2021年广东省深圳市罗湖区布心中学中考数学模拟试卷（四十六）（附答案详解）

2021年广东省深圳市罗湖区布心中学中考数学模拟试卷

（46）

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）

1.如图，点4,B的坐标分别为4（2,0）,8（0,2）,点C为fv

坐标平面内一点，8c=1,点M为线段AC的中点，5卜

连接OM,则OM的最大值为（）

A.V2+1

B.VH首

C.2V2+1

D.2V2

2.如图，己知。。是等腰RtAABC的外接圆，点。是公上一

点，8。交4c于点E,若BC=4,AD=^,则4E的长是（）

D.1.2

3.如图，在平行四边形2BCD中，4。=2,48=巡，NB是

锐角，4EJ.BC于点E,F是4B的中点，连结DF、EF.若

乙EFD=90°,则4E长为（）

B.V5

4.如图，在。ABCC中，CD=2AD,BE12D于点E,F为DC

的中点，连结EF、BF,下列结论：①N4BC=2乙4BF；

②EF=BF；③S四边形DEBC=2SA/FB;④NCFE=34DEF,

其中正确结论的个数共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，一艘船由4港沿北偏东65。方向航行30或km至B港，然后再沿北偏西40。方向

航行至C港，C港在4港北偏东20。方向，则4,。两港之间的距离为（）

A.(30+30V3)/cmB.(30+10%km

C.（10+30V3）fcmD.30V3m

6.如图，直角△4BC中，48=30。，点。是△4BC的重心连接C。并延长交4B于点E,

过点E作EF148交BC于点F,连接4F交CE于点M,则捺的值为（）

AE%

A.；B.$C.|

DT

7.如图，一把直尺，60。的直角三角板和光盘如图摆放,

60。角与直尺交点，AB=3,则光盘的直径是（）

A.3

B.3V3

C.6

D.65/3

8.如图，△ABC中，4B=AC=10,tanA=2,BE1AC入

，则CD+更BD的最/\

于点E,。是线段BE上的一个动点£

小值是（）

A.2V5

B.4V5

C.5V3

D.10

第2页，共32页

9.如图，在正方形力BCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE,分别交BD、AC于点

P、Q，过点P作PF14E交CB的延长线于F,下列结论:

①乙AED+Z.EAC+乙EDB=90°,

（2）AP=FP,

（3）AE=^AO,

④若四边形OPEQ的面积为4,则该正方形4BCD的面积为36,

（5）CE-EF=EQ-DE.

其中正确的结论有（

A.5个D.2个

二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）

10.如图，△4BC内接于。。，4H1BC于点、H,若4c=10,AH=

8,O。的半径为7,则4B=.

11.如图，在。4BCD中，ZB=60°,AB=10,BC=8,点E为边4B上的一个动点，连

接ED并延长至点F,使得DF=2CE,以EC、EF为邻边构造QEFGC,连接EG,则EG

4

的最小值为.

12.如图，在Rt△力BC中，/.BAC=90°,且B4=3,AC=4,点。是斜边BC上的一个

动点，过点。分别作DM_LAB于点M,DNLAC于点N,连接MN,则线段MN的最

小值为•

13.如图，等边三角形4BC中，48=3,点。是△4BC外一点，

连接BD,将线段BD绕点。顺时针旋转120。得到线段DE,/

连接CE,点F事CE的中点，射线DF与BC边的延长线交于------

点G,连接AG,若乙CBD=60°,AACE=90°,则线段4G的DE

长为.

14.如图，矩形ABC。中，AB=2,4。=4,点E在边BC上，.41V________

把△DEC沿DE翻折后，点C落在C'处.若△ABC'恰为

等腰三角形，贝UCE的长为.

15.如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点AB、C的距?

离分别为2K、&、4,则正方形4BCD的面积为.

16.如图，在44BC中，^BAC=90°,AB=AC=10cm,点。为△ABC内一点，4BAD=

15°,AD=6cm,连接BD,将△48。绕点4按逆时针方向旋转，使48与4C重合，

点。的对应点为点E,连接DE,DE交4c于点尸，则CF的长为cm.

