专题1.3 线段的垂直平分线（教师版）

专题1.3线段的垂直平分线1.理解线段垂直平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算；4.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题；5.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线。知识点01线段垂直平分线的性质与判定【知识点】线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.应用：常用来证明两条线段相等线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.应用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上【知识拓展1】利用线段垂直平分线的性质求长度例1．（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是___________．【答案】12【分析】先据垂直平分线的定义得出，再根据的周长是，即可求解．【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，∵，∴，∵的周长是，∴，∴的周长=．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的定义，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等．【即学即练】1．（2023春·江苏苏州·八年级期中）如图，在中，垂直平分，交边于点，交边于点，若，的周长为14，则的周长为______．【答案】【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再根据的周长即可求出的周长．【详解】解：∵垂直平分，∴，∵的周长为14，∴，∴的周长为，故答案为：．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【知识拓展2】利用线段垂直平分线的性质求角度例2．（2022春·山西临汾·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角形的内角和定理求出，再利用线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，，然后利用等量代换可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．【详解】解：，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【即学即练】2．（2022春·江苏南京·八年级阶段练习）如图，点P为三边垂直平分线的交点，，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】用线段垂直平分线的性质得，从而利用等腰三角形的性质可得，，，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答．【详解】∵点P为三边垂直平分线的交点，∴，∴，，，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【知识拓展3】垂直平分线的判定例3．32．（2022春·广西南宁·八年级校考期中）小军做了一个如图所示的风筝，其中，，则是的______线．【答案】垂直平分线【分析】根据垂直平分线的判定即可得到答案．【详解】解：∵，，∴是的垂直平分线，故答案为：垂直平分线．【点睛】本题考查垂直平分线的判定，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．【即学即练3】3．（2022春·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）如图，已知，，与交于O，．求证：(1)；(2)点O在线段的垂直平分线上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据可证明，由全等三角形的性质即可得出结论；（2）由全等三角形的性质可得，由等角对等边可得，进而可得结论．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴在和中，，∴，∴；（2）证明：∵，∴，∴，∴点O在线段的垂直平分线上．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边以及线段垂直平分线的判定，解答时证明是关键．【知识拓展4】复杂的尺规作图例4．（北京市门头沟区2022—2023学年八年级上学期期末调研数学试卷）我们规定：在同一平面内的点A以直线为对称轴进行翻折后得到点，称作点A的“一次对称点”，将一次对称点再以直线为对称轴进行翻折后得到点，称作点A的“二次对称点”．(1)如图1，依题意画出点A的“二次对称点”，并说出以为顶点的三角形的形状；(2)如图2，已知直线与直线的夹角是，点A在直线上，依题意画出点A的“二次对称点”，并说出以为顶点的三角形的形状；(3)如图3，如果“二次对称点”落在上，且点A在直线上，请依题意画出直线，保留作图痕迹．【答案】(1)图见详解，是直角三角形(2)图见详解，为等腰直角三角形(3)图见详解【分析】（1）根据题意作出图形，然后问题可求解；（2）根据（1）中的作法可进行作图，然后问题可求解；（3）根据题意画出图形即可．