2023年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（二）（理科）

2023年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(二)

(理科)

一、选择题：本大题共13小题，每小题5分，共60分，在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知集合人=仅log2X<l},B={xx2+x-2<0},贝!JAUB()

A.(-8,2)B.(0,1)C.(-2,2)D.(-oo,1)

2.在复平面内，复数g(x)满足z(l+i)=|l+^,则z的共拆

复数对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1

3.用三段论推理："指数函数y=ax是增函数，因为y=(2)x是指数

1

函数，所以y=(2)*是增函数"，你认为这个推理()

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的

4.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，

如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为

()

A.16B.18C.24D.32

5.已知随机变量£服从正态分布N(3,o2),P(£W4)=0.842,则P

(£W2)=()

A.0.842B.0.158C.0.421D.0.316

6.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

31

A.~2e2B.2e2C.e2D.~2e2

7.设（5x-；^）n的展开式的二项式系数和为64,则展开式中常数

项为（）

A.375B.-375C.15D.-15

8.若函数h（x）=2x-5+l'在（L+8）上是增函数，则实数k的

取值范围是（）

A.[-2,+8）B.[2,+8）C.（-8,-2]D.（…，2]

9.设随机变量X〜B（10,0.8）,则D（2X+1）等于（）

A.1.6B.3.2C.6.4D.12.8

10.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某

同学每次投篮投中的概率为07且各次投篮是否投中相互独立，则

该同学通过测试的概率为（）

A.0.784B.0.648C.0.343D.0.441

11.图中y=3-x2与y=2x阴影部分的面积是（）

A.孤B.9-VsC..D.善

12.函数f(x)=x3-ax?-bx+a?在x=l处有极值10,则点(a,b)为

A.(3,-3)B.(-4,11)C.(3,-3)或(-4,11)

D.不存在

13.若函数f(x)=2x?-Inx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)

内不是单调函数，则实数k的取值范围是()

A.[1,+8)B.[1,C.[1,2)D.[1,2)

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分

14.已知命题p：x2+4x+3^0,q：x£Z,且“p/\q〃与"非q"同时为假

命题，则乂=.

15.已矢口3+-|=32X-|,4+事42义尚，若9+\=92x\

(a,b为正整数)，则a+b=.

16.为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽

取50名学生，得到2X2列联表：

理科文科总计

男131023

女72027

总计203050

已知P(K2^3,841)^0.05,P(K2^5.024)^0.025.

；

根据表中数据，得到小。会泰景器％4.844,则认为选修文

理科与性别有关系出错的可能性约为.

17.已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+l,当x£[2,+°°),f(x)20恒成

立，则实数a的取值范围是.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

18.（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，直线I的参

’3

x=-l+—t

数方程为:t为参数）.若以坐标原点。为极点，X轴正半轴为

y=-l+-Ft

5

兀

极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为pW^sin（8+7-）.

（I）求曲线C的直角坐标方程；

（H）求直线I被曲线C所截得的弦长.

四、解答题（共5小题，满分60分）

19.某冷饮店为了解气温变化对其营业额的影响，随机记录了该店1

月份销售淡季中5天的日营业额y（单位：百元）与该地当日最低气

温x（单位：℃）的数据，如下表所示:

x36791

0

y11887

20

（I）判定y与X之间是正相关还是负相关，并求回归方程y=bx+a

（H）若该地1月份某天的最低气温为6℃,预测该店当日的营业额

bn_一n_aybx

£（年-乂）（--¥）£（xiyi）-n（xy）

=11

（参考公式：n2=~~n~=-）.

£（x「x）2£x^-nx

i=li=l

20.一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,

2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张

卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).

(I)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.

(II)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X,求随机

变量X的分布列和数学期望.

21.已知函数f(x)=家-ax2+(a2-1)x+b(a,b£R),其图象在

点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0.

(1)求a,b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间，并求出f(x)在区间［-2,4］上的

最大值.

