400中，元素5的代数余子式的值为.

-121

6.函数/（x）=』+a的反函数的图像经过点（2,1）,那么实数。=.

X

7.在AABC中，假设A=3O°,3=45°,BC=y[6,那么AC=.

8.4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为____________（结果用数值表示）.

9.无穷等比数列｛q｝的首项为2,公比为g,那么｛a,,｝的各项的和为.

10.假设2+i㈠为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程/+以+5=0的一个虚根，

那么Q=.

11.函数y=d-2x+l在区间[0,上的最小值为0,最大值为1,那么实数用的取值范

围是.

12.在平面直角坐标系龙中，点A8是圆f+y2-6x+5=0上的两个动点，且满足

IA51=26，那么|OA+031的最小值为.

二、选择题(本大题总分值36分)本大题共有12题，每题有且只有一个正确答案.考生应

在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否那么一律得0分.

13.满足sin。>0且tana<0的角a属于()

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

14.半径为1的球的外表积为0

4

(A)71(B)—71(C)2乃(D)4%

3

15.在(l+x)6的二项展开式中，X2项的系数为()

(A)2(B)6(C)15(D)20

16.基函数y=x<的大致图像是()

17.向量。=(1,0),》=(1,2),那么向量〃在向量。方向上的投影为()

(A)1(B)2(C)(1,0)(D)(0,2)

18.设直线/与平面a平行，直线用在平面a上，那么()

(A)直线/平行于直线〃？(B)直线/与直线机异面

(C)直线/与直线加没有公共点(D)直线/与直线m不垂直

19.在用数学归纳法证明等式1+2+3++2〃=2/+〃(〃eN")的第(ii)步中，假设

〃=%时原等式成立，那么在〃=攵+1时，需要证明的等式为1)

(A)1+2+3++2左+2(k+1)=2攵~+攵+2(左+1)-+(左+1)

(B)1+2+3+…+2左+2(攵+1)=2/+1>+(攵+1)

(C)1+2+3++2左+(2左+1)+2(左+1)=23+攵+2(左+1)2+(左+1)

(D)1+2+3++2攵+(2攵+1)+2(左+1)=2(左+1)2+(左+1)

%2y2y22

20.关于双曲线--L=i与2---=1的焦距和渐近线，以下说法正确的是()

164164

(A)焦距相等，渐近线相同(B)焦距相等，渐近线不相同

(C)焦距不相等，渐近线相同(D)焦距不相等，渐近线不相同

21.设函数y=/(x)的定义域为R,那么"7(0)=0"是"y=/(x)为奇函数”的0

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

22.以下关于实数匕的不等式中，不恒成立的是()

(A)a2+b2>2ab(B)a2+b2>-lab

a丫、,(a+b\

(C)------>ab(D)-~—>-ab

I2)I2)

23.设单位向量4与e2既不平行也不垂直，对非零向量。=玉4+)[02、8=天华+%02有

结论：①假设西以一工2乂=0,那么。//6②假设玉/+乂%=0,那么。工从关

于以上两个结论，正确的判断是()

(A)①成立，②不成立(B)①不成立，②成立

(C)①成立，②成立(D)①不成立，②不成立

2222

24.对于椭圆+2=1(a/>0,a").假设点(%,%)满足?+当<1.那么

ab~a'b~

称该点在椭圆C(〃M内，在平面直角坐标系中，假设点A在过点(2,1)的任意椭圆C(“⑸内

或椭圆C(“⑸上，那么满足条件的点A构成的图形为0

(A)三角形及其内部(B)矩形及其内部

(C)圆及其内部(D)椭圆及其内部

三、解答题(本大题总分值48分)本大题共有5题.解答以下各题必须在答题纸

相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

25.(此题总分值8分)如图，正三棱柱ABC-AgG的体积为

96，底面边长为3,求异面直线BG与AC所成的角的大

小.

26.(此题总分值8分)函数/(x)=sinx+百cosx,求/(x)

的最小正周期及最大值，并指出f(x)取得最大值时X的值.

27.(此题总分值8分)如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线

是抛物线的一局部，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯

泡位于抛物线的焦点/处.灯口直径是24cm,灯深10cm,求灯泡与反射镜的顶点。的

距离.

28.(此题总分值12分)此题共有2个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值8分.

数列｛4｝是公差为2的等差数列.

(1)假设4，。3，4成等比数列，求q的值；

⑵设e=一19，数列｛%｝的前〃项和为S”.数列｛%｝满足4=1,2+]-d,

记c“=S“+2"，25eN*),求数列｛c“｝的最小项c“°(即c%4%对任意〃eN*成立).

29.(此题总分值12分)此题共有2个小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值7分.

对于函数/(x),g(x)，记集合0.>g=｛x|/(x)>g(x)｝.

(1)设/(x)=2|x|,g(x)=x+3,求

⑵设工(x)=x-l,^U)=(1r+a-3v+l,版x)=0.如果巧>八02"，=R，

求实数。的取值范围.

2023年上海市普通高中学业水平考试

数学试卷

答案要点

一、(第1题至第12题)

1.3；2.7；3.-;4.[2,+oo）;5.8;6.1

4

7.26；8.24;9.3;10.T;11.[1,2]；12.4.

二、（第13题至第24题）

题号131415161718192021222324

代号BDCCACDBBDAB

三、(第25题至第29题)

25」解]设正三棱柱的高为h,那么以=SMBC-h.

由9G=^x9x〃，得/i=4.

4

因为AC//4G，所以8G与AC所成的角等于BG与

AG所成的角.

联结.在例B|G中，

=+=5,BC\=5,4G=3,

AB

4G之+9+25-253

由cosNA1G3=

24G,BC、2x3x510

3

得N41G3=arccos历.

3

故异面直线BQ与AC与所成的角的大小为arccos，.

26[解]由得/(%)=2sin

从而，(x)的最小正周期为2"，

〃%)的最大值为2,

此时x=2%;r+—(keZ).

27,解］以反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点。为

原点，建立平面直角坐标系xOy,如图.

设抛物线的方程为/=2px(p>0).

由题设，得点A的坐标为(10,12).

因为A在抛物线上，

所以122=2夕10,得p=9，

从而抛物线焦点F的坐标为(3.6,0),

即灯泡与反射镜顶点的距离为3.6C777.

28」解］(1)由，q•%=的?，〃//+6)=(q+4产，解得q=-8.

(2)因为2+1-2=(；)，所以“22时，

又4=1,所以a=2-11，〃eN*.

2

q=-19时Sn=n-20〃.

2

c„=Sn+2"T•bn=n-20〃+2"-1,”wN*.

2

?„+l-cn=[(〃+1)-20(〃+1)+2什|一1]一(A?-20〃+2"-1)=2w-19+2”.

当〃之4时，c„+i-cn>0