与三角形有关的线段八年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题与三角形有关的线段姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021秋•兴县期中〕三角形的两边长为6cm和3cm，那么第三边长可以为〔〕A．2B．3C．4D．10【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．【解析】：设第三边为x，那么3＜x＜9，所以符合条件的整数可以为4，应选：C．2．〔2021秋•拱墅区期末〕假设一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，那么此三角形的第三边长可能为〔〕A．1cmB．2cmC．5cmD．8cm【分析】设第三边为xcm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，选出适宜的x的值即可．【解析】：设第三边为xcm，∵三角形的两边长分别为3cm和5cm，∴5cm﹣3cm＜x＜5cm+3cm，即2cm＜x＜8cm，∴5cm符合题意，应选：C．3．〔2021春•邗江区月考〕在△ABC中，作出AC边上的高，正确的选项是〔〕A．①B．②C．③D．④【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．【解析】：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，纵观各图形，①、②、③都不符合高线的定义，④符合高线的定义．应选：D．4．〔2021•延庆区一模〕如下图，△ABC中AB边上的高线是〔〕A．线段DAB．线段CAC．线段CDD．线段BD【分析】直接利用高线的概念〔从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高〕得出答案．【解析】：如图，∵CD⊥BD于D，∴△ABC中AB边上的高线是线段CD．应选：C．5．〔2021春•溧水区期末〕假设三角形的两边a、b的长分别为3和5，那么其第三边c的取值范围是〔〕A．2＜c＜5B．3＜c＜8C．2＜c＜8D．2≤c≤8【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边c的取值范围．【解析】：根据三角形的三边关系可得5﹣3＜c＜5+3，解得：2＜c＜8，应选：C．6．〔2021秋•邕宁区校级期中〕以下说法正确的选项是〔〕A．三角形的三条高是三条直线B．直角三角形只有一条高C．锐角三角形的三条高都在三角形内D．三角形每一边上的高都小于其他两边【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断．【解析】：A、三角形的三条高是三条线段，本选项说法错误；B、直角三角形有三条高，本选项说法错误；C、锐角三角形的三条高都在三角形内，本选项说法正确；D、三角形每一边上的高不一定都小于其他两边，本选项说法错误；应选：C．7．〔2021春•昌乐县期末〕下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是〔〕A．B．C．D．【分析】根据三角形的高的定义进行判断即可．【解析】：由三角形的高的定义可知，如果线段BD是△ABC的高，那么BD⊥AC，垂足是点D．四个选项中，只有D选项中BD⊥AC．应选：D．8．〔2021秋•东湖区校级月考〕如图，AD是△ABC的中线，△ABD的周长为22cm，AB比AC长3cm，那么△ACD的周长为〔〕A．19cmB．22cmC．25cmD．31cm【分析】根据题意得到AB＝AC+3，根据中线的定义得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算即可．【解析】：由题意得，AB＝AC+3，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵△ABD的周长为22，∴AB+BD+AD＝AC+3+DC+AD＝22，那么AC+DC+AD＝19，∴△ACD的周长＝AC+DC+AD＝19〔cm〕，应选：A．9．〔2021春•射洪市期末〕如图，在Rt△ABF中，∠F＝90°，点C是线段BF上异于点B和点F的一点，连接AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D，过点C作CE⊥AB交AB于点E，那么以下说法中，错误的选项是〔〕A．△ABC中，AB边上的高是CEB．△ABC中，BC边上的高是AFC．△ACD中，AC边上的高是CED．△ACD中，CD边上的高是AC【分析】根据三角形的高的定义进行判断即可．【解析】：∵过点C作CE⊥AB交AB于点E，∠F＝90°，∴△ABC中，AB边上的高是CE，BC边上的高是AF，∴A、B两个选项说法正确，不符合题意；∵CD⊥AC交AB于点D，∴△ACD中，AC边上的高是CD，CD边上的高是AC，∴C选项说法错误，符合题意；D选项说法正确，不符合题意；应选：C．10．〔2021春•常熟市期末〕如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，点F在BE上，且EF＝2BF，假设S△BCF＝2cm2，那么S△ABC为〔〕A．4cm2B．8cm2C．12cm2D．16cm2【分析】根据EF＝2BF，S△BCF＝2cm2，求得S△BEC＝3S△BCF＝6cm2，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S△BDE＝S△CDE=12S△BEC＝3cm2，从而求出S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，再根据S△ABC＝2S△【解析】：如图，∵EF＝2BF，假设S△BCF＝2cm2，∴S△BEC＝3S△BCF＝3×2＝6cm2，∵D是BD的中点，∴S△BDE＝S△CDE=12S△BEC＝3cm∵E是AD的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，∴△ABC的面积为12cm2，应选：C．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021秋•婺城区期末〕我们用如图的方法〔斜钉上一块木条〕来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的稳定性．【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性答复即可．【解析】：用如图的方法〔斜钉上一块木条〕来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的稳定性，故答案为：稳定性．12．〔2021春•浦东新区期中〕不等边三角形的最长边是9，最短边是4，第三边的边长是奇数，那么第三边的长度是7．【分析】根据三角形的三边关系即可求得第三边的范围，从而由不等边三角形和奇数的定义确定第三边的长度．【解析】：设第三边长是c，那么9﹣4＜c＜9+4，即5＜c＜13，又∵第三边的长是奇数，不等边三角形的最长边为9，最短边为4，∴c＝7．故答案为：7．13．〔2021春•灌云县期中〕如图，以AD为高的三角形共有6个．【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．