17.如图，在矩形4BCD中，AD=4,将N4向内翻析，点4落在BC上，记为人,折痕为

OE.若将4B沿E4向内翻折，点8恰好落在DE上，记为当，4----------------二成

则4B=.：/

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18.如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把aBCE沿直线CE

对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF.若点E,

F,。在同一条直线上，AE=2,则0尸=,

BE=.

三、解答题(本大题共6小题，共48.0分)

19.如图，△4BC内接于。O,BC=2,AB=AC,点。为部上的动点，且cos乙4BC=—.

10

(1)求48的长度；

(2)在点。的运动过程中，弦4。的延长线交BC延长线于点E,问ADME的值是否变

化？若不变，请求出AD-AE的值：若变化，请说明理由；

(3)在点。的运动过程中，过4点作AH1BO,求证：BH=CD+DH.

20.如图，在RtzMBC中，4=90。，以BC为直径的O。交48于点。，切线DE交力C于

点£

AE

(1)求证：N4=乙4DE；

(2)若4。=8,DE=5,求BC的长.

21.如图，AB是。。的直径，C为。。上一点，连接AC,CE1AB于点E,。是直径4B延

长线上一点，且NBCE=NBCD.

(1)求证：CD是。0的切线;

(2)若4。=8,笑=；,求CD的长.

、,CE2

22.如图，在△力BC中，AB=BC,以AABC的边4B为

直径作。0,交4C于点D,过点。作DELBC,垂足

为点E.

(1)试证明DE是。。的切线；

(2)若。。的半径为5,AC=6V10.求此时DE的长.

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23.如图，我国某海域有4B两个港口，相距80海里，港口8在港口4的东北方向，点

C处有一艘货船，该货船在港口4的北偏西30。方向，在港口8的北偏西75。方向，求

货船与港口4之间的距离.(结果保留根号)

24.如图，点M,N分别在正方形48C0的边BC,CO上，且

/.MAN=45。.把△力DN绕点4顺时针旋转90。得至ABE.

(1)求证：ZkAEMmAANM.

(2)若BM=3,DN=2,求正方形ABCD的边长.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：如图，

•••点C为坐标平面内一点，BC=1,

•••点C在以点B为的圆心，半径为1的圆上,

"AM=CM,OD=OA,

•••0M是△ACC的中位线，

0M=-CD,

2

当0M最大时，即CD最大，而当。，B,C三点共线时，C在的延长线上时，0M最大，

•・・OB=0D=2,乙BOD=90°,

・・・BD=2也

ACD=2A/2+1，

OM=|CD=V2+|,即OM的最大值为立+a

故选：B.

根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的0B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交

点时，OM最小，在OB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论.

本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的

位置是关键，也是难点.

2.【答案】C

【解析】解：••,等腰RtAABC,8c=4,

•••4B为00的直径，AC=4,AB=4V2,

乙D=90°,

在/?£△480中，AD=-fAB=4V2，

:.BD=y,

乙D=zC,Z.DAC=乙CBE,

ADE^L.BCE,

4

■：AD：8C=|：4=1：5,

.••相似比为1：5,

设AE=x,

:.BE=5x,

r>L28

•••DE=y—r5x,

■1•CE=28—25x,

"AC=4,

:.x+28-25x=4,

解得：x=1.

故选：C.

利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性

质，确定A/IDE和ABCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可.

题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，

题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，属于中考选

择题中的压轴题.

如图，延长E尸交DA的延长线于Q,连接DE,设BE=尢首先证明DQ=DE=x+2,利

用勾股定理构建方程即可解决问题.

【解答】

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解：如图，延长EF交D4的延长线于Q,连接DE,设BE=x.

