2023版高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组10-2二项式定理

10.2二项式定理

考点二项式定理

1.(2017课标1理,6,5分)(1+E)(l+x)’展开式中六的系数为()

A.15B.20C.30D.35

答案C本题考查二项式定理中项的系数问题.

对于(1+5)(l+x)6,若要得到X2项,可以在(1+5)中选取1,此时(l+x”中要选取含义的项，

则系数为。;当在(1+5)中选取土时，(1+X)，中要选取含x"的项，即系数为哈所以,展开式中

六项的系数为有+邛=30,故选C.

2.(2016四川理,2,5分)设i为虚数单位，则(x+i)6的展开式中含X”的项为()

A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4

答案AT3=C；x'i2=-15x\故选A.

易错警示易误认为F=1而致错.

3.(2015湖北理,3,5分)已知(1+x)”的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项

的二项式系数和为()

A.212B.2"C.210D.29

答案D•：(l+x)”的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为党,以,.•.*=以,得n=10.

从而有%+%+CW“+%=2垃

又端+%+••«；=%+%+■••+%,

奇数项的二项式系数和为%+%+…+绍=2、

评析本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合数性质,考查运算求解能力.

4.(2015陕西理,4,5分)二项式(x+l)”(nWN+)的展开式中x?的系数为15,则n=()

A.4B.5C.6D.7

答案C因为(x+1)”的展开式中x?的系数为C；2,

所以C}2=15,即鬣=15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).

5.(2015课标I理,10,5分)(x2+x+y)s的展开式中,xY的系数为()

A.10B.20C.30D.60

答案C(xz+x+y)5=[(x2+x)+y『的展开式中只有《(x2+x)V中含x5y2,易知x9的系数为

qq=3o,故选C.

6.(2014四川理,2,5分)在x(l+x)'的展开式中，含x，项的系数为()

A.30B.20C.15D.10

答案C在(1+x)，的展开式中，含/的项为T产耳」=氏2,故在xd+x)'的展开式中，含Y

的项的系数为15.

评析本题考查二项展开式中求指定项的系数，属容易题.但在(l+x”前面乘以x后，易误求

T产C#.

7.(2014湖南理,4,5分)Cx-2y)"的展开式中x2y3的系数是()

A.-20B.-5C.5D.20

答案A展开式的通项为TE=C：QX)”•(-2y)J(-1)卜•2"飞钗5”•丫)令5_k=2；得k=3.则

展开式中的系数为(-1尸•22X3-5C3=-20,故选A.

评析本题考查由二项式定理求指定项系数、组合数的计算,考查学生的运算求解能力,属于

中档题.

8.(2014浙江理,5,5分)在(l+x”(l+y)」的展开式中，记x”y"项的系数为f(m,n),则

f(3,0)+f(2,l)+f(l,2)+f(0,3)=()

A.45B.60C.120D.210

答案C在(1+x)，的展开式中，x"的系数为图,在(1+y)'的展开式中,y”的系数为邛，故

f(m,n)=C'C；.从而f(3,0)=。=20,f(2,1)=4•C；=60,f(1,2)=C：•Cj=36,f(0,3)=C；=4,故

选C.

9.(2013课标II理,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()

A.-4B.-3C.-2D.-1

答案D由二项式定理得(1+x”的展开式的通项为T,“=C/x1■，所以当r=2时，(l+axNl+x)'

的展开式中口的系数为Q,当r=l时,犬的系数为C；•a,所以q+《•a=5,a=-l,故选D.

10.(2013辽宁理7,5分)使(3x+=y(n£N,)的展开式中含有常数项的最小的n为()

A.4B.5C.6D.7

335r

答案BTR“=CK3X)E•史尹=4•3,rr•-I•3n”•产丁(r=0,1,2,…,n),

若T,”是常数项，则有n-|r=0,即2n=5r(r=0,1,—,n),当r=0,1时,n=0,不满足条件；当r=2

时,n=5,故选B.

11.(2013大纲全国理,7,5分)(l+x)8(l+y)4的展开式中xV的系数是()

2

A.56B.84C.112D.168

答案D(1+x)8*(l+y)"的展开式中x2y2的系数为耳•C，28X6=168,选D.

12.(2013课标I理,9,5分)设m为正整数，(x+y)"展开式的二项式系数的最大值为

a,(x+y)2向展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()

A.5B.6C.7D.8

答案B由题意得:a=C*b二应…所以13q=7q；..,，曳哼培喘，，丑篝地解得

m=6,经检验m=6为原方程的解.选B.

13.(2012湖北理,5,5分)设aGZ,且0Wa〈13,若512012+a能被13整除，贝lja=()

A.0B.1C.11D.12

20122<,l2201220112(,112,,12

答案D5l+a=(52-1)+a=52+dm„X52X(-1)+-+C^；JX52X(-l)+(-l)+a

能被13整除，只需(T)232+a=i+a能被13整除即可.•.•0Wa<13,；.a=12,故选D.

评析本题考查二项式定理及整除等知识,考查学生应用意识和运算求解能力.

14.(2012安徽理,7,5分)(x?+2噂-1)”的展开式的常数项是()

A.-3B.-2C.2D.3

答案D由题意知展开式的常数项为2X(T)5+C；X(-1)'-2+5=3,故选D.