【详解】（1）解：以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，交于一点B，然后连接，交于点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，交于点，同理可作，如图示，设与的交点为点E，由题意得：，∴，∴，∴是直角三角形；（2）解：按（1）的作法进行作图，如图所示：由题意得：，∴，∵直线与直线的夹角是，∴，∴，∴是等腰直角三角形，同理可得也为等腰直角三角形；（3）解：以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，交于一点B，连接，交直线于点C，然后以点C为圆心，长为半径画弧，交于点，再以点A为圆心，为半径画弧，交直线于点，进而以点、为圆心，大于长的一半为半径画弧，交于一点D，连接，则直线即可求；如图所示：【点睛】本题主要考查复杂的尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键．【即学即练4】4．（北京市燕山区2022-2023学年八年级上学期期末质量监测数学试卷）下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线，使得．作法：如图，①在直线l上取点A，连接；②作线段的垂直平分线，分别交直线l，直线于点B，O；③以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点Q；④作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小青设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：连接，∵线段的垂直平分线交于点O，∴，（_____________________）（填推理的依据）又∵，______，∴，（_____________________）（填推理的依据）∴，∴．【答案】(1)见解析；(2)线段垂直平分线的性质，，．【分析】（1）根据题中的步骤，作图即可；（2）根据全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质，求证即可．【详解】（1）解：如下图，所示：（2）证：∵线段的垂直平分线交于点O，∴，（线段垂直平分线的性质）又∵，，∴（）∴，∴．故答案为：线段垂直平分线的性质，，【点睛】此题考查了尺规作图－作垂线，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．【知识拓展5】线段垂直平分线的综合运用例5．（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，在中，与相交于点F，连结并延长交于点G，的平分线交的延长线于点H，连接．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】①根据，，即可得解；②先证明是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得结论；③根据“边角边”即可证明；④根据可得，进而可以判断．【详解】解：①∵，，∴，∴，故①正确；②如图，记，的交点为，∵是的角平分线，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是的垂直平分线，∴；故②正确；③∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，在与中，，∴，故③正确；④∵，∴，∵，∴；故④正确；故选A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，线段的垂直平分线的判定与性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．【即学即练5】5．（2022春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，是等腰的角平分线，，，过点A作的垂线，过点C作的平行线，两线交于点G．与交于E，与交于F，连接，点N是线段上的动点，点M是线段上的动点，连接，，下列四个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的是________（填写番号）【答案】①④⑤【分析】由是角平分线及，可以证明，则可得，，，由得是的垂直平分线，则，又可得，可计算出，则可判定②错误；由，易得，进而可得，即可判定①正确；由可得，即⑤正确；由知，③错误；连接、，过作于点，则，，当与的中点重合时，最小，且最小值为，从而可判定④正确；最后可确定答案．【详解】解：∵，，∴，∵是的角平分线∴，∵，∴，∵，∴，∴，，，由，则是的垂直平分线，∴，∴，∴，故②错误；∵，∴，∴，故①正确；∵，∴，∵，，∴，∴，故⑤正确；∵，，∴，∵∴，∴，∴，即，

故③错误；连接、，过作于点，则点是的中点，且；∵是的垂直平分线，∴，∴，当与的中点重合时，最小，最小值为，故④正确；故答案为：①④⑤．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，注意灵活运用这些知识．知识点02三角形的垂直平分线【知识点】1.三角形三边的垂直平分线的性质定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.【知识拓展1】三角形的垂直平分线的实际应用例1．（2022春·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，是三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个中转站，要求它到三条公路交叉点的距离都相等，则可供选择的地址有（