•••四边形4BCD是平行四边形，

:・DQ"BC,

・•・Z.Q=乙BEF,

vAF=FB,/-AFQ=乙BFE,

•••△QFA为EFB(44S),

・•・AQ=BE=x,

•・,Z.EFD=90°,

・•・DF1QE,

・•.DQ=DE=%+2,

・・・AE1BC,BC//AD,

・•・AELAD,

:.乙4EB=Z-EAD=90°,

•••AE2=DE2-AD2=AB2-BE2,

(x+2)2—4=6—%2,

整理得：2/+4%—6=0>

解得x=l或x=-3(舍弃)，

BE=1,

.­.AE=y/AB2—BE2=V6-1=V5>

故选：B.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、

全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形

解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

如图延长EF交BC的延长线于G,取48的中点H连接FH,利用平行四边形和全等三角形

的判定和性质即可判断①②③，想办法证明四边形BCFH是菱形即可判断④.

【解答】

解：如图延长EF交BC的延长线于G,取4B的中点H连接FH.

CF=CB,

・•・Z-CFB=乙CBF,

・・•CD//AB,

・•・乙CFB=乙FBH,

・•.乙CBF=乙FBH,

:./.ABC=2448尸.故①正确，

・・•DE//CG,

・•・Z.D=Z,FCG,

vDF=FC,(DFE=(CFG,

・•・△DFE=^CFG{ASA),

・・・FE=FG,

•・,BE1AD,

:./.AEB=90°,

-AD//BC,

:./-AEB=Z.EBG=90°,

:.BF=EF=FG,故②正确，

IS^DFE=S^cFG»

‘S四边形DEBC=S&EBG=2s>BEF,故③正确，

,:AH=HB,DF=CF,AB=CD,

：・CF=BH,vCF//BH,

，四边形BCF"是平行四边形，

vCF=BC,

・•・四边形8CFH是菱形，

・•・乙BFC=乙BFH,

第12页，共32页

VFE=FB,FH//AD,BELAD,

FH1BE,

：.乙BFH=乙EFH=乙DEF,

Z.EFC=3.Z.DEF,故④正确,

故选：D.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意得，/-CAB=65°-20°=45°,^ACB=40°+20°=60°,AB=30V2/cm,过

B作BE1AC于E,解直角三角形即可得到结论.

本题考查了解直角三角形的应用一一方向角问题，解题关键是利用特殊角的三角函数求

解.

【解答】

解：根据题意得，4CAB=65°-20°=45°,AACB=40°+20°=60°,AB=30V2fcm,

过B作8E1ACTE，

•••^AEB=4CEB=90°,

在RtzMBE中，v/.ABE=45°,AB=30V2/cm，

•••AE=BE=2—AB=30km,

在RtZkCBE中，vAACB=60°,

CE=—BE=10V3/cm，

3

•••AC=AE+CE=(30+10V3)(/cm)>

A,C两港之间的距离为(30+10遮)km，

故选8.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了三角形的重心，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30。的直

角三角形的性质，关键是得到。MMF根据三角形的重心性质可得。。=

ICE,根据直角三角形的性质可得CE=AE,根据等边三角形的判定和性质得到CM=

进一步得到。即。根据垂直平分线的性质和含30。的直角三

角形的性质可得MF=^EF,依此得到MF=^4E，从而得到兼的值.

326MF

【解答】

解：•••点。是△ABC的重心，

2

・•・OC=-CE,

3

・・•△ABC是直角三角形，

・,.CE—BE=AE,

・・•乙B=30°,

:.Z.FAE=Z,B=30°,ABAC=60°,

・•・LFAE=乙CAF=30°,△ACE是等边三角形，

CM=-2CE,

7111

OM=^CE-^CE=-CE,即0M=^4E,

3266

vBE=AEy

EF=-AE，

3

vEFLAB,

・・・/,AFE=60°,

・・・匕FEM=30°,

MF=-2EF,

•••MF=—AE，

6

.MO__73

6

故选D

第14页，共32页

7.【答案】D

【解析】解：设三角板与圆的切点为C,连接04、0B,

由切线长定理知AB=AC=3,。4平分4B4C,

:./.0AB=60°,

在Rt/kAB。中，OB=4B•tan/OAB=3百，

二光盘的直径为6%，

故选：D.