评析本题考查二项式定理的应用，抓住常数项的构成特征是顺利解题的关键.

E

15.(2011课标理,8,5分乂x+?Qk0的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项

为()

A.-40B.-20C.20D.40

答案D由题意，令x=l得展开式各项系数的和(1+a)(2-1尸=2,

/.a=l.

•.•二项式(2k的通项公式为T,..产中(-1)，•25r•x5-2r,

.•.1+勺(2广P展开式中的常数项为

x•库(-1)吃2•x*•C1•(-1)2•2：i-x=-40+80=40,故选D.

16.(2018浙江，14,4分)二项式(渥+J'的展开式的常数项是.

3

答案7

解析本题考查二项式定理,二项展开式的通项和相关计算.

（近+-8的展开式的通项般“=.（1.X”日5•X罕,要使Tk“为常数,则90,.•.k=2,

此时工其义写=7,故展开式的常数项为7.

思路分析（1）求出二项展开式的通项.（2）令通项中x的指数为0,得k的值.（3）计算此时的

Tk+r

17.（2018上海,3,4分）在（1+x）7的二项展开式中，x?项的系数为（结果用数值表

示）.

答案21

解析本题主要考查二项展开式.

（1+x），的二项展开式中，X，项的系数为有牛21.

18.（2018天津理，10,5分）在（k点）’的展开式中，/的系数为.

答案!

解析本题主要考查二项展开式特定项的系数.

由题意得T”尸@乂-点）'=（-

令5普2,得r=2,所以（'）&=（-，44

故x?的系数为|.

方法总结求二项展开式中的某一项的系数时,直接利用展开式的通项T,“=ga”b进行求

解.

19.（2017山东理，11,5分）已知（l+3x）”的展开式中含有X?项的系数是54,则n=.

答案4

解析本题主要考查二项展开式.

（l+3x）”的展开式的通项Ti=C；；3'x「，.•.含有六项的系数为*3?=54,./=4.

20.（2017浙江，13,5分）已知多项式（x+l）：'（x+2）2=x'+aX+Ex'+asX’+aiX+as,则

a.产________>.

答案16:4

解析本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查运算求解能力.

4

31222

设(x+1)=x+b1x+b2x+bi,(x+2)=x+cix+c2,

则a.尸b2c2+b3c尸有义12X22+/XC；X2=16,

32

a5=b3c2=lX2=4.

21.(2016天津理，10,5分)(7-，的展开式中x，的系数为.(用数字作答)

答案-56

162rr

解析Trl,=q-x-(-x)=(-l)qx吁",令16-3r=7,得r=3,所以x'的系数为(T)。=-56.

易错警示本题中，展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意.

评析本题主要考查二项式定理,对运算求解能力要求较高.属中档题.

22.(2016课标I理，14,5分)(2x+F)5的展开式中,x，的系数是.(用数字填写答

案)

答案10

解析加超⑵产•0=2飞・•令5手3,得r=4,.♦1=10/,的系数为10.

23.(2015天津，12,5分)在(尸J，的展开式中，(的系数为.

答案卷

解析(尸2)6的展开式的通项为TE=WX"'(-令6-2r=2,得r=2,所以好的

系数为4X(R噂

24.(2015重庆理，12,5分乂/+或了的展开式中/的系数是(用数字作答).

答案!

解析二项展开式的通项为T,“=CW产,(点­产3小,令15-3r-^8,得r=2,于是

展开式中(的系数为《xq^xio彳.

25.(2015课标II理，15,5分)(a+x)(1+x)'的展开式中x的奇数次幕项的系数之和为32,则

a=.

答案3

解析设f(x)=(a+x)(l+x)’,则其所有项的系数和为f⑴=(a+l)•(l+l)'=(a+l)X16,又奇

数次幕项的系数和为杷⑴-f(T)],.《X(a+1)X16=32,；.a=3.

评析二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法.

5

26.（2014安徽理，13,5分）设a¥0,n是大于1的自然数,（1+的展开式为

2n

a0+alx+a2x+---+anx.若点A、（i,3）（i=0,1,2）的位置如图所示，贝lja二.

答案3

解析根据题意知a0=l,at=3,a2=4,

C1•1=3（1_8

:a'即尸一”，解得a=3.

=4,3=3a,

（7

27.（2014课标I理，13,5分）（x-y）（x+yT的展开式中x歹的系数为.（用数字填写答

案）

答案-20

解析由二项展开式公式可知,含xV的项可表示为x-《xy'-y•故（x-y）（x+y），的展

开式中x2y7的系数为％-。=（：卜。=8-28=-20.

28.（2014课标H理，13,5分）（x+a）M的展开式中，/的系数为15,则a=.（用数字填写

答案）

答案!

,orr

解析Tr.1=Cfox-a,令10-r=7,得r=3,

"混』5,即号沁15,，a/a=1.

29.（2013浙江理，11,4分）设二项式（依-卷了的展开式中常数项为A,则A=.

答案T0

解析展开式通项为（爪产卜!）’

=4（-1）'袁5-5孔令（e%c=0,得厂3.

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