）．A．一处 B．两处 C．三处 D．四处【答案】A【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得答案．【详解】解：如图所示，分别作，，的垂直平分线，则三条垂直平分线的交点P即为可供选择的地址，有1处．故选：A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．【即学即练1】1．（2022春·厦门·八年级校考期中）如图，、、表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（）A．，两边中线的交点处B．，两边高线的交点处C．与这两个角的角平分线的交点处D．，两边的垂直平分线的交点处【答案】D【分析】根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可．【详解】生活超市到这三个居民小区的距离相等，生活超市应建在的三边的垂直平分线的交点处．故选．【点睛】本题考查线段的垂直平分线．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．【知识拓展2】三角形的垂直平分线的相关计算与证明例2．（2022春·全国·八年级期末）如图，的垂直平分线相交于点，若等于，则___________．【答案】14°【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可．【详解】解：连接，的垂直平分线相交于点，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【即学即练2】2．（2022春·陕西商洛·八年级校考期中）如图，在中，，的垂直平分线，相交于点O，求证：点O在的垂直平分线上．【答案】见解析【分析】由垂直平分线的性质知，，通过等量代换可得，即可证明．【详解】证明：连接OB,OC,∵，的垂直平分线，相交于点O，∴点O在，的垂直平分线上，∴，，∴，∴点O在的垂直平分线上．【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，牢记垂直平分线的性质及判定方法是解题的关键：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．【知识拓展3】例3．（2022春·吉林长春·八年级长春市第八十七中学期末）如图，正方形纸片：①先对折使与重合，得到折痕；②折叠纸片，使得点A落在的点H上，沿和剪下．则判定为等边三角形的依据是（

）A．三边都相等的三角形是等边三角形 B．三个角都相等的三角形是等边三角形C．有两个角是60°的三角形是等边三角形 D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形【答案】A【分析】根据正方形的性质，翻折变换的性质可得，再根据是的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可得，进而可得，即可求解．【详解】解：四边形是正方形，，由翻折变换得，，，是的垂直平分线，，，是等边三角形，故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握正三角形的判定方法．【即学即练3】3．（2022春·天津·八年级天津市第五十五中学期末）有一张长方形纸片，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，点E在边上，沿折叠，点B落在点处；第二步：如图②，沿折叠，使点A落在延长线上的点处，折痕为．有下列结论：（）①是等边三角形

②

③垂直平分A．只有②正确 B．只有①②正确C．只有①③正确 D．①②③都正确【答案】C【分析】只要证明，即可推出是等边三角形；只要证明也是等边三角形即可判断③；的长度不确定，无法判断与的大小关系．【详解】解：如图，∵，又，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，故①正确，∴是等边三角形，∴，∴垂直平分，故③正确，由于的长度不确定，所以不一定等于，故②错误，故选：C．【点睛】本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题，中考常考题型．题组A基础过关练1．（2022春·河北秦皇岛·八年级期末）三角形内到三个顶点的距离相等的点是（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】利用线段垂直平分线的性质定理的逆定理，即可解答．【详解】解：三角形内到三个顶点的距离相等的点是三条垂直平分线的交点，故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理以及逆定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．2.（2022春·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校期末）如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接，与、分别相交于点D、E，连接，当，时，周长为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根据勾股定理计算，结合作图得是的垂直平分线，得到，结合周长为，代入计算即可．【详解】因为，，，所以，根据题意，得是的垂直平分线，所以，因为周长为，故选B．【点睛】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线性质及其基本作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．（2022春·江苏南京·八年级校考阶段练习）甲、乙、丙三家分别位于的三个顶点处，现要建造一个核酸检测点，使得三家到核酸检测点的距离相等，则核酸检测点应建造在（）A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高的交点 D．三条中线的交点【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质即可解答．