设三角板与圆的切点为C,连接OA、OB,由切线长定理得出4B=AC=3、NCMB=60°,

根据OB=ABtanNOAB可得答案.

本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用.

8.【答案】B

【解析】解：如图，作于〃，。“148于时.

vBE1AC,

・•・Z.ABE=90°,

DC

vtanA=—=2,设4E=a,BE=2a,

AE

则有：100=Q2+4Q2,

・•・Q2=20,

・•・a=2遍或-2代（舍弃），

・•・BE=2a=4V5，

-AB=AC,BELAC,CMLAC,

：.CM=BE=4西（等腰三角形两腰上的高相等））

,:乙DBH=LABE,ABHD=ABEA,

CD+^BD=CD+DH,

•••CD+DH>CM,

...CD+^-BD>4V5.

・•.CO+?BD的最小值为4遍.

故选：B.

如图，作DH1AB于H,CM1.AB于M.由tam4=.=2,设AE=a,BE=2a,利用勾

AE

股定理构建方程求出a，再证明推出CD+?BD=CD+DH，由垂线段最

短即可解决问题.

本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

9.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形

的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的

压轴题.

①正确.证明4E0B=/EOC=45。，再利用三角形的外角的性质即可解决问题.

②正确.利用四点共圆证明乙4"=^ABP=45唧可.

③正确.设BE=EC=a,求出4E,。4即可解决问题.

④错误，通过计算正方形4BC0的面积为48.

⑤正确.利用相似三角形的性质证明即可.

【解答】

解：如图，连接0E.

•.•四边形4BC0是正方形，

第16页，共32页

・•・AC1BD,OA=OC=OB=OD,

A乙BOC=90°,

・••BE=EC,

・・・乙EOB=乙EOC=45°,

•・•Z-EOB=zJEDB+乙OED,Z.EOC=Z-EAC+Z.AEO,

/.AED+NE4C+乙EDB=Z.EAC+/.AEO+乙OED+乙EDB=90°,故①正确,

连接4F.

vPFA.AE,

・•・/,APF=乙ABF=90°,

.•.4P,B,F四点共圆,

4AFP=4ABp=45°,

ANPZF=/.PFA=45°,

•••PA=PF,故②正确,

设BE=EC=a,则4E=岳a，OA=OC=OB

祭=鲁=季即加=岑4。，故③正确，

根据对称性可知，4OPE三4OQE,

S^OEQ=3s四边形OPEQ=2，

VOB=OD,BE=EC,

・•.CD=2OE,OE1CD,

EQOEi

,,•而=而=5，A°EQ八CDQ,

•••S^ODQ=4，S^CDQ=8，

S^CDO=12,

'S正方形ABCD=48,故④错误,

•・•乙EPF=Z.DCE=90°,乙PEF=乙DEC,

•••△EPF〜AECD,

・E•・F一=PE一,

EDEC

•・,EQ=PE,

：.CE,EF=EQDE,故⑤正确，

故选：B.

10.【答案】y

【解析】解：作直径4D,连接BD,

・・•4D为直径，

・•・乙ABD=90°,

:.Z.ABD=乙AHC,

由圆周角定理得，乙D=4,

・•.△ABD~AAHC,

ABAD14

：•---=----，即—=—，

AHAC810

解得，AB=^,

故答案为：葭.

作直径4D,连接BD,根据圆周角定理得到乙48。=90。,4。=NC,证明△AHC,

根据相似三角形的性质解答即可.

本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理、相似三角形的判

定和性质是解题的关键.

11.【答案】9V3

【解析】解：设CD与EG交于点0,作CH1

4B于点H,

•••在。ABCD中，NB=60。，BC=8,

CH=4百，

•••四边形ECGF是平行四边形，

EF//CG,EF=CG,

・•.△EOD~AGOC,

:.-E-O-=-D-O--=-E-D--.