22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极

轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为(近，9)，直线I的极坐标

7T

方程为pcos(e-彳)=a,且点A在直线I上，

(1)求a的值及直线I的直角坐标方程；

(2)圆C的参数方程为彳0(a为参数)，试判断直线I与圆C

ly=sinCi

的位置关系.

23.设函数f(x)=lnx-ax+三1-L

(I)当a=l时，求曲线f(x)在x=l处的切线方程；

(H)当aj时，求函数f(x)的单调区间；

(m)在(口)的条件下，设函数g(x)=x2-2bx-言，若对于VX1

e[l,2],3x2e[0,1],使f(xi)Ng(x2)成立，求实数b的取

值范围.

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共13小题，每小题5分，共60分，在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

2

1.已知集合人=&log2x<l},B={x|x+x-2<0},则AUB()

A.(一，2)B.(0,1)C.(-2,2)D.(-1)

【考点】ID：并集及其运算.

【分析】分别求解对数不等式及一元二次不等式化简A,B,再由并

集运算得答案.

【解答】解：♦••A={x|log2xVl}={x|0VxV2},

B={xx2+x-2<0}={x|-2<x<l},

.\AUB={x0<x<2}U{x|-2<x<l)=(-2,2).

故选：C.

2.在复平面内，复数g(x)满足贝Uz的共枕复数对

应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式

的乘除运算.

【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应

点的坐标，即可得到结果

【解答】解：复数z满足z(1+i)=|1+吗,

V12+（V3）2

可得Z=1+i■=1-

复数z对应的点为（L-1）,

在复平面内z的共辗复数z=i+i对应的点为（1,1）,在第一象限.

故选：A.

3.用三段论推理："指数函数y=ax是增函数，因为y=（5）x是指数

函数，所以y=（5）x是增函数”，你认为这个推理（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的

【考点】F6：演绎推理的基本方法.

【分析】指数函数丫=2*（a>0且aWl）是R上的增函数，这个说法

是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调

性，即大前提是错误的.

【解答】解：指数函数丫=2*（a>0且aWl）是R上的增函数，

这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不

同的单调性，

大前提是错误的，

...得到的结论是错误的，

.♦.在以上三段论推理中，大前提错误.

故选A.

4.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，

如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为

()

A.16B.18C.24D.32

【考点】D9：排列、组合及简单计数问题.

【分析】本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车

位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，当左边两辆，最右

边一辆时，当左边一辆，最右边两辆时，当最右边三辆时，每一种情

况都有车之间的一个排列A33,得到结果.

【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，

首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，

当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列A3?,

当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列A3?,

当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列A3?,

当最右边三辆时，有车之间的一个排列A33,

总上可知共有不同的排列法4义A33=24种结果，

故选C.

5.已知随机变量§服从正态分布N(3,a2),P(代4)=0.842,则P

(0)=()

A.0.842B.0.158C.0.421D.0.316

【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【分析】由正态分布曲线的对称性和已知数据可得.

【解答】解：•.•随机变量£服从正态分布N(3,d),P(^4)=0.842,

AP(£W2)=P(£24)=1-0.842=0,158,

故选：B.

6.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

()

31

A.ye2B.2e2C.e2D.ye2

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐

标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合

导数的几何意义即可求出切线的斜率.最后求出切线的方程，从而问

题解决.

【解答】解析：依题意得y'=ex,

因此曲线丫=0*在点A(2,e2)处的切线的斜率等于e2,

相应的切线方程是y-e2=e2(x-2),

当x=0时，y=-e2

即y=0时,x=l,

切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：

12

S=7Xe2Xl=-？-.

22

故选D.

1n

7.设(5x-上)n的展开式的二项式系数和为64,则展开式中常数项为

()

A.375B.-375C.15D.-15

【考点】DB：二项式系数的性质.

【分析】由题意可得：2n=64,解得n=6.再利用(5x-力)6的通项公

式即可得出.

【解答】解：由题意可得：2n=64,解得n=6.

/.(5x-占了的通项公式为:Tr,i=「；(5x)6-r(^•)r=(-l).