【详解】解：∵线段的垂直平分线的点到线段的两个端点的距离相等，∴这三家到核酸检测点距离相等，核酸检测点的建造位置是在三边的垂直平分线上，故选A．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决本题的关键．4．（2022春·辽宁抚顺·八年级阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，已知与的周长分别为19和11，则的长等于______．【答案】4【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：∵是边的垂直平分线，∴，，∵中与的周长分别为19和11，∴，，∴，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．5．（2022春·上海徐汇·八年级上海市南洋模范中学校考期中）满足底边为已知线段的等腰三角形的顶点在______上．【答案】线段的垂直平分线【分析】根据等腰三角形的定义，知点到、的距离相等，再结合到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线，即可解答．【详解】解：因为线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，满足底边为已知线段的等腰三角形的顶点在是线段的垂直平分线上．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和线段垂直平分线的判定；理解是底边是正确解答本题的关键．6．（2022春·辽宁大连·八年级期末）如图，中，，，．(1)作边的垂直平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）(2)连接，求的度数；(3)的周长为______．【答案】(1)见解析(2)30°(3)【分析】（1）利用基本作图作的垂直平分线；（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可计算出，再利用线段垂直平分线的性质得到,所以，然后计算出即可．（3）利用垂直平分线的性质知，再利用周长的定义即可得解．【详解】（1）如图所示（2）∵，∴，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴．（3）∵垂直平分，∴，∴即的周长为．故答案为：【点睛】本题考查了作图-基本作图：作线段的垂直平分线及等腰三角形的性质，熟练掌握用尺规作线段垂直平分线的方法及线段垂直平分线的性质是解题的关键．7．（2022春·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，是其中一个小长方形对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺；②保留必要的画图痕迹．(1)在图（1）中画一个角，使点或点是这个角的顶点，且为这个角的一边；(2)在图（2）中画出线段的垂直平分线，并简要说明画图的方法（不要求证明）．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）要构造角考虑构造等腰直角三角形，根据题意证明线段相等，进而证得三角形全等，再利用全等的性质推导出直角，即可解决此题；（2）根据垂直平分线的判定“到线段两端距离相等的点在垂直平分线上”，找到两个这样的点，两点确定一条直线即可找到AB的垂直平分线．【详解】（1）解：如图3，连接AC、BC是六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，，（SSS）即图中即为所求（2）解：如图4，连接EF、BD、AC、CD、AD、CB，AB与EF相交于点M，AD与CB相交于点N，作直线MN为矩形由题可知，四边形为正方形图中直线MN即为AB的垂直平分线【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，熟练掌握初中几何知识并能灵活运用是解决本题的关键．8．（2022春·广东汕头·八年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图，在中，，D为BC的中点，，垂足为点E，，交CE的延长线于点F．(1)求证：；(2)求证：AB垂直平分DF．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由AAS证明，即可得出结论；（2）由（1）得，再由，得，则，然后由等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）由（1）得：，∵D为BC的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴AB垂直平分DF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．（2022·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，、两个村庄的坐标分别为、，一辆汽车从原点出发，在轴上行驶．(1)汽车行驶到什么位置时离村庄最近？写出此位置的坐标．(2)请在图中画出汽车到两村庄的距离相等的位置，并求出此时的距离和．【答案】(1)作图见解析，(2)作图见解析，【分析】对于（1），由垂线段的性质求解即可；对于（2），连接，作的垂直平分线，交x轴与点P，点P即为所求，最后根据勾股定理求得，，即可得出答案．【详解】（1）过点A作x轴的垂线，垂足P即为所求作的点，此时，汽车距离A点最近，此位置的坐标是；（2）如图所示，连接，作的垂直平分线，与x轴的交点P即为所求作，根据题意可知，，，，∴，则.根据勾股定理得，即，解得.根据勾股定理得，所以距离和等于.．