GOOCGC

VDF=-DE,

4

DE4

—=—

EF5

第18页，共32页

ED4

•1•芯=F

・E•O.一=4

GO5

OE4

:.——=

EG9

即EG=20E,

4

•••当E。取得最小值时，EG即可取得最小值，

当E。1CD时，E0取得最小值，

•••CH=E0,

EO=4V3.

•••GO=5V3,

EG的最小值是9百，

故答案为：9V3.

根据题意和平行四边形的性质，可以得到普=：，再根据相似三角形的性质得到EG=

EF5

JOE,再根据垂线段最短即可求出OE的最小值，从而得到EG的最小值.

4

本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短，解答本题的关键

是找出0E与EG之间的关系，将求EG的最小值问题转化成求0E的最小值问题.

12.【答案】Y

【解析】解：•••^BAC=90°,且BA=3,AC=4,

BC=>JBA2+AC2=5,

-DMLAB,DNLAC,

:.4DMA=乙DNA=^BAC=90°,

・•・四边形OMAN是矩形，

・•・MN=AD,

・••当AD1BC时，AD的值最小，

此时，△ABC的面积x4c=x力。，

AnABxAC12

：•AD=-----=—,

BC5

MN的最小值为当；

故答案为：羡.

由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DM4N是矩形，可得MN=4D,根据垂线段最

短和三角形面积即可解决问题.

本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关

键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

13.（答案】V13

【解析】解：过4作力于H,延长BC,CE交于M,

♦••等边三角形力BC中，AB=3,

»Ij3A/3T_J_3

*'•AH=—，CH—~f

22

・♦・乙BDE=120°,Z-CBD=60°,

・・・乙BDE+乙CBD=180°,

・•・BC//DE.

:.乙EDF=乙CGF,

•・•点F是CE的中点，

••・DF=CF,

ZEDF=Z.CGF

在ADE尸与AGCF中，l^DFE=/.GFC,

EF=CF

Z)£*/**=△GCFt

・•・CG=DE，

•••将线段8。绕点。顺时针旋转120。得到线段DE,

:.BD—DE,

.・.BD=DE=CG,

vZ-ACE=90°,乙ACB=60°,

・•・乙BCE=30°,

:.4M=90°,

vDEIIBC,

・•・乙DEM=30°,

.・・DE=BD=2OM,

2

・•・BD=-BM

3f

第20页，共32页

•・・BC=3,

13

・•・BM=-BC=-

22

・,.BD=1,

二CG=1,

・・・HG=2.5,

・•・AG=7AH2+HG2=V13.

故答案为：V13.

过4作4H1BC于H,延长BD,CE交于M,解直角三角形得到4H=迪，CH=；,根据

平行线的判定定理得到8C〃0E,由平行线的性质得到NEOF=NCGF,根据全等三角形

的性质得到CG=DE,由将线段BD绕点。顺时针旋转120。得到线段DE,得到BD=DE,

根据三角形的内角和得到=90。，根据平行线的性质得到NDEM=30。，由直角三角

形的性质得到DE=BD=2DM,根据勾股定理即可得到结论.

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理，等边三角形的性质，正

确的作出辅助线是解题的关键.

14.【答案】2或|百

【解析】

【解答】

解：如图1中，当C'A=C'B时，作C'H_L4。于H交BC于尸.

易知HC'=FC'=1,在RtADHC'中，DH=VZ)C，2-C'H2=V3-

由折叠的性质得NDC'E=ZC=90°,

4HC'D+Z.FCE=90°,Z.HCD+Z.HDC'=90°,

•••/.FC'E=Z.HDC,

又乙DHC'=^C'FE=90°,

：.&DHC'fC'FE,

可得：耳喈

一V3=一1，

1EF

・••EF誉

•四边形DHFC是矩形,

:.CF=DH=V5,

：.CE=X若

如图2中，当4B=4C'时，点C'在力。上，此时四边形CEC'D是正方形，CE=2.

综上所述，满足条件的CE的值为2或泗.