令6-yr=O,解得r=4.

r4

展开式中常数项为T5=52XL6=375.

故选：A.

8.若函数h(x)=2x-5当在(1,+8)上是增函数，则实数k的取

值范围是()

A.[-2,+8)B.[2,+8)C.(-8,-2]D.(…，2]

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性.

【分析】对给定函数求导，K(x)>0,解出关于k的不等式即可.

【解答】解：•.•函数h(x)=2x>|+1在(1,+8)上是增函数

/.hz(x)=2+今>0,

.\k>-2x2.

Vx>l

-2x2<-2.

-2.故选A.

9.设随机变量X〜B(10,0.8),则D(2X+1)等于()

A.1.6B.3.2C.6.4D.12.8

【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型.

【分析】根据设随机变量X〜B(10,0.8),看出变量符合二项分布，

看出成功概率，根据二项分布的方差公式做出变量的方差，根据D

(2X+1)=22DX,得到结果.

【解答】解：•.•设随机变量X〜B(10,0.8),

ADX=10X0.8(1-0.8)=1.6,

AD(2X+1)=22X1.6=6.4

故选C.

10.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某

同学每次投篮投中的概率为07且各次投篮是否投中相互独立，则

该同学通过测试的概率为()

A.0.784B.0.648C.0.343D.0.441

【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式.

【分析】利用互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果.

【解答】解：该同学通过测试的概率等于投中2次的概率加上投中3

次的概率，

23

BP^JC3.0.72*0.3+C3*0.73=0.441+0.343=0,784,

故选:A.

11.图中y=3-x2与y=2x阴影部分的面积是()

y■2*

4伍3235

A.咏.9-73c.—D.—

【考点】6G：定积分在求面积中的应用.

【分析】求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，

分别对三部分进行积分求和即可.

【解答】解：直线y=2x与抛物线y=3-x2

解得交点为（-3,-6）和（1,2）

抛物线y=3-x2与x轴负半轴交点（-V、0）

设阴影部分面积为s,则

（2）（2）（2）

s=JQ3-X-2Xdx+J2^33-xdx-J232xdx+J'{f3-xdx

r

二W+2V5+9-2港

_32

=T

所以阴影部分的面积为3学9，

故选c.

12.函数f（x）=x3-ax?-bx+a?在x=l处有极值10,则点（a,b）为

（）

A.（3,-3）B.（-4,11）C.（3,-3）或（-4,11）

D.不存在

【考点】6C：函数在某点取得极值的条件.

【分析】首先对f(x)求导，然后由题设在x=l时有极值10可得

解之即可求出a和b的值.

【解答】解：对函数f(x)求导得f(x)=3x2-2ax-b,

又•.•在x=l时f(x)有极值10,

'f'(l)=3-2a-b=0

,,If(l)=l-a-b+a2=10,

解得自或值,

验证知，当a=3,b=-3时，在x=l无极值，

故选B.

13.若函数f(x)=2x2-Inx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)

内不是单调函数，则实数k的取值范围是()

A.[1,+8)B.[1,1)C.[1,2)D.[1,2)

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性.

【分析】先确定函数的定义域然后求导数「(x),在函数的定义域内

解方程「(x)=0,使方程的解在定义域内的一个子区间

(k-1,k+1)内，建立不等关系，解之即可.

【解答】解:因为f(X)定义域为(0,+8),又产(x)=4x—,

由f'(X)=0,得

当)<£(0,时-，f'(x)<0,当x£(1,+8)时-，f(x)>0

(1

_k-l<-^<k+l

据题意，2,

k-l>0

解得1<7.

故选B.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分

14.已知命题p：x2+4x+3^0,q：xGZ,且"p八q"与"非q"同时为假

命题，则x=-2.

【考点】2E：复合命题的真假.

【分析】因为“P且q"与"非q〃同时为假命题，所以得到q为真命题，

P为假命题，然后确定x的值.

【解答】解：由x2+4x+3^0得x、T或xW-3.

因为"p且q〃与“非q〃同时为假命题，所以q为真命题，p为假命题.