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的点的坐标，线段垂直平分线的性质，勾股定理，垂线段的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法．10．（2022春·八年级课时练习）已知：如图，直线和直线分别是线段和线段的垂直平分线，为交点．求证：点到点，，的距离相等．【答案】证明见解析【分析】根据直线和直线分别是线段和线段的垂直平分线，可知，，，，根据边角边的关系证明三角形全等，由三角形全等的性质即可求证．【详解】证明：如图所示，连接，，，∵直线和直线分别是线段和线段的垂直平分线，∴在，中，是公共边，，，∴，∴，同理，在，中，是公共边，，，∴，∴，∴，即点到点，，的距离相等．【点睛】本题主要考查三角形全等的判断和线段的垂直平分线，掌握垂直平分线垂直平分所交线段和全等三角形的判断是解题的关键．11.（2022春·全国·八年级期中）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．(1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应）(2)的面积是．(3)若有一格点P到点A、B的距离相等（），则网格中满足条件的点P共有个；(4)在直线l上找一点Q，使的值最小．（要求：图中标注点Q，要有作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)5(3)4(4)见解析【分析】（1）根据找点，描点，连线的方法，进行作图即可；（2）利用割补法求的面积即可；（3）根据，得到在线段的中垂线上，进行求解即可；（4）连接，与直线l的交点即为所求．【详解】（1）解：如图，即为所求．（2）解：的面积为：．故答案为：5．（3）∵格点P到点A、B的距离相等，∴点P在线段的垂直平分线上，如图所示，满足题意，共4个，故答案为：4（4）解：∵，∴当三点共线时，值最小；如图，点即为所求；【点睛】本题考查网格中轴对称作图，中垂线的性质，以及网格中求三角形的面积．熟练掌握成轴对称的作图方法，以及中垂线上点到线段两端点的距离相等，和利用对称解决线段和最小问题，是解题的关键．题组B能力提升练1．（2022春·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，D是内部的一点，，．下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和判定定理以及线段垂直平分线的性质即可得到结论．【详解】解：∵，∴，故①正确；∵，∴，即，∴，故②错误；∵，，∴垂直平分，故③正确；∴平分，故④正确；故选C．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质判断，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．2．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在中，，，平分交于E，于D．下列结论：①；②点E在线段的垂互平分线上；③；④．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定定理、直角三角形的性质判断即可．【详解】解：∵，，∴，，∵平分，∴，∴，∴，∴，故①正确；∵，∴点E在线段的垂直平分线上，故②正确；∵，，∴，∵，∴，∴，故③正确；∵，，∴，∵，，∴，∴，故④正确；综上，正确的个数为4个，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题关键．3．（2022春·辽宁盘锦·八年级校考阶段练习）如图，三角形中，的平分线交BC于点D，过点D作，，垂足分别为E，F，下面四个结论：①；②一定平行；③垂直平分；④；其中正确的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】根据角平分线的性质得到，根据垂直的定义、等腰三角形的性质判断①；结合题意判断②；根据线段垂直平分线的判定定理判断③；根据三角形的面积公式判断④，即可．【详解】解：∵的平分线交BC于点D，，，∴，，∴，∴，故①正确；∵不一定等于，∴不一定平行，故②错误．∵，∴，又，∴垂直平分，故③正确；，故④正确；故选：C．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和判定、平行线的判定，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．4．（2022春·辽宁大连·八年级期末）如图，中，，的垂直平分线，相交于点，若等于，则______．（用含的式子表示）【答案】【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：连接，如图所示：，分别是，的垂直平分线，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．5．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，中，，，平分，下列结论：点在的垂直平分线上；；；图中的三个三角形都是等腰三角形．其中正确结论的序号是______．【答案】【分析】根据三角形内角和定理证明，可得在的垂直平分线上，进而可以判断正确；在上截取，连接，证≌，推出，，求出，即可判断；然后判断、、都是等腰三角形，进而可得正确．【详解】解：在中，，，，平分，，，，在的垂直平分线上，故正确；如图，在上截取，连接，在和中，≌，，，，，，，故正确；，，，，故错误；，，，、、都是等腰三角形，故正确；正确结论的序号是．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键．6．（2022春·八年级单元测试）如图所示，点为内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于，交于，，则的周长为_______．