3

【分析】

分两种情形分别求解即可解决问题.

本题考查矩形的性质，翻折变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类

讨论的思想思考问题属于中考常考题型.

15.【答案】14+4V3

【解析】解：如图，将△力BP绕点8顺时针旋转90。得到ACBM,连接PM,过点B作8"_L

vBP=BM=V2,4PBM=90°,

•••PM=V2PB=2,

•••PC=4,PA=CM=2V3.

第22页，共32页

•••PC2=CM2+PM2,

乙PMC=90°,

,:4BPM=4BMP=45°,

4cMB=/.APB=135°,

/.APB+/.BPM=180°,

••.a,p,M共线，

•••BH1PM,

•••PH=HM,

BH=PH=HM=1,

•••AH=2734-11

•••AB2=AH2+BH2=(2V3+l)2+l2=14+4V3,

二正方形4BC0的面积为14+4V3.

故答案为14+4V3.

如图，将A/IBP绕点B顺时针旋转90。得到△CBM,连接PM,过点B作BH1PM于机首

先证明NPMC=90。，推出4CMB=4AP8=135。，推出A,P,M共线，利用勾股定理

求出4B2即可.

本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法

添加辅助线，构造全等三角形解决问题.

16.【答案】(10-2V6)

【解析】

【分析】

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等，解题的关键是能够

通过作适当的辅助线构造特殊的直角三角形，通过解直角三角形来解决问题.

过点4作4G_LOE于点G,由旋转的性质推出乙4ED=乙40G=45。，乙4FD=60。，利用

锐角三角函数分别求出4G,GF,力F的长，即可求出C尸=4。一4/=10-2历.

【解答】

解：过点4作AG1DE于点G,

•••AAED=JLADG=45°,

AAFD=乙4ED+ACAE=60°,

在Rt△ADG中，AG=DG=^=3夜，

在中，GF-—V6,AF=2FG=

CF=AC-AF=10-246,

故答案为：（10-2遥）.

17.［答案］2>/3

【解析】

【分析】

本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称,

折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.依据△4。81三4

4DC(4AS),即可得出&C=&Bi，再根据折叠的性质，即可得到&C=：BC=2,最

后依据勾股定理进行计算，即可得到C。的长，即4B的长.

【解答】

解：由折叠可得，A1D=AD=4,乙4=Z.EA1D=90°,Z.BA1E=z.B1A1E,BAt=a/],

(B==90°,

・•・Z-EA1B1+Z,DA1B1=90°=Z-BA1E+Z-CA1D,

:.Z-DA1B1=Z.CA1D,

又•••Z-C=4A]B]D,AtD=A1D,

A^DA^DC(<AAS^>

・•・AtC=A1B1,

:.BAt=A^C=^BC=2,

Rt△&CD中，CD=V42-22=2^3,

第24页，共32页

・•・AB=2>/3»

故答案为：2遮.

18.【答案】2；V5-1

【解析】

【分析】

本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，

矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

根据矩形的性质得到AD=BC,^ADC==^DAE=90°,根据折叠的性质得到CF=

BC,^CFE=ZB=90°,EF=BE,根据全等三角形的性质得到DF=AE=2；根据相

似三角形的性质即可得到结论.

【解答】

解：•・・四边形4BCD是矩形，

・•・AD=BC,Z-ADC==Z,DAE=90°,

••・把△8CE沿直线CE对折，使点B落在对角线力C上的点F处，

ACF=BC,乙CFE=NB=90°,EF=BE,

/.CF=71D,Z.CFD=90°,

:./LADE+乙CDF=/-CDF+乙DCF=90°,

・•・Z.ADF=乙DCF,

/.△ADE=^FCD^ASA）,

DF=AE=2；

・・•/,AFE=Z.CFD=90°,

・•・Z.AFE=Z.DAE=90°,

•••Z.AEF=Z.DEA,

・••△AEF^L.DEA,

,,•_A_E_—_D_E，

EFAE

22+EF

・•・一=---，

EF2

EF=6一1（负值舍去），

BE=EF=遍-1,

故答案为2；V5-1.