即-3VxV-l,且x£Z,所以x=-2.

故答案为：-2.

15.已矢口2+"1=22X"|,3+-|=32X-|,4+得=42义卷若9+2=9?X、

（a,b为正整数），则a+b=89.

【考点】F1：归纳推理.

【分析】根据已知条件得出数字之间的规律，从而表示出a,b,进

而求出a+b的值.

【解答】解：由已知得出：若9丹=92x£（a,b为正整数），a=92-

1=80,b=9,所以a+b=89,

故答案为：89

16.为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽

取50名学生，得到2X2列联表：

理科文科总计

男131023

女72027

总计203050

已知P(K2^3.841)^0.05,P(-5.024)40.025.

根据表中数据，得到小。笨崇景印2^4.844,则认为选修文

理科与性别有关系出错的可能性约为5%.

【考点】BO：独立性检验的应用.

【分析】根据题意，比较可得5.024>4.844>3.841,结合独立性检验

的统计意义，即可得答案.

【解答】解：根据题意，小。狭崇景;7”弋4.844,

又由5.024>4,844>3,841,

而P(K2^3.841)-0.05,P(K2^5.024)^0.025,

故选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%,

故答案为：5%

17.已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+l,当x£［2,+°°),f(x)20恒成

立，则实数a的取值范围是［-］，+8).

【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值.

3131

【分析】问题等价于x+5+吃》-3a.令g(x)=x+%4,根据函数

AXAX

的单调性求出g(x)的最小值，从而求出a的范围即可.

【解答】解：xe[2,8),f(x)20,

即x3+3ax2+3x+1^0,

31

即x+~+—^-3a.

Xx

人/、31

令g(x)=x+-+—,

AX

x3-3x-2

贝Ig'(X)=一^3一,

下面我们证g'(x)20在x£[2,8)恒成立，

也即x3-3x-220在x£[2,8)上恒成立，

令h(x)=x3-3x-2,贝Ih'(x)=3x2-3=3(x+i)(x-1),

易知b(x)20在x£[2,8)上恒成立，

Ah(x)在x£[2,8)上为增函数，

Ah(x)2h(2)=0,也就是x3-3x-220在x£[2,°°)上恒成立,

/.g'(x)20在xe[2,8)上恒成立，g(x)在xe[2,°°)为增

函数，

15

Ag(X)的最小值为g(2)=彳，

1R

-3aWg(2)=彳，

解得a2号，

故答案为：[-W，+8工

［选修4-4：坐标系与参数方程］

18.(选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系中，直线I的参

f3

x=T+-t

数方程为14t为参数）.若以坐标原点O为极点，X轴正半轴为

y=-l+-^t

5

L兀

极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为Pr%Sin（8+丁）.

（I）求曲线c的直角坐标方程；

（H）求直线I被曲线C所截得的弦长.

【考点】QJ：直线的参数方程；J8：直线与圆相交的性质；Q4：简单

曲线的极坐标方程.

【分析】（1）曲线的极坐标方程即p=cos0+sin0,两边同乘以p得：

p2=pcos0+psin0,再根据直角坐标与极坐标的互化公式求得C的直角

坐标方程.

（2）将直线参数方程代入圆C的方程，利用根与系数的关系和弦长

公式求得直线I被曲线C所截得的弦长.

【解答】解：（1）由PW^sin（8+丁）得：p=cos0+sin0,两边同乘以p

得：p2=pcos0+psin0,

1Q1n1

/.x2+y2-x-y=0,即（x-y）

（2）将直线参数方程代入圆C的方程得：5t2-21t+20=0,

-ti+t2=丁，“2=4.

|MN|=I11-t214（ti+t2）2-4t[t2=1匚

四、解答题（共5小题，满分60分）

19.某冷饮店为了解气温变化对其营业额的影响，随机记录了该店1

月份销售淡季中5天的日营业额y（单位：百元）与该地当日最低气

温X（单位：℃）的数据，如下表所示:

（I）判定y与X之间是正相关还是负相关，并求回归方程y'x+a

（H）若该地1月份某天的最低气温为6℃,预测该店当日的营业额

£(x「x)(yj-y)£(xiyi)-n(xy)

（参考公式:

£(Xj-X)

i=l

【考点】BK：线性回归方程.