【答案】【分析】根据对称的性质可知，是的垂直平分线，是的垂直平分线，由此即可求解．【详解】解：∵点关于的对称是点，点关于的对称点，∴，，∴的周长为．故答案为：．【点睛】本题考查对称的性质，垂直平分线的性质，掌握对称的性质，垂直平分线的性质是解题的关键．7．（北京市门头沟区2022—2023学年八年级上学期期末调研数学试卷）已知，如图，在中，是的平分线，且，过点C作的垂线，交的延长线于点H．以直线为对称轴作点A的对称点P，连接．(1)依题意补全图形；(2)直接写出与的位置关系；(3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．【答案】(1)画图见解析(2)，证明见解析(3)【分析】（1）如图，延长至，使，再连接，可得答案；（2）由作图可得：，而，可得，证明，结合，可得，可证明；（3）证明，可得，结合，可得，从而可得结论．【详解】（1）解：如图，补全图形如下；（2），理由如下：由作图可得：，而，∴，∴，∵是的平分线，∴，∴，∴．（3）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查平行线的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练的利用角平分线，平行线，等腰三角形三者在图形中的关联关系是解本题的关键．8．（2022春·广东东莞·八年级期中）如图，已知点A在y轴正半轴上，以为边作等边，点P在x轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交x轴于点C．(1)证明：(2)求的度数(3)连接，求证：垂直平分【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【分析】（1）根据证明，即可得出答案；（2）根据全等三角形的性质，得出，根据四边形内角和即可得出答案；（3）根据证明得出，根据垂直平分线的判定即可得出答案．【详解】（1）证明：和都是等边三角形，∴，，，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴在四边形中，，∴．（3）解：连接，如图所示：∵，∴与为直角三角形，∵，，∴，∴，又∵，、两点在线段的垂直平分线上，∴垂直平分．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，四边形内角和，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．9．（2022春·江苏南通·八年级期中）【了解概念】如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线的一点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．(1)【理解运用】如图2，在中，D为上一点，点D，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D，F关于直线的“等角点”，并说明理由；(2)【拓展提升】如图2，在（1）的条件下，若，，点Q是射线上一点，且点D，Q关于直线的“等角点”为点C，请利用尺规在图2中确定点Q的位置，并求出的度数；(3)【拓展提升】如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到AC的距离为1，直线l垂直平分边，点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为．【答案】(1)点B是点D，F关于直线AB的“等角点”；(2)(3)【分析】（1）D、E关于对称，得出，角的等量替换可得即可证明．（2），求出，根据等角点求出，再求出；（3）连接，直线l垂直平分，求出，点P为点O，B关于直线“等角点”，证得O、P、C共线，作于D，平分，平分，即可证得．【详解】（1）点B是点D，F关于直线的“等角点”，理由如下：∵D、E关于对称，∴，，∴，∵，∴，∴点B是点D，F关于直线的“等角点”；（2）如图2，∵，，∴．∵点D，Q关于直线，的“等角点”分别为点B和点C，∴，∴，∴；（3）如图3，连接，∵直线l垂直平分，∴，∴，∵点P为点O，B关于直线“等角点”，∴，∴，∴O、P、C共线，∴，作于D，∵平分，平分，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了角平分线、垂直平分线、角和线段的等量代换，解题的关键是熟知角平分线、垂直平分线、角和线段的等量代换的知识并会作辅助线．10．（2022春·全国·八年级期末）对于平面直角坐标系中的线段及点Q，给出如下定义：若点Q满足，则称点Q为线段的“中垂点”；当时，称点Q为线段的“完美中垂点”．(1)如图1，，下列各点中，线段的中垂点是__________(2)如图2，点A为x轴上一点，若为线段OA的“完美中垂点”，则线段OQ的两个“完美中垂点”的坐标是______和________，两者的距离是________(3)如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段的“完美中垂点”，点在y轴上，在线段上方画出线段的“完美中垂点”M，直接写出________（用含m的式子表示）．并求出．【答案】(1)(2)，，(3)【分析】（1）由“中垂点”定义即可求解；（2）画出图形，根据等边三角形的性质求解即可；（3）分别以为圆心，以的长为半径画弧，二者的交点即为M；证明根据全等三角形的性质即可得解．【详解】（1）解：∵，∴线段的垂直平分线为直线，∵Q是线段的中垂点，∴点Q在线段的垂直平分线上，即点Q在直线上，∴点Q的横坐标为2，∴只有是线段的中垂点，故答案为：；（2）解：∵，∴，∵Q为线段的“完美中垂点”，∴，即为线段的一个“完美中垂点”，设线段的另外一个“完美中垂点”为L，如下图所示，∴，∴和都是等边三角形，∴，∴，∴．