19.【答案】解：(1)作AMJ.BC,

•••AB=AC,AM1BC,BC=2BM,

•••BM=-BC=1,

2

nBMVIO

vcosB=—=——，

AB10

在RtUMB中，BM=1,

(2)不变.

连接OC,

・・•AB=AC,

・•・乙ACB=Z.ABC,

,・•四边形4BCD内接于圆0,

:.Z.ADC+Z-ABC=180°,

•・•/,ACE+Z.ACB=180°,

・♦・乙ADC=Z-ACE,

・・・Z&4E为公共角,

•••△EACfCAD,

AC_AE

**AD~ACf

­•AD-AE=AC2=10；

(3)在BD上取一点N,使得BN=CD,

在△ABN和△/CD中，

(AB=AC

jz.3=zl,

[BN=CD

・•・△/BN*4CD(SAS),

:•AN=AD,

-AN=ADtAH1BD,

・・・NH=HD,

第26页，共32页

VBN=CD,NH=HD,

BN+NH=CD+HD=BH.

【解析】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆周角定理，圆内接四边形的性质，全

等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题

的关键.

(1)作4M垂直于BC,由力B=AC,利用三线合一得到BM等于BC的一半，求出BM的长，

再由cosB的值，利用锐角三角函数定义求出4B的长即可；

(2)连接DC,由等边对等角得到一对角相等，再由圆内接四边形的性质得到一对角相等,

根据一对公共角，得到三角形E4C与三角形CAD相似，由相似得比例，求出所求即可;

(3)在B0上取一点N,使得BN=CD,利用S4S得到三角形4co与三角形力BN全等，由

全等三角形对应边相等及等量代换即可得证.

20.【答案】(1)证明：连接0D,

・••DE是切线，

•••4ODE=90°,

•••AADE+乙BDO=90°,

vZ.ACB=90°,

•••44+NB=90°,

OD=OB,

•••Z.B=Z.BDO,

:./.ADE=Z.A.

(2)解：连接CD.

vZ.ADE=乙4,

•••AE=DE,

BC是。。的直径，乙ACB=90°,

•・•EC是。。的切线，

・•・ED=EC,

:.AE=EC,

・・•DE=5,

・・・AC=2DE=10,

在Rt/MDC中，DC=6,

设=在中，BC2=x2+62,在中，^C2=(%+8)2-102,

x2+62=(%+8)2—IO2,

解得X=l，

【解析】【试题解析】

本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活

运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

(1)根据4ADE+/BD。=90。，乙4+/B=90。，即可解决问题；

(2)首先证明力C=2DE=10,在Rt△ADC中，DC=6,设BZ)=x,在RtABDC中，BC2=

X2+62,^.Rt^ABC<V，BC2=(x+8)2-102,可得/+6?=(%+8/-IO?,解方

程即可解决问题.

21.【答案】(1)证明：连接OC,

「4B是。。的直径，

・•・Z.ACB=90°,

vCE1AB,

・•・乙CEB=90°,

・・・乙ECB+/.ABC=Z.ABC+乙CAB=90°,

・••Z-A=Z-ECB,

•••乙BCE=乙BCD,

••Z.A=乙BCD,

v0C=0A,

:.Z.A=Z.ACOf

AZ-ACO=乙BCD,

第28页，共32页

・•・/.ACO+(BCO=乙BCO+乙BCD=90°,

:.乙DCO=90°,

・・・co是。。的切线；

(2)解：vLA=LBCE,

・•・tanA=能=tanzBCF=—=

ACCE2

设BC=k,AC=2/c,

vZ.D=乙D,Z.A=乙BCD,

ACD^LCBD,

.BC_CD__i

ACAD2

vAD=8,

・•・CD=4.

【解析】(1)连接OC,根据圆周角定理得到44cB=90。，根据余角的性质得到NA=

乙ECB,求得乙4=4BC