【分析】（I）随着x的增加，y减小，故y与x的是负相关，该地当

日最低气温x和日营业额y的平均数，得到这组数据的样本中心点，

利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的

值，写出线性回归方程.

（H）将x=6,即可求得该店当日的营业额.

【解答】解：（I）由散点图知：y与x之间是负相关；…

~~52-25

x?『Xjx『

因为n=5,=7,=9,占（-5）=275-5X72=30；占（x.yi

-5xy）=294-5X7X9=-21.

所以b=-0.7,...

y-bx=9-(-0.7)X7=13.9..

故回归方程为y=-0.7x+13.9...

(II)当x=6时，y=-0,7X6+13.9=9.7.

故预测该店当日的营业额约为970元…

20.一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,

2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张

卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).

(I)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.

(H)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X,求随机

变量X的分布列和数学期望.

【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CB：古典概型及其概率

计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差.

【分析】(I)从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有4，然后求

出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率

的求解公式即可求解

(II)先判断随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,根据题意求

出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值

【解答】解：(I)设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件

A,则

ClCc+CnCc1

p(A)=苛.5..=7

J

所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为专

(II)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4

国1

P(X=l)=-r=35

J

%4

P(X=2)=^-=35

Cg-2

P(X=3)=~4"=

C7

煽&

P(X=4)=*=7

X的分布列为

EX=

1424

IX圭+2X泰+3xg+4x£

353577

_17_

=~5

x

P

21.已知函数f(x)=yx3-ax2+(a2-1)x+b(a,b£R),其图象在

点(1,f(D)处的切线方程为x+y-3=0.

(1)求a,b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间，并求出f(x)在区间［-2,4］上的

最大值.

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研

究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值.

【分析】(1)根据导数的几何意义求出函数在x=l处的导数，从而得

到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，

解方程组即可求出a和b,从而得到函数f(x)的解析式；

(2)先求出「(x)=0的值，根据极值与最值的求解方法，将f(x)

的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值.

【解答】解：(1)fz(x)=x2-2ax+a2-1,

,Z(1,f(1))在x+y-3=0上，

Af(1)=2,

,Z(1,2)在y=f(x)上，

.♦.2=]-a+a2-l+b>

又fz(1)=-1,

/.a2-2a+l=0,

o

解得a=l,b=y.

(2)Vf(x)=yx3-x2+y,

/.f(x)=x2-2x,

由F(x)=0可知x=0和x=2是f(x)的极值点，所以有

X(_8,0(0,2)2(2,+8)

0)

f'(x)+0-0+

f(x)增极大减极小增

值值

所以f(x)的单调递增区间是(-8,0)和(2,+8),单调递减区

间是(0,2).

84,、

Vf(0)=y,f(2)=y,f(-2)=-4,f(4)=8,

，在区间［-2,4］上的最大值为8.

22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极

轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为(加，子)，直线I的极坐标

方程为pcos(0-=a,且点A在直线I上，

(1)求a的值及直线I的直角坐标方程；

(2)圆C的参数方程为~鲁0(a为参数)，试判断直线I与圆C

的位置关系.

【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程;

QJ：直线的参数方程.

【分析】(1)根据点A在直线I上，将点的极坐标代入直线的极坐标

方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直

线I的直角坐标方程；

(2)欲判断直线I和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与

半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然

后与半径比较.

【解答】解：(1)点A(W,T)在直线I上，COS(e-T)=a,

•.•3—,

故直线I的方程可化为：psin0+pcos0=2,

得直线I的直角坐标方程为x+y-2=0；

(2)消去参数a,得圆C的普通方程为(x-1)2+y2=i

圆心C到直线I的距离d=^Vl,

所以直线I和。C相交.

23.设函数f(x)=lnx-ax+-y-1.

(I)当