勾股定理与弦图问题八年级数学上册尖子生培优题典32

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题勾股定理与弦图问题〔重难点培优〕姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021秋•江阴市期中〕如图，“赵爽弦图〞是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，假设小正方形的边长为3，大正方形边长为15，那么一个直角三角形的周长是〔〕A．45B．36C．25D．182．〔2021秋•丹东期末〕如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，假设图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，那么大正方形的面积是〔〕A．121B．144C．169D．1963．〔2021春•贺兰县期中〕“赵爽弦图〞是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形〔如下图〕．假设直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，那么图中阴影区域的面积与大正方形的面积之比为〔〕A．13B．14C．154．〔2021春•望城区期末〕勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是〔〕A．B．C．D．5．〔2021秋•姑苏区期中〕如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为64，小正方形面积为9，假设用x，y表示直角三角形的两直角边长〔x＞y〕，请观察图案，以下关系式中不正确的选项是〔〕A．x2+y2＝64B．x﹣y＝3C．2xy+9＝64D．x+y＝116．〔2021•龙马潭区模拟〕“赵爽弦图〞巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如下图的“赵爽弦图〞是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，假设ab＝18，大正方形的面积为100．那么小正方形的边长为〕A．9B．8C．7D．67．〔2021秋•山西月考〕如下图的是我国古代著名的“赵爽弦图〞的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，那么EF2的值是〔〕A．169B．196C．392D．5888．〔2021春•海珠区月考〕如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为49，小正方形面积为4，假设用x，y表示直角三角形的两直角边〔x＞y〕，以下结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是〔〕A．①②B．②④C．①②③D．①③9．〔2021秋•中牟县期中〕1876年，美国总统伽菲尔德利用如下图的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是〔〕A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四边形AECD＝S四边形DEBC10．〔2021秋•南山区校级期中〕如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，那么图中阴影局部的面积之和为〔〕A．214B．215C．225二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021春•兴城市期末〕把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，那么图2中小正方形ABCD的面积为．12．〔2021春•阳西县期末〕“赵爽弦图〞巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如下图的“赵爽弦图〞是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，假设ab＝8，小正方形的面积为9，那么大正方形的边长为．13．〔2021•通州区一模〕把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，那么图2中小正方形ABCD的面积为．14．〔2021秋•法库县期末〕如图是“赵爽弦图〞，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝．15．〔2021秋•延庆区期末〕用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图〞．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．假设AB＝10，AF＝8，那么小正方形EFGH的面积为．16．〔2021•高新区一模〕如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解?周髀算经?时给出的，人们称它为“赵爽弦图〞．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影局部的面积为S1，空白局部的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，假设S1S217．〔2021•宁夏〕2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的?勾股圆方图?，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形〔如图1〕，且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为．18．〔2021秋•福田区期末〕如图是“赵爽弦图〞，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于．三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021春•岳西县期末〕公元3世纪，我国数学家赵爽在注?周髀算经?中，就利用以下弦图证明了勾股定理．即用4个全等的直角三角形拼成如下图的正方形ABCD，中间留出一个小正方形空格．请你利用这个弦图证明勾股定理．20．〔2021秋•苏州期末〕三国时代东吴数学家赵爽〔字君卿，约公元3世纪〕在?勾股圆方图注?一书中用割补的方法构造了“弦图〞〔如图1〕，并给出了勾股定理的证明．，图2中涂色局部是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．21．〔2021秋•伊川县期末〕勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法〞来证明．将两个全等的直角三角形按如下图摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．22．〔2021秋•溧阳市期中〕勾股定理被誉为“几何明珠〞，在数学的开展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然〞，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD．求证：AB2＝BE2+AE2．23．〔2021秋•雁江区期末〕中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的奉献和地位，表达了数学研究中的继承和开展，现用4个全等的直角三角形拼成如下图“弦图〞．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决以下问题：〔1〕试说明：a2+b2＝c2；〔2〕如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求〔a+b〕2的值．24．〔2021春•青白江区期末〕如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．〔1〕在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，