【解析】：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故答案为：614．〔2021秋•宾县期末〕三角形有两条边的长度分别是5和7，那么最长边a的取值范围是7≤a＜12．【分析】三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于两边的差而小于两边的和．【解析】：根据三角形三边关系定理知：①当a＝7时，最长的边a＝7；②当a≠7时，最长边a的取值范围是：7＜a＜〔7+5〕，即7＜a＜12；故答案为：7≤a＜12．15．〔2021春•大东区校级期中〕如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，如果BC＝10cm，那么BE＝5cm；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠BAD＝40°，∠DAF＝10°．【分析】熟悉三角形的角平分线、中线、高的概念：三角形的一个角的平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；连接顶点和对边中点的线段叫三角形的中线；三角形的高即从顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念，运用几何式子表示．【解析】：∵在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，BC＝10cm，∴BE＝5cm，∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∴∠BAD＝40°，∵AF是高，∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAF＝40°﹣30°＝10°，故答案为：5cm；40°；10°．16．〔2021秋•惠山区期中〕如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添3根木条．【分析】根据三角形的稳定性，只要使六边形框架ABCDEF变成三角形的组合体即可．【解析】：根据三角形的稳定性，得如图：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添3根木条．17．〔2021•恩施市模拟〕如图，AE是△ABC的边BC上的中线，假设AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，那么AC＝10cm．【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE＝BE，再根据AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．【解析】：∵AE是△ABC的边BC上的中线，∴CE＝BE，又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，∴AC﹣AB＝2cm，即AC﹣8＝2cm，∴AC＝10cm，故答案为：10；18．〔2021春•兴化市月考〕假设D、E分别是BC、AD的中点，且S△ABC＝10，那么S△AEC＝．【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两局部即可求得结果．【解析】：∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴S△ADC＝S△BDC=12S△ABC＝∵CE是△ADC的AD边上的中线，∴S△AEC=12S△故答案为．三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．如图，在△ABC中，AE⊥BC，点E是垂足，点D是边BC上的一点，连接AD．〔1〕写出△ABE的三个内角；〔2〕在△ABD中，∠B的对边是AD；在△ABC中，∠B的对边是AC；〔3〕图中共有6个三角形，把它们分别写出来．这些三角形中，哪些是直角三角形？哪些是锐角三角形？哪些是钝角三角形？〔4〕线段AD是哪几个三角形的公共边？〔5〕∠ADC是哪几个三角形的公共角？∠AED呢？【分析】〔1〕根据三角形内角的定义，结合图形即可求解；〔2〕根据三角形中角的对边的定义，结合图形即可求解；〔3〕根据三角形的定义，结合数出图中三角形的个数，再根据直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的定义进行分类；〔4〕根据三角形的边的定义，结合图形即可求解；〔5〕根据三角形的角的定义，结合图形即可求解．【解析】：〔1〕△ABE的三个内角是：∠BAE，∠B，∠AEB；〔2〕在△ABD中，∠B的对边是AD；在△ABC中，∠B的对边是AC．故答案为：AD；AC；〔3〕图中共有6个三角形，分别是：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．这些三角形中，直角三角形是：△ABE，△ADE，△AEC；锐角三角形是：△ABC，△ADC；钝角三角形是：△ABD．故答案为：6；〔4〕线段AD是△ABD，△ADE，△ADC的公共边；〔5〕∠ADC是△ADE，△ADC的公共角；∠AED是△ABE，△ADE的公共角．20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，EC⊥BC交AB于点E，CF⊥AB，垂足为点F，BG⊥AC，垂足为点G．〔1〕分别写出△ABC各条边上的高；〔2〕CF是哪几个三角形的高？【分析】〔1〕根据三角形的高的概念，写出△ABC三条边上的高即可；〔2〕根据三角形的高的概念，由CF⊥AB，垂足为点F解答即可．【解析】：〔1〕由题意，可得△ABC中，AB边上的高是CF，BC边上的高是AD，AC边上的高是BG；〔2〕∵CF⊥AB，垂足为点F，∴CF是△BCF，△BCE，△BCA，△FCE，△FCA，△ECA的高．21．〔2021秋•固始县期中〕如图，在△ABC中〔AB＞BC〕，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两局部，求AC和AB的长．【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，那么AC＝4x，根据题意得出方程组，求出方程组的解，再根据三角形的三边关系定理判断即可．【解析】：设BD＝CD＝x，AB＝y，那么AC＝2BC＝4x，∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两局部，AB＞BC，∴AC+CD＝40，AB+BD＝60，即4x解得：x=8当AB＝52，BC＝16，AC＝32时，不满足三边关系，构不成三角形，应该舍去，所以AC＝48，AB＝28．22．〔2021秋•江津区期中〕a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6．〔1〕求c的取值范围；〔2〕假设△ABC的周长为18，求c的值．【分析】〔1〕根据三角形任意两边之和大于第三边得出3c﹣2＞c，任意两边之差小于第三边得出|2c﹣6|＜c，列不等式组求解即可；〔2〕由△ABC的周长为18，a+b＝3c﹣2，4c﹣2＝18，解方程得出答案即可．【解析】：〔1〕∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6，∴3c解得：2＜c＜6；〔