∴故答案为：，，；（3）解：如图，分别以A、P为圆心，以的长为半径画弧，二者的交点即为M；∵M是的“完美中垂点”，点Q为线段的“完美中垂点”∴，∴和为等边三角形，∴，∴，∴，∵．∴．故答案为：m【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形，全等三角形的性质和判定．本题属于新定义的类型题，能结合定义画出对应图形是解题关键．题组C培优拔尖练1．（2022春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“等形”，连接等形的对角线、，下列结论：①；②垂直平分；③四边形的面积；④若，，点，分别是，边上的动点，且，则，其中正确的结论是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】根据“边边边”证明可判断①；根据垂直平分线的性质可判断②；由三角形面积计算公式可判断③；延长到，使，连接，由“边角边”定理判断，可得，由线段和差关系可得从而可判断④．【详解】解：①在和中，，，，故①正确；②，，垂直平分，故②正确；③，四边形的面积，故③错误；延长到，使，连接，如图所示：，，又，，，，，，，，，，又，，，，，故④正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，垂直平分线，理解“筝形”的性质和添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（2022春·广东广州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在AB的垂直平分线上，且，则点C的坐标为______．【答案】或##或【分析】分两种情况：（1）点C在第一象限，（2）点C在第二象限．针对每一种情况，分别画出图形，再利用全等求出距离，从而得出C点坐标．【详解】解：∵C在AB的垂直平分线上，∴，∵，，∴，∵，∴，∴；分两种情况：（1）过点C作于D，于E，如图所示：∵，∴，∵，∴，∴，在与中，∴，∴，，根据勾股定理得：，即，解得：或（不合题意舍去），则点C的坐标为：；（2）过点C作于D，于E，如图所示：∵，∴，∵，∴，∴，在与中，∴，∴，，由勾股定理得：，，解得：，或（不合题意舍去）．则点C坐标为；综上可知点C坐标为：或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是注意分类思想的运用，有一定的难度．3．（2022秋·陕西榆林·七年级统考期中）如图，已知是等边三角形，D是边上的一个动点（异于点B、C），过点D作，垂足为E，的垂直平分线分别交于点F、G，连接．当点D在边上移动时，有下列三个结论：①一定为等腰三角形；②一定为等边三角形；③可能为等腰三角形．其中正确的有__________．（填所有正确结论的序号）【答案】①②【分析】依据线段垂直平分线的性质、平行线的性质以及等边三角形的判定，即可得出结论．【详解】∵的垂直平分线分别交于点F、G，∴，∴一定为等腰三角形，故①正确；∵，，∴，∴，又∵是等边三角形，∴，∴中，，∴是等边三角形，故②正确；∵，，，∴不可能是等腰三角形，故③错误；故答案为：①②．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等边三角形是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．4．（2022春·四川广安·八年级校考期末）如图，在中．，平分交于E，于D．下列结论：①；②点E在线段的垂直平分线上：③；④；⑤，其中正确的有___________（填结论正确的序号）．【答案】①②③⑤【分析】根据角平分线的定义、等角对等边、线段的垂直平分线的判定及含30度角的直角三角形的性质逐个选项分析即可．【详解】解：∵，，∴，∴，，∵平分交于E，∴，∴，∴点E在线段的垂直平分线上，故②正确；∵，∴，故①正确；∵，∴，∴，故③正确；设，则，，∴，，∴，故④错误；∵，∠BAC=90°，∴，∴，故⑤正确．综上，正确的有①②③⑤．故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的判定定理、等腰三角形的判定与性质定理、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点．5．（2022春·江苏南京·八年级期中）在中，，D为内一点，连接，，延长到点E，使，(1)如图1，延长到点F，使得，连接，．若，求证：；(2)连接，交的延长线于点H，连接，依题意补全图2．若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．【答案】(1)详见解析(2)，详见解析【分析】（1）利用SAS证明，可得，从而得到，即可求证；（2）根据题意补全图形，延长到点F，使得，，连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，由（1）可知，，继而可得，即，继而可得，再根据直角三角形斜边中线定理即可求解．【详解】（1）证明：在和中，∴（SAS），∴∴，∵，∴．（2）由题意补全图形如下：．证明：延长到F，使，连接，，∵，，∴，由（1）可知，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理，证明是解题的关键．6．（2022春·吉林长春·八年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O．(1)如图1，当时，直接写出的度数_________；(2)如图1，当，且．①若，则________°；②当_________°时，；(3)如图2，连接，，．若的周长为，的周长为．则线段________；线段__________．(4)如图3，若，则__________°．【答案】(1)(2)①60；②135(3)9；6(4)36【分析】（1）根据